Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”

  

HIMPUNAN

ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC

AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI

  Himpunan kosong & semesta Himpunan

  

Jenis-jenis Himpunan berhingga & tak berhingga

Himpunan bagian (subset) himpunan

  Himpunan saling lepas Himpunan Kuasa (Power Set) Himpunan Komplemen Operasi Gabungan (+)

  Operasi Pada Operasi Selisih (-)

  Himpunan Operasi Irisan () Operasi Kartesian Operasi Komplemen Enumerasi

  Cara Menuliskan Simbol Baku

  Himpunan Notasi Pembentuk Himpunan Diagram Ven DEFINISI HIMPUNAN  Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu.

   Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”  Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.

   Contoh: {1, 2, 3} merupakan himpunan, tetapi {1, 1, 3} bukan merupakan himpunan. Kenapa?

CARA PENYAJIAN HIMPUNAN

1. Enumerasi Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.

  Contoh:

  a) C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger}

  b) F = {facebook, Instagram, twitter, path, linkedIn, snapchat}

  c) W = {R, SAS, Tableau, SPSS, Minitab, Matlab}

  d) D = { {} }

  2. Simbol-simbol baku

  Simbol baku untuk himpunan antara lain:

  P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

3. Notasi Pembentuk Himpunan

  Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x} Contoh:

  a) A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15, maka:

  

{x | x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau

   {x | x < 15, x ϵ N}

  b) {x | x adalah himpunan dosen di Prodi Statistika UII}

4. Diagram Venn

   Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak.

   Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan.  Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan.

 Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa

  Indonesia HIMPUNAN BERHINGGA Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set).

  

  Kardinalitas

   Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.  Notasi: |A| atau n(A)

  HIMPUNAN KUASA (POWER SET)  Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A).

   Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)).

   Rumus kardinal dari P(A) adalah:

  ( ) n A

n P A

  ( ( )) 2  HIMPUNAN KOSONG  Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong.

   Dinotasikan sebagai  atau {}.

   Contoh:

  a) A = {x | x adalah bilangan prima genap kurang dari 2}; n(A) = 0

  2

  b) B = {x | x < 0, x ϵ N}; n(B) = 0

  HIMPUNAN SEMESTA  Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan universal (U).

   Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a  S.

   Contoh: Misalkan U = {Singapore, Zurich, Hong Kong, Geneva, Paris, London, New York}, maka Zurich  U.

HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET)

   Sebuah himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B.

   Dalam hal ini dikatakan bahwa B superset dari A

   Notasi: ⊆

   Diagram Venn: ^U _{A B}

   Contoh himpunan bagian:

  a) {1,2,3} {1,2,3,4,5}  b) {4,5,6} {4,5,6}  c) N    Z R C

  

 TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

1) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A  A).

2) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (   A).

  3) Jika A  B dan B  C, maka A  C

     A dan A  A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

   Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah improper subset dari A.

   A  B berbeda dengan A  B

  i. A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B. Demikian A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

  Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3}

  ii. A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

HIMPUNAN SALING LEPAS (DISJOINT)

   Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

   Notasi: A // B  Contoh:

  2

  2

  2

  a) { |

  8 12 0} dan { | 4 0} tidak saling lepas

  b) { |

  8 12 0} dan {1,3,5} saling lepas A x x x B x x A x x x C

              ^{U A B}

OPERASI HIMPUNAN 1.

  Irisan (intersection)

 Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan dari

himpunan A dan B.

   Notasi: ∩ = | ∈ ∈

   Contoh:

a) Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka:

  ∩ = {2, 4, 6}

  b) Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka:

2. Gabungan (Union)

   Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya.

   Notasi: ∪ = | ∈ ∈

   Contoh:

a) Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P

   Q = {a, b, c,d, e, f }

  b) ∪ =

3. Komplemen (complement)

  

 Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemen A.

   Notasi: = ҧ = | ∈ , ∉

   Contoh:

  a) Misalkan : U = {1, 2, 3, …, 10} . Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka A c = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.

  b) = =

  c) =

4. Selisih

   Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.

   Notasi: − = | , ∉

   Contoh: {1, 3, 5}

• – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

5. Perkalian Kartesian (cartesian product)

  

 Cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua

pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

  ( , )| , A B a b a A b B

      

  Notasi:  

  ( ,1),( ,2),( ,3),( ,1),( ,2),( ,3) A B   a a a b b b

   

   Contoh: Misalkan: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}, maka:

   Catatan untuk perkalian kartesian:

  1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n(A ×B) = n(A).n(B)

  2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)  (b, a).

  3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong.

  4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 

6. Beda setangkup (Symmetric Difference)

  Notasi:  A   B A   B A  B

      A B B A

         

  Contoh: 

  A B {3,4,5,6} Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5}, maka:  

TEOREMA ALJABAR HIMPUNAN

  Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut:

  1. Hukum asosiatif (associative law) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)

  2. Hukum komutatif (commutative law) A  B = B  A A  B = B  A A  B = B  A

  3. Hukum distributif (distributive law) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

  4. Hukum identitas (identity law)

  A   = A A

   S = A

  

5. Hukum komplemen (complement law)

  A  A

  c

  = S A

   A

  c

  = 

  6. Hukum idempoten (idempotent law)

  A  A = A

  A  A = A

  7. Hukum ikatan (bound law)

  A  S = S A

    = 

  8. Hukum penyerapan (absorption law) A  (A  B) = A A  (A  B) = A

  9. Hukum involusi (involution law) A’’ = A

  10. Hukum 0/1(1/0 law) _c = S  _c S = 

  11. Hukum De Morgan untuk himpunan ( _{c c c} De Morgan’s laws for sets) (A = A  B)  B _{c c c} (A = A

   B)  B LATIHAN