S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)

  S1- MATEMATIKA I BAHAN 5 

BARISAN ATAU URUTAN (SEQUENCES) DAN LIMITNYA

  

DERET (SERIES)

  

Bahan 5.1.

  

URUTAN (SEQUENCES)

DAN

LIMITNYA

A. DEFINISI

  1 , u 2 , u 3 , u 4 , ... dan seterusnya Contoh : 5 terms pertama dari sequences berikut ini :  f(n) =

           n

     ,

    

  1   

  2

  1

  4

  1

  8

  1

  16

  ,

      

  1

     

      

  1   

  2

  1

  4

  1

  8

  1 ...

  2

  1

  32

  16

  1 ,

  3 , ! ) 1 !

  Soal latihan : Tulis 5 terms pertama dari fungsi Tulis fungsi sequence

      ^{ } dimana 0 ! = 1; 1 ! = 1; n ! = 1.2.3.4…. n.

        

  1 x x x x x n x n n

  2

  1

  

3

  5

  7

  9

  1 2 ( ) 1 (

  5

,

!

  1

  7 , !

  9 , !

   f(n) = !

     

    

  1   

  2

  1

  4

  1

  8

  2

  2

  17

  2 

  2 , , 1 2 )

  3

  

2

, ,

  

5

  3

  3

  3

  n n  f(n) =

   

    

    

  1

  1     

  3

  2

  1

  5

  3 ,

  8

  5 ,

  11

  7 ,

  14

  9 ,

  1 (

      n n

  

 Suatu barisan atau urutan (a sequence) adalah suatu fungsi dari suatu

variabel, atau bilangan yaitu merupakan set dari bilangan, dengan urutan dan aturan yang pasti dan tetap. Jadi a sequence dengan notasi f(n) atau u n mempunyai bilangan yang berurutan secara teratur atas dasar aturan yang pasti dan tetap, dimana setiap bilangan u n pada sequence disebut a term: f(n) = u n = u

    

  4

  1 ,

  2

  1

  4

  1

  8

  ,

  n ⁿ  f(n) =

      ^

    

  2 ) 1 ( ¹

   f(n) = 10 .

  1 2 ... 6 . 4 .

  2

  1 ,

  2

  1 , 4 .

  2

  1 , 6 . 4 .

  2

  1 , 8 . 6 . 4 .

  2

  8 . 6 . 4 .

  1 sequences di bawah ini dari sequences di bawah ini 1. f(n) =

  ?

  1 , 4 .

  ? 1 ) 1 (

  2

  1 

    

    

    ⁿ

  1. 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, … 2. 1, −1/2, 1/3, −1/4, 1/5, … 3. 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, … 4.

  . . . , 8 . 6 . 4 .

  2 7 .

  5 . 3 .

  2 3 .

  n n n _n 5. f(n) =

  1 ,

  2

  1 5.

  1/2, −4/9, 9/28, −16/65, …  Definite dan infinite sequences  A definite sequence mempunyai term terakhir, misal : U n = f(n) = 2 + 5(n − 1) = 5n − 3 , dimana n = 1, 2, …, 7, sehingga : U n = f(n) = 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32  An infinite sequence tidak mempunyai term akhir, misal : U n

  = f(n) = 1/(2n − 1) = 5n − 3 , dimana n = 1, 2, 3, …., sehingga : U n = f(n) = 1, 1/3, 1/5, 1/7, ....

  Pada kedua contoh squences di atas, terdapat urutan dan aturan yang pasti dan tetap.

  ) ( lim bilangan suatu k u n n

    

notasi di atas menyatakan bahwa suatu bilangan k adalah limit dari an

infinite sequence u

  1 , u 2 , u 3 ,....

  

Lmit dari sequence itu diperoleh (limit exists), apabila untuk semua

bilangan bulat (integers) n > N (bilangan positif), maka | u n − k | < ε yaitu

selisih antara setiap term u n dari sequence terhadap angka limit semuanya

lebih kecil dari angka positif ε.

   

      ^

  2

     

  1

  1 

    

    

  

  n 2. f(n) =

  ?

  1

  3

  1 ) 1 ( ¹

    

    

     ^

  n ⁿ 3. f(n) =

  ?

  1

  2

  2  

        n n

  4. f(n)=

  ? ) 2 )(

  1 ( ) 1 ( ¹

     

B. LIMIT OF A SEQUENCE

  

Jadi suatu sequence mempunyai atau diperoleh (exists) limit k apabila

term dari sequence secara berurutan dekat dan semakin dekat ke angka k.

Sequence yang mempunyai atau diperoleh limit (limit exists), disebut

sequence yang menuju atau berhenti pada suatu angka atau titik (a

convergent sequence).

Sedangkan sequence yang tidak mempunyai limit merupakan sequence yang

tidak menuju atau menjauh dari limit yaitu suatu angka atau titik (a

divergent sequence).  Contoh 1 : u 

  3 n lim u = 3 + 1/n = (3n + 1)/n = 4, 7/2, 10/3, …, maka n n  

   Contoh 2 :

  3

  3 n

  1 

  u n  lim u = dan dan buktinya : n

  4 n  

  4 n

  5 

  Harus ditunjukkan bahwa untuk semua bilangan riil n > N (suatu bilangan) :

  3 u _{n   }

  



dimana adalah bilangan yang sangat

  4 kecil dan positif ( > 0 ) sehingga :

  3 n 

  1 3 

  19   

   4 n

  5

  4 4 ( 4 n 5 )  

  maka untuk :

  19

  4 ( 4 n  5 )

  1

   

   berarti

  4 ( 4 n

  5  )

  19  berarti :

  1

  19

  19   4 n

  5 n

  5      

  maka → n > N

  4

  4

  4 

    

  dengan memilih :

  1

  19

  3

   

  u  

   5 n   

  N = maka

  4

  4

  4   

  sehingga untuk semua n > N, maka :

  3 u n  lim

  4 n  

   Contoh 3 : Infinity a n   lim n

  1   berarti untuk semua n >N (bilangan positif) maka a n > M (bilangan positif).

  a   n lim n   berarti untuk semua n >N (bilangan positif) maka a <− M n (bilangan positif).

   dan   Ingat, bukan bilangan, maka squence itu tidak convergent.

   Catatan : Apabila suatu sequence mempunyai atau diperoleh limit (limit exists), maka limit dimaksud adalah unik (unique).

Artinya : Limit exists berarti sequence convergent dari kiri dan

kanan ke suatu angka atau bilangan yang sama, yaitu :

u l u l

  

 

n

1 n

  1 lim lim n   n   dan , dimana l = l .

  1

  2 Bukti : Untuk setiap n > N (bilangan positif) dan bilangan kecil

   positif > 0, maka :

  

 

|u n −l 1 | < ½ dan |u n −l 2 | < ½ sehingga :

     |l −l | = |l −u + u −l | ≤ |l −u | + |u −l | < ½ +½ =

  1

  2 1 n n

  2 1 n n

  2   jadi : |l −l | < ½ dan untuk = 0, maka l = l

  1

  2 1 2.

   Catatan : Nested intervals ( a b )   n n lim n

    disebut nested intervals pada himpunan interval (a set of intervals) [a ,b ] dimana n = 1, 2, 3, … n n

  Nested intervals biasanya dikaitkan dengan the Weierstrass-Bolzano theorem yang menyatakan bahwa setiap bounded infinite set

mempunyai paling tidak satu titik limit (at least one limit point).

 Catatan : Cauchy’s convergence criterion Kireteria ini menyatakan bahwa sequence u n adalah convergent sequence, jika :

   |u p − u q | < untuk p & q > N (nilangan)

   dan > 0  Soal latihan, buktikan fungsi sequence di bawah ini convergent atau divergent : n c

    p lim x x 

  1 lim 1. 5. apabila n   n n  

  2.

    n n a lim

        x x x x

  C. TEORI UNTUK LIMIT SEQUENCE (LIMITS OF SEQUENCES) Jika

  A a n n

     lim

dan

  B b n n

     lim

  , maka : 1.

     

  ) ( lim n n n b a

     n n a lim

  B A b n n

      lim 2.

     

  ) ( lim n n n b a 

  B A b n n

  3

  

  D. BOUNDED AND MONOTONIC SEQUENCES Untuk sequence {u n } disebut :  Bounded above : apabila sequence u n

    ^{ }   lim lim

  A a n p p p ^{n n}

      ) ( lim lim dimana p = bilangan riil 6.

  A a a  

  B 5. p p n n p n n

  ;

      lim 3.

  = B A

   _{ } n n n b a lim n n n n b a _{   } lim lim

      lim 4.

    B A b n n

  ) . ( lim n n n b a . lim n n a

    

  1 lim

  2

  10 .

  1

  3

  5 10 .

  2

  1 lim

    

    n n n 3.

      

  3 lim 1 2n n 4.

      

  )

  2 1 ( lim n n 6.

  2

  2

  3

  2

  3 2 (

  2

  4

  )

    x x x x x 8.

      

  1 lim

  2

  3

  1 lim

  2

  4

  3

  1

  2

      _ x x x 7.

  ≤ M (angka konstan yang bebas dari n) dan n = 1, 2, 3, ... (bilangan bulat positif) serta M sebagai upper bound. Bounded below, apabila sequence u n ≥ M.  Bounded : apabila sequence m ≤ u n ≤ M dan sequence sering ditunjukkan dengan |u n | ≤ P.

   Monotonic increasing : apabila u n+1

  1  

  4

  1 ,

  3

  1 ,

  2

  1

    ^ n n

  5

  Yes No No Yes (0) 0,6, 0,66, 0,666, …,   

      n

  10

  1

  1

  3

  −1, +2, −3, +4, −5, …, (−1) n n No No No No

  1 ,

  ) 1 ( ., . . ,

  ≥ u n dan monotonic strictly increasing jika u n+1

  7

  > u n .

  Monotonic decreasing dengan tanda ≤ dan monotonic strictly decreasing dengan tanda <.  Contoh :  u n = 1, 1,1, 1,11, 1,111, ... adalah bounded, monotonic increasing dan bahkan stricly increasing.

   u n = 1, −1, 1, −1, 1, ... adalah bounded, tapi tidak monotonic increasing atau decreasing.

   u n = −1, −1.5, −2, −2,5, −3, ... adalah not bounded, bounded above, monotonic decreasing.

   Soal latihan :  Buktikan

  2

  3

  2  

  , … Yes No No No ) 1 (

  

  n n u _n

  :  Monotonic increasing  Bounded, serta bounded above dan bounded below  Punya limit

   Jelaskan jawaban soal berikut ini Sequence Bounded Monotonic

  Increasing Monotonic Decreasing Limit

  Exists 2, 1,9, 1,9, 1,7, …, 10 )

  1 ( 2   n No No Yes No 1, 1, 1, 1, …, (1) n-1

2 Yes Yes No Yes (2/3)

  

Bahan 5.2.

  

SERIES

A. DEFINISI

  

Suatu deret (series) adalah sequence yang mempunyai term berurutan atas

dasar aturan yang pasti dan tetap serta merupakan perjumlahan (sum). Perbandingan sequence dan series : Sequence : f(n) = u n = u

  1 , u

2 , u

3 , u 4 , ... dan seterusnya kemudian bentuk sequence baru Sequence baru : S = S , S , S , S , ... dan seterusnya n

  1

  2

  3

  

4

dimana : S 1 = u

  1 S 2 = u 1 + u

  2 S 3 = u 1 + u 2 + u

  3 S 4 = u 1 + u 2 + u

3 + u

  4 ... dan seterusnya sehingga menjadi sequence baru menjadi series :

  N u n

  S n = u 1 + u 2 + u

3 + u

4 + … + dan seterusnya =  n 

  1 N u

    n

untuk N , maka S n = merupakan infinite series dan

  



n 

  1 finite series jika N = bilangan tertentu

  S S  n lim serta jika n diperoleh (exists), maka disebut a

    

convergent series dengan limit sebesar S,

bila tidak exists disebut a divergent series.

B. CONTOH

   Contoh 1 : N u

  S = u + u + u + u + … + dan seterusnya = n n

  1

  2

  3

  4  n _

  1 N   n 

  1

  2

ar

  = a + ar + ar + ... =  n _

  1 n a ( 1  r )

  = ( 1  r )

  Bukti :

  2

  3

  4 N=∞ S n = a + ar + ar + ar + ar + ... + ar

  2

  3

  4 N N+1 r S n = ar + ar + ar + ar + ...+ ar + ar −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− -/-

  (N+1)=∞ S (1 − r) = a − ar n _ a (

  1 r ) 

  Maka S n =

  1 r 

  merupakan convergent series atau menuju dan mencapai suatu  S n a r limit yaitu bilangan , jika <1 :

  1 r  _

  S  a ( 1  ) a n a (

  1 r ) 

  lim  x    =

  1 r  1 r

  1  r

  

   S n merupakan divergent series atau tidak menuju dan mencapai suatu a r limit yaitu bilangan , jika > 1 :

  1 r  _

  S  n a (

  1 r ) a (

  1   )

  

  lim  x   =  , jadi limit tidak diperoleh

  

  1 r

  1  r

  

  (does not exists)  Contoh 2 :

Untuk setiap a convergennt series, maka term ke N menuju bilangan 0.

Bukti : (S = u + u + … + u u ) − (S = u + u + u ) = u n

  1 2 n-1 + n n-1

  1 2 n-1 n u S S

     n n n 

  1 lim lim lim maka x x x S − S = 0

            Contoh 3 : _n

  1   1 e

  2 . 71828 ...   

   

  lim _{n    n} dan buktinya :

    Apabila n adalah bilangan bulat positif, atas dasar teori binomial, maka : _{2 3} n (  n

  1 ) n ( n  1 )( n  2 )

  n x x (1 + x) = 1 + nx + + . . . + +

  2 ! 3 ! ₃

  n ( n

  1 )( n 2 )...( n n 1 )    

  x

• n !

  dengan x = 1/n, maka : _n n ( n  1 ) 1 n ( n  1 )( n  2 )

  1

  1

  1   n

  1  u =   = 1 +

   

  N 2 ! 3 ! n n

  2 + + 3 + . . . n n

• n ( n 

  1 )( n  2 )...( n  n  1 )

  1

• + n

  n ! n  Contoh 4 : _x

  1   1   e  

  lim _{x    x} dan buktinya :

   

  

Apabila n = bilangan bulat (integer) terbesar (the largest) ≤ x,

maka : _{n n n  1}

  1

  1

  1      

  1

  1

  1      n ≤ x ≤ (n + 1), berarti :       n 1 x n

         n n _

  1

  1

  1

  1      

  1

  1 1           = e lim lim lim _{n n}

  1

  n 1 n    n    n    

      dan _{n  1 n}

  1

  1 1      

  1 

  1 1      = e

     

  lim lim _{n n     n   n} n

     

  maka _x

  1   1 e

     

  lim _{x   } x

   

C. SOAL LATIHAN

  

Buktikan series di bawah ini convergent dan cari nilai limitnya, atau

divergent.

_

  1

  1

  1

  1

1. S =

  n

• ... =  1 .

  3 3 .

  5 5 .

  7 _{n 1 (   } 2 n 1 )( 2 n 1 )

• 3
• ... =  ^ _1

  2

  n , convergent?

  5. S n =  ^ _{ }

   

  1

  3

  2

  3

   ^{1 3} )

  4 n n n n n

  , convergent?

  6. S n =  ^ _

   

  1 )

  1 3 ( 2 )

  1 ( n n n n x n

  1 2 ( ln _{n n}

  4. S n =  ^ _

  2. S n

   

  = n n

  N n  

   _1

  1 = (  

   

  

1

  2 (  

  2

  1 _{n n} divergent atau tidak mempunyai limit.

  3 ... + (  

  N N  1

  , mempunyai atau diperoleh limit 0 (nol), tetapi series S n divergent.

  3. S n = 1 +

  2

  1

  1

  , convergent?