BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Kompleks - Mella Tanu Wijaya Bab II

BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Kompleks Sistem bilangan kompleks dapat diperkenalkan secara formal dengan menggunakan konsep “ pasangan terurut” (ordered pair) bilangan riil (a,b). Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai

  padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. (Pallouras, 1975).

  Definisi II. A.1 Himpunan bilangan kompleks berbentuk a + ib atau a + bi

  2 dengan a dan b adalah bilangan riil dan i = -1.

  Jika z = a + ib merupakan suatu bilangan kompleks, maka a dinamakan bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner (imaginary

  part) dari z, kadang-kadang masing-masing diberi simbol R(z) dan I(z).

  Lambang z, yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan kompleks dinamakan peubah kompleks.

  Himpunan bilangan riil sebagai bagian dari himpunan bilangan kompleks dengan b = 0. Jika a = 0, maka bilangan kompleks 0 + bi atau bi dinamakan bilangan imajiner sejati. (Spiegel, 1994).

B. Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks

  Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua bilangan kompleks dapat dikerjakan seperti pada operasi aljabar bilangan riil dengan

  2 menggantikan i dengan -1 bila muncul.

  Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut: (Spiegel, 1994).

  Jika z = a + b i dan z = a + b i adalah bilangan kompleks, maka:

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  i. z

  1 + z 2 = (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b

2 i) = (a

1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i

  ii. z = (a + b i) + b i) = (a ) + (b )i

  1 – z

  2

  1 1 – (a

  2

  2 1 – a

  2 1 – b

  2 iii. z z = (a + b i) (a + b i) = (a a b ) + (a b + a b )i.

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  

1

2 – b

  1

  2

  1

  1

  2

  2 Pada bilangan kompleks juga terdapat suatu operasi yang disebut

  kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:

  Definisi II. B. 1 Jika z = a + bi, maka bilangan kompleks sekawan dari z yang didefinisikan = a – bi.

  Kesekawanan (conjugation) dikenakan pada satu bilangan kompleks dan berakibat menegatifkan bagian imajinernya.

  Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

  Teorema II. B. 2

  i. Jika z bilangan kompleks, maka 1)

  = z

  2

  2 2) z + [I(z)]

  = [R(z)] ii. Jika z , z bilangan kompleks, maka

  1

  2

  1) = +

• 1

  2

  1

  2 2)

  =

  1 ₁

  2 ₁

  1

  2 3) = , _{2 2} 2 ≠ 0

  Bukti: i. Misalkan

  = + , maka = − , maka 1)

  = − = + = . 2)

  = + −

  2

  2 = a

• – (bi)

  2

  2 = a . (-1)

• – b

  2

  2

  2

  2 = = [ + [ .

• =
• = ii. Misalkan

  ] ]

  1

  1

  2

  2

  2 1) + + +

  1 dan , maka

  1

  2

  1 1 ) + (

  2 2 ) = (

  =

  1

  2

  1

  2 = + +

  1

  2

  1

  2 −

  = ( 1 − 1 ) + ( 2 − 2 )

• =

  1

  2 2)

  = (

  1

  2

  1 1 )(

  2 2 )

  1 2 −

  1

  2

  1

  2

  2

  1

• = +
• =

  1 2 −

  1

  2

  1

  2

  2

  1 −

  =

  1 2 −

  1

  2

  1 2 −

  2

  1

• − = (

  1

  1

  2

  2 − )( − )

  =

  1

  2 ₁ + _{1 1} 3) = _{2 2 2}

• (
• _{1 1 )( 2 − 2 )}

  =

• (
_{2 2 )( 2 − 2 ) 1 2 1 2 1 2}

+ + )

₂

1<
• (−

  = _{2 2 2 2}

• ₁
₂ + + ) _{1 2} − (− ^{1 2}

²

¹

  = _{2 2 2 2}

_{1 2 1 2 1 2 − 2}

₁

• (

  = _{2 2 2 2}

• ( _{1 − 1 )(}
• _{2 2 )}

  = ₂ + ( _{2 )( 2 − 2 )} ( _{1 1} − ) =

  ( _{1 2 − 2 )}

  = ₂

C. Geometri Bilangan Kompleks

  Arti geometri pada bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut- turut dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a + bi pada bidang datar xy dapat diidentifikasikan sebagai vektor berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a,b). (Pallouras, 1975).

  Im(z)/y z=a +ib bi

  |z| a Re(z)/x Gambar 1.

a. Modulus dari Bilangan Kompleks

  Untuk sembarang bilangan kompleks z = a +bi, modulus (nilai mutlak) dari bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai berikut:

  Definisi II. C. 1 Jika bilangan kompleks z = a + bi, maka modulus dari z ditulis

  2

  2

  didefinisikan sebagai .

• Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik

  = + =

  O(0,0) ke z = (a,b). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks

  z 1 =a

  1 +b 1 i dan z

  2 = a 2 +b 2 i ditulis |z

  1 2 | dan didefinisikan

• – z

  2

  2 ) + ( )

  |z 1 – z 2 | = .

  ( 1 −

  2 1 −

  2 Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks yaitu:

  Teorema II. C. 2

i. Jika z bilangan kompleks, maka

  2

  2

  2 = ( + (

  1)

  ) )

  2)

  =

  2 =

  3) ii. Jika z ,z bilangan kompleks, maka

  1

  2 1) ₁

  1 2 = ₁

  1

  2

  2) ,

  2 ₂ = ≠ 0 ₂ Bukti: i. Misalkan z = a + bi , maka

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 1) = = ( + = + + ( .

  ) )

  2

  2

  2

  2

• 2
• ( = = 2) = − , sehingga = − ) .

  2

  2

  2

• = 3)

  2

  2

• = =
• − = ii. Misalakan z

  1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i bilangan kompleks, maka

• 1
• 1)

  1

  2

  1 =

  2

  2

  1 2 −

  1

  2

• = +

  1

  2

  2

  1

  2

  2 = + +

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1 −

  2

  2

  2

  2 = ) + +

  1

  1

  2

  2 (

  2

  2

  2

  2

• =

  1

  1

  2

  2 =

  1

  2 Jadi

  1

  2

  1

  2 = _{1 1 1}

• 2) =
_{2 2} + _{2 1} + ( _{1 )( 2 − 2 )} =

  ( _{2 2 2}

• ₂ )( − )
• =
_{2 2 2} 2<
• ₁
_{2 1 2 1 2 − 2} 1<
• 2

  2 _{1 2} + _{1 2 1 2 2}

₁

− _{2 2} + = ₂

₂

_{2 2 2} + + _{2 2 2 2 2 2}

₂

_{2 2 1 2 1 2 1 2 1 2} + + +2 + _{1 2 2 1 1 2 1 2}

  −2 = _{2 2} ² _{2 2 2 2 2 2}

• ₁
_{1 2 2}

  = _{2 2 2 2 2 2 2 2 2} + + _{2 1 1}

• =
_{2 2 2 2} + ( ) _{2 2 1} + ₁ = _{2 2 1 2} 2<
• =
₂

  1 ¹ Jadi ₂ = ₂ b.

   Bentuk Polar dan Eksponen

  Notasi z = a + bi pada bilangan kompleks dapat juga dinyatakan dengan z = (a,b). Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z = (a,b) dinyatakan dalam r dan  yaitu z = (r, ). Pada gambar 2 diperoleh hubungan sebagai berikut:

  a = r cos  ; b = r sin  , dengan:

  2

  2

• r = =  : sudut antara sumbu x positif dengan OP.

  y

  P z =(a,b) b

  r 

  O a x

  Gambar 2. Untuk z dan untuk z = 0 maka

  ≠ 0, sudut  dihitung dari tan =

  r = 0 dan  dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu: z = r (cos + sini).

  Dari rumus Euler = cos  + sin i, maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi

  z = r(cos + sin i) = .

  Penulisan z = merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z. Selanjutnya biangan kompleks sekawan dari z adalah: = r(cos  sin i)

  = r(cos() + sin() i) − 

  = D.

   Limit Fungsi Kompleks

  Secara formal definisi limit untuk fungsi kompleks f(z) ditulis sebagai berikut:

  Definisi II. D. 1 Diberikan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di z (titik z di o o dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah w o untuk z mendekati z o , jika untuk setiap  &gt; 0, terdapat  &gt; 0 sedemikian hingga |f(z) – w |&lt;  , apabila o

  lim f ( z )  w _o

  0 &lt;|z – z |&lt;  ,ditulis: o _{z z}

   _o

  Contoh: Buktikan lim

  →1+ Jawab:

  4 − 5 = −1 + 4 .

  f(z) = 4z

• – 5, L = -1 + 4i z = 1 + i

  |f(z)

• – L| = |4z – 5 – (-1 + 4i)|

  = |4z

• – 5 + 1 – 4i| = |4z
• – 4 – 4i|

  = |4z

• – 4(1 + i)| = 4|z – (1 + i)|

  Untuk 0 &lt; |z – (1 + i)| &lt; , maka 4|z – (1 + i)| &lt; 4.

   |f(z) – L | = 4|z – (1 + i)| &lt; 4. Untuk   &gt; 0, agar |f(z) .

• – L| &lt; , ambil 4 =    =

  4 Jadi,   &gt; 0,   = &lt; 0  0 &lt; |z – (1 + i)| &lt; , |f(z) – (-1 +4i)| &lt; .

  4 Teorema II. D. 1

  

Jika suatu fungsi mempunyai limit pada titik z yang diberikan, maka

o limitnya mempunyai nilai tunggal.

  Bukti: Misal

   lim ,   &gt; 0,  &gt; 0  0 &lt; |z | &lt; 

• – z =

  1

  1 →

  |f(z) 1 | &lt;

• – w

  2  lim ,   &gt; 0,  &gt; 0  0 &lt; |z | &lt; 

  =

  2 2 – z →

  |f(z) 2 | &lt;

• – w

  2 Pilih  = min { 1 ,  2 }; yaitu pilih  sebagai yang terkecil diantara  1 dan 

  , maka untuk 0 &lt; |z | &lt;  berakibat 2 – z

  1 |w

  1 2 | = |w

  1 2 |

• – w – f(z) + f(z) – w

   |w | 1 – f(z)| + |f(z) – w

  2

• 2 = .
• lim
• = lim

  → 0

  →

  ) . (lim

  → ) = .

  3) lim

  → ( ) ( )

  = ^lim → 0

  ( ) _lim

  ( )

  →

  =

jika B ≠ 0

  Bukti: 1) Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

  2 adalah positif.

  Karena lim →

  = , maka terdapat suatu bilangan positif 

  1

  sedemikian sehingga 0 &lt; − &lt;

  1 ⇒ − &lt;

  . = (lim

  = + 2) lim

  &lt;

  1 = w 2 .

  2

  |w 1 – w

  2 | &lt;  , 0  |w

  1 – w

  2 | maka |w

  1 – w

  2 | = 0

  w

  Jadi, terbuktilah teorema di atas.

  →

  Teorema berikut menyatakan jika dua fungsi kompleks yang diberikan masing-masing mempunyai limit, maka jumlah, selisih, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi itu mempunyai limit berturut-turut sama dengan jumlah, selisih, perkalian dan pembagian masing-masing limit diberikan.

  Teorema II. D. 2 Jika lim

  →

  = dan lim

  → = , maka

  1) lim

  →

  →

  2 . Karena lim

  2

  = , maka terdapat suatu bilangan positif  → sedemikian sehingga

0 &lt; .

₂

− &lt; ⇒ − &lt;

  2 Pilih  = min{

  1 ,  2 }; yaitu pilih  sebagai yang terkecil di antara 

  1

  dan  , maka 0 &lt;  menunjukkan

  2 &lt;

  − |f (z) + g(z)

• – (A + B)| = |( − ) + (g (z) – B)|

   |f (z)

• – A)| + |g (z) – B)|

  

 

• +

  &lt;

  2

  2 lim

  Jadi,

• = lim + lim = +

  → → →

  1 2) Jika  sebarang bilangan positif yang diberikan, maka adalah

  2 ( ) +1 positif. Karena lim

  = , maka terdapat suatu bilangan → positif  sedemikian sehingga

  1

  1 0 &lt; − &lt; ¹ ⇒ − &lt;

  2 ( ) + 1 lim

  Karena , maka terdapat suatu bilangan positif 

  2 =

  → sedemikian sehingga

  1

0 &lt; .

₂ − &lt; ⇒ − &lt;

  2

• 1

  Pilih  = min{ 1 ,  2 }, yaitu pilih  sebagai yang terkecil di antara 

  1

  dan 

  2 , maka 0 &lt;|z |&lt;  menunjukkan

• – z |f(z)g(z)
• – AB| = |f(z)g(z) – Ag(z) + Ag(z) – AB|

  = |g(z)(f(z)

• – A) + A(g(z) – B)|  |g(z) − | + |A(g(z) – B)|

  = |g(z)||f(z)

• – A| + |A||g(z) – B|

  | ( )

  |

• &lt;

  2

  2 ( ) +1 +1

  &lt; = . +

  2

  

2

Jadi, lim . = (lim ) . (lim ) = .

  → → → 3) Berdasarkan bukti 2), maka dapat ditunjukkan

  1 ( ) lim = lim ( )

  → →

  ( ) ( )

  1

  = lim ,

  ( ) lim → →

  ( )

  1

  1 dengan lim = , yaitu dengan diberikan  &gt; 0, maka

  → lim ( ) ( )

  → 0

  1 |g(z)||B| &gt; 0. Karena lim

  1 &gt; 0

  = , maka terdapat  →

  2 sedemikian sehingga

  1 |g(z) |g(z)||B| |&lt; .

• – B| &lt;

  1

  ⇒ 0&lt; |z – z

  2 Dengan demikian terdapat suatu  sedemikian sehingga 0 &lt; |z | &lt; 

• – z yang menunjukkan

  1

  1 −

=

−

  − −

=

−

=

− =

  | |

  1

  1 = .

  2 | |

  =

  2 &lt; 

  1

  1

  1 Jadi, lim = = . → lim

  ( ) ( )

→ 0

  Oleh karena itu,

  1 lim = lim lim

  → → → = .

E. Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks

  Fungsi pangkat didefinisikan sebagai berikut :

• = = cos + sin , =

  di mana e = 2,71828... adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a ln bilangan riil positif, maka didefinisikan = , dengan ln a adalah ln logaritma natural (asli) dari a. Jika a = e maka = direduksikan menjadi w. (Spiegel, 1994).

  Berikut ini adalah sifat-sifat aljabar yang paling pokok untuk fungsi pangkat dengan bilangan dasar logaritma natural, yaitu:

  Theorema II. E. 1 i. dan z berlaku sifat-sifat berikut:

  1

  2 Untuk setiap peubah kompleks z _{1 2 1}

• ₂

  =

  1) _{1 2}

  1

  − = 2) .

  2 ii.

   Jika = + , maka

  =

  1)

  2) ) = b. z

  = arg(e Bukti: i. Misalkan z ₁ 1 = a 1 + ib ₁ 1 dan z 2 = a 2 + ib 2 , maka _{2 2}

  = = + +

  1

  1

  2 2 . _{1 2 1 2} dan 1) = (cos b _{1 2} 1 + i sin b 1 )(cos b 2 + i sin b 2 )

• cosb

  = ((cosb 1 cosb

  2 1 sinb 2 ) + i(cosb 1 sinb

  2

• – sinb

  2 sinb 1 )) _{1 2}

• = (cos(b

  1 + b 2 ) + i sin(b 1 + b 2 )) _{1 2}

• = .

  2) z 1 – z _{1 2} 2 = (a 1 – a _{1 2} 2 ) + i(b 1 – b 2 ), maka − −

  = (cos(b 1 – b 2 ) + i sin(b 1 – b 2 ))

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

• – = ((cosb cosb + sinb sinb ) + i(sinb cosb

  2 cosb 1 sinb 2 ))

  1 = ((cosb + i sinb )cosb + i sinb )i

  1

  1 2 – (cosb

  1

  1

  2 sinb )

  2

  1 = (cosb 1 + i sinb 1 )(cosb

  2 2 )

• – i sinb

  2

  1 _{1 2} = .

  2

  1

  1 = .

  2

  2

  1+ 1 =

  2+ 2

  1 =

  2 z a a a ii. Misalkan z = a + ib, maka e = e (cosb + isinb) = e cosb + i e sinb, sehingga:

  1) Karena z = a + ib maka = a – ib, sehingga:

  a

• – ib

  = e

  a

• –ib

  = e e

  a

  = e (cosb

• – i sinb)

  a a

  = e cosb – ie sinb

• = = (
• ) .

  = (cos

  2)

• sin ) = = cos + sin

  a

  = e . 1

  a

  = e , sin

  z Dan arg(e ) = arc tan ( ) = arc tan(tanb) = b.

  cos F.

   Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks

  Definisi yang diberikan cukup konsisten dengan menggunakan Rumus Euler, yaitu untuk setiap b bilangan riil,

  ib

• –ib

  

e = cosb + i sinb dan e = cosb – i sinb. Dengan menjumlahkan dan mengurangkan kedua rumus tersebut maka akan diperoleh

  − −

  −

• cosb = ; sinb = ,

  2

  2 sehingga dapat didefinisikan fungsi trigonometri dengan peubah kompleks z, sebagai berikut:

  −

• cos z = (1.1)

  2 dan

  −

  − sin z = (1.2)

  2 (Spiegel, 1994).

  G. Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks

  Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi pangkat (eksponen), sebagai berikut:

  Sinus hiperbolik didefinisikan dengan

  −

  − sinh z = (1.3)

  2 dan cosinus hiperbolik dengan

  −

• cosh z = (1.4)

  2 (Spiegel, 1994).

  H. Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks w

  Jika z = e , maka dapat dituliskan w = ln z , yang dinamakan logaritma natural (asli) dari z. Jadi fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi pangkat dan dapat didefinisikan sebagai berikut:

  Jika bilangan kompleks z= a + bi, yang dalam bentuk eksponen ditulis z = i re , maka i i w = ln z = ln(re ) = ln r + ln e = ln r + i dengan ln r adalah logaritma bilangan riil biasa dengan bilangan pokok e, dan r adalah suatu bilangan riil positif.

I. Notasi Faktorial

  Notasi faktorial dinyatakan sebagai berikut:

  Definisi II. I. 1 Diberikan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n. n! = 1.2.3 ... (n – 1).n.

  J. Fungsi Gamma

  Definisi dari fungsi gamma adalah:

  Definisi II. J. 1 Fungsi gamma pada bilangan riil dinyatakan oleh (n) didefinisikan sebagai berikut:

  ∞ − −1

  (n) = ; n &gt; 0 (1.5) dengan n dan t adalah sebarang bilangan riil.

  Dari persamaan (1.5) diperoleh: Misal n = 1, maka

  ∞ − − ∞

  | = = - (0

• – 1) = 1, (1) = − sehingga,

  (1) = 1

  (2) = 1.(1) = 1 (3) = 2.(2) = 2.1 = 2! (4) = 3.(3) = 3.2! = 3! (5) = 4.(4) = 4.3! = 4! ...

  (n + 1) = n(n) = n!.

  (6) Contoh 1: Hitung . 2(3) (6) 5! 3 .4 .5

  Jawab : = = = 30.

  2(3) 2(2!)

2 Sifat dasar fungsi gamma pada bilangan riil adalah: i.

   ( n  1 )  n  ( n ) ii.  ( n  1 )  n ! iii.

   ( n  1 )  ( n ) 

  n

  iv.   (1/2)  v.

    ( x )  ( 1  x )  sin  x

  (Silaban, 1997) Bukti:

  ∞ − i.

  (n + 1) =

  − = lim

  →∞ − − −1

  = lim |

  − − − →∞

  − −1 − = lim

• →∞

  −

  −1 − = lim

  →∞ = n(n) ii. (n + 1) = n! , n = 1, 2, 3, ...

  − − (1) = = lim

  →∞ −

  = lim (1 ) = 1 −

  →∞ Dari (i) diperoleh n = 1, 2, 3, ..., (n + 1) = n(n) Sehingga untuk (2) = 1 (1) = 1 (3) = 2 (2) = 2.1 = 2! (4) = 3 (3) = 3.2! = 3! ...

  (n + 1) = n (n) = n! iii. Dari (ii) diperoleh (n + 1) = n (n) Maka

   ( n  1 )  ( n ) 

  n

  1 ) iv. ( =

  2 ₁

  1 ∞

  −1 ₂ − )

  ( =

  2

  1 ∞

  − =

  2 t = y , dt = 2ydy. _{2 2}

  1

  1

  1

  1 ∞ ∞

  − − ) )

  ( = 2 = 2 , (

  2

  2

  2 _{2 2}

  1 ∞ ∞

  )

  2

  2

  2 −(

• ) = , tan

  = 4 , (

  =

  2 ₂ /2 ∞

  − = 4

  −0

  − 2

  = 4 |

  2 −2

  = 

  2

  1 )

  =  (

  2

  1 )

  ( = .

  2 v. (x) (1

• – x) =

  sin

  1 Dari (iv) ( ) = maka:

  2

  1 ( ) =

  (kedua ruas dikuadratkan)

  2 _{1 2}

   = π ₂

  1

  1 ( ) ( ) =

  2

  2

  1

  1

  1 ( ) (1 ) = ₁

  −

  2

  2

  sin ₂

  1 dimisalkan x, maka:

  2 (x) (1 – x) = .

  sin Nilai (n) untuk 1  n  2 dapat dibaca dari tabel. Tabel berikut ini adalah tabel beberapa nilai (n) untuk 1  n  2.

  Tabel 1. Tabel Fungsi Gamma N

  (n)

  1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

  2

  1 0,9513507699 0,9181687424 0,8974706963 0,8872638175 0,8862269255 0,8935153493 0,9086387329 0,9313837710 0,9617658319

  1 Nilai (n) dapat ditentukan untuk semua n &gt; 1, dengan n sebarang bilangan riil dengan rumus rekursif (n + 1) = n(n).

  Contoh 3: Hitunglah nilai (2,4). Jawab: (2,4) = 1,4 . (1,4) = 1,4 . 0,8872638175 = 1.2421693.

  Catatan: Untuk n &lt; 1, nilai (n) dapat dihitung dengan rumus

  (n+1) (n) = .

  Contoh 4: Hitunglah nilai (0,5). Jawab:

  (1,5) 0,8862269255 (0,5) = = = 1,7724539.

  0,5 0,5 Namun (n) tidak terdefinisi untuk n sama dengan nol atau bilangan bulat

  (1) (0)

  1 negatif, sebab (0) = = (tidak terdefinisi). Demikian pula (-1) = ,

  −1 (−1)

  (-2) = , dan seterusnya, dan ini dinamakan sebagai sifat dasar dari −2 fungsi gamma pada bilangan riil (Spiegel, 1994).

  Selain definisi dari fungsi gamma di atas, fungsi gamma dapat juga didefinisikan dalam bentuk yang dikenal sebagai rumus Euler sebagai berikut:

  Definisi II. J. 2

  1.2.3 …

  (z) = lim →∞

• 1 +2 …( + ) dimana z bilangan riil atau kompleks.

  K. Fungsi Beta Definisi II. K. 1 Fungsi beta adalah

  1 −1 −1

  (1 , = − ) , untuk m &gt; 0 dan n &gt; 0.

  Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma adalah:  ( )

  , = ( + )

  (Remmert, 1996) Bukti:

  2 Misalkan t = x dapat ditulis: ₂ ∞ ∞

  2 −1 − −1 −

  = 2 (m) =

  2 Misalkan t = y dapat ditulis: ₂ ∞ ∞

  2 −1 − −1 −

  (n) = = 2 _{2 2} ∞ ∞

  2

  2 −1 − −1 −

  Maka (m).(n) = 4 _{2 2} ∞ ∞

  2

  2 −1 −1 −

• = 4

  Mentransformasikan ke koordinat polar

  x = r cos , y = r sin diperoleh:

₂

  /2 ∞

  2

  2

  2

• −1 − −1 −1

  (m).(n) = 4 =0 ₂

  ∞ /2

  2

  2

  2

• −1 − −1 −1

  = 4

  /2

  2

  2 −1 −1

  = 2(m + n) (m).(n) = (m + n) . B(m,n)

   ( )

  B(m,n) =

  ( + ) Contoh 5: Hitunglah nilai B(3,5).

   ( )

  Jawab: B(m,n) = ( + )

   3 (5)

  B(3,5) =

  (3+5)

  2!4!

  =

  7! 2 .4!

  =

  7.6.5.4!

  1

  =

  105

  1

  2

  8 Contoh 6: hitunglah 1 −

  1 −1 −1

  (1 Jawab:

  − ) , =

  1

  2

  8 (1

  − ) , =

  1

  3

  9 −1 −1

  (1 − )

  , =

   3 (9)

  B(3,9) =

  (3+9) 2!8!

  =

  11!

  2

  1

  = =

  11.10.9 495 Sifat-sifat dari fungsi beta pada bilangan real adalah: i.

   B(m,n) = B(n,m)

  /2

  2

  2 −1 −1 ii.

   B(m,n) = 2

  (Arfken,1985) Bukti: i. B(m,n) = B(n,m)

  1 −1 −1

  1 −

  B(m,n) = , substitusikan x = 1 – y.

  1 −1 −1

  = 1 −

  1 −1 −1

  = = B(n,m) 1 − /2

  2

  2 −1 −1 ii.

   B(m,n) = 2

  1

  2 −1 −1

  B(m,n) = , substitusikan x = sin 

  1 − /2

  2

  2 −1 −1

  2 =

  /2

  2

  2 −1 −1

  = 2   