04B Aljabar Boolean dan Gate

  Aljabar Boolean dan Gate Gerbang 

  Digital adalah rangkaian yang bernilai 1 atau 0, true atau false, on atau off 

  0 sampai 1  biner 0 

  2 sampai 5  biner 1 

  Diluar hal tersebut tidak di ijinkan 

  Gerbang adalah peralatan elektronik kecil yang dapat mengkalkulasi berbagai fungsi dari sinyal dengan dua nilai

Transistor dan Gerbang

• V _cc
• V _cc
• V _cc

  V _out Kolektor

  Basis Emiter

  V _in

  V _out

  V ₁ V ₂

  V _out

  V ₁ V ₂

  A

  1

  1 A B X 0 0 1 0 1 1 1 0 1

  0 0 1 0 1 0 1 0 0

  0 0 0 0 1 0 1 0 0

  0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

  A

  X A B

  X A B

  X A B

  X A B

  X NOT NAND NOR AND OR

A B X

A B X

A B X

X

  Aljabar Boolean 

  Logic (logika) berasal dari kata logos (Bhs. Yunani) yang artinya kata (word) atau apa yang diucapkan, kemudian berubah menjadi studi sistem preskriptif dari argumen (argument) dan penalaran (reasoning), yaitu sistem yang menjadi acuan bagaimana manusia harus berfikir.

  

  Logika dapat dikatakan sebagai bentuk penarikan kesimpulan, apakah sesuatu atau argumen itu absah (valid) atau sebagai pendapat yang keliru (fallacious).

  

  Logika mendefinisikan struktur statement dan formula argument dan devises di mana semuanya dibuat kodenya.

  

  Dua kategori logika:

   Deductive reasoning : secara logika apa yang harus dilakukan dari suatu pendapat (premise). Aljabar Boolean 

  Jenis logika: 

  Aristotelian : 2 prinsip penting dalam logika yaitu tidak ada rumusan (preposition) benar atau salah dan adanya sebuah rumusan mungkin benar atau salah.

   Formal : hubungan antara konsep dan adanya sebuah cara untuk membuat komposisi bukti-bukti pernyataan

  

Mathematical : logika berbasis formal untuk studi

pemikiran matematikal.

   Philosophical : kaitan antara bahasa alami dan logika. 

  Predicate : sentential logic level yang menjelaskan sifat kerja kata-kata seperti and, but, or, not, if-then, if and only if, dan neither-nor.

  

Multi-valued : logika yang menambahkan possible sebagai harga ketiga selain false dan true. Aljabar Boolean 

  Komputasi çè logika formal: 

  Logika Boolean (aljabar Boolean)  Fuzzy logic.

   Aljabar Boolean:

   Dibuat George Boole (1850) dikembangkan John

Venn (1881, Symbolic Logic) dan diperhalus

Charles Dodgson menjadi Diagram Venn.

   S {K buah elemen dan 2 operator (product, sum)}

   Prinsip duality, cara mempertukarkan operasioperasi product dengan sum atau sebaliknya. Aljabar Boolean 

  Definisi, boolean algebra 

  An algebraic structures which capture the essence of the logical operations [AND, OR, NOT] as well as the set theoretic operations [union, intersection, complement]

  

  An abstract mathematical system primarily used in computer science and in expressing the relationships between groups of objects or concepts (sets).

  

  Penggunaan teknik aljabar untuk ekspresi proportional calculus.

   Sifat-sifat fungsi-fungsi Boolean

   Logical sum, that is Boolean OR, of several argument values is true if one or more of the argument values is true and is false only if all the argument values are false.

   Logical product, that is Boolean AND, of several argument values is false if any of the argument values is false Definisi Formal 

  Definisi Formal (lanjutan) 

  Mutually distributive: 

a ^(b v c) = (a ^ b)v(a ^ c) dan

   a v(b ^ c) = (a v b) ^ (a v c)

   Universal bounds:

   0 ^ a = 0, 0 v a = a, I ^ a = a, I v a = I

   Unary operations (inverse):

   a ^ a’ (¬a) = 0

   a v a’ = I

   De Morgan:

   ¬(ab) = ¬a v ¬b

   ¬(a + b) = ¬a ^ ¬b Simplifikasi 

  Simplifikasi: C + ¬(BC)

Ekspresi Rules

  

C + ¬(BC) Original Expression

C + (¬B + ¬C) DeMorgan's Law.

  (C + ¬C) + ¬B Commutative, Associative Laws.

  T + ¬B Compliment Law. T Identity Law. Simplifikasi 

  Simplifikasi: ¬(AB)(¬A + B)(¬B + B)

Ekspresi Rules

  ¬(AB)(¬A + B)(¬B + B) Original Expression ¬(AB)(¬A + B) Compliment law, Identity law.

  (¬A + ¬B)(¬A + B) DeMorgan's Law ¬A + (¬B)B Distributive law. This step uses the fact that or distributes over and. It can look a bit Simplifikasi: (A + C)(AD + A(¬D)) + AC

  (A + C)A(D + ¬D) + AC + C Distributive. (A + C)A + AC + C Compliment, Identity. A((A + C) + C) + C Commutative, Distributive. A(A + C) + C Associative, Idempotent. AA + AC + C Distributive. Ekspresi Boolean 

  Simplifikasi 

• + C Expresi Rules (A + C)(AD + A(¬D)) + AC + C

Original Expression

  Bentuk 

  Triplets: A OR B, X AND y 

  Diadics: NOT Z 

  Hirarki evaluasi 

  Urutan top-bottom 

  Ekspresi tanda kurung 

  NOT 

  AND 

  OR 

  Contoh: A AND B OR NOT C AND D identik dengan ((A AND B) OR ((NOT C) AND D)) Notasi Boolan 

  Umum

  

AND OR NOT

Pemrograman && || ~

Operasi Boolean-1 · + - Operasi Boolean-2 + ¬ Operasi Boolean-3 ^ v /

  

  Variabel

  

  True=T=On=1

  

  Fasle=F=Off=0

  

  Polish

  

A • B => A B •

  

A + B =>AB +

   ~B =>B ~

  Aljabar Boolean 

Variabel dan fungsi yang memiliki nilai 0 dan 1

  A B C -A -B -C Rangkaian TK F.Mayoritas

  A TK F.Mayoritas

  M=f(ABC)

• A

A B C M

  1

• ABC

  0 0 0 0

  4

  0 0 1 0

  A-BC

  5

  0 1 0 0

  B

  0 1 1 1

• B

  2 M AB-C

  1 0 0 0

  Tabel Kebenaran

  Aljabar Boolean 

  Simplifikasi aljabar Boolean memungkinkan desainer komputer membuat sirkit elektrikal.

   Dari fungsi F (N argumen) dapat didefinisikan sebuah tabel kebenaran dengan 2N masukan dapat digunakan untuk mencari ekspresi minterm dan maxterm. Misal untuk var. A, B, dan C:

  Aljabar Boolean 

  A term is a variable or a product (logical AND) of several different literals. For example, if you have two variables, A and B, there are 8 possible terms: A, B, ¬A, ¬B, ¬A¬B, ¬AB, A¬B, and AB.

   A minterm is a product containing exactly N literals.

   In general, there are 2N minterms for N variables.

  

The set of possible minterms is very easy to

  Aljabar Boolean 

  Representasi singkat 

  Sum of minterms (SOM) ~ keluaran dari baris tabel kebenaran harganya 1, menggunakan notasi sigma (S).

   Product of maxterms (POM) ~ keluaran dari baris tabel kebenaran harganya 0, menggunakan notasi phi (? ).

   Contoh, dari tabel kebenaran hal. 14:

  

F(A, B, C) = ¬A.¬B.¬C + ¬A.B.C + A.B.¬C

= m0 + m3 + m6 = S m (0, 3, 6)

   F(A,B,C) = (A+B+¬C).(A+¬B+C).(¬A+B+C).(¬A+B+¬C).

  (¬A+¬B+¬C) = M1M2M4M5M7 = ? M(1, 2, 4, 5, 7) Aljabar Boolean 

  Minterms dan SOM untuk 4-variabel: 

  Y = ~A~BCD + ~ABCD + A~B~CD [blok]

  

Membaca Tabel Kebenaran

(TK) 

  Karena n var, kemungkinannya 2 n

   Untuk 2 var = 00 01 10 11

   Dibaca berdasarkan kolom hasil

   NOT = 01 (2 bit=4 kemungkinan)

   NAND =1110 (4 bit=16 kemungkinan)

   NOR =1000 (4 bit=16 kemungkinan)

   AND =0001 (4 bit=16 kemungkinan)

   OR =0111 (4 bit=16 kemungkinan)

   Operator AND = . atau DOT

   Operator OR = + atau plus Elektronika Dasar

  Integrated Circuit (IC) 

  IC (rangkaian terpadu) sering disebut chip Kemasan dengan 2 deret pin diluar dan IC di dalamnya secara teknis disebut sebagai Dual Inline Packages (DIP)

• – Klasifikasi chip:

   SSI (small scale integrated) = 1 -10 gates

   MSI (medium scale integrated) = 10 – 100 gates

  

LSI (large scale integrated) = 100 – 100000 gates

  

  VLSI (very large scale integrated) = > 100000 Gates 

  

Contoh chips Intel: 4004, 8008, 8080, 8085, 8086, 80x86,

Pentium, Itanium.

   Kemasan paling umum memiliki 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40, 64 atau 68 pin.

   Logika & teknologi gate

  ECL (emitter-coupled logic)

  

  NMOS (n-channel MOSFET)

  

  PMOS (p-Channel MOSFET)

  

   MOS menghasilkan LSI, VLSI, ULSI yang kompak, daya kecil, tetapi lebih lambat dibanding bipolar

  

  

  TTL (transistor-transistor logic)

  

  DTL (diode-transistor logic)

  

  

Bipolar menghasilkan SSI dan MSI yang cepat, tetapi

perlu daya dan volume IC besar.

  IC = S (diode, resistor, transistor) secara terpadu; bipolar atau MOS.

  CMOS (complimentary MOSFET)

   Implementasi TTL, seri

   74xx, bekerja pada 0 - 70 C dan 4.75 - 5.25 V; 2 jenis: high-speed TTL dan low-power TTL.

   52xx, bekerja pada -55 - >125 C dan 4.75 - 5.25 V; khusus untuk keperluan militer

   Karakteristik TTL

   Floating TTL input akan bekerja sebagai high input

   Worst-case input voltage, masukan antara 2 to 5 V akan menjadi high input untuk TTL

   Worst-case output voltage, output antara 0.4 - 2.4

  V 

  Compatible, output satu TTL bisa jadi input TTL

   Karakteristik TTL

   Noise margin, selisih tegangan TTL driver – TTL load = 0.4 V, merepresentasikan proteksi terhadap noise.

   Sourcing & sinking, jika TTL output rendah akan

muncul arus emitter yang bergerak dari emitter ke

collector [= sink] dan sebaliknya sebaliknya bila TTL output tinggi [= source].

   Standard loading, sink = 16mA dan source = - 400 mA

   Loading rules: pick driver - pick load è fanout = max

number of TTL emitters that can be reliably driven Contoh dari F.Mayoritas 

  A=1,B=0,C=1 maka A.-B.C=1 

• A.B+B.-C=1, untuk A=1 dan B=0 atau B=1 dan C=0

  

• A.B.C=1 (Z1)

   A.-B.C=1 (Z2)

   A.B.-C=1 (Z3)

   A.B.C=1 (Z4)

   Jadi M=1(benar) jika salah satu dari Z1..Z4 adalah 1 (benar)

   M=-A.B.C+A.-B.C+A.B.-C+A.B.C Implementasi Fungsi Boolean

  1. Tulis Tabel Kebenaran dari Fungsi tsb 2.

  Sediakan Inverter (Gerbang NOT) untuk menghasilkan komplemen tiap input

  3. Gambar Gerbang AND dengan sebuah Bit 1 pada kolom hasil 4.

  Hubungkan Gerbang AND ke input yang sesuai Step 1, Tabel Kebenaran M=Fungsi(ABC)

  3 

  3 var, jadi 2 =16, buat tabel dengan 3 var dan 16 kemungkinan

A B C M

  0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

Step 2, Inverter dan komplemennya M=F(ABC)

  1

  A B C -A -B -C A B

• A
• B

  2 Komplemen Inverter A,B dan C

Step 3, Gambar gerbang AND M=F(ABC)

  A B C -A -B -C A

• A

  1

  4

  5 B

• B

  2

  6 Step 4, Hubungkan input yang sesuai dengan gerbang AND M=F(ABC)

  Kemungkinan kombinasi dari A B C -A -B -C

  Hasil Inverter adalah –ABC,A-BC, A

  AB-C dan ABC

• A

  1

• ABC

  4 A-BC

  5 B

• B

  2 AB-C

  6

  

Step 5, Masukan Output gerbang AND ke

Sebuah Gerbang OR

M=F(ABC)

  A M

  B C -A -B -C A B

• A
• B

  1

• ABC A-BC AB-C

  2

  4

  5

  6

  Rangkaian TK F.Mayoritas M=f(ABC) IMPLEMENTASI Fungsi Boolean (lanj.) 

  Menggunakan gerbang NAND dan NOR, sesuai prosedur tadi, sehingga membentuk gerbang NOT,OR dan AND

   Ganti gerbang multi input dengan rangkaian ekuivalen yang memiliki 2 input.

   Misal A+B+C+D, menjadi (A+B)+(C+D) dengan 3 OR 2 input

  

Terakhir gerbang NOT,OR dan AND di ganti dengan

rangkaian sbb :

IMPLEMENTASI Fungsi Boolean (lanj.)

• A
• A

  A B A A

  AB A B AB

  Gerbang NAND Gerbang NOR 1 var di NAN dan di NOR

  = NOT 2 var di NAND= AND 2 var di NOR= OR Ekuivalensi Rangkaian 

  Ide Jumlah gerbang semakin sedikit cost semakin murah A B C AB AC AB+AC

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

Rangkaiannya

  A B C AB AC AB+AC

  A A(B+C) Hukum Aljabar Boolean

Nama Bentuk AND Bentuk OR

  Identitas

  1A=A 0+A=A Pembatalan

  0A=0 1+A=1 Idempoten AA=A A+A=A Inversi A-A=0 A+-A=1 Komutatif AB=BA A+B=B+A Asosiatif (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+ (B+C) Distributif A+BC=(AB)+(AC) A(B+C)=AB+AC Absorbsi A(A+B)=A A+AB=A

Alternatif gerbang NAND, NOR dan OR

• (AB) = (-A)+(-B) -(A+B) = (-A)(-B)

  (AB) = -((-A)+(-B)) (A+B) = -((-A)(-B))

  

3 Rangkaian menghitung XOR

dengan NAND dan NOR A B

• A
• B
• A

X

  1

  1

  1

  1

• B
• A Tabel XOR

  1

  1

  B A

  B A K-Map 

  Metoda yang diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh (1953).

   Penyederhanaan suatu ekspresi menjadi

sebuah minimal sum of products (MSP).

   N buah variabel akan mempunyai 2N

buah square, yang merepresentasikan

kombinasi minterm atau invers-nya.

   Cara lain simplifikasi ekspresi boolean berdasar truth table dan buat matriks

  K Map 

  Minimization Technique 

  Based on the Unifying Theorem: X + X' = 1 

  The expression to be minimized should generally be in sum-of-product form.

   The function is mapped onto the K-map by marking a 1 in those squares corresponding to the terms in the expression.

   The other squares may be filled with 0's. 

  

Pairs of 1's on the map which are adjacent are combined using the theorem Y(X+X') = Y where Y is any Boolean expression. Contoh

  Contoh

   Penyederhanaan, misal untuk 3 var: ¬A¬BC + ¬ABC = ¬AC·(¬B + B) = ¬AC · 1 = ¬AC

   Perluasan/pengembangan, misal untuk 3 var:

AB + ¬BC + AC = (AB · 1) + (¬B C · 1) + (AC · 1)

  = (AB · (¬C + C)) + (¬BC · (¬A + A)) + (AC · (¬B + B)) = (AB¬C + ABC) + (¬A¬BC + A¬BC)

• (A¬BC + ABC) = AB¬C + ABC + ¬A¬BC
• A¬BC = ¬A¬BC + A¬BC + AB¬C + ABC

   Pengelompokan:

   Pair, grup 2 buah bit 1 yang berdekatan.  Quad, grup 4 buah bit 1 yang berdekatan.  Octet, grup 8 buah bit 1 yang berdekatan. 

  Overlapping, memanipulasi pengelompokan bit 1 lebih dari satu kali.

   Rolling, misalkan 2 pair di dua sisi digabung penjadi quad.

   Don’t care, sebuah truth table mungkin menghasilkan output tak jelas.

   Pemahaman

   pair ~ grup 2 buah bit 1yang berdekatan, secara horisontal atau vertikal

   quad ~ grup 4 buah bit 1 yang berdekatan dalam pola segi-4 atau deret [horisontal/ vertikal]

   octet ~ grup 8 buah bit 1 yang berdekatan Contoh