Bab-4 Penyederhanaan Fungsi Boolean

  Ada dua macam bentuk kanonik: 1) Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2) Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

  Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm

  2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm

  

Setiap minterm/maxterm mengandung literal

lengkap

  Minterm Maxterm x y z Suku Lambang Suku Lambang

  1 x‘y z’ x’y z x y’z’ x y’z x y z’ x y z m

  6 M

  5 M

  4 M

  3 M

  2 M

  M

  7 x + y’+z x + y’+z’ x’+ y + z x’+ y + z’ x’+ y’+ z x’+ y’+ z’

  6 m

  5 m

  4 m

  3 m

  2 m

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 M

  M M

  1 m x + y + z x + y + z’ x + y’+z

  1 x’y’z’ x’y’z x‘y z’ m m

  7 aljabar dari tabel kebenaran yang diketahui dengan membentuk minterm/maxterm dari setiap kombinasinya. setiap kombinasinya. Untuk membentuk SOP, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 1.

  Untuk membentuk POS, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 0. bentuk kanonik SOP dan POS

SOP

  Kombinasi nilai-nilai peubah yang

menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah

001 001 100 100 111 111

  , , , dan , dan Fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah:

• + + f(x, y, z) = x’y’z xy’z’ xyz

  

Atau dengan menggunakan lambang (minterm),

∑ ∑

• + = ∑ 1 ,

  4 , + 7 ) f(x, y, z) = m m m ∑ (

  1

  4

  7

POS

  Kombinasi nilai-nilai peubah yang

menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000 ,

010 011 101 110 010 , , 011 , , 101 , dan , dan 110

Fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah

f(x, y, z) = (x + y + z )(x + y’+ z) (x + y’+ z’)

  (x’+ y + z’) (x’+ y’+ z) Atau dengan menggunakan lambang (maxterm) ∏ ∏

  = ∏ , 2 , 3 , 5 , 6 ) f(x, y, z) = M M M M M ∏(

  2

  3

  5

  6 dalam bentuk kanonik SOP dan POS

dalam bentuk kanonik SOP dan POS

dalam bentuk kanonik SOP dan POS

SOP atau POS dapat dilakukan dengan:

  Melengkapi literalnya ???? (Bahan diskusi kelompok) ???? (Bahan diskusi kelompok) Contoh:

  Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS!

  Cara 1 f(x, y, z) = x + y’z (a) SOP x = x(y + y’)

  Jadi, f(x, y, z) = x + y’z = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z x = x(y + y’)

  = xy + xy’ = xy (z + z’) + xy’(z + z’) = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ y’z = y’z (x + x’)

• xyz atau
• m
• m
• m
• m

  = xy’z + x’y’z xy’z + x’y’z

  = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’

  f(x, y, z) = m

  1

  4

  5

  6

  7 = Σ (1,4,5,6,7)

  (b) POS f(x, y, z) = x + y’z

  = (x + y’)(x + z) (Hk Distributif) Jadi, f(x,y,z)= (x +y’+ z)( x +y’+ z’)

  (x + y + z) (x + y’ + z) = (x +y+ z)(x +y’ + z) (Hk Distributif) x + y’ = x + y’ + zz’

  = (x + y’ + z)(x + y’ + z’) x + z = x + z + yy’

  = (x + y + z)(x + y’ + z) = (x +y+ z)(x +y’ + z) (x + y’ + z’) atau f(x, y, z) = M M

  2 M

  3 = ∏(0, 2, 3)

Cara 2

  Dikusikan secara berkelompok cara lain yang dapat digunakan untuk menyetakan fungsi

boolean yang diketahui ke dalam bentuk SOP dan boolean yang diketahui ke dalam bentuk SOP dan

POS Presentasikan!!!!

  ’adalah fungsi komplemen dari f,

• m + m

  f ’(x, y, z) = Σ (0, 2, 3) = m

  2

  3 Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita

  dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

  2

  3

  = m ’ . m ’ . m ’

  2

  3

  = (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’ = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’) = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’) = M M M

  2

  3

  = ∏ (0,2,3) Jadi, f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) = ∏ (0,2,3).

  Kesimpulan: m ’ = M

  j j mengandung literal yang lengkap. Contohnya,

  f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz

  (bentuk baku SOP)

  f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’)

  (bentuk baku POS) dilakukan dengan 3 cara:

  Secara aljabar Menggunakan Peta Karnaugh Menggunakan Peta Karnaugh Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

  Pada materi ini akan dipelajari penyederhanaan fungsi boolean dengan menggunakan peta karnaugh

  Fungsi Boolean Ditemukan oleh Maurice Karnaugh tahun 1953 1953 Diagram atau peta yang terbentuk dari kotak- kotak yang bersisian Setiap kotak merepresentasikan minterm Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm-mintermya berbeda 1 buah literal

  Peta Kanaugh 3 variabel

  Karnaugh

  Peta Karnaugh nya 1.

  2.

  !""# $ % & ' ()**+,-)*.+) ./0+. ./0+. +)* ,(12323+)

  4 /0+.5./0+. +)* ,(12(,1+)*+) 63+)**+7 2(,+*+3 ./0+.5./0+. +)* ,(12323+)4 _{%(18+03.+) ,+8 + +)* %(18+03.+) ,+8 + +)* 5 ./9/ 6+) ./9/ 4 :+63 8+239) + +6+9+8 2+0- ./9/ +6+9+8 ./9/ 5} +)*.+) + 2+ + 6+9+

  %(18+03.+) ,+8 + +)* _{0- ./9/ +6+9+8 ./9/ 5 +)*.+) + 2+ + 6+9+ 2+ +6+9+8} 6+) ./9/ 4 :+63 8+239) +

  !()0-.9+8 % & % : 2(6( 3.3+) 2(83)**+ ();+.-7 2(,+) +.5,+) +.) + +)*.+5 +7333 ) + 8+1-2 2(7(103 < 6+) 2(0(1-2) +4

  :+63 =

  

36+. ,/9(8 .+1()+ 2( -+ _{3)0(1 2-6+8 63./ ,3)+23.+) 4} Tentukan bentuk sederhana dari fungsi boolean yang

merepresentasikan tabel Kebenaran dalam bentuk SOP dan

POS x y z f(x,y,z)

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Bentuk Baku SOP: Kelompokkan 1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

• f(x,y,z) = x’z xz’

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  f(x,y,z) = ( x+z )( x’+z’ )

  

Tentukan bentuk SOP dan POS yang paling sederhana dengan

peta karnaugh pada latihan soal sebelumnya!

  1.

  2.

  ! " #$$ % !

  & ' ( ) w '

  yang paling sederhana dengan peta karnaugh

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  X’Y’Z’ Y Z W’XY WX’Y w '

  yang paling sederhana dengan peta karnaugh

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 w '

  yang paling sederhana dengan peta karnaugh

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 a. F(w,x,y,z) = wx’ + wxy’z’ + wxyz’ + x’z’

  b. F(w,x,y,z) = ∑ (2, 3, 4, 5, 6, 7 , 9 , 11)