REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI SISTEM LINIER DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 35 – 42
ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND
REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI
SISTEM LINIER DISKRIT
NOVITA ASWAN
Program Studi Magister Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
Abstrak. Diberikan sistem kontrol linier diskrit berikut x
(t + 1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t) n×n n×m p×n p×m
. Dalam sistem diatas, dimana A ∈ R , B ∈ R , C ∈ R dan D ∈ R n m x menyatakan vektor input (t) ∈ R menyatakan vektor keadaan (state), u(t) ∈ R p
. Dalam tulisan akan dikaji (kontrol), y(t) ∈ R menyatakan vektor output, dan t ∈ Z
masalah realisasi positif stabil asimtotik dari suatu fungsi transfer dengan pole riil posi-
tif untuk sistem SISO. Beberapa contoh disajikan untuk mengilustrasikan hasil utama
dalam tulisan ini.Kata Kunci : Sistem Linier Diskrit, Realisasi Positif, Realisasi Positif Stabil Asimtotik,
SISO
1. Pendahuluan Jika diberikan suatu sistem kontrol linier, maka dapat ditentukan fungsi transfer yang berkaitan dengan sistem tersebut. Fungsi transfer suatu sistem linier mere- presentasikan hubungan antara input dan output sistem tersebut. Akan tetapi, akan menjadi berbeda jika yang terjadi adalah sebaliknya. Jika diberikan suatu fungsi transfer, bagaimanakah bentuk matriks A, B, C dan D yang bersesuaian dengan sistem linier tersebut. Masalah inilah yang disebut realisasi. Menentukan realisasi dari suatu fungsi transfer bukan hal yang mudah, diantaranya pada sistem linier diskrit dengan Single Input dan Single Output (SISO).
2. Sistem Linier Diskrit Sistem linier diskrit ditulis sebagai berikut x (t + 1) = Ax(t) + Bu(t), y (t) = Cx(t) + Du(t), (2.1)
n×n n×m p×n p×m
. Dalam sistem (2.1), dimana A ∈ R , B ∈ R , C ∈ R dan D ∈ R
n m
x menyatakan vektor input
(t) ∈ R menyatakan vektor keadaan (state), u(t) ∈ R
p
- −
. Fungsi transfer dari (kontrol), y(t) ∈ R menyatakan vektor output, dan t ∈ Z
1
z B sistem (2.1) adalah T (z) = C[I n − A] + D. Novita Aswan n Definisi 2.1.
dan [2, 5] Sistem (2.1) dikatakan positif jika untuk setiap x(0) ∈ R +
p m n
. untuk setiap u(t) ∈ R , t ≥ 0, berlaku x(t) ∈ R dan y(t) ∈ R + + + Teorema 2.2.
[2, 5] Sistem (2.1) adalah positif jika dan hanya jika
n×n n×m p×n p×m A , B , C , D .
∈ R ∈ R ∈ R ∈ R + + + + Teorema 2.3. [5] Sistem positif (2.1) adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika
n×n
1 2 n mempunyai modulo yang
, z , . . . , z semua nilai eigen z
dari matriks A ∈ R + kurang dari 1, yaitu |z i | < 1 untuk i = 1, 2, . . . , n. Teorema 2.4.
[2, 5] Sistem positif (2.1) adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika semua koefisien dari polinomial p
n (z) = det[I n (z + 1) − A] n n−1
z z = z + a n−1 + . . . + a
1 + a (2.2)
> adalah positif, yaitu a i 0; i = 0, 1, . . . , n − 1. Untuk sistem dengan single input single output (SISO), fungsi transfer didefinisi- kan sebagai fungsi T (z) yang memenuhi hubungan
Y (z)
T (z) = , U (z) dimana Y (z) adalah transformasi-z dari sistem output dan U (z) adalah transformasi-z dari sistem input. Selanjutnya, dalam [6] dijelaskan bahwa suatu
p×m
T fungsi transfer T (z) dikatakan proper jika lim z→0 , dan (z) = K, K ∈ R dikatakan strictly proper jika K = 0.
3. Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Fungsi Transfer
Lema 3.1. [6] Matriks-matriks
− n×n n×m
1 A P , B , k = P A k k = P B k
∈ R ∈ R + + (3.1)
− p×n p×m
1 C P , D , k k = C k k = D k = 1, . . . , q.
∈ R ∈ R + +
p×m
(z) adalah realisasi positif stabil asimtotik dari fungsi transfer proper T (z) ∈ R +
p×m
jika dan hanya jika matriks untuk sebarang matriks monomial P ∈ R +
n×n n×m p×n p×m
A , B , C , D , k
k k k k = 1, . . . , q
∈ R ∈ R ∈ R ∈ R + + + + adalah realisasi positif stabil asimtotik dari T (z). Diberikan fungsi transfer proper berikut
n n−1
n b z z z (z) n + b n−1 + . . . + b
1 + b
T (z) = = (3.2)
n
d (z) z + a n−1 + . . . + a z + a
1
yang hanya memiliki pole riil positif dan tidak perlu berbeda, sebutlah α , α , . . . , α
1 2 n . Dari (3.2) diketahui
d
n (z) = (z − α
1 )(z − α
2 ) . . . (z − α n ) n n−1z z = z + a n−1 + . . . + a
1 + a
- α
- . . . + α
- α
- . . . + α
- . . . + α
- (−1)
- (−1)
- . . . + (−1)
- a n−1 z
- . . . + a
- a hanya memiliki akar riil positif yang memenuhi z k < 1 untuk k = 1, 2, . . . , n jika dan hanya jika semua koefisien polinomial
- a n−1 (z + 1)
- . . . + a
- ¯ a
- . . . + ¯ a
- ¯ a ,
1 1 0 . . . 0
, C
k dan D k berbentuk
A
1 =
α
0 α
, B
2 1 . . . 0 ..
.
.. .
.. . . . .
.. .
0 0 0 . . . α n
k
n×n
1
k = C k
∈ R
n×n
k = P B k
∈ R
n×1
C
P
= 1, 2 (3.6) untuk sebarang matriks monomial P ∈ R
−
1
∈ R
1× n
k = D k
∈ R
1×1
, B
= ..
−
c
. b
n−2 − a n−2
b
n − ˆ
a
n,n−2
n
c
b
n−1 − a n−1
b
n
, D
n ..
n,0
.
n − ˆ
1
, C
T
1
= b
− a b
a
a
20
c
2 − ˆ
a
30
c
3 − . . . − ˆ
1
P
1 = [b n ] (3.7)
. a
n
) − . . . − α
n−1
α
n
, , .. . = ..
= (−1)
(α31 + α
n
α
1
α
2
. . . α
4
2
Lema 3.2. [6] Jika polinomial p n (z) = z
n
Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit
dimana a
n−1
= −(α
1
2
), a
) − α
n−2
= −α
1
(α
2
3
n
n .
n
k = P A k
(3.4) dimana ¯ a
n
n−1
z
n−1
1
z
n−1 = n + a n−1
1 (z + 1) + a
, . . . , ¯ a
= 1 + a + a
1 + . . . + a n−1
adalah positif, yaitu ¯ a
k
> 0 untuk k = 0, 1, . . . , n − 1. (3.5) Teorema 3.4. [6] Terdapat realisasi positif stabil asimtotik
A
= z
n−1
1
˜ a hanya memiliki akar riil positif α k > 0, k = 1, 2, . . . , n maka ˜ a
˜ a n−1 z
n−1
2
˜ a n−2 z
n−2
n
n−k
n (z) = d n (z + 1) = (z + 1) n
> 0 untuk k = 1, 2, . . . , n. (3.3) Teorema 3.3.
[6] Polinomial d
n (z) = z n
n−1
1
z
¯ d
- , B
- ,
- , D
- , k
+
dengan A k
- adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika nilai-nilai eigennya, yaitu z k = α k , k = 1, 2, . . . , n hanya riil positif dan memenuhi syarat (3.4). Matriks D
- jika dan hanya jika b n ≥ 0. Fungsi transfer stricly proper berbentuk
- . . . + ¯b
- ¯b z
- a
- . . . + a
- , diperoleh
0 . . . z − α
.. .
.. . . . .
.. .
− α 2 −1 . . . .. .
− α 1 −1 0 . . . z
z
n
. . . c
1
= c
1
1 ] −
sp (z) = C 1 [I n
z − A
T
n×1
∈ R
1
.
..
1 =
Dengan mengasumsikan B
(3.10) dimana ¯b k = b k − a k b n untuk k = 0, 1, . . . , n − 1.
z + a ,
1
n−1
z
n
−
(z) .. . p n (z)
, (3.11)
n (z)
d
n (z)
p
2 (z) + . . . + c n
p
2
1 (z) + c
p
1
= c
2
1
(z) p
1
p
n
. . . c
1
c
n (z)
1 d
=
1
.
..
n−1
n
z
1
30 = α
, ˆ a
1
20 = −α
0, dimana ˆ a
1
T
C
n jika dan hanya jika
, . . . , α
2
, α
, (3.8) dari fungsi transfer (3.2) dengan pole riil positif α
α
1
2 = D
, D
1
2 = B T
, C
1
2 = C T
, B
1
2 = A T
atau A
Novita Aswan
1
2
1
Bukti. Matriks A
n−1
z
n−1
= ¯b
1
sp (z) = T (z) − D
T
1×1
T (z) = [b n ] ∈ R
z→0
= lim
1
1 ∈ R n×n
n,n−2 = −(α 1 + α 2 + α 3 + . . . + α n−1 ). (3.9)
ˆ a
ˆ a
2 ), . . . ,
α
1
31 = −(α
, . . . , ˆ a
n−1
. . . α
2
α
1
α
n,0 = (−1) n−1
1 B
Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit
dimana d n (z) = (z − α )(z − α ) . . . (z − α k )
1
2 n 1 n−1 2 n−2 n = z + (−1) ˜ a n−1 z + (−1) a ˜ n−2 z + . . . + (−1) ˜ a .
p
1 (z) = 1,
p a , a
2 (z) = z − α 1 = z + ˜ 20 dimana ˜ 20 = −α
1
p
3 (z) = (z − α 1 )(z − α 2 )
2
a z a , a a α , = z + ˜
31 + ˜ 30 dimana ˜ 31 = −(α 1 + α 2 ), ˜ 30 = α
1
2 .. ..
. = . p n (z) = (z − α )(z − α ) . . . (z − α n−1 )
1
2 n−1 n−2
= z + ˜ a n,n−2 z + . . . + ˜ a n,1 z + ˜ a n,0 , dimana a ˜ n,n−2 = −(α
1 + α 2 + . . . + α n−1 ), . . . , n−1
a α α . . . α .
˜ n,0 = (−1)
1
2 n−1Dengan membandingkan persamaan (3.10) dan (3.11) diperoleh c b ,
n = ¯b n−1 = b n−1 − a n−1 n
c a c b a c ,
n−1 = ¯b n−2 − ˜ n,n−2 n = b n−2 − a n−2 n − ˜ n,n−2 n
..(3.12) . c = ¯b − ˜ a c − ˜ a c − . . . − ˜ a c
1
20
2
30 3 n,0 n = b − a b n − ˜ a c − ˜ a c − . . . − ˜ a n,0 c n .
20
2
30
3 1× n
Dari persamaan (3.12) diperoleh bahwa C
1 jika dan hanya jika C
1
∈ R + dimana (3.9) terpenuhi. Dengan menggunakan kesamaan
T
T (z) = [T (z)]
T −
1 C z B
=
1 [I n − A 1 ] 1 + D
1 − T T
1 T
z B = C [I n − A ] + D
1
1
1
1 − T T
1 T
z C = B [I n − A ] + D
1
1
1
1 − 1 z B .
= C
2 [I n − A 2 ] 2 + D
2
diperoleh matriks-matriks (3.8). Berdasarkan Lema 3.1, matriks-matriks (3.6) adalah suatu realisasi positif stabil asimtotik untuk sebarang matriks monomial
n×n
P jika dan hanya jika (3.7) atau (3.8) adalah realisasi positif stabil asim- ∈ R + totik dari T (z).
4. Contoh Menentukan Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari
Sistem Linier Diskrit Tentukan realisasi dari fungsi transfer berikut.
3
2
0.1z + z + 2z + 3 T . (z) =
3
2
z Novita Aswan
Dari fungsi transfer T (z) di atas diketahui bahwa
3
2
d
3 (z) = z − 1.1z + 0.35z − 0.025,
2
= (z − 0.1)(z − z + 0.25), = (z − 0.1)(z − 0.5)(z − 0.5), dengan ˜ a = 1.1 > 0, ˜ a = 0.35 > 0 dan ˜ a = 0.025 > 0. Selanjutnya,
2
1
¯ d
3 (z) = d 3 (z + 1),
3
2
= (z + 1) − 1.1(z + 1) + 0.35(z + 1) − 0.025,
2
2
= (z + 1)(z + 2z + 1) − 1.1z − 2.2z − 1.1 + 0.35z + 0.35 − 0.025,
3
2
2
= z + 3z + 3z + 1 − 1.1z − 1.85z − 0.775,
3
2
= z + 1.9z + 1.15z + 0.225, sehingga semua koefisien dari ¯ d (z) adalah positif, yaitu ¯ a = 0.225 > 0, ¯ a =
3
1
1.15 > 0, ¯ a = 1.9 > 0 dan ¯ a = 1 > 0. Berikutnya, diperoleh
2
3
c b
3 = b 2 − a
2 3 = 1 + 0.11 = 1.11 > 0,
c b a c
2 = b 1 − a
1 3 − ˆ
31 3 = 2 − 0.035 + 1.11 = 3.075 > 0,
a dimana ˆ
31 = −(α 1 + α 2 ) = −(0.5 + 0.5) = −1 dan
c = b − a b − ˆ a c − ˆ a c
3
3
20
2
30
3
= 3 + 0.0025 + 1.5375 − 0.2775 = 4.2625 > 0, a a α dimana ˆ
2 = −α 1 = −0.5 dan ˆ 30 = α
1 2 = 0.25. Dengan demikian,
0.5 1
1 0 0.5 1
1
1
1
A = , B = , C = 4.2625 3.075 1.11 , D = [0.1].
0 0.1
1 Selanjutnya, matriks realisasi positif stabil asimtotik dari T (z) adalah
0.5 1
− −
1
1 A P , B , C , D 1 = P 0 0.5 1 1 = P 1 = 4.2625 3.075 1.11 P 1 = [0.1]
0 0.1
1 C
1 =
2 0 0
0 1 0 0 0 1
1
=
1 ,
1 = 4.2625 3.075 1.11
0.5 0 0 0 1 0 0 0 1
= 2.13125 3.075 1.11 , D 1 = [0.1]. Perhatikan bahwa
T (z) = C
1 [I
3
z − A
1 ] −
1 B 1 + D
1
= 2.13125 3.075 1.11 z
− 0.5 −2 z − 0.5 −1 z − 0.1
, B
0.5 2 0 0.5 −1 0 0.1
1
2 0 0
Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit
Misalkan terdapat P = 2 0 0
0 1 0 0 0 1 dengan P
−
1
=
0.5 0 0 0 1 0 0 0 1
. Maka, A
1 =
0 1 0 0 0 1
=
0.5 1 0 0.5 1 0 0.1
0.5 0 0 0 1 0 0 0 1
= 2 0 0
0 1 0 0 0 1
0.25 1 0 0.5 0 0 0.1
−
- [0.1] =
- 0.35z − 0.025
- [0.1] =
2
- 1.965z + 3.0025 + 0.1z
- 0.035z − 0.0025 z
- 0.35z − 0.025 =
- z
- 2z + 3 z
- 0.35z − 0.025 .
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhafzan, Bapak Mahdhivan Syafwan, Bapak Syafrizal Sy, Bapak Admi Nazra, dan Ibu Yanita yang telah mem- berikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik.
2
− 1.1z
3
2
3
0.1z
2
− 1.1z
3
− 0.11z
1
3
2
1.11z
− z + 0.25
2
2 z − 0.5 z
2.13125 3.075 1.11 ×
2
− 1.1z
3
1 z
5. Ucapan Terima Kasih
Novita Aswan
Daftar Pustaka [1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid 1. Erlangga,
Jakarta [2] Farina, L and Rinaldi, S. 2000. Positive Linear Systems. John Wiley and Sons,
New York [3] Kaczorek, T. 1991. Linear Control System. Vol.1. Research Studies Press, Eng- land [4] Kaczorek, T. 2002. Positive 1D and 2D Systems. Springer-Verlag, London [5] Kaczorek, T. 2012. Positive Stable Realizations of Discrete-time Linear System.
Buletin of the Polish Academy of Sciences, Vol. 60, No. 3 [6] Ogata, K. 1995. Discrete-Time Control Systems. Prentice Hall, New Jersey