PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DALAM MODEL MATEMATIKA SIRKULASI ALBUMIN RADIOAKTIF-I131 Oleh: ANDRIYANI – JURNAL JP3

  

PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DALAM

MODEL MATEMATIKA SIRKULASI ALBUMIN RADIOAKTIF-I 131

  Oleh: ANDRIYANI

  Dosen Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang

  

e-mail: andryaknis@gmail.com

Abstract. Systems of linear differential equations is the systems that contain

equations with many derivative unknown function. This systems usually using

mathematical models to get real problems solving in scientific and industry

applications, example albumin circulation problems. This problems about how

the circulation and the distribution of albumin in the body. To study the

albumin circulation process given an injection of radioactive albumin referred

to as I ¹³¹ -albumin with certain amount into the animal vascular where it in the

normal conditions is assumed to have a constant amount of albumin, so the

process of albumin circulation in the part of vascular and the extravascular,

albumin is being brokendown, and albumin is being excreted will be seen.

Than, made assumtion: since there is only once injection, no new

albumin/protein is being synthesized. The gaining (+) and the losing (-) some

of albumin that continously the each of those part and the velocity of change

with the use derivatives with respect to time (t). From those assumtions, we get

mathematical model of I ¹³¹ -radioactive albumin circulation on systems with

constant coefficients of homogen linear differential equations. This systems

consist n linear differential equations in n unknown value functions, for n ≥ 2.

  

Key words: Mathematical Model, Albumin Circulation, Systems of Linear Differential

Equations

  PENDAHULUAN

  Saat ini berbagai hukum maupun fenomena nyata banyak muncul secara matematis, salah satunya dalam bentuk persamaan diferensial. Penerapan dan generalisasi bentuk ini, menarik sebagian besar orang untuk mempelajari sistem n buah persamaan diferensial dengan n-fungsi yang tak diketahui nilainya. Umumnya penerapan sistem persamaan diferensial tersebut dilatarbelakangi oleh model real pada ilmu rekayasa yang ditransformasi menjadi bentuk model matematika. Masalah sirkulasi albumin adalah contoh model real di bidang kedokteran yang perlu ditransformasi menjadi suatu model matematika.

  Hasil penelitian elektroferensis menunjukkan bahwa plasma pada beberapa orang tertentu mengalami kekurangan atau ketidakseimbangan albumin, dan indikasi tersebut dapat dideteksi melalui sirkulasi albumin. Dari pendeteksian sirkulasi albumin dapat diketahui siklus dan pendistribusian albumin dalam tubuh termasuk jumlah albumin pada setiap bagiannya. Dengan menggunakan asumsi tertentu dan dasar-dasar dalam biokinetika, maka perlu dibuat model matematika yang sesuai dengan masalah tersebut khususnya untuk menerjemahkan dan menyelesaikan masalah sirkulasi albumin dalam bentuk matematika.

  Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis mengambil judul “Penerapan Sistem Persamaan Diferensial Linear Dalam Model Matematika Sirkulasi Albumin

  131

  Radioaktif-I ”. Adapun masalah yang muncul adalah bagaimana penerapan sistem

  131

  persamaan diferensial linear dalam model matematika sirkulasi albumin radioaktif-I ,

  131

  dan bagaimana solusi model matematika sirkulasi albumin radioaktif-I dalam sistem persamaan diferensial linear tersebut. Mengingat ruang lingkup masalah yang luas,

  131

  masalah sirkulasi albumin radioaktif-I yang digunakan dalam tulisan ini hanya dibatasi pada sirkulasi sederhana albumin. Selain itu, solusi model matematikanya juga dibatasi pada penggunaan metode matriks dengan nilai eigen real dan berbeda untuk memperoleh jumlah zat radioaktif di dalam maupun luar pembuluh, zat radioaktif yang mengurai dan yang dikeluarkan.

  TINJAUAN PUSTAKA Sistem Persamaan Diferensial Linear

  Bentuk dari sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan n buah fungsi tak diketahui nilainya dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks tunggal yang lebih sederhana x'(t) = A(t)x(t)+f(t) dengan fungsi yang tak diketahui nilainya x(t)

  x (t ) f (t )   _{i dan f(t) i adalah vektor kolom; A(t)}

       a ( t ) ( i  1 , 2 ,..., n ) _ij adalah matriks n x n. A, x dan f merupakan fungsi dari t

    yang kontinyu pada suatu interval I.

f t )

  Sistem dikatakan homogen jika (  , dalam hal lain sistem disebut tak homogen. Jika semua elemen dari A adalah konstanta, maka sistem dikatakan mempunyai koefisien konstanta dan matriks A dinamakan matriks konstanta untuk sistem tersebut.

  Suatu solusi eksplisit persamaan x'(t) = A(t)x(t)+f(t) pada interval terbuka I adalah

  x (t ) 

  fungsi vektor kolom x(t) i , sehingga komponen-komponen fungsi x memenuhi

   

  sistem persamaan tersebut dan terdefinisi dalam interval I (Edwards and Penney, 2000: 292-294).

  Teorema: x , x ,....., x _{1 2 n}

  Misalkan adalah n buah solusi dari sistem persamaan diferensial

  x , x ,....., x _{1 2 n}

  linear homogen berbentuk x’(t)=Ax(t) pada interval terbuka I. Solusi

  W x , x ,....., x ; t 

   ^{1 2 n } adalah bebas linear pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap t pada suatu interval I (Finizio/Ladas, 1988: 69).

  x , x ,...., x _{1 2 n}

  Misalkan A adalah matriks n x n dan adalah n buah solusi yang bebas linear pada interval terbuka I dari x’(t)=Ax(t), maka x(t)

  c , c ,....., c c x ( t ) c x ( t ) ..... c x ( t ) ^{1 2 n}

      _{1 1 2 2 n n dengan konstanta, disebut solusi}

  umum pada interval I dari x’(t) = A x(t) (McCann, 1982: 249).

  Selanjutnya menurut Finizio/Ladas (1988: 244-245), jika terdapat suatu solusi y(x) dari persamaan diferensial …… _{n n  1}

  …… f ( x )  a ( x ) y ( x )  a ( x ) y ( x )  ..........  a ( x ) y '  a ( x ) y  _{1 n  1 n}

  a x b  

  yang memenuhi syarat pada titik akhir dari interval , sebagai contoh

  y ( a ) A y ( b ) B  

  dan dengan A dan B dua buah konstanta, maka syarat yang

  a x b   diberikan pada titik akhir (atau titik batas) dari interval disebut syarat batas.

  Persamaan diferensial di atas bersama dengan syarat batasnya merupakan suatu masalah

  

nilai batas (MNB) yang digunakan untuk menentukan konstanta sebarang dalam solusi

umum.

  Sirkulasi Albumin

  Protein merupakan pembentuk bagian utama unsur padat dalam plasma dengan konsentrasi total 7,0 sampai 7,5 gr/dL. Sebenarnya protein plasma terdiri

  

  dari campuran yang sangat kompleks sehingga dengan salting-out method, protein plasma dapat dipisahkan menjadi tiga kelompok utama yaitu: albumin, globulin, dan

  fibrinogen (Murray, 1997: 728-729).

  Secara kuantitatif protein terpenting dalam plasma adalah albumin yang berfungsi membentuk tekanan osmotik koloid darah sehingga mencegah plasma keluar dari kapiler, sebagai pembawa substansi lipofilik seperti asam lemak bebas,beberapa hormon steroid, vitamin dan ion kalsium serta banyak obat-obatan. Bahkan menurut Mayes (1990: 39), sekitar 40% albumin terdapat dalam plasma dan 60% lainnya dalam ruang ekstraseluler. Albumin mempunyai bentuk elips, yang berarti protein ini tidak akan banyak meningkatkan viskositas plasma sebagaimana yang dilakukan oleh molekul berbentuk memanjang seperti fibrinogen. Dengan kata lain, albumin merupakan kontributor terbesar untuk tekanan osmotik koloid intravaskuler yang menentukan pola transformasi kimia dalam sel, khususnya peran dalam fungsi transport dan penyimpanan (Guyton, 1983: 388-389).

  Menurut Murray (1997: 730-732), selain memiliki kemampuan untuk mengikat berbagai macam ligand dan air, albumin juga dapat berikatan dengan sejumlah obat maupun zat radioaktif yang mempunyai implikasi farmakologis penting. Salah satu zat radioaktif yang berikatan dengan albumin yaitu zat

  131

  radioaktif-I . Zat radioaktif ini merupakan unsur non logam dengan nomor massa 131 dan memiliki kecenderungan untuk mencapai keadaan stabil dengan cara mengalami peluruhan, tanpa dipengaruhi oleh keadaan kelilingnya (berlangsung

  131

  spontan). Biasanya radioaktif-I yang disuntikkan melalui pembuluh vena digunakan untuk pengobatan hipertiroid dan perunut untuk mencari kemungkinan penentuan lintasan biosintesis serta kecepatan pertukarannya di dalam plasma. Zat radioaktif ini secara kovalen menyatu dengan residu-tirosin dalam protein atau albumin sehingga aktivitas spesifiknya dapat ditentukan. Seperti halnya albumin

  131

  yang memiliki usia paruh, zat radioaktif-I juga mempunyai waktu tertentu saat berada dalam tubuh yang disebut umur paruh efektif, yaitu  8 hari.

  Menurut Poedjiadi (1994:297-298), protein yang terdapat pada makanan dicerna dan diabsorpsi dalam lambung maupun usus menjadi asam-asam amino, sedangkan sebagian dibawa oleh darah ke hati. Pada saat berikutnya, protein tersebut mengalami perubahan-perubahan tertentu dengan kecepatan yang berbeda, termasuk dalam hal ini adalah albumin. Setelah diubah menjadi asam-asam amino, maka dengan proses absorpsi melalui dinding usus, asam amino tersebut sampai ke dalam

  Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, sebagian albumin yang dibawa oleh darah untuk diedarkan ke dalam jaringan mengalami perubahan-perubahan tertentu. Perubahan tersebut antara lain pengubahan albumin menjadi asam-asam amino yang lebih khusus, selanjutnya mengalami beberapa kali proses pemecahan/penguraian yang merupakan pelepasan gugus amino, yaitu transminasi dan deaminasi.

  Pada transminasi ini terjadi pemindahan gugus amino dari satu asam amino ke asam amino lain, sedangkan pada proses deaminasi terjadi pelepasan gugus amino

• dalam bentuk NH

  . Dari proses pemecahan/penguraian tersebut, hasil pemecahan

  4

  asam amino digunakan untuk biosintesis dan memenuhi kebutuhan protein pada jaringan, sedangkan kelebihan albumin yang telah menjadi pecahan asam amino akan diubah menjadi asam keto yang melalui siklus asam sitrat diubah menjadi urea. Tetapi pada beberapa orang tertentu, proses biosintesis dan pemenuhan kebutuhan protein tidak berjalan dengan baik, akibatnya orang tersebut mengalami

  analbuminemia.

  Adanya perubahan pada siklus biosintesis berbagai jenis protein plasma, khususnya albumin, mendorong munculnya banyak penelitian dengan menggunakan mediator zat radioaktif. Selanjutnya menurut Stryer (1994: 60-61), penelitian menggunakan radioaktif diawali dengan percobaan pemberian suatu protein radioaktif tertentu sebanyak dua kali suntikan pada kelinci dalam selang waktu 3 minggu. Ternyata penelitian tersebut masih belum dapat memberikan hasil yang maksimal, sehingga untuk memperkuat perkiraan penyelidikan kembali dilakukan berbagai

  131

  penelitian sejenis menggunakan protein murni yang terisolasi dengan zat radioaktif-I terhadap hewan.

  Pada keadaan normal hewan dianggap mempunyai jumlah albumin konstan, yang sebagian dari albumin ini terdapat di dalam sistem pembuluh (plasma) dari hewan dan sisanya terdapat di dalam cairan-cairan di luar pembuluh.

  Sebagian albumin disalurkan ke cairan-cairan di luar pembuluh (atau, berturut- turut ke plasma), dan sebagian albumin dipecah. Kemudian protein yang dikatabolisasikan ini diganti oleh protein yang baru dibuat. Tidak diketahui secara tepat lokasi terjadinya pemecahan albumin, dan karenanya dianggap sebagian pemecahan terjadi di dalam plasma dan sebagian lagi di dalam cairan-cairan di luar pembuluh sebelum akhirnya dikeluarkan, sedangkan protein yang baru dibuat masuk kembali ke sistem melalui plasma. Oleh karena itu, model kompartemen hasil penyelidikan tentang albumin di dalam plasma (dan di dalam cairan-cairan di luar pembuluh) yang berubah secara alami dapat digambarkan seperti berikut ini.

  Pembuatan albumin Laju proses

Laju reversibel

penyaluran

albumin

  

Di dalam pembuluh Di luar pembuluh

Laju proses Laju proses

pemecahan pemecahan

  ………… ………… Sketsa model kompartemen Dari sirkulasi albumin tersebut, muncul beberapa permasalahan yang lebih spesifik sehubungan dengan jumlah albumin radioaktif pada setiap bagian dari keseluruhan jumlah zat asal yang disuntikkan sesuai dengan proses sirkulasinya, misalnya berapa jumlah albumin radioaktif yang berada di dalam maupun di luar pembuluh? Berapa banyak albumin radioaktif yang memecah/mengurai karena proses pemecahan/penguraian serta ketidaktepatan lokasi pemecahan albumin? Serta, berapa banyak pula albumin yang dikeluarkan pada sirkulasi ini?

  PEMBAHASAN

  Model matematika sirkulasi albumin merupakan suatu tahap penyelesaian masalah real sebagai hasil pengamatan pada biokinetika dengan menggunakan teori maupun bahasa matematika.

  Untuk mempelajari proses sirkulasi albumin, maka dilakukan penyelidikan tentang penyebaran, pemecahan dan pembentukan albumin pada hewan yang dalam keadaan normal dianggap mempunyai jumlah albumin konstan. Oleh karena itu, beberapa ahli

  131

  mencoba memberi sebuah suntikan albumin radioaktif yang disebut sebagai albumin-I dalam jumlah tertentu pada pembuluh hewan. Akibatnya terjadi percampuran antara albumin dengan cairan pembuluh dan pada saat t sesudahnya terdapat sejumlah tertentu albumin radioaktif di dalam pembuluh (plasma) maupun sejumlah tertentu dalam cairan di luar pembuluh.

  Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, sebagian albumin disalurkan ke cairan- cairan di luar pembuluh (atau, berturut-turut ke plasma), dan sebagian albumin dipecah, tetapi protein yang telah dikatabolisasikan ini diganti oleh protein yang baru dibuat. Mengingat hanya dilakukan satu kali penyuntikan, maka tidak ada albumin (protein) baru yang terbentuk. Tidak diketahui secara lengkap dan tepat dimana pemecahan itu terjadi, karena itu diasumsikan sebagian pemecahan terjadi di dalam pembuluh dan sebagian

  131

  dalam cairan-cairan di luar pembuluh. Proses pemecahan albumin radioaktif-I ini dilakukan terus-menerus untuk selanjutnya produk pemecahannya dikeluarkan oleh hewan. Semua itu berlangsung terus secara alami sehingga untuk menentukan laju perubahannya harus digunakan turunan menurut waktu (t). Adapun model kompartemen

  

131

yang berkaitan dengan albumin radioaktif-I digambarkan seperti berikut ini. k

  2 q p q p

  Di luar pembuluh pembuluh k

  1 k k

  3

  4 r r Hasil pemecahan k

  5 s s Pengeluaran

  

Sketsa model kompartemen

sirkulasi albumin

  p , q , r

  dan s dalam sketsa menyatakan bagian-bagian dari keseluruhan jumlah asal yang disuntikkan. Misalkan p menyatakan jumlah albumin (gram) di dalam plasma, q menyatakan jumlah albumin (gram) pada cairan-cairan di luar pembuluh, r menyatakan jumlah albumin (gram) hasil pemecahan/ penguraian, dan s menyatakan jumlah albumin

  k , k ,. k , k k _{1 2 3 4 5}

  (gram) sebagai produk pemecahan yang dikeluarkan, sedangkan dan merupakan konstanta-konstanta yang berkaitan dengan laju terjadinya bermacam- macam proses pada sirkulasi albumin, dan konstanta-konstanta tersebut ditentukan secara eksperimen.

  k k _{1 dan 2 berkaitan dengan laju interaksi albumin dari pembuluh ke luar} k _{3 k 4}

  pembuluh ataupun sebaliknya. dan berkaitan dengan proses pemecahan,

  k ₅

  sedangkan . berkaitan dengan proses pengeluaran albumin. Perbandingan

  k , k ,. k k _{1 2 3 k 5}

  konstanta-konstanta dan ^{4 dengan adalah 1 : 2, karena albumin} yang mengalami proses pengeluaran merupakan albumin yang telah memecah menjadi asam amino dengan ukuran lebih kecil dari sebelumnya, selain itu adanya cairan-cairan tertentu pada proses interaksi dan pemecahan juga memperlambat laju interaksi sehingga dalam waktu t tertentu laju albumin terjadi dua kali lebih banyak dari konstanta-konstanta pada proses lainnya.

  Dari model kompartemen tersebut didapatkan beberapa persamaan laju perubahan

  p , q , r , s

  yang berupa turunan menurut waktu (t) karena adanya perolehan dan kehilangan yang dinyatakan dalam satuan gram/hari. Dengan adanya perolehan berarti

  

p , q , r

  jumlah pada masing-masing bagian dan s bertambah, sehingga setiap perolehan ditandai oleh berlakunya operasi penjumlahan (+), sedangkan dengan kehilangan berarti jumlah setiap bagian tersebut berkurang, sehingga kehilangan ditandai oleh berlakunya operasi pengurangan (-). Dari hal itu dihasilkan persamaan- persamaan yang secara sistematis dapat disusun sebagai berikut:

  dp  k q  ( k  k ) p _{2 1 3} dt dq

   k p  ( k  k ) q _{1 2 4} dt dr k p k q k r

     _{3 4 5} dt ds k r

   ₅ dt

  Persamaan-persamaan diferensial tersebut merupakan model matematika sirkulasi

  131

albumin radioaktif-I dalam sistem persamaan diferensial linear orde satu yang

p , q , r , s

  homogen dengan koefisien konstanta, dimana sebagai fungsi-fungsi yang tak diketahui nilainya.

  Dimisalkan bahwa konstanta-konstanta yang berkaitan dengan laju terjadinya

  k  k  . k  k  _{1 2 3 4} 1 k  ₅

  2

  berbagai proses sirkulasi albumin bernilai dan , maka persaman-persamaan diferensial di atas menjadi:

  dp   2 p  q dt dq

   p  2 q dt dr p q 2 r

     dt ds

  2 r  dt Sistem ini mempunyai syarat awal dan syarat akhir yang saling berkaitan.

  Diasumsikan albumin radioaktif mula-mula ada di dalam plasma, sehingga untuk t = 0 maka p = 1 dan q = r = s = 0. Setelah waktu tertentu ( mendekati tak terhingga)

  t  

  semua albumin radioaktif dikeluarkan, sehingga untuk maka p = q = r =0 dan s = 1. Syarat awal dan akhir ini digunakan untuk mencari penyelesaian sistem homogen yang ditentukan secara eksperimen.

  Selanjutnya, akan dicari berapa jumlah albumin pada setiap bagian

  p , q , r , s

  dari keseluruhan jumlah asal dengan mencari solusi sistem persamaan diferensial linear yang terdiri dari persamaan-persamaan diferensial dengan menggunakan metode matriks. Langkah 1: Menyusun sistem persamaan diferensial di atas dalam bentuk

  ' ( t ) A ( t )   

  persamaan matriks tunggal

  2 1 p         

  1 2 q d  

      

  (1)

  dt 

  1

1 

2   r      2 s     p , q , r , s

  Matriks koefisien A adalah matriks n x n dan θ fungsi dalam . Matriks koefisien pada persamaan matriks tunggal (1) adalah

  2

  1

  

 

1 

  2

 

A

    1

1 

2 

 

  2

 

  Langkah 2: Mencari persamaan karakteristik (P k ) dari persamaan matriks (1)

  1 1  2  

   2  

  A 

  I   

  (2)

  1

  1 2    2  

  Persamaan (2) ini diselesaikan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sehingga _{4 3 2}

   6  11  6  (3)    

  Untuk mencari akar-akar dari persamaan karakteristik (3), maka digunakan metode Horner untuk penyelesaiannya, sehingga diperoleh persamaan lain yang

  

  mengandung ( - k) yaitu

      1    2    3   Langkah 3: Menentukan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian Dari persamaan (4) didapatkan akar-akar karakteristik atau nilai-nilai eigen:

  , 1 , 2 ,

  3         ^{1  2  3  4}

  , dan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan

   

  nilai-nilai eigen yaitu: ¹

   

  untuk ¹

  2

1 u

    ^{1   }

     

  1

2 u

 ₂

     



  1

  1 2 u

      

₃

     

2 u ₄

     

u , u ,. u , u _{1 2 3 4} Selanjutnya, untuk mencari nilai dari maka digunakan operasi baris u

  elementer sampai matriks berbentuk eselon baris.Karena ^{4 dapat ditetapkan}

  

u

  1 

  dengan sebarang nilai, maka dimisalkan ^{4 . Jadi vektor eigen yang bersesuaian} dengan

        u

     _{1 adalah 1}    

  1  

  Dengan cara yang sama diperoleh vektor-vektor eigen untuk

  1

  1             1 

  1       1 , 2 ,

  3  ^{2    3    4   u , u , u}

_{2 }

_{3  4 }

  yaitu

  2

  1            

  4

  1        

  (t ) ' ( t ) A ( t )    

  Langkah 4: Mencari nilai-nilai dari sebagai solusi dari Dari vektor-vektor eigen yang telah ditemukan, dapat dicari nilai-nilai dari _{ t i}

  p , q , r , s (t ) ( t ) u e

   

  yang dalam hal ini  i i , dengan θ fungsi dalam dan i = 1,2,3,4.

      _{ 1 t }

_{1 t t}

        ( t ) p u e e e ,     

   ^{1 1}        

  

1

  1     _{ t} 1  e      t   

  1 _{ 2 t  2 t  t} e     ( t ) q u e e e ,

        ^{2 2} _{ t} 2     2 e      t

  4  4 e   

          _{ 3  t t  3}     _{2 t}    

  ( t ) r u e e e ,       ^{3 3} _{ 2 t} 1 e

          _{ 2 t} 1 e       _{ 3 t}

  1  e      ^{3 t }  

  1 _{ 4  t t  4}  e _{3 t }     ( t ) s u e e e .       _{4 4}    

            p , q , r , s

  ' ( t ) A ( t )    Nilai-nilai ini merupakan solusi dari sistem .

   (t )

  Langkah 5: Menguji kebebasan linear untuk memperoleh solusi dasar/basisnya Berdasarkan definisi, untuk mencari solusi umum dari sistem persamaan (1)

  p , q , r , s

  perlu dibuktikan bahwa keempat solusi adalah bebas linear yang berarti Wronskiannya ≠ 0. _{ t  3 t}

  e e _{ t  3 t} e e 

  W p , q , r , s ; t 

    _{ t  2 t}

  2 e e

_{ t }

_{2 t}

  1 4 e e   _{ 3 t  t}  e e  _{ t }  _{3 t}    (  1 ) e   e _{ 2 t  t  2 t}   e 2 e e _   _{6 t}

  2 e    W p , q , r , s ( t )

  Karena  untuk semua nilai t, maka hal ini menunjukkan bahwa

    (t )

  

  himpunan solusi dari fungsi adalah bebas linear. Dari definisi diketahui terdapat

  c , c , c , c _{1 2 3 4}

  konstanta tertentu , sehingga solusi umumnya yaitu: _{  t 3 t}

  p  c e  c e _{2   t 4 3 t} q  c e  c e _{2   t 4 2 t} r  2 c e  c e _{2  }

_t

₃

_{2 t} s  c  ₁

4 c e  c e

_{2 3} Langkah 6: Mencari solusi khususnya dengan menyubstitusikan syarat awal dan syarat akhir. t p 1 , q r s

       

  Dengan menggunakan syarat awal dan solusi umum di atas diperoleh:

  c c _{2  4 }

  1 c c _{2  4 }

  (5)

  2 c c _{2  3 } c _{1 } 4 c c _{2  3 }

   e

  Karena eksponen yang negatif  , syarat-syarat akhir p, q, r = 0 untuk t → ∞

  c , c , c , c _{1 2 3 4}

  dipenuhi tanpa ketentuan apapun dari konstanta . Dengan syarat _{ t  2 t}

  s  c  ₁ 4 c e  c e _{2 3}

  akhir s=1 bila t → ∞, maka dari persamaan didapatkan nilai

  1 c 4 c . c  ^{1  2  3 c}

  1 

  atau ^{1 , sehingga nilai konstanta-konstan pada persamaan}

  1 c  ₁ 1 , c  c  , c   _{2 4}

₃

  1

  (5) di atas menjadi . Jadi solusi khusus dari sistem

  2 ' ( t ) A ( t )

    

  homogen adalah

  1 _{ t }

  1 _{3 t} p e e

   

  2

  2

  1 _{ t }

  1

_{3 t}

q e e

   

  (6)

  2 _{ t  2 t}

  2 r e e

    _{ t  2 t} s

  1 2 e e   

  Selanjutnya persamaan-persamaan (6) dibentuk menjadi lebih sederhana yaitu: _{2 t 2 t}

  e 1 e

  1

  1     p , q , r 1 p q dan s 1 ( p q ) r .

             _{3 t 3 t t}   2 e 2 e e  

  Dari persamaan-persamaan pada solusi khusus di atas diketahui bahwa jumlah albumin radioaktif yang terdapat di dalam pembuluh (plasma) lebih banyak

  1   r 1 p q

        

  dibanding jumlah albumin yang berada di luar pembuluh (p > q). _t

  e  

  menunjukkan bahwa albumin radioaktif yang memecah sebanyak beberapa bagian dari keseluruhan jumlah albumin di dalam pembuluh dan di luar pembuluh.

  s 1 ( p q ) r

    menunjukkan bahwa albumin radioaktif yang dikeluarkan

  sebanyak jumlah keseluruhan albumin setelah dikurangi dengan albumin yang terdapat di dalam dan luar pembuluh serta albumin yang memecah. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pada keadaan normal hewan memiliki jumlah albumin yang konstan (mendekati jumlah yang tetap), sehingga jumlah albumin yang

  t 

  disuntikkan pada saat dengan jumlah albumin yang dikeluarkan pada saat

  t   hampir sama.

  Berdasarkan hasil perhitungan jumlah albumin radioaktif dalam proses

  t 

  sirkulasi di atas, jika albumin yang disuntikkan pada saat sampai t = 10 (hari) maka untuk jumlah albumin di dalam pembuluh semakin lama semakin berkurang dan pada hari ke-10 jumlah albumin tersebut mendekati nol atau dianggap habis. Sedangkan jumlah albumin di luar pembuluh semakin lama semakin berkurang dan pada hari ke-10 jumlah albumin tersebut mendekati nol atau dianggap habis. Selain itu dalam waktu t hari yang sama, jumlah albumin di luar pembuluh lebih kecil dibanding jumlah albumin di dalam pembuluh. Pada hari ke-10 jumlah albumin yang memecah/mengurai semakin lama semakin kecil atau dianggap habis. Jika diperhatikan, pada saat t yang sama jumlah albumin yang memecah tersebut lebih besar daripada jumlah albumin di luar pembuluh. Secara berbeda pada hari ke-10 jumlah albumin yang dikeluarkan semakin besarnya (mendekati 1), hal ini berarti jumlah albumin yang berada di

  KESIMPULAN 131

  Berdasarkan hasil pembahasan mengenai sirkulasi albumin radioaktif-I dan beberapa asumsi bahwa dari satu kali penyuntikan tersebut tidak terjadi pembentukan albumin (protein) baru, adanya perolehan (+) dan kehilangan (-) sejumlah albumin yang berturut-turut pada setiap bagian serta laju perubahan yang menggunakan turunan menurut waktu t, maka diperoleh persamaan-persamaan

  131

  diferensial untuk model matematika dari sirkulasi albumin radioaktif-I yang berupa sistem persamaan diferensial linear dengan koefisien konstanta:

  dp  k q  ( k  k ) p _{2 1 3} dt dq

   k p  ( k  k ) q _{1 2 4} dt dr k p k q k r

     _{3 4 5} dt ds k r

   ₅ dt

  Selanjutnya, dimisalkan sebarang nilai untuk konstanta-konstanta tersebut dengan

  k , k ,. k k _{1 2}

_{3 k}

₅

  perbandingan 1 : 2 untuk dan ^{4 dengan . Untuk mencari solusi}

  131

  model matematika dari sirkulasi albumin radioaktif-I di atas, maka digunakan metode matriks, sehingga diperoleh hasil _{2 t 2 t}

  e 1 e

  1

  1     p , q , r 1 p q dan s 1 ( p q ) r

           . Hal ini berarti,   _{3 t 3 t t}   2 e 2 e e  

  10  t 

  bahwa untuk t bergerak , semakin t mendekati 10, maka jumlah albumin di dalam pembuluh, di luar pembuluh dan yang memecah/mengurai semakin mendekati nol (habis). Selain itu pada saat t tertentu yang sama, jumlah albumin di dalam pembuluh lebih banyak dari jumlah albumin di luar pembuluh sedangkan jumlah albumin yang memecah sebanyak beberapa bagian dari keseluruhan jumlah albumin di dalam dan luar pembuluh. Hal itu berbanding terbalik dengan jumlah albumin yang dikeluarkan. Semakin t mendekati 10, maka jumlah albumin yang dikeluarkan semakin mendekati satu (hampir seluruh albumin yang disuntikkan dikeluarkan), dalam hal ini jumlah albumin yang dikeluarkan pada saat t tertentu sama dengan jumlah keseluruhan albumin setelah dikurangi dengan jumlah albumin yang terdapat di dalam dan luar pembuluh serta albumin yang memecah/mengurai.

  Edwards, CHenry and Penney, David. 2000. Differential Equations and Boundary Value Problems. New Jersey: Prentice-Hall. Finizio/Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.

  Terjemahan Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga. Guyton, Arthur C. 1983. Buku Teks Fisiologi Kedokteran. Terjemahan Adji Dharma. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.

  Mayes, P.A. 1990. Biokimia Harper. Terjemahan dr. Andri Hartono. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.

  New York: Harcourt Brace Jovanovich. Murray, Robert K, dkk. 1997. Biokimia Harper. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.

  Poedjiadi, Anna. 1994. Fisika Kedokteran. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC. Styer, Lubert. 1996. Biokimia. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.