04. Analisis Sistem Kendali #2.PDF (300Kb)

  Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi ♦ § Sistem Orde-3 :

  2 C ( s ) ω P n ( ζ 1 )

  = < <

  2

2 R ( s )

  ( s 2 ζω s ω )( s p ) n n

  Respons unit stepnya: − ζω t

  n e

  2

  2 c ( t ) 1 βζ ( β 2 ) cos 1 ζ ω t

  = − − −

  2

  { βζ ( β −

  2 )

• n

  1

  βζ [ ζ ( β

  2 ) 1 ] e

  −

• 2 − pt

  2 sin 1 ζ ω t ( t )

  − − ≥ }

  n

  2

  2

  βζ ( β −

  2 )

  1 1 ζ

  −

  dengan: p

  β =

  ζω

  n Mengingat:

  2

  2

  2

  2

  βζ ( β

  2 ) 1 ζ ( β 1 ) ( 1 ζ )

  − = − − > + +

• pt maka suku yang mengandung e selalu negatif .

  ___________________________________________________________________________

  Respons Transient Sistem Orde Tinggi: Fungsi alih loop tertutup:

  C ( s ) G ( s )

  =

1 G ( s ) H ( s )

• R ( s )

  Secara umum:

  p ( s ) n ( s ) G ( s ) ; H ( s )

  = =

  q ( s ) d ( s )

  Diperoleh:

  C ( s ) p ( s ) d ( s )

  =

• R ( s ) q ( s ) d ( s ) p ( s ) n ( s )

  m m

  −

  1 b s b s b s b

  L

  1 m − 1 m ( m n )

  = ≤

  n n −

  1 a s a s a s a

  1 L n − 1 n

  Dengan menghitung pole-pole dan zero-zero nya, diperoleh:

• C ( s ) K ( s z )( s z ) ( s z )

  1

  2 L m

  =

  R ( s ) ( s p )( s p ) ( s p ) L

  1 2 n

  

Untuk pole-pole yang berbeda, diperoleh tanggapan unit stepnya:

  n a a i

  C s ) =

• (

  ∑

• s s p

  i = 1 i

• Pole dan zero yang berdekatan akan saling melemahkan pengaruhnya.

• Pole yang sangat jauh dikiri bidang s memiliki pengaruh yang

  kecil pada tanggapan waktu alih.

  Bila sistem memiliki pole nyata dan kompleks sekawan, maka :

___________________________________________________________________________ m K ( s z

• )

  i

  ∏

  i

  1

  =

  C ( s )

  =

  q r

  2

  2 s ( s p ) ( s 2 ζ ω s ω ) j k k k

  ∏ ∏

  j 1 k

  1

  = =

___________________________________________________________________________ Bila semua pole-polenya berbeda, maka:

  2 q r a b ( s ζ ω ) c ω 1 ζ a j

• −

  k k k k k k C ( s )

  = + +

  2

  ∑ ∑

  s s p s 2 ζ ω s ω j 1 j k

• 2

  1

  = = k k k Dalam domain waktu :

  q r

  − −

  pjt ζ k ω kt

  2 c ( t ) a a e b e cos ω 1 ζ t

  = − + +

  j k k k

  ∑ ∑

  j 1 k

  1

  = =

  r

  2

  − ζ ω

  c e sin ω 1 ζ t ( t )

• k kt

  − ≥

  k k k

  ∑

  k

  1

  = Kurva tanggapan orde tinggi : gabungan dari sejumlah kurva eksponensial dan kurva sinusoidal teredam:

• Pole-pole loop tertutup menentukan tipe tanggapan waktu alih.

• Zero-zero loop tertutup menentukan bentuk tanggapannya.

  

___________________________________________________________________________

  Pole-pole Loop Tertutup Dominan: ♦

• Orde tinggi seringkali didekati dengan orde-2 untuk memudahkan analisis.
• Pendekatan ini dapat dilakukan bila ada sepasang pole dominan terhadap pole-ple lainnya.
• Suatu pole A disebut dominan terhadap pole B bila

  perbandingan bagian real nya minimal 1 : 5 dan tak ada zero

  didekatnya.
• Pole loop tertutup dominan seringkali muncul dalam bentuk pasangan kompleks sekawan.

  Pole P dominan terhadap P bila :

  2

  2 σ

  1

  1

  ≤ σ

  5

  2

  

___________________________________________________________________________

  Kestabilan Sistem ♦

• Semua pole loop tertutup harus berada disebelah kiri sumbu

  imajiner.

• Pole-pole pada sumbu imajiner membuat sistem berosilasi

  dengan amplitudo tetap, sehingga harus dihindari.

• Kestabilan sistem tak dipengaruhi oleh input, tetapi oleh

  sifatnya sendiri.

• Semua pole loop tertutup berada disebelah kiri bidang s belum

  menjamin karakteristik transient yang memuaskan.

• Bila pole dominan terlalu dekat dengan sumbu imajiner,

  timbul osilasi berlebihan atau tanggapannya menjadi lambat.

  

___________________________________________________________________________

  ANALI SI S GALAT KEADAAN TUNAK o

  Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak § untuk jenis input tertentu..

  Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step, § mungkin memiliki galat untuk input ramp.

  Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka) § sistem ybs.

  Klasifikasi Sistem Kendali ♦

  Sistem kendali dapat dikelompokkan terhadap § kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola, dst.

  Input sebenarnya pada sistem seringkali merupakan § kombinasi input-input tersebut.

  Besarnya galat terhadap setiap jenis input tersebut § merupakan indikator kebaikan (goodness) sistem tersebut.

  

___________________________________________________________________________

  Bentuk umum fungsi alih loop terbuka:

  K ( T s 1 )( T s 1 ) ( T s 1 )

  L a b m

  G ( s ) H ( s )

  =

  N s ( T s 1 )( T s 1 ) ( T s 1 )

• + + +

  1

2 L p § Ada N buah pole loop terbuka di titik asal pada bidang s.

  § Sistem diatas disebut bertipe N ( N=0, 1, 2 ). § Tipe sistem berbeda dengan orde sistem ! § Bila tipe sistem bertambah, maka ketelitiannya meningkat pula. § Kenaikan tipe sistem akan menimbulkan masalah kestabilan sehingga perlu kompromi antara kestabilan dan ketelitian keadaan tunak. § Tipe maksimum sistem umumnya 2.

  

___________________________________________________________________________

• =

• = − =
• =
• = = =

  Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan, percepatan, dst.

  § Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya. §

  Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat statik.

  → → ∞ → §

  ) lim s ( sE lim ) t ( e lim e s s t ss

  1 ) s ( sR

  ) s ( H ) s ( G

  Galat keadaan tunak:

  1 ) s ( E

  1

  ) s ( R ) s ( H ) s ( G

  Diperoleh :

  1 ) s ( R ) s ( E

  ) s ( H ) s ( C

  1 ) s ( R

  1

  ) s ( H ) s ( G

  dan :

  ) s ( R ) s ( C

  1 ) s ( G

  ) s ( H ) s ( G

  Fungsi alih loop tertutup :

  

___________________________________________________________________________

Galat Keadaan Tunak

  § Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu, dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap waktu.

  Konstanta Galat Statik ♦

  s

  1 e lim

  =

  ss

1 G ( s ) H ( s ) s

• s →

  1

  =

• 1 G ( ) H ( )

  Konstanta galat posisi statik:

  K lim G ( s ) H ( s ) G ( ) H ( )

  = =

  p s →

  Sehingga galat keadaan tunak :

  1 e

  =

1 K

• ss

  p

  Untuk sistem tipe 0:

  K ( T s 1 )( T s 1 )

  L a b

  K lim K

  

= =

  p s → ( T s

  1 ) ( T s 1 )

  1

  2 L

  Untuk sistem tipe 1 atau lebih:

  K ( T s 1 )( T s 1 )

  L a b

  K lim ( N 1 ) p = = ∞ ≥

  N s

  →

  s ( T s 1 ) ( T s 1 )

  L

  1

  2 Galat Keadaan Tunak untuk I nput Unit Step:

  1 e

  

= untuk sistem tipe 0

  1 K e ss = untuk sistem tipe ≥

• ss

  1

___________________________________________________________________________

• =
• =

  2

  2

  1 b a s v

  =

  →

  L L

  Untuk sistem tipe 2 atau lebih :

  ) ( 2 N

  ) T 1 s )(

  T 1 s ( s T 1 s )(

  T 1 s ( sK lim k

  1 N b a s v

  T 1 s )( T 1 s (

  ≥ ∞ =

  →

  L L

  ∞ = = υ

  K

  1 e ss

  for type 0 systems

  K

  1 e ss

  = = υ for type 1 systems

  T 1 s )( T 1 s ( sK lim k

  K )

  K

  Untuk sistem tipe 1 :

  1 ) s ( H ) s ( G

  1 s lim e s

  2 s ss

  → → =

  Konstanta galat kecepatan statik :

  ) s ( H ) s ( sG lim k s →

  = υ

  Sehingga galat keadaan tunak : υ

  1 e ss

  ) s ( H ) s ( sG

  = Untuk sistem tipe 0 :

  ) T 1 s )(

  T 1 s ( T 1 s )(

  T 1 s ( sK lim k

  2

  1 b a s v

  =

  →

  L L

  1 lim s

• =
• =

1 K

  

___________________________________________________________________________

Galat Keadaan Tunak untuk I nput Unit Ramp:

  1 e = = for type 2 or higher systems ss

  K

  υ

___________________________________________________________________________

  

___________________________________________________________________________

§ Pengertian galat kecepatan pada K v menunjukkan galat

posisi untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan.

  § Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada keadaan tunak.

  § Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak.

  § Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp tanpa menimbulkan galat pada keadaan tunak. I nput unit parabola/ akselerasi:

  2 t r ( t ) t

  = for ≥

  2 t

  = for < Galat keadaan tunaknya:

  s

  1 e lim

  =

  3 s →

1 G ( s ) H ( s ) s

• ss

  1

  =

  2 lim s G ( s ) H ( s ) s

  → Konstanta galat percepatan statik:

  2 K = lim s G ( s ) H ( s ) a s

  → Sehingga galat keadaan tunak :

  1 e = ss

  K a

  

___________________________________________________________________________

  Konstanta Galat Percepatan Statik : For a type 0 system,

  2 s K ( T s 1 )( T s 1 )

  L a b

  K lim

  

= =

  a s

  →

  ( T s 1 )( T s

  1 )

  1

  2 L

  For a type 1 system,

  2 s K ( T s 1 )( T s

  1 ) a b L

  K lim

  

= =

  a s → s ( T s 1 )( T s 1 )

  1

  2 L

  For a type 2 system,

  2 s K ( T s 1 )( T s 1 )

  a b L K lim K

  

= =

  a

  2 s → s ( T s 1 )( T s 1 )

  L

  1

  2 For a type 3 or higher system,

  2 s K ( T s 1 )( T s 1 )

  L a b

  K lim ( N 3 )

  = = ∞ ≥

  a N s

  →

  s ( T s 1 )( T s

  1 )

  1

  2 L

  Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola:

  e

  = ∞ for type 0 and type 1 systems

  ss

  1 e

  = for type 2 systems

  ss K e

  = for type 3 or higher systems

  ss

  

___________________________________________________________________________

  

___________________________________________________________________________

§ Pengertian galat percepatan pada K a menunjukkan galat posisi untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan.

  § Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola pada keadaan tunak.

  § Sistem tipe 2 mampu mengikuti input parabola, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak.

• = − =

  1 ) s ( R

  ) lim dt t ( e s

• =

  Untuk input unit step : υ

  K

  1 ) s ( H ) s ( sG

  1 lim s

  1 ) s ( H ) s ( G

  1 ) lim dt t ( e s s

  1

  = =    

   

  → → ∞

  ∫ = steady-state actuating error in unit-ramp response Dengan demikian :

  ssr ) e dt t ( e

  = ∫

  ∞ dengan : e(t) = galat untuk tanggapan unit step e ssr

  ) s ( H ) s ( G

   

  

→

∞ ∫

  ) s ( E lim dt ) t ( e dt ) t ( e lim s st s

  

___________________________________________________________________________

♦

  

Hubungan antara I ntegral Galat pada I nput Step

dan Galat Keadaan Tunak pada Tanggapan Ramp.

  Definisikan:

  ) s ( E dt ) t ( e )] t ( e [ L st

  = ∈ = ∫

  ∞ − Maka:

  → ∞ ∞ − →

  Sehingga:    

  = = ∈

∫ ∫

  Ingat:

  ) s ( H ) s ( G

  1

  1 ) s ( R

  ) s ( C ) s ( H

  1 ) s ( R ) s ( E

• =

  = galat keadaan tunak untuk tanggapan unit ramp

  = 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali. § Bila e ssr

  K

  Hal ini menunjukkan bahwa sistem dengan = ∞ akan muncul

  v minimal sekali overshoot bila diberi input step.

  

___________________________________________________________________________

  ANALI SI S KEPEKAAN o

  § Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen penyusunannya merupakan ukuran ketergantungan karakteristiknya terhadap komponen tersebut.

  change in T ( s ) d In T ( s ) T

  S ( s ) ,

  = =

  K d In K ( s ) change in K ( s )

  dengan:

  T ( s ) C ( s ) / R ( s )

  = Definisi kepekaan lain:

  dT ( s ) / T ( s ) T

  S ( s )

  =

  K dK ( s ) / K ( s )

  

§ Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan

dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s) yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s).

  § Definisi diatas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil.

  § Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi.

  

§ Sistem ideal memiliki kepekaan nol terhadap setiap parameter.

  

___________________________________________________________________________

  Pandang sistem kendali sbb: Fungsi alih loop tertutup:

  C ( s ) K G ( s )

  1 T ( s )

  = =

  1 K G ( s )

• R ( s )

  2

  dengan: K : fungsi alih transducer input

  1 K : fungsi alih tranducer balikan

  2 G(s): gabungan fungsi alih amplifier, rangkaian stabilisator, motor dan roda gigi pada lintasan maju.

  

___________________________________________________________________________

  Kepekaan Sistem terhadap K : ♦

  1 T dT ( s ) / T ( s ) K dT ( s )

  1 S

  = =

  K

  1

  dK / K T ( s ) dK

  1

  1

  1

  dengan: dT ( s ) G ( s ) T ( s ) = =

1 K G ( s ) K

  1

• dK

  1

  1 Sehingga: T K T ( s )

  1 S ( s )

  1 = =

  K

  1 T ( s ) K

  1

  langsung berpengaruh § Setiap perubahan karakteristik pada K 1 pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. harus memiliki karakteristik

  1 § Elemen yang digunakan untuk K presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

  Kepekaan Sistem terhadap K : ♦

  2 T dT ( s ) / T ( s ) K dT ( s )

  2 S ( s ) K = =

  2

  dK / K T ( s ) dK

  2

  2

  2

  dengan:

  2

  2

  2 K G ( s ) K G ( s )

  dT ( s ) − −

  1

  1

  

= =

  2

  2

  dK [

1 K G ( s )] K [

  1 K G ( s )]

  2

  2

  1

  2 Sehingga:

  

___________________________________________________________________________

  2

  2 K K G ( s ) K G ( s ) T − −

  2

  1

  2 S ( s ) K = =

  2

  2 T ( s ) K [

  1 K G ( s )]

  1 K G ( s )

  1

  2

  2

  

___________________________________________________________________________

  Untuk nilai frekuensi dengan K G(s)>>1, maka:

2 T

  S ( s )

  1 = −

  K

  2

  langsung berpengaruh § Setiap perubahan karaktersitik pada K 2 pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. harus memiliki karakteristik § Elemen yang digunakan untuk K

  2 presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

  

§ Tanda minus menunjukkan arah perubahan karakteristik

komponen dan sistem berlawanan.

  Kepekaan Sistem terhadap G(s): ♦ dT ( s ) / T ( s ) G ( s ) dT ( s )

  T

  S ( s )

= =

  G ( s )

  dG ( s ) / G ( s ) T ( s ) dG ( s ) dengan:

  1 K G ( s )) K K G ( s ) K K −

• dT ( s ) (

  2

  1

  1

  2

  1

  = =

  2

  2

  dG ( s ) [

  1 K G ( s )] [

  1 K G ( s )]

  2

  2 Sehingga:

  

G ( s ) K

  1 T −

  1 S ( s ) = = G ( s )

  2 T ( s ) [

1 K G ( s )]

  1 K G ( s )

  2

  2

  § Agar kepekaan sistem terhadap komponen G(s) kecil, perlu dirancang agar K G(s) sebesar-besarnya, tetapi tak perlu 2 presisi.

  

___________________________________________________________________________

  § Kepekaan sistem tergantung pada frekuensi, sehingga sistem

  

peka atau tidak terhadap G(s) hanya pada cakupan frekuensi

tertentu saja.

  

___________________________________________________________________________