PROS Luqman Hakim, Cari, Suparmi Analisa Fungsi Energi fulltext

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI
POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN
METODE NIKIFOROVUVAROV
1

Luqman Hakim1, Cari2, Suparmi2
Mahasiswa Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta
23
Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta
Email: luqman_812_h@yahoo.com

ABSTRAK
Telah dilakukan analisis pendekatan persamaan Schrodinger dimensi-D pada potensial Eckart plus Hulthen
dengan metode NikiforovUvarav (NU). Metode NU didasari oleh pereduksian persamaan diferensial orde dua
menjadi persamaan umum diferensial orde dua tipe hipergeometrik.Pendekatan analisis dengan metode NU
digunakan untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial uji. Pendekatan fungsi gelombang
diekspresikan dalam bentuk polinomial Jacobi.
Kata kunci:Dimensi-D;Eckart plus Hulthen; Metode Nikiforov-Uvarov;Polinomial Jacobi

Penyelesaian persamaan Schrödinger secara eksak
hanya mungkin ketika bilangan orbital l  0 ,
sedangkan ketika l  0 , persamaan Schrödinger
hanya bisa diselesaikan dengan pendekatan
subtitusi yang sesuai [4]. Beberapa metode yang
digunakan antara lain: metode polinomial
Romanovsky
[5],
metode
confluent
hypergeometric [6,7], dan metode NU [8]. Salah
satu metode yang sering digunakan saat ini adalah
metode NU. Metode NU merupakan persamaan
diferensial hipergeometrik yang memiliki bentuk
penyelesaian yang paling umum karena persamaan
diferensial fungsi lain dapat direduksimenjadi
persamaan diferensial hipergeometrik. Beberapa
penelitian
yang

menggunakan
persamaan
Schrodinger dimensi-D antara lain: pendekatan
persamaan Schrodinger dimensi-D untuk potensial
scarf hyperbolic dengan metode NU [9],solusi
persamaan Schrodinger dimensi-D untuk energi
yang bergantung potensial dengan metode NU
[10], solusi pendekatan analisis scattering dari
potensial Hulthen dimensi-D [11], dan solusi
eksak dari potensial Kratzer termodifikasi plus
potensial
ring-shaped
dalam
persamaan
Schrodinegr dimensi-D dengan metode NU [12].

PENDAHULUAN
Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20,
semakin jelas bahwa fisika (konsep-konsep fisika)
klasik memerlukan revisi atau penyempurnaan.

Hal ini disebabkan semakin banyaknya hasil-hasil
eksperimen dan gejala-gejala fisika yang tidak bisa
dijelaskan dengan konsep-konsep fisika yang telah
dikuasai pada saat itu (fisika klasik), sekalipun
dengan pendekatan. Masalah-masalah yang telah
berkembang terutama pada obyek-obyek fisis yang
berukuran mikroskopik, seperti partikel-partikel
elementer dan atom serta interaksinya dengan
radiasi atau medan elektromagnetik.Mekanika
kuantummerupakan dasar untuk pemahaman
tentang fenomena fisik pada skala mikroskopik.
Sifat-sifat material dapat ditinjau dari gerakan
partikel dan tingkat energi eigen terkait [1].
Persamaan gerak partikel dapat diselesaikan
mengunakan persamaan Schrodinger, persamaan
KleinGordon dan persamaan Dirac [2].
Persamaan Schrödinger merupakan hal mendasar
dalam mekanika kuantum, yang mendeskripsikan
bagaimana keadaan kuantum (quantum state)
suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu

[3].

Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan
fungsi gelombang dari potensial Eckart plus
226

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Schrodinger dimensi-D bagian
memenuhi persamaan nilai eigen:

Hulthendimensi-D. Potensial Eckart sering
digunakan untuk memperkirakan koreksi tunneling
mekanika kuantum untuk konstanta laju kimia
teoritis yang ditentukan [13]. Potensial Hulthen
merupakan potensial berjangkauan pendek yang
berperilaku seperti potensial Coulomb untuk nilai
r kecil dan menurun secara eksponesial untuk r
besar. Potensial Hulthen sering digunakan dalam

fisika nuklir dan partikel, fisika atom, fisika zat
padat, dan lain sebagainya [14]. Kombinasi kedua
potensial diatas menjadi potensial Eckart plus
Hulthen, secara matematis dituliskan sebagai [3]:

,

, dan

harus

(6)
Dengan mensubsitusikan persamaan nilai eigen (6)
dalam persamaan operator Laplace (3) dan
persamaan Schrodinger dimensi-D (2), maka
diperoleh

(1)
dengan
konstan positif.

sudut

bernilai

(7)
Persamaan (7) merupakan persamaan Schrodinger
dimensi-D untuk bagian radial. Tujuan dari
penelitian ini adalah untuk memperoleh fungsi
energi dan fungsi gelombang radial dari potensial
Eckart plus Hulthen.
BAHAN DAN METODE

Persamaan Schrodinger dimensi-D didasari
dengan penggunaan koordinat polar D-dimensi
dengan hypersperical coordinates dan dalam
dimensi-D. Persamaan Schrodinger dalam
dimensi-D dituliskan sebagai [16]:

Bahan

Penelitian ini merupakan penelitian analisis
dengan bahan berupa potensial uji, yaitu potensial
Eckart plus Hulthen di persamaan (1).
Metode

(2)
merupakan operator Laplace dalam
dengan
dimensi-D, yaitu

Metode dalam penelitian ini adalah metode NU.
Metode NU ini didasari oleh pereduksian
persamaan diferensial orde dua menjadi
persamaan umum diferensial orde dua tipe
hipergeometrik.
Persamaan
deferensial
hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan
metode NU memiliki bentuk [8]

(3)
Nilai
merupakan operator
momentum anguler dimensi-D, yaitu:

(8)

(4)
Penyelesaian persamaan Schrodinger dimensi-D
dengan melakukan separasi variabel dengan
memisalkan
,
(5)
dengan
adalah bagian radial dari persamaan
adalah bagian sudutnya. Persamaan
dan

dan
merupakan polinomial

dimana
berderajat dua dan
merupakan polinomial
berderajat satu. Persamaan (8) dapat diselesaikan
dengan pemisahan variabel, yaitu
(9)
Persamaan
(9)
dapat
direduksi
dengan
mensubsitusikan
persamaan
(8), sehingga
diperoleh
(10)
Persamaan (10) merupakan persamaan (8).
Parameter-parameter dalam metode NU, dan
didefinisikan sebagai

227

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

(11)
(12)
Harga pada persamaan (11) dapat diperoleh dari
kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar
merupakan kuadrat sempurna dari polinomial
derajat satu, sehingga diskriminan di bawah akar
harus nol. Persamaan tingkat energi dapat
diperoleh dari persamaan (12) dengan hubungan
dan
ditentukan dengan persamaan
Dengan

(13)
(14)
Untuk mendapatkan tingkat energi dan fungsi

gelombang yang terkait, diperlukan kondisi
. Solusi bagian pertama dari fungsi
gelombang dengan persamaan

fungsi

hiperbolik

bahwa

(19)
nilai
dan

, maka persamaan
(19) dapat ditulis sebagai

(15)
yang
Solusi bagian kedua fungsi gelombang
bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan
oleh persamaan berikut:
(16)
dimana Cn merupakan konstanta normalisasi yang
diperoleh
berdasarkan
orthogonal
fungsi
gelombang dan fungsi bobot
harus
tergantung pada kondisi
(17)

(20)

(21)

HASIL DAN DISKUSI
Untuk
Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh fungsi
energi dan fungsi gelombang dari potensial Eckart
plus Hulthen. Setelah dilakukan substitusi
potensial Eckart plus Hulthen dalam persamaan
Schrodinger dimensi-D dan dilakukan pemisahan
variable diperoleh persamaan

dimana

,

maka
. Persamaan diferensial orde dua

diperoleh dengan memisalkan

pada

persamaan (21), sehingga diperoleh

(18)
Untuk memperoleh penyelesaikan persamaan (18),
(22)
Persamaan (22) merupakan persamaan diferensial
orde dua hipergeometrik yang ditunjukkan oleh
persamaan (8), sehingga diperoleh hubungan

dilakukan
pemisalan
sehingga diperoleh
228

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

,
, maka

Energi nilai eigen dan fungsi eigen dapat
diperoleh kondisi bahwa
, sehingga nilai
diambil negatif.
(31)

(23)
(24)

,

(32)
Kemudian dilakukan penghitungan untuk
menentukan nilai
dan
pada kondisi umum
dengan mengambil nilai negatif (keadaan bound
state).

,
(25)
Untuk memperoleh nilai , maka dilakukan
subsitusi persamaan (23), persamaan (24) dan
persamaan (25) ke persamaan (11), sehingga
diperoleh

(26)

pada persamaan (26) dapat diperoleh
Harga
dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah
akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial
derajat satu sehingga determinan dari persamaan
dibawah akar sama dengan nol, sehingga

.
(33)
Tingkat energi diperoleh dengan menyamakan
nilai eigen dengan nilai eigen baru
, dengan
menyamakan persamaan (30) dan persamaan (32),
yaitu

(34)

.
(35)
Berdasarkan persamaan (35), dengan mengambil
tanda akar yang sama, maka diperoleh
(27)

.

Dengan
memisalkan
,
agar diperoleh makna fisis, nilai

maka
.
(36)
Untuk memperoleh energi nilai eigen, maka
dilakukan dengan menyamakan persamaan (28)
dan persamaan (36), sehingga diperoleh

adalah

(28)
dan nilai

adalah

.
Nilai

(29)

diperoleh sebesar
.

(30)

.
229

(37)

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Dengan

mengembalikan
bahwa
nilai
, diperoleh nilai energi dari potensial

Eckart plus Hulthen dimensi-D, yaitu

.
Pada kondisi khusus
diperoleh

.
Pada kondisi khusus
diperoleh

(38)
, maka

(42)
, maka

(39)

.

Berdasarkan persamaan (39), dengan mengambil
tanda akar yang berbeda, maka diperoleh

(43)

Berdasar persamaan (39) dan persamaan (42) nilai
spektrum energi untuk potensial Eckart plus
Hulten sesuai dengan penelitian terdahulu adalah
persamaan (39), sehingga nilai spektrum energi
untuk potensial Eckart plus Hulten dimensi-D
adalah persamaan (38), yaitu[3]

.
(40)
Langkah selanjutnya untuk menentukan nilai
energi adalah dengan menyamakan persamaan
(28) dengan persamaan (40), sehingga diperoleh

.
Dengan

.
(44)
Untuk menentukan fungsi gelombang pada
potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D, langkah
pertama adalah menentukan fungsi gelombang
bagian pertama yang diperoleh dari persamaan
(24) dan persamaan (29) yang diselesaikan dengan
persamaan (15), sehingga diperoleh

(41)
mengembalikan
bahwa
nilai
, diperoleh nilai energi dari potensial

Eckart plus Hulthen dimensi-D, yaitu
230

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Fungsi gelombang lengkap pada potensial Eckart
plus Hulthen dimensi-D adalah dengan
mengalikan bagian pertama dan bagian kedua.

(45)
. (46)
Persamaan (46) digunakan untuk menggambarkan
sebaran atau distribusi elektron (probabilitas
ditemukannya elektron) jika dikombinasikan
dengan persamaan fungsi gelombang radial bagian
kedua.Fungsi gelombang sudut bagian kedua dari
potensial Eckart plus Hulthen ditentukan dengan
mengetahui fungsi bobot terlebih dahulu. Fungsi
bobot
diperoleh
dengan
mensubsitusikan
persamaan (24) dan persamaan (33) ke persamaan
(17), sehingga diperoleh

.

(54)

Karena

dan

,

maka

(47)
,
dengan

dan diperoleh fungsi bobot sebesar
(48)
Solusi bagian kedua fungsi gelombang
yang
bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan
oleh persamaan (16) dengan fungsi bobot pada
persamaan (48), sehingga diperoleh

KESIMPULAN
1. Fungsi energi dari potensial Eckart plus
Hulthen dimensi-D dapat diselesaikan dengan
metode NU.
2. Fungsi gelombang dari potensial Eckart plus
Hulthen dimensi-D dapat diselesaikan dengan
metode NU.
3. Analisis fungsi energi dan fungsi gelombang
dari potensial Eckart plus Hulthen dapat
dilakukan dengan metode yang lainnya.

.
(49)
Persamaan (49) merupakan polinomial Jacobi
dalam bentuk

Nilai

(55)
merupakan konstanta normalisasi.

UCAPAN TERIMA KASIH

(50)

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Rektor
Universitas Palangkaraya dan Direktorat Jendral
DIKTI atas pemberian beasiswa BPPDN dan
Dikti nomer kontrak 351/UN 27.11/PN 2014.

(51)

DAFTAR PUSTAKA

dapat ditulis sebagai
,

dengan
[1]
(52)
dan

[2]
.

(53)

231

M.O.Tjia dan Sutjahja,Orbital Kuantum
Pengantar Teori dan Contoh Aplikasinya .
Bandung: Karya Putra Darwati, 2012.
A. A. Rajabi dan M. Hamzavi, “A new
Coulomb Ring-shaped Potential via
Generalized Parametric Nikiforov–Uvarov

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Method”. Journal of Theoretical and
Applied Physics, 2013.
[12]
[3] Cari dan Suparmi,“Approximate Solution of
Schrodinger Equation for Hulthen Potential
plus Eckart Potential with Centrifugal Term
in
terms
of
Finite
Romanovski
Polynomials”. International Journal of
Applied Physics and Mathematics, vol. 2,
[13]
no. 3, 2012.
[4] A. D. Antia, A. N. Ikot, danL. E. Akpabio,
“Exact Solutions of The Schrödinger
Equation with Manning-Rosen Potential
Plus A Ring-Shaped Like Potential by
[14]
Nikiforov–Uvarov Method”. European
Journal of Scientific Research , vol. 46, pp.
107–118, 2010.
[5] V. G. Romanovski dan D. S. Shafer, The
Center and Cyclicity Problems: A
[15]
Computational
Algebra
Approach.
Birkhauser, Bassel, 2008.
[6] G. N. Georgiev dan M. N. Grosse,“The
Kummer
Confluent
Hypergeometric
Function and Some of Its Applications in
The Theory of Azimuthally Magnetized
Circular Ferrite Waveguides”. Journal of
Telecommunications
and
Information
Technology, vol. 3, 2005.
[7] H. Nagoya, “Hypergeometric Solutions to
Schrodinger Equations for The Quantum
Painlev´e Equations”.Journal of Math
Physics, vol.52, 2011.
[8] A. V. Nikiforov dan V. B. Uvarov, Special
Functions
of Mathematical
Physics .
Birkhauser, Bassel, 1998.
[9] U. A. Deta, Suparmi, dan Cari.
“Approximate Solution of Schrödinger
Equation in D-Dimensions for Scarf
Hyperbolic Potential Using Nikiforov–
Uvarov Method”. Adv. Studies Theor. Phys.,
vol. 7, no. 13, pp. 647–656, 2013.
[10] H. Hassanabadi, L. L. Lu, S. Zarrinkamar,
G. H. Liu, dan H. Rahimov, “Approximate
Solutions of Schrodinger Equation under
Manning–Rosen Potential in Arbitrary
Dimension via SUSYQM”. ACTA PHYS
POLONICAA,vol.122, no.4, 2012.
[11] C. C. Yuan, S. D. Sheng, L. C. Lin, dan L.
F. Lin. “Approximate Analytical Solutions
for Scattering States of D-dimensional
Hulthen
Potential”.
Communications
232

inTheory. Physics,vol. 55, pp. 399–404,
2011.
S. M. Ikhdair danR. Sever,“Exact Solutions
of The Modified Kratzer Potential Plus
Ring-shaped Potential in The D-dimensional
Schrodinger Equation by The Nikiforov–
Uvarov Method”. Journal of Quantum
Physics, vol.1, 2007.
V.
Vahidi
dan
H.
Gourdarzi,
“Supersymmetric Approach for Eckart
Potential Using the NU Method”.Adv.
Studies Theor. Phys., vol. 5, no. 10, pp. 469–
476, 2011.
A. K. Roy,“The Generalized Pseudospectral
Approach to The Bound States of The
Hulthen and The Yukawa Potentials”.
Pramana-Journal of Physics,vol. 65, no.1,
pp. 1–15, 2005.
S. M. Ikhdair dan R. Sever, “Approximate lstate Solutions of The D-dimensional
Schrodinger Equation for Manning–Rosen
Potential”.
Journal
of
Quantum
Physics,vol.1, 2008.