METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI

Maksimumkan atau minimumkan: Z = CX Batasan: (A,I)X = b Contoh: Maksimumkan: Z = 3X

1. Bentuk Standar Dalam Matriks

– 0X

X Z

Batasan: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋

X X

6 ⁵ ⁴ ³ ² ¹ X

X X

2. Pemecahan Dasar dan Basis

(A,I)X = b memiliki m persamaan dan n variable yang tidak diketahui. Sebuah pemecahan dasar diperoleh dengan menetapkan n – m variable sama dengan nol dan

X X

3 X

2 Batasan: X 1 + 2X

≤ 6

1 + X

≤ 8

≤ 1

≤ 2 Bentuk standar simpleks: Maksimumkan: Z = 3X

6 Batasan: X 1 + 2X 2 + X 3 = 6

1 + X 2 + X 4 = 8

1 + X 2 + X 5 = 1

6 lalu memecahkan m persamaan dengan m variable yang tidak diketahui. Secara matematis anggaplah: _n

= 2

Bentuk standar matriks :

Maksimumkan: ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 1

= ₆ ₅ ₄ ³ ² ¹

( ) A ,

I X = P _{j J}

X ∑ _j

Dimana P j adalah vector kolom ke – j dari (A,I). Dari contoh diatas, dimana kita memiliki m = 4 dan n = 6. Ini berarti basis terdiri dari m = 4 vektor dan n – m = (6 – 4 = 2) variable yang berkaitan, dengan vector sisanya ditetapkan sama dengan nol. Dengan menganggap X

3 = X 4 = X 5 = X 6 = 0, kita menemukan bahwa vector:

1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

P = P = P = P = ₃ ₄ ₅ ₆

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥

B = ( P , P , P , P ) = ₃ ₄ ₅ ₆

⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦

3. Table Simpleks Dalam Bentuk Matriks

Maksimumkan atau minimumkan: Z = CX Batasan: (A,I)X = b Bagi vector X kedalam X

I dan X

II , dimana X

II bersesuaian dengan elemen-elemen dari

X yang berkaitan dengan basis awal B = I. Bagi C kedalam C dan C untuk

I II

bersesuaianan dengan X

I dan X

II . Jadi bentuk standar dapat ditulis sebagai:

Maksimumkan : Z = CX; menjadi: Z – C

II = 0

I X I – C

II X

Batasan: (A,I)X = b; Karena X bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal

II B = I, sehingga: AX I + IX

II = b Z

⎡ ⎤ 1 − C − C ⎡ ^I ^{II ⎤ ⎡ ⎤}

⎢ ⎥

X =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

A I b

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥

X _II

⎣ ⎦ Disetiap iterasi, anggaplah X B mewakili variable dasar saat ini dengan B basis yang berkaitan dengannya. Berarti X mewakili m elemen dari X dengan B mewakili vector

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 2

(A,I) yang berkaitan dengan X B . Anggaplah C B adalah elemen C yang berkaitan dengan X , sehingga:

Z = C B

X B ; sama dengan Z - C B

X B = 0, dan BX B = b

1 − C Z ⎡ B ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ sama dengan:

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

B X b _B

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− ^{1 −} ¹

⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎤

Z C B C B b

⎡ ⎤ B ⎡ ⎤ B = =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ^{1 ⎢ ⎥} ¹

− − X b _{B B B b}

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Table simpleks yang bersesuaian dengan X diperoleh dengan mempertimbangkan:

Z ₁ ⎡ ⎤ ₁

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 C B _{B ⎡} 1 − C − C _I _{II ⎤ B ⎡ ⎤}

1 C B ⎢ ⎥

X = _I

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−

^{1 −}

^{1 ⎢ ⎥}

⎢ ⎥

A I b B B

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

X _II

⎣ ⎦

Z ₁ ₁ ⎡ ⎤ ₁ − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

I C B b

⎢ ⎥

1 C C B A − C C B − + + _{i B} _{II B B}

X = _I

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− ^{1 −} ^{1 −} ¹

⎢ ⎥

B A B

I B b

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

X _II

⎣ ⎦ Ingat: X

II bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal

B = I, sehingga iterasi simpleks umum dalam bentuk matriks: Dasar

X X Pemecahan

I II

1 -1 -1

Z C B A - C C B – C C B b

I B

II B

-1 -1 -1

X B B A B B b 4. Langkah-Langkah Metode Simpleks Primal Yang Direvisi.

Langkah 1 : Penentuan variable masuk P . j

Hitung Y = C B B untuk setiap vector non dasar P j , hitung Z j – C j = YP j - C j

Untuk program maksimalisasi (minimalisasi), vector P dipilih yang memiliki Z – C

j j j paling negative (positif) (tentukan sembarang jika terdapat lebih dari satu yang sama).

Jika semua Z j – C j ≥ 0 (≤ = 0), pemecahan optimal telah dicapai dan diketahui dengan

X = B b dan Z = C

X B B B

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 3

− −

X B = (X

6 Batasan: X

= 6

1 + X 2 + X 4 = 8

1 + X 2 + X 5 = 1

= 2 Pemecahan Awal:

3 ,X 4 ,X 5 ,X 6 )

Dari contoh berikut, maka langkah-langkah perhitungan metode simpleks primal yang direvisi adalah sebagai berikut: Maksimumkan: Z = 3X

= (0,0,0,0)

( )

I P P P P B =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= =

1 , , , ₆ ₅ ₄ ₃ B

1 + 2X 2 + 0X 3 – 0X 4 + 0X 5 + 0X

1 / / ₂ ₁ M M

= I

⎥ ⎦ ⎤

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 4

Langkah 2 . Penentuan variable keluar P r .

Nilai variable dasar saat ini yaitu:

X B = B

b b. Koefisien batasan dari variable masuk yaitu:

= B

P j variable keluar P

(baik maksimalisasi maupun minimalisasi) harus berkaitan dengan:

( )

⎢ ⎣ ⎡

≥ =

−

, min ^j _k _j _k ^k

B b

α α

θ Langkah 3 . Penentuan basis berikutnya. dimana:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

−

= _j _r _j _m _j _r ^j ^r ^j ^j ^r ^j α α

α α α α α

ξ /

– C

X _B

IP P B Ib b b B

1 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ P

Dasar

α Perhitungan untuk langkah 1 dan 2 dapat diringkaskan sebagai berikut:

2 ¹ ₂ = α

adalah vector keluar dengan nilai

demikian P

4 , dengan

2 Jadi: θ = min (6/1, 8/2, --, --) = (6, 4, --, --) = 4, yang bersesuaian dengan X

1 X

5 -1

8 X

1 X

6 X

Z -3 -2 0 0 0 0

6 Pemecahan

5 X

4 X

3 X

2 X

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 5

Iterasi Pertama: Langkah 1.

1 1 -

2 ,

[ ] [ ]

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

1 , , , B C = Y ^{1 -} _B =

, , ,

[ ]

2 ( )

dan P

untuk non dasar P

Perhitungan Z

1 0,0,0,0 C - Z , C - Z ₂ ₂ ₁ ₁ −

− −

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

= = = =

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= = = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

Langkah 2 . Penentuan vector keluar dengan diketahui bahwa P 1 memasuki basis.

1 ditetapkan sebagai vector masuk.

memiliki nilai paling negative, maka P

Karena P

1 – C 1 , Z 2 – C 2 = (-3,-2)

= Z

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

, sehingga:

Langkah 3 . Penentuan inverse basis berikutnya.

− 1 /

2 1 /

2 ⎡ ⎤ ⎡− ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

2 1 /

2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

ξ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− ( − 1 / 2 ) 1 /

2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− /

2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Maka basis berikutnya:

1 1 − 1 /

2 1 − 1 /

2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ₁ ₁

1 1 /

2 1 /

− −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

B = EB = EI = E = = _next

⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 /

2 1 ⎥ ⎢ 1 /

2 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Basis baru ini berkaitan dengan vector dasar:

X B = (X

3 ,X 1 ,X 5 ,X 6 )

C = (0,3,0,0)

1 − 1 /

2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 /

2 ₁

−

⎢ ⎥

B = ( P , P , P , P ) = = B

₃ ₁ ₅ _{6 next}

⎢ 1 /

2 1 ⎥ ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦

Iterasi Kedua: Langkah 1. Perhitungan Z j – C j untuk non dasar P 2 dan P

1 1 /

2 −

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ₁ 1 /

2 _- ⎢ ⎥

Y = C B = , 3 , , _B ( ) ⎢ 1 /

2 1 ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ 1 _-1 Y = C B = {(0*1 + 3*0 + 0*0 + 0*0), (3*-1/2 + 3*1/2 + 3*1/2 + 3*0), _B _-1 (0*0 + 0*0 + 0*1 + 0*0), (0*0 + 0*0 + 0*0 + 0*1)} Y = C B = (0, 3/2, 0, 0) _B

2 – C 2 , Z 4 – C 4 = Y(P 2 ,P 4 ) – (C 2 ,C

4 )

2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥

Z C , Z C 0, 3/2, 0, - - 2 , ₂ ₂ ₄ ₄ = [ ] − [ ] ⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦

Z – C , Z – C = {(0*2 + 3/2*1 + 0*1 + 0*1), (0*0 + 3/2*1 + 0*0 + 0*0)} – (2, 0)

4 Z 2 – C 2 , Z 4 – C 4 = (3/2, 3/2) – (2, 0) = (-1/2, 3/2)

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 6

( )

4 ² ₁ = α , sehingga: Langkah 3 . Penentuan inverse basis berikutnya.

3 /

3 , dengan demikian P 3 adalah vector keluar dengan nilai

2 Jadi: θ = min (2/(3/2), 4/(1/2), 5/(3/2), 2/1) = (4/3, 8, 10/3, 2) = 4/3, yang bersesuaian dengan X

5 X

5 3/2

4 X

1 1/2

2 X

3 3/2

Z 0 -1/2 0 3/2 0 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

6 Pemecahan

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

Dasar

α Perhitungan untuk langkah 1 dan 2 dapat diringkaskan sebagai berikut:

X _B

2 ¹ ² ¹ P B B b

1 2 / 1 2 / 1 2 /

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

− − −

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

2 ₁ _next

1 3 / 1 3 /

1 3 /

1 2 / 1 2 / 1 2 /

−

− − −

− ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

Maka basis berikutnya: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

1 ξ

3 /(

1 ) 2 /

3 /( 2 /

3 ) 2 /

1 2 / 3 / 2 /

3 /(

2 ) 2 /

1 3 / 1 3 /

− − −

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− + =

− + =

= = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

) 1 ( ( 1 * )

3 ) 1 *

1 2 /

1 2 / 3 2 /

− −

= =

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

) ( 1 * ) 1 *

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

2 memasuki basis.

. Penentuan vector keluar dengan diketahui bahwa P

Langkah 2

2 memiliki nilai paling negative, maka P 2 merupakan vector masuk.

Karena P

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 7

( 1 * ) ( 2 *

) 1 ( 1 * 2 /

) 1 ( 6 * 1 (

( 1 * ) 8 * 2 /

) ( 2 * )

) 1 ( ( 6 *

( 1 * ) 8 * 2 /

) ( 2 * )

) 1 ( ( 6 *

) 1 ( 8 * 2 /

) ( 2 * ) 1 *

( 8 * ) ( 6 *

) 1 ( ( 1 * )

2 ) 2 *

) 1 ( ( 2 *

1 2 / 1 2 / 1 2 /

) 1 ( 2 * 1 (

( 1 * ) 1 * 2 /

) ( 1 * )

) 1 ( ( 2 *

( 1 * ) 1 * 2 /

) ( 1 * )

= 3 /

= (2/3*1+0+0+0), (2/3*-1/2+0+0+0), (0), (0) = (-1/3*1+0+0+0), (-1/3*-1/2+1*1/2+0+0), (0), (0) = (-1*1+0+0+0), (-1*-1/2+0+1*1/2+0), (0+0+1+0), (0) = (-2/3*1+0+0+0), (-2/3*-1/2+0+0+0), (0), (1)

− ¹ Sehingga: 2/3 -1/3 0 0 B = _next

1/3 2/3
1

2/3 1/3 1

Basis baru ini berkaitan dengan vector dasar: X = X , X , X , X

6 C B = (2, 3, 0, 0)

Iterasi Ketiga: Langkah 1. Perhitungan Z – C untuk non dasar P dan P j j

2 / 3 − 1 /

3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ₁ − 1 /

3 2 /

3 ^- ⎢ ⎥ Y = C B = ( _B 2 , 3 , , )

⎢ −

1 1 ⎥ ⎢ ⎥

− 2 /

3 1 /

1 _-1 ⎣ ⎦ Y = C B = {(2*2/3 + 3*-1/3 + 0 + 0), (2*-1/3 + 3*2/3 + 0 + 0), (0), (0)} _B _-1 Y = C B = (1/3, 4/3, 0, 0) _B

3 – C 3 , Z 4 – C 4 = Y(P 3 ,P 4 ) – (C 3 ,C

4 )

1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥

Z C , Z C 1/3, - - 4 / 3 , 0, , ₃ ₃ ₄ ₄ = [ ] − [ ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Z – C , Z – C = {(1/3*1 + 0 + 0 + 0), (0 + 4/3*1 + 0 + 0)} – (0, 0)

4 Z 3 – C 3 , Z 4 – C 4 = (1/3, 4/3) – (0, 0) = (1/3, 4/3)

Karena semua Z j – C j ≥ 0, basis terakhir ini optimal.

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 8

Pemecahan Optimal:

⎡ ⎤ _{2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤} 2 / 3 − 1 /

3 6 ( 2 /

3 6 − 1 /

3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

3 * * 8 ) + + + 4 /

X ₁ ₁ 1 /

3 2 /

3 8 ( − 1 /

−

6 + − 2 /

8 + + ) 10 * / 3 *

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= B b = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

X − ₅ 1 * * *

1 1 ( −

1 1 )

3 ⎢ ⎥

6 + + +

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

X − ₆ 2 /

3 1 /

1 2 ( − 2 /

6 1 /

1 2 ) 2 /

3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

8 + + + * * *

4 /

3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

2 ⎢ ⎥

2 , ( 3 , * , )

2 * Z C 4 /

3 10 /

3 38 /

12 = = = [ ] = = _{B B} + + +

⎢ 3 ⎥

3 ⎢ ⎥ 2 /

3 ⎣ ⎦

Kesimpulan:

1 = 10/3

2 = 4/3

Z = 38/3 REFERENSI

1. Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996

JHON HENDRI – RISET OPERASIONAL – UNIVERSITAS GUNADARMA ‐ 2009 Page 9

METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI