Pertemuan ke 4 (Konvolusi dan Transformasi Fourier)

  Pertemuan ke-4

KONVOLUSI DAN

TRANSFORMASI FOURIER

Konvolusi

• Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra:

   Operasi konvolusi (spatial flter/ discret convolution flter)

   Transformasi Fourier

• Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefnisikan sebagai berikut:

   h ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( a ) g ( x a *

  ) da    

   

  Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variable) a adalah peubah

Cont

• • Konvolusi merupakan proses penting

  pada analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier (Fourier transform pair).
• Teori konvolusi: f(x)*g(x)  F(u)G(u) f(x)g(x)  F(u)*G(u)

Konvolusi pada Domain Diskrit

  Bila A adalah periode dalam diskritisasi f(x) dan B adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil konvolusi akan mempunyai periode M dimana M=A+B

  Periode f(x) dan g(x) masing-masing dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan 0 f(x)=f(x) bila 0 ≤ x ≤ A-1 dan f(x)=0 bila A ≤ x ≤ M-1 g(x)=g(x) bila 0 ≤ x ≤ B-1 dan f(x)=0 bila B

  ≤ x ≤ M-1

     

  1 ) ( ) ( ) ( * ) ( ) (

  M

m x g m f x g x f x h Cont.

   g(x) disebut kernel konvolusi atau kernel penapis (flter).

   Kernel g(x) merupakan suatu

jendela yang dioperasikan secara

bergeser pada sinyal masukan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran

Pendekatan Shift Kernel Operator

  f ( x )

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4  

     

  (

  1

  4 1 karena simetri di flip tetap - g

• x

  1

  4 - ) 1   

     

  1

  4

  1    

   Maka f(x)*g(x)=0x-1 + 0x4 + 1x-1 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -1

  0x0 + 0x-1 + 1x4 + 2X-1 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 +0x0 = 2 0x0 + 0x0 + 1x-1 + 2x4 + 3x-1 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x-1 + 3x4 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 6 0x0 +0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x-1 + 4x4 + 0x-1 + 0x0 + 0x0 = 13 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x-1 + 0x4 + 0x-1 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x-1 + 0x4 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x-1 = 0

Pendekatan Rumus Konvolusi

  Kita lihat kembali rumusan konvolusi:

  M

  1  h ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( m * ) g ( x m )

    



m

  



  f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1; f(3)=2; f(4)=3; f(5)=4; f(6)=0; ...; f(8)=0 g(6)=0; ...; g(1)=0; g(0)=-1; g(-1)=4; g(-2)=-1 f(0)*g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) + dst = -1 f(1)*g(1) = f(0)g(1) + f(1)g(0) + f(2)g(-1) + dst = 2 f(2)*g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) + dst = 4 Dst

  Hasil yang diperoleh sama dengan cara

  Proses Konvolusi pada Citra 2-D

• Bentuk Kontinue dan Diskrit:

  Ilustrasi konvolusi Contoh : citra f(x,y) berukuran 5 X

  5

  3 dengan kernel atau mask 3 X

• f(x,y) * g(x,y) Operasinya : • Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian hitung nilai piksel pada posisi (0,0) dari kernel

  Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel pada posisi (0,0) kernel, begitu seterusnya hingga geser satu piksel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi kiri citra.

• Dengan cara dikovolusi yang sama, setiap baris piksel

Hasil konvolusi :

• Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan 0, jika nilai > nilai max gray level maka dilakukan clipping
• Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah :

  Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusi –

• –

  Duplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalin ke kolom M+1,

  begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan.
• – Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan.
• Konvolusi piksel pinggir tidak memperlihatkan efek yang kasat mata.

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1)

• Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi),

  sedangkan deblurring / sharpening / outlining merupakan efek differensiasi

• Proses blurring dapat diperoleh dengan

  mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya, proses sharpening dapat diperoleh dengan mengaplikasikan high pass filter

• Filtering akan dipelajari pada proses

  peningkatan mutu citra (image enhancement)

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2)

• Contoh efek blurring (bayangkan bila terjadi pada

  piksel citra 2-dimensi) point response function ideal response (averaging) deconvolution function

• Filter/ mask/ kernel gaussian

TRANSFORMASI CITRA

  Mengapa perlu transformasi ?

• – Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z
• – • Analisa konvensional : pembagian secara manual
• Analisa transformasi : melakukan transformasi
• – log(y) = log(x) – log(z)
• – look-up table  pengurangan  look-up table
• Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya

  

Transformasi Citra

• Contoh :
• – jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier – Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet
• Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan

  bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu

• Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :
• – Transformasi piksel/transformasi geometris
• – Transformasi ruang/domain/space

Transformasi Piksel dan Ruang

• Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama

  (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.

  Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll) Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu

• ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi Ada beberapa transformasi ruang yaitu :
• Fourier (basis: cos-sin) –

  Transformasi Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang –

  Transformasi ortogonal) Transformasi

  DCT (basis: cos) –

  Transformasi Fourier (FT)

  1822,

• Pada tahun Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi

  periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus.

• Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi- fungsi sinus berikut f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …

  

Fungsi kotak sebagai penjumlahan

fungsi-fungsi sinus

• Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi yang dihasilkan sudah berbentuk fungsi kotak.
• – function kotak(n)

  t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t); for i = 3 : 2: n kot = kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot)

  (a) (b)

  (c) Gambar

  (d)

  a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n =

  

FT - Motivasi

• Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah:
• – Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ?

  Atau dengan kata lain

• – Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ?

  Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung

• nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan rumus:

  

Rumus FT – 1 D

• Rumus FT kontinu 1 dimensi

  ∞ f (x) exp[ −2 j ux]dx

  π

  F (u) −

  ∫ =

  ∞ ∞ f (x) F (u) exp[2 = j ux]du

  π

  − ∫

  Euler's formula: exp[ −2 j ux] = j sin

  π

  cos2 ux − 2 ux

  π π

  ∞

• Rumus FT diskret 1 dimensi

  N

  1

  f ( x) exp[ −2 j π ux / −1

  F (u) _{x =0} ∑

  N

  =

  N ] N

  1

  −1 F (u) exp[2 j ux / N f ( x)

  π Contoh FT 1 D

  Contoh berikut diambil dari Polikar

  

  Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb: x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)

  Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu 5,10,20,50

  Contoh sinyal 1 Dimensi x(t) Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus x(t)= cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) (Sumber: Polikar)

  FT dari sinyal tersebut FT dari sinyal tersebut.

  Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi- frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai maksimum F(u) berada pada angka 5,10, 20, 50) Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92)

  1

  41 ∑ ³ f (x)(cos(2 π x / 4) − j sin(2 π x / 4))]

  4 F(3) = −

  4 F(2) =

  1 ( −2 + j) =

  1 (2 − 3 j − 4 + 4 j) =

  4 =

  1 [2(1− 0) + 3(0 − j) + 4(−1− 0) + 4(0 + j)

  4 =

  F(1) = ^{x =}

  3.25

  ₋₁

1

^{N N} ₋₁ ∑

  1 [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] =

  N =

  F(0) = ^{x =}

  ∑ f (x)(cos(2 π 0x / N) − j sin(2 π 0x / N))]

  = 2, f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 4 1 ^N ₋₁

  N

N

contoh: f (0)

  F(u) = ^{x = x =}

  ∑ f (x) exp[ −2 j π ux / N] = f (x)(cos(2 π ux / N) − j sin(2 π ux / N))]

  1 [2 + j] = −0.5 −

  

Contoh Penghitungan FT

• Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua
• bilangan tersebut shg|F(u)| = [R

  2

  (u) + I

  2

  (u)]

  1/2

• Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut:

  |F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5) ² +(0.25) ² ] ^1/2 = 0.5590 |F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5) ² +(0.25) ² ] ^1/2 = 0.5590

  

Rumus FT – 2 D

  Rumus FT 2 dimensi

• _M

  −1 N −1

  ∑∑ MN x

  =0 y

  =

  N )] M =0 _{M −1 N −1}

  InversFT : f ( x, y) F

  =

• vy N )]

  ∑∑

  / (u, v) exp[2 j (ux / M

  π u

  =0 v =0

  M = tinggi citra (jumlah baris) N = lebar citra (jumlah kolom)

  Contoh FT 2 Dimensi

  Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|]

  

Sifat-sifat FT 2 dimensi

  Separable :

• – Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dilakukan terhadap kolom, dengan melakukan FT 1 dimensi 1 dimensi kemudian dilanjutkan dengan FT terhadap baris

  Translasi :

• f (x, y) exp[ −2 j (u x +v y) / N] ⇔ F(u −u , v

  π

  −v ) f (x − x, y − y) ⇔ F(u, v) exp[−2 j (ux +vy ) /

  π

  

Sifat-sifat FT 2 dimensi

  Periodik

• – FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N (N adalah jumlah titik)

  Rotasi

• – Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ . maka

  F(u,x) juga akan berotasi sebanyak θ , demikian pula sebaliknya.

  Distributif

• – FT dan IFT bersifat distributif terhadap penjumlahan tapi tidak terhadap perkalian

  Sifat-sifat

  Penskalaan

  FT 2 dimensi

• af (x, y)

  ⇔ aF(u, v) f (ax,by)

  ⇔

  b) ab

• Nilai rata-rata _{N −1 N −1}

  ∑ ∑ _x = 0 y = 0

  1

  1 y ) =

  = f ( x , f ( x ,

y ) F

  ( 0,0 ) ² N N

  

Fast Fourier Transform (FFT)

• Merupakan algoritma penghitungan yang

  mengurangi kompleksitas FT biasa dari menjadi N log N saja

  2 N

  2

• Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret
• InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log N (IFFT)

  2

  ifft(x) atau

• – Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft2(X) untuk invers FT