BAB 3 PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier - Modul Siap UN Matematika SMA Program IPS
- y = p p p
y x y x f
x
, x , dan y adalah .... Pembahasan:
Menentukan titik potong:
7 2 y x y 5 x x
2 Sehingga: y 5 x 5 )
2 ( y 2 5 y
3 y
, titik potongnya (2 , 3) Titik Pojok
(x , y) Fungsi objektif
5 , 4 ) (
x
(5 , 0) ( 20 ) 5 ) 5 (
, 4 ) 5 ( f ....Nilai minimal (0 , 7) 35 )
7 ( ( 5 ) 4 )
( 7 , f (2 , 3) 23 )
3 ( 5 ) 2 ( 4 )
3 , 2 ( f
x y
3
1
, y 5
7 2 y
5 3,5 7 x + y = 5
y
2x+y = 7
5
(2 , 3)
x y x y
a b bx + ay = ab x
BAB 3
PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier Program linier adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum). B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel Contoh: Gambarlah grafik y 3 3
x
, x , dan
! Jawab:
5 , 4 ) ( yang memenuhi pertidaksamaan
y 3 3
x x y ( x , y )
1 ( 0 , 1 ) 3 ( 3 , 0 ) Titik uji (0,0): y x 3 3 0 + 3 (0) 3
0 3 Benar
Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis
y 3 3 x
Contoh: 1.
Nilai minimal dari
y x y x f
x+3y=3
2. Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daya angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah .... Pembahasan: Jika: banyak penumpang kelas bisnis = x banyak penumpang kelas ekonomi = y maka, model matematikanya:
x
tentang banyak penumpang : y 90 ... (1) jumlah penumpang paling banyak 90 orang tentang daya angkut bagasi : 12 x y 10 1 . 000 ... (2) maksimal bagasi menampung 1.000 kg disederhanakan menjadi
6 x y 5 500 syarat mutlak: x dan y
Grafik daerah penyelesaian:
y
Titik potong kedua garis:
x x
y 90 | x 5 5 y 5 450 →
100
6 x y 5 500 | x 1
6 x y 5 500
→
90
(50 , 40) x =
50 x
50 x y
90
x 500
90
( 50 ) y
90
6 x + y = 90 y
40 6x+5y = 500
Sehingga titik potong kedua garis tersebut (50 , 40)
Fungsi objektif Titik Pojok
f x y x y
( , ) 800 . 000 700 . 000 (x , y) 500 500 500
, f , 800 . 000 700 . 000 ( ) 66 . 666 . 667
6
6
6
(0 , 90)
f ,
90 800 . 000 ( ) 700 . 000 ( 90 ) 63 . 000 . 000 (50 , 40)
f
50 , 40 800 . 000 ( 50 ) 700 . 000 ( 40 ) 68 . 000 . 000 .... Pendapatan maksimal
Pembahasan Soal-soal: 1.
Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup menampung 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan harga Rp60.000,00 setiap pasang, sedangkan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal sebesar Rp3.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …. Pembahasan: Jika: banyak sepatu jenis I = x banyak sepatu jenis II = y maka, model matematikanya:
x y
tentang daya tampung : 40 ... (1) hanya cukup 40 berarti tentang modal : 60 . 000 x 80 . 000 y 3 . 000 . 000 ... (2) uang modal berarti disederhanakan menjadi
3 x y 4 150 syarat mutlak: x dan y
Jadi, yang benar pilihan C.
II III
IV V
6
2 3 ,
4 2 y x y x y x (E) 4.
Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimal dari fungsi objektif
y x y x f
6 , 5 ) ( adalah ....
x y
3
6
3 I
5
II III
Pembahasan: Karena daerah penyelesaiannya di bawah berarti sama-sama
x y
2
3
2
4
x y
4
6
5
5
. Jadi sistem pertidaksamaan atau model matematika yang benar adalah , ,
Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ….
x y
x
3
6
3 I
IV V
5 3x + 5y =15
6x + 3y =18 2x + y =6
x y
2
3
2
4 2x + 4y = 8
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier
5 3 y x , 6 2 y x , x , dan y adalah daerah I 3.
6
2
15
5
3
y x y x y x
ditunjukkan pada gambar di bawah ini dengan nomor daerah ….
Pembahasan: Untuk menentukan atau , kita lihat dari posisi daerah penyelesaiannya. Jika daerah penyelesaiannya di sebelah kiri atau bawah, maka . Sedangkan jika daerah penyelesaiannya di sebelah kanan atau atas, maka . Berarti daerah yang memenuhi:
15
- 2y = 4 3x + 2y = 6 2.
Pembahasan:
y
Titik potong: 2 x y 3 12 | x1 2 x y 3
12 →
5
x y
5 | x3 3 x y 3
15 →
(3 , 2)
4 = x
3 x
3 x
6
5
x
y
5 4x + 6y = 24
( 3 ) y
5 5x + 5y = 25
2x + 3y = 12
y x + y = 5
5
3
y
2 (3 , 2)
Titik Pojok Fungsi Objektif:
f ( x , y )
5 x 6 y (x , y) (5 , 0) f ( 5 , ) 5 ( 5 ) 6 ( )
25 (3 , 2) f
( 3 , 2 ) 5 ( 3 ) 6 ( 2 ) 15 12 27 .... Nilai maksimal (0 , 4) f ( , 4 ) 5 ( ) 6 ( 4 )
24 5. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m kain sutera.
Bahan kain katun dan kain sutera yang tersedia masing-masing adalah 70 m dan 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp25.000,00 per pakaian, sedangkan pakaian jenis II Rp50.000,00 per pakaian. Agar ia memperoleh laba sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II masing- masing dibuat sebanyak .... Pembahasan: Jika: banyak pakaian jenis I = x banyak pakaian jenis II = y maka, model matematikanya:
Pakaian Pakaian Tersedia Simbol
Jenis I (m) Jenis II (m) Kain katun
2
5 70 karena tersedia Kain sutera
4
3 84 karena tersedia Sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan/model matematika:
x
Kain katun: 2 y 5 70 .... (1) Kain sutera: 4 x y 3 84 .... (2) Banyak pakaian jenis I dan II tidak mungkin negatif, berarti:
x .... (3) y .... (4)
Grafik daerah penyelesaian:
y
Titik potong kedua garis: 2 x y 5 70 |x2 4 x y 10 140
→
x y x y
4
3 84 |x1 →
4
3
84 7 y
56
28 (15 , 8)
56
14
y x
7
21
35 2x + 5y = 70 y
8 4x + 3y = 84
x
2 y 5
70 2 x 5 ( 8 )
70
x 2 70
40 2 x
30
30 x
2
10
10
LATIHAN UN: 1.
Sebuah perusahaan sosis membuat dua jenis sosis, yaitu sosis A dan sosis B. Sosis A memerlukan 4 gram daging dan 10 gram tepung sagu. Sosis B memerlukan 2 gram daging dan 6 gram tepung sagu.
Tersedia 10 kg daging dan 20 kg tepung sagu. Jika dibuat x sosis A dan y sosis B, maka model matematika permasalahan tersebut adalah ....
A. , , 000 .
10
3 . 000 5 ,
10 y x y x y x B. , , 000 .
3 . 000 5 ,
. 000 14 ( ( 50 ) 000 . 25 )
5 2 y x y x y x C. , , 000 .
10
5 . 000 3 ,
5 2 y x y x y x D. , , 000 .
5 . 000 5 ,
3 . 000 5 ,
5 2
( 14 , f Laba terbesar Rp775.000,00 dengan membuat 15 pakaian jenis I dan 8 pakaian jenis II.
f (0 , 14) ) 700 000 .
20
Sehingga titik potong kedua garis tersebut (15 , 8)
I B.
A.
9 3 y x ; y 10 5 x ; x ; y ; R y x , adalah ....
2 y x y x y x 2. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksaman linier
5
15 x
Titik Pojok (x , y)
. 000 15 ( 25 ) 8 , 15 (
Fungsi objektif
y x y x f 000 .
. 50 000 , 25 ) (
(21 , 0) ) 525 000 . ( 000 .
50 ) . 000 21 (
, 25 ) 21 ( f (15 , 8)
. 000 775 000 . 400 000 . 375 ) . 000 8 ( 50 )
y x y x y x E. , , 000 .
II C.
III D.
x y
IV V
II III
9 I
2
3
V 3.
Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada grafik di bawah ini adalah ….
10
5
6
4
1
x y
- –1
6 5 y x y x y x C. , 4 ,
30
6 5 y x y x y x D. , 4 ,
1 ,
30
6 5 y x y x y x E. , 4 ,
1 ,
30
6 5 y x y x y x
30
B. , 4 , 1 ,
5 y x y x y x
6
30
A. , 4 , 1 ,
1 ,
Z x y
4. 3 4 yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan Nilai maksimum fungsi 2 x y
30 , x 2 y 24 , x , y adalah ....
A.
45 B.
48 C.
58 D.
59 E.
60 5. Pada grafik di bawah ini, daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaiaan program linier.
y
6
3
x
3
6 Nilai maksimum dari fungsi objektif f ( x , y ) 3 x 2 y pada grafik di atas adalah ….
A.
9 B.
10 C.
12 D.
15 E.
18 6. Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daya angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah ....
A.
Rp45.000.000,00 B. Rp57.000.000,00 C. Rp68.000.000,00 D.
Rp72.000.000,00 E. Rp80.000.000,00 7.
Seorang pedagang sepatu memiliki almari sepatu yang akan diisi sepatu laki-laki dan sepatu perempuan. Almari tersebut hanya memuat paling banyak 50 pasang sepatu. Harga sepasang sepatu laki-laki Rp200.000,00 dan sepasang sepatu perempuan Rp250.000,00. Modal yang dimiliki pedagang tersebut Rp12.000.000,00. Keuntungan setiap penjualan sepasang sepatu laki-laki dan sepasang sepatu perempuan masing-masing adalah Rp19.000,00 dan Rp20.000,00. Keuntungan akan maksimal jika sepatu perempuan terjual sebanyak ....
A.
10 B.
24 C.
40 D.
48 E.
50