MT Regresi dan Interpolasi

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id http://istiarto.staff.ugm.ac.id Curve Fitting ¨  

  Acuan ¤

    Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n   Chapter 11 dan 12, pp. 319-398. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Curve Fitting ¨  

  Mencari garis/kurva yang mewakili serangkaian titik data ¨  

  Ada dua cara untuk melakukannya, yaitu ¤

    Regresi ¤

    Interpolasi ¨  

  Aplikasi di bidang enjiniring ¤

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Curve Fitting ¨  

  Pemakaian regresi ¤

    Apabila data menunjukkan tingkat kesalahan yang cukup signifikan

  atau menunjukkan adanya noise

  ¤   Untuk mencari satu kurva tunggal yang mewakili pola umum perilaku

  data

  ¤   Kurva yang dicari tidak perlu melewati setiap titik data

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Curve Fitting ¨  

  Interpolasi ¤

    Diketahui bahwa data sangat akurat ¤

    Untuk mencari satu atau serangkaian kurva yang melewati setiap titik

  data

  ¤   Untuk memperkirakan nilai-nilai di antara titik-titik data

  ¨   Extrapolasi

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Curve Fitting terhadap Data Pengukuran ¨  

  Analisis pola perilaku data ¤

    Pemanfaatan pola data (pengukuran, experimen) untuk melakukan

  perkiraan

  ¤   Apabila data persis (akurat): interpolasi

  ¤   Apabila data tak persis (tak akurat): regresi

  ¨   Uji hipotesis

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Beberapa Parameter Statistik ta

  1

  a ¨  

  =

  Rata-rata aritmatik, mean y y _i d

  ∑ n n ra a b

  ¨   S

  Simpangan baku, standard _t

  2 = se

  = S y − y

  s ( ) _{y t i} ∑ n deviation, deviasi standar

  −

  n

  1

  ka si S

  2 _t

  =

  s ¨   ^y

  Varian (‘ragam’), variance

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Distribusi Probabilitas frek

Distribusi Normal

  salah satu distribusi/sebaran data yang sering dijumpai adalah distribusi normal Regresi linear Regresi non-linear

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi: Metode Kuadrat Terkecil ¨  

  Mencari suatu kurva atau suatu fungsi (pendekatan) yang

sesuai dengan pola umum yang ditunjukkan oleh data

¤

    Datanya menunjukkan kesalahan yang cukup signifikan ¤

    Kurva tidak perlu memotong setiap titik data ¨  

  Regresi linear ¨  

  Regresi persamaan-persamaan tak-linear yang dilinearkan http://istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi: Metode Kuadrat Terkecil ¨  

  Bagaimana caranya? ¤

    Program komputer ¤

    Spreadsheet (Microsoft Excel) ¤

    SciLab http://istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi Linear ¨  

  Mencari suatu kurva lurus yang cocok menggambarkan pola serangkaian titik data: (x

  n

  : intercept a

  1 x + e a

  y = a + a

  )

  

n

  ,y

  ) … (x

  1

  2

  ,y

  2

  ), (x

  1

  ,y

  1 : slope e : error

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Regresi Linear ¨  

  Kesalahan atau residu (e) adalah perbedaan antara nilai y sesungguhnya dan y nilai pendekatan menurut persamaan

• + a linear a x.

  1 e = y − a − a x ₁

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Regresi Linear ¨  

  Bagaimana cara mencari koefisien a dan a ?

  1 ¤

    Diferensialkan persamaan S

  ∂ _r

  2

  y a a x

  = − − − =

  ( _{i i} ^{1 )} ∑

  tersebut dua kali, masing-

  a

  ∂ masing terhadap a dan a .

  ∂ _r

  2

  y a a x x

  = − − − =

  ( ^{1 )} ¤

    Samakan kedua persamaan i i i ∑ a

  ∂ ¹ hasil diferensiasi tersebut

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Regresi Linear ¤   Selesaikan persamaan yang didapat untuk mencari a

  dan a

  1 n x y x y _{i i i i} −

  ∑ ∑ ∑ a = _{1 2 2} n x x _{i ( i )} −

  ∑ ∑ a = y a x

  − ¹ http://istiarto.staff.ugm.ac.id Contoh Regresi Linear i x _i y _i = f(x _i )

  1

  0.5

  1

  2

  2.5

  2

  3

  2

  3

  4

  4

  2

  4

  6

  8 y = f( x )

  Tabel data Grafik/kurva data http://istiarto.staff.ugm.ac.id Hitungan regresi linear i x _i y _i x _i y

_i

x _i ² y _reg (y _i −y ^reg

  ) ² (y _i −y ^mean

  2.0

  3.5

  5

  4

  16 16 3.428571 0.326531 0.326531

  4.0

  4

  3

  

6

9 2.589286 0.347258 2.040816

  3

  ) ²

  2

  4 1.75 0.5625 0.862245

  

5

  2.5

  2

  1

  0.5 1 0.910714 0.168686 8.576531

  0.5

  1

  17.5 25 4.267857 0.589605 0.005102

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Hitungan regresi linear 7 119 .

  5

  28

  24

  n x y − x y _{i i i i ( ) ( )} − ∑ ∑ ∑

  . 839286

  a = = = _{1 2 2 2}

  7 140

  28 −

  ( ) ( ) n x − x _{i i} ( )

  ∑ ∑

  24 3 .

  4

  y = =

  7

  28

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Hitungan regresi linear

  7

  6

  5

  3 data

  2 regresi

  1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi Linear ¨  

  Kuantifikasi kesalahan ¤

    Kesalahan standar ¤

  2 −

  =

  n S s ^r _{x y}

  ( ) ∑

  − − = ² _{1 i i r}

  S x a a y

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Regresi Linear ¨  

  Beda antara kedua kesalahan tersebut menunjukkan perbaikan atau pengurangan kesalahan S S

  −

  2 t r koefisien determinasi r

  =

  (coefficient of determination) S _t n x y x y

  − _{i i i i} ( )( )

  koefisien korelasi ∑ ∑ ∑ r

  = http://istiarto.staff.ugm.ac.id Hitungan regresi linear

  ( ) ( )

  71429 .

  22 991071 .

  2 ₂ ² ₁ = − =

  = − − =

  ∑ ∑ S y y S x a a y _{i t i i r} 868318 .

  71429 .

  22 991071 .

  . 2 71429

  22 ₂ =

  − =

  − =

  S S S r ^{r t} http://istiarto.staff.ugm.ac.id Regresi Linear ¨  

  Linearisasi persamaan-persamaan tak-linear ¤

    Logaritmik menjadi linear ¤

    Eksponensial menjadi linear ¤

    Pangkat (polinomial tingkat n > 1) menjadi linear (polinomial tingkat 1) ¤   Dll. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Linearisasi persamaan non-linear

  (1) y

  ln y

• =

  1 ^{x b} e a y ¹

  1 = x b a y

  1

  1 ln ln

  b

  1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Linearisasi persamaan non-linear

  (2)

  1 y

  log y

  b

  2 ²

  2 ^b x a y = x b a y log log log _{2 2} + = http://istiarto.staff.ugm.ac.id Linearisasi persamaan non-linear

  (3)

• =
• =

  1/y

• =
_{3 3}

  1 x b x a y

  y x a b a x a x b y

  1

  1

  1 _{3 3 3 3 3}

  3 1 a ^{3 3} a b Metode Newton Metode Lagrange

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Interpolasi

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Interpolasi ¨  

  Penyelesaian persamaan polinomial tingkat n membutuhkan sejumlah n + 1 titik data ¨  

  Metode untuk mencari polinomial tingkat n yang merupakan interpolasi sejumlah n + 1 titik data: ¤

    Metode Newton ¤

    Metode Lagrange

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id}

Interpolasi Linear: Metode Newton

f(x) f(x ) _{1 1} − − ₁

  ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x

  = − − ₁

  f ₁ (x) x x x x

  −

  ( ) ^{1 ( )} f x f x f(x )

• ₁

  − _{1 ( ) ( ) ( )} =

  f x f x x x

  −

  x x x

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Interpolasi Kuadratik: Metode Newton f x b b x x b x x x x _{2 ( )} = − − − _{1 ( ) ( )( )} + + _{2 2 1}

  x b x b x x b xx b xx

  = − − − _{1 1 2 2 1 2 2 1 2}

• b b x b

  b b x b x x b b x b x x b x

  − − − =

  ( ) ( ) ( ) ^{1 2 1 1 2 2 1 2}

  ! % " " " $ " " " # % " $ " " # " _{a a 1 a 2}

  a b b x b x x

  = _{1 2 1} −

  ⎧

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Interpolasi Kuadratik: Metode Newton f x _{2 ( )}

  − f x _{1 ( )} x

  − f x _{1 ( )}

  − f x ( ) x f x

  ( ) x f b = b ₁

  = f x _{1 ( )}

  − f x ( ) x ₁

  − x = f x ₁ , x ⎡⎣ ⎤⎦ http://istiarto.staff.ugm.ac.id Interpolasi Polinomial: Metode Newton

• −
• =
^{n n n} x x x x x x b x x b b x f

  ( ) ( ) ( )( ) ( ) ^{1 1 1} ... ... ₋ − − −

  ( ) [ ] [ ] _{1 2 2} ^{1 1} .

  , , ,

  x x x f b x x f b x f b

  = = =

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Interpolasi Polinomial: Metode Newton − f x f x

  ( ) _{i j} ( )

  ⎡ ⎤ f x , x _{i j}

  ⎣ ⎦ = − x x _{i j}

  ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ f x , x , x _{i j j k}

  ⎣ ⎦ − f x ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ f x , x , x _{i j k}

  ⎣ ⎦ = x − x _{i k} f x , x , ..., x , n , ..., x

Interpolasi Polinomial: Metode Newton

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

• + + − − + − + =

  ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) ( ) [ ] _{1 1 1} ^{1 2 1 1} ,..., , ...

  ... , , , x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x f n n n n _{− −}

  − − − http://istiarto.staff.ugm.ac.id Interpolasi Polinomial: Metode Newton i x _i f(x _i ) langkah hitungan ke-1 ke-2 ke-3 x f(x ) f[x ₁ ,x ] f[x ₂ ,x ₁ ,x ] f[x ₃ ,x ₂ ,x ₁ ,x ]

  1 x ₁ f(x ₁ ) f[x ₂ ,x ₁ ] f[x ₃ ,x ₂ ,x ₁ ]

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Interpolasi Polinomial: Metode Lagrange n f x L x f x

  = _{n i i} ( ) ( ) ( ) ∑ _{i = n} x x

  − _j L x

  = _i ( ) ∏ x x _{j ≠ i j = i j} −

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Contoh interpolasi

  7

  6 i x f(x ) _{i i}

  5

  1

  1.5

)

  4

x

f(

  1

  4

  3.1

  3

  2

  5

  6

  2

  1

  3

  6

  2.1 Linear Kuadratik Kubik

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Interpolasi: Spline ¨  

  Jumlah titik data n + 1 à interpolasi polinomial tingkat n ¤

    Tingkat besar, n >>, mengalami kesulitan apabila titik-titik data

  menunjukkan adanya perubahan tiba-tiba di suatu titik tertentu (perubahan gradien secara tiba-tiba).

  ¤   Dalam situasi tsb, polinomial bertingkat kecil, n «, dapat lebih representatif untuk mewakili pola data.

  ¤ Spline   http://istiarto.staff.ugm.ac.id Interpolasi Polinomial vs Spline

  §  polinomial tingkat n n = 1 n

   » n = 1 n

   »

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Linear Splines ¨  

  First-order spline : garis lurus ¨  

  Data urut : x , x , x , …, x

  1 2 n

  − ≤ ≤ =

  ( ) ( ) ( ) ¹ f x f x m x x x x x

  = − ≤ ≤ _{1 1 1 1 2}

  ( ) ( ) ( ) f x f x m x x x x x .

  . http://istiarto.staff.ugm.ac.id Linear Splines ¨  

  Slope/gradien/kemiringan garis lurus, m i

  :

  ¨   Linear spline, dengan demikian, adalah sama dengan interpolasi linear. ¨   Kekurangan linear spline adalah ketidak-mulusan kurva interpolasi.

  ( ) ( ) _{j i j i i} x x x f x f m

  − −

  = ₊ ⁺

  1

  1

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Linear Splines ¨  

  Dengan kata lain, terdapat diskontinuiti/ketidak-mulusan diferensial pertama (kemiringan) fungsi spline di titik-titik knot.

  ¨  

  Perlu dicari suatu fungsi spline (bertingkat n lebih tinggi) dengan menyamakan diferensial pertamanya (kemiringannya) di titik-titik knot.

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Quadratic Splines ¨  

  Untuk mendapatkan kurva yang memiliki diferensial/laju-perubahan ke-m kontinu di titik knot, maka diperlukan kurva spline yang bertingkat paling kecil m + 1.

  ¨  

  Yang paling banyak dipakai adalah spline tingkat 3 (cubic spline): diferensial pertama dan kedua kontinu di titik-titik knot.

  ¨  

  Ketidak-mulusan diferensial ketiga, keempat, dst. umumnya tidak begitu tampak secara visual. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Quadratic Splines ¨   Tujuan: mencari polinomial tingkat 2 untuk setiap interval titik-titik data.

  ¨  

  Polinomial tingkat 2 tsb harus memiliki diferensial pertama (laju perubahan) yang kontinu di titik-titik data.

  ¨  

  Polinomial tingkat 2:

• =

  ¨  

  Untuk (n+1) titik data (i = 0, 1, 2, …, n), terdapat n interval, sehingga

  ( ) i i i c x b x a x f

  2 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Quadratic Splines ¨   Ke-3n persamaan tsb adalah sbb.

  ¤   Kurva spline memotong titik-titik data (knot): interval i − 1 dan i bertemu

  

1

  = + + = + + _{i i i i i i i i i i i i}

  1 _{− − −} ^{− − − − − −}

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  di titik data {x

  2

  1

  

1

  ( ) ( )

  i −1 )}. i = 2, 3, …, n 2(n − 1) pers.

  , f(x

  i−1

  x f c x b x a x f c x b x a

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Quadratic Splines ¤   Kurva spline di selang (interval) pertama memotong titik data pertama

  (i = 1) dan kurva spline di interval terakhir memotong titik data terakhir (i = n). ₂

  a x b x c f x _{1 1} + + = _{1 ( ) 2} 2 pers. a x b x c f x _{n n n n n ( ) n} = + +

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Quadratic Splines ¤   Diferensial (gradien) kurva spline di dua interval berurutan adalah sama di titik data yang bersangkutan.

  Gradien:

  f x ax b ʹ′ =

  ( )

  2

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Quadratic Splines ¤   Diferensial kedua (laju perubahan gradien) kurva spline di titik data pertama sama dengan nol. a _{i 1 pers.} =

  ¤   Konsekuensi: 2 titik data pertama (i = 0 dan i = 1) dihubungkan dengan garis lurus. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Quadratic Splines ¨  

  Dengan demikian, jumlah persamaan seluruhnya adalah: 2(n – 1) + 2 + (n – 1) + 1 = 3n http://istiarto.staff.ugm.ac.id Cubic Splines ¨   Tujuan: mencari polinomial tingkat 3 untuk setiap interval titik-titik data.

  ¨  

  Polinomial tingkat 3 tsb harus memiliki diferensial pertama (gradien) dan diferensial kedua (laju perubahan gradien) yang kontinu di titik-titik data.

  ¨  

  Polinomial tingkat 3:

• =
^{2 3}

  ¨  

  Untuk (n+1) titik data (i = 0, 1, 2, …, n), terdapat n interval, shg. terdapat

  ( ) i i i i i d x c x b x a x f

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Cubic Splines ¨   Ke-4n persamaan tsb adalah sbb.

  ¤   Kurva spline memotong titik-titik data (knot): interval i − 1 dan i bertemu

  di titik data {x , f(x )} à (2n − 2) pers.

  i − 1 i − 1 ¤

    Kurva spline di interval pertama memotong titik data pertama dan kurva spline terakhir memotong titik data terakhir à 2 pers.

  ¤   Diferensial pertama kurva spline di dua interval berurutan adalah sama di titik data ybs. à (n − 1) pers.

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Cubic Splines ¤   Diferensial kedua kurva spline di dua interval berurutan adalah sama di titik data ybs. à (n − 1) pers. ¤

    Diferensial kedua kurva spline di titik data pertama dan terakhir sama dengan nol à 2 pers.

  Konsekuensi:

  kurva spline berupa garis lurus di titik data pertama dan di titik data terakhir.

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Cubic Splines ¨  

  Diperoleh 4n persamaan yang harus diselesaikan untuk mencari 4n , b , c , d . koefisien, a

  i i i i ¨  

  Dimungkinkan untuk melakukan manipulasi matematis shg diperoleh suatu teknik cubic splines yang hanya memerlukan

  n – 1 penyelesaian (lihat uraian di buku acuan):   Chapra, S.P., Canale, R.P., 1985, Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill

  ¤ Book Co., New York, hlm. 395-396).

Cubic Splines

• − − ʹ′ʹ′ =

  − ⎥ ⎦ ⎤

  ʹ′ʹ′ ʹ′ʹ′ ₋ dan ₁

  2 unknowns di setiap interval: ( ) ( ) _{i i} x f x f

  i ^{i i i} _{i i} ^{i i i i i i i i i i i i i i i i i} x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x x x f x f

  − −

  ⎣ ⎡ − ʹ′ʹ′

  ʹ′ʹ′ − −

  ⎢ ⎣ ⎡ −

  6

  6 − ^{− −} ₋ ^{− − − − − − − − −}

• − − ʹ′ʹ′

  6

  6

  ( ) ( )( ) ( ) ^{1 1 1} ₁ ^{1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1}

  ( ) ( )( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

• − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢