Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung | Kurniawan | Natural Science: Journal of Science and Technology 7215 24011 1 PB
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
The Quiver of a Connected Path Algebra
Vika Yugi Kurniawan
Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRACT
A directed graph can be viewed as a 4-tuple =
, , , t where
and
are
finite sets of vertices and arrows respectively, and , are two maps from
to
. A
directed graph is often called a quiver. For a quiver and a field , we can define a algebra with basis the set of all paths in . This -algebra is called path algebra
. In this
paper, we study the properties of a path algebra over a field . These properties are used to
show interplay betwen a connected path algebra and its quiver. In the end of discussion, we
show that the path algebra KQ is connected if and only if Q is a connected quiver.
Keywords: Idempotent, Indecomposable, Path Algebra, Primitive orthogonal.
ABSTRAK
Graf berarah dapat dipandang sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari dua himpunan
serta dua pemetaan dan disebut sebagai quiver =
, , , . Untuk sebarang quiver
dan lapangan , dapat didefinisikan suatu -aljabar yang disebut dengan aljabar lintasan
yang memiliki basis berupa himpunan semua lintasan yang ada pada quiver . Pada makalah
ini, dipelajari sifat-sifat dari suatu aljabar lintasan atas lapangan . Selanjutnya sifat-sifat
tersebut digunakan untuk menunjukkan keterkaitan antara aljabar lintasan terhubung dengan
quivernya. Diakhir pembahasan ditunjukan bahwa suatu aljabar lintasan
dari suatu quiver
merupakan aljabar terhubung jika dan hanya jika merupakan quiver terhubung
Kata Kunci : Aljabar lintasan, Idempoten, Indekomposabel, Ortogonal primitif.
Banyak persoalan akan lebih jelas untuk
PENDAHULUAN
dari
difahami apabila direpresentasikan dalam
matematika diskrit yang banyak digunakan
bentuk graf. Konsep graf karya Euler dalam
sebagai alat bantu untuk menggambarkan
menyelesaikan
atau menyatakan suatu persoalan agar lebih
Konigsberg pada tahun 1735 merupakan
mudah
awal dari lahirnya teori graf. Meskipun
Teori
graf
dimengerti
adalah
dan
bagian
diselesaikan.
masalah
Coresponding Author : [email protected] (phone: +62-856-2528-707)
318
Jembatan
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
umurnya relatif muda, teori graf telah
bermanfaat untuk mempelajari hal-hal yang
berkembang sangat pesat akhir-akhir ini,
berkaitan dengan lintasan dari suatu graf
baik dalam bidang pengembangan teori
berarah atau quiver. Salah satunya pada
maupun aplikasi di berbagai bidang.
makalah Redrigues dan Neubaeur (2011)
Graf
secara
umum
yang
merupakan
memberikan
obyek kombinatorial yang terdiri dari garis-
secara
garis
digunakan
(edges)
dan
titik-titik
(vertex).
umum
kesimpulan
aljabar
untuk
bahwa
lintasan
dapat
mengkonstrusi
suatu
Apabila setiap garis dari graf memiliki
pembangun melintang dari graf multi-
orientasi arah, maka graf tersebut disebut
relasional
sebagai graf berarah. Dalam beberapa
tranversal
literatur, graf berarah dapat dipandang
perkembangan
sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari
lintasan ini cukup pesat sekali, antara lain
dua himpunan serta dua pemetaan dan
yang ditulis oleh Abrams dan Kanuni
disebut sebagai quiver
Himpunan
yang
himpunan titik
dimaksud
dari
himpunan
titik,
dengan
∈
,
, , .
dan
himpunan
yaitu
, ∶
tentang
itu
aljabar
Ruiz dan Tomforde (2013), dan Tomforde
.
(2011).
Pada makalah ini, dipelajari sifat-
ke
→
kajian
Karena
Ara dan Cortinas (2013), Hazrat (2013),
adalah
panah
engine).
graph
(2013), Alahmadi dan Alasulami (2014),
adalah
dan himpunan panah
Sedangkan pemetaan
pemetaan
=
multi-relational
(a
sifat
,
dari
suatu
alabar
lintasan
atas
disebut sebagai sumber
lapangan. Selajutnya sifat-sifat tersebut
∈
disebut
digunakan untuk menunjukkan keterkaitan
. Barisan
antara quiver terhadap keterhubungan dari
disebut sebagai
aljabar lintasannya. Penulisan makalah ini
lintasan. Dengan mendefinisikan suatu
bersifat studi kepustakaan, dimana penulis
operasi perkalian pada himpunan lintasan,
menghimpun hasil-hasil penelitian dari
maka himpunan semua lintasan pada quiver
berbagai
membentuk struktur semigrup. Selanjutnya
menyajikannya kembali secara runtut dan
untuk sebarang quiver
disertai contoh-contoh supaya pembaca
dari panah
∈
dan
sebagai target dari panah
panah-panah pada quiver
∈
dan lapangan
referensi
kemudian
dapat didefinisikan suatu K-aljabar yang
lebih mudah dalam memahami konsep
disebut dengan aljabar lintasan
aljabar lintasan atas lapangan.
yang
memiliki basis berupa himpunan semua
ALJABAR ATAS LAPANGAN
lintasan yang ada pada quiver tersebut.
Teori
tentang
aljabar
lintasan
Sebelum membahas tentang aljabar
sangat
lintasan,
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
319
terlebih
dahulu
akan
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
diperkenalkan pengertian aljabar beserta
�
contoh dan sifat-sifatnya. Perlu diketahui
bahwa beberapa pengertian dalam makalah
= {[
×
ini diambil dari Assem (2005) dan Dummit
⋱
∈
];
, untuk
}
(2004).
dengan
Definisi 2.1 Aljabar A atas lapangan K
atau K-aljabar adalah sebuah ring A
dengan elemen identitas sedemikian
sehingga sebagai K-ruang vektor A
memenuhi kondisi:
perkalian antar matriks biasa serta
⋋
=
untuk setiap ⋋∈
⋋
dan ,
=
perkalian
∈ .
merupakan
pemetaan linier dan untuk setiap
=
berlaku
. Jika
,
A. Sub
dari A
elemen
, ∈
Salah satu sub aljabar dari �
adalah
×
himpunan matriks segitiga atas berukuran
∈
× . Matriks identitas I dengan ukuran
bijektif
×
maka A dan B dikatakan isomorfis yang
dinotasikan
Definisi 2.3 Diberikan K-aljabar
ruang B di A disebut sub aljabar
jika elemen identitas A merupakan
identitas B dan untuk setiap
berlaku
∈ .
Perhatikan contoh 2.2 nomor 2.
disebut suatu
homomorfisma K-aljabar jika
matriks
aljabar.
⋋=⋋ . Jika A dan B merupakan K→
dengan
berikut akan diberikan definisi dari sub
⋋
sama dengan perkalian skalar dari kiri,
:
skalar
dan
Setelah memahami definisi aljabar,
dengan skalar dari kanan didefinisikan
aljabar, pemetaan
penjumlahan
merupakan aljabar atas lapangan .
Dalam hal ini perkalian vektor
yaitu
operasi
,
merupakan elemen identitas pada
matriks segitiga atas. Hasil kali matriks
≅ . Berikut akan diberikan
beberapa contoh aljabar.
segitiga atas juga berupa matriks segitiga
Contoh 2.2
atas.
aljabar, dengan operasi penjumlahan
perkaliaannya
terdefinisi
Demikian
seperti
dalam
pula
yang
operasi
matriks
berukuran
×
×
Pada
×
operasi
segitiga
bawah
merupakan sub aljabar
.
QUIVER DAN ALJABAR LINTASAN
perkalian skalarnya.
2. Matriks berukuran
, yaitu
himpunan
dari �
lapangannya.
dengan
demikian
perkaliaannya bersifat tertutup. Begitu juga
1. Setiap lapangan K merupakan K-
dan
Dengan
atas lapangan
bagian
ini
akan
diberikan
pengertian dasar beserta contoh dari quiver
dan aljabar lintasan.
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
320
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
Definisi 3.1 Quiver adalah pasangan 4tupel
, , ,
yang terdiri atas dua
himpunan, yaitu
(yang elemenelemennya disebut titik) dan
(yang
elemen-elemennya disebut panah), serta
dua pemetaan
, :
⟶
dengan
∈
disebut sumber dari panah ∈
dan
∈
disebut target dari
panah ∈ .
=
bersumber di
di
=
=
,
secara lebih ringkas
saja. Quiver
dan
diberikan sebagai berikut.
Definisi 3.3 Diberikan quiver
=
, , ,
dan
, ∈ . Barisan
| , , … , | dengan
∈
untuk
setiap
, dan berlaku
= ,
=
untuk setiap
+
=
disebut lintasan dengan
dan
panjang
yang bersumber di
dan
bertarget di .
dan bertarget
maka biasa ditulis
Quiver
lintasan pada suatu quiver yang akan
∈
Pada definisi di atas, jika
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
, ,
∶
biasa
=
,
Lintasan dapat ditulis juga sebagai
⟶ .
sebagai berikut
atau
dikatakan berhingga jika
berikut
akan
∈
ini setiap
��
→
→
= .
dengan
. Dalam hal
juga dipandang lintasan
yang dengan panjang = , disebut sebagai
diberikan
lintasan trivial pada
pengertian subquiver.
Definisi
, ,
′
=
′⊆
→
panjang dinotasikan dengan
terhubung jika ̅ graf terhubung.
Selanjutnya,
�
→
dan digambarkan
Himpunan semua lintasan pada
yang arah
dari setiap panahnya diabaikan, maka
quiver
�
=
merupakan himpunan berhingga.
Apabila graf ̅ adalah quiver
…
barisan panah
ditulis
dengan � =
3.2 Subquiver dari quiver
=
, merupakan pasangan 4-tupel
′, ′, ′, ′
sedemikian hingga
′
′
,
′⊆ ,
= |� ′ ,
=
dan dinotasikan
|| .
Definisi 3.4 Lintasan dengan panjang
yang memiliki sumber dan target pada
titik yang sama disebut siklus. Siklus
dengan panjang 1 disebut loop. Quiver
disebut asiklis jika tidak memiliki siklus.
|� ′ . Selain itu juga dipenuhi jika
∶
⟶ merupakan panah di
sedemikian
hingga
∈ ′ dan
, ∈ ′ maka
′
= dan ′
= .
pendahulu dari
dasar dari quiver, berikut akan diberikan
pengikut dari . Selanjutnya, jika terdapat
pengertian aljabar lintasan yang merupakan
panah dari
aljabar
pendahulu langsung dari
Pada quiver
dari
Setelah diberikan beberapa pengertian
yang
dibangun
oleh
lintasan-
ke
, jika terdapat lintasan
maka
ke
dan
maka
disebut sebagai
disebut sebagai
disebut sebagai
dan
disebut
lintasan yang ada pada quiver. Tapi
sebagai pengikut langsung dari
. Untuk
sebelumnya perlu diketahui definisi dari
setiap
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
321
∈
,
−
didefinisikan sebagai
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
Contoh 3.6 Diberikan quiver Q yang terdiri
himpunan semua pendahulu langsung dari
, dan
+
adalah himpunan semua pengikut
langsung dari
−
. Untuk selanjutnya,
disebut sebagai tetangga dari .
Pada
penelitian
ini
+
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
dari dua buah titik dengan dua buah panah
∪
yang menghubungkan keduanya seperti
pada gambar berikut
diasumsikan
semua quiver yang diberikan merupakan
quiver berhingga. Dengan mendefinisikan
Himpunan {ε , ε , } merupakan basis
suatu operasi perkalian pada himpunan
dari aljabar lintasan KQ dengan definisi
lintasan yang berupa barisan panah-panah,
maka himpunan semua lintasan pada quiver
perkalian yang diberikan pada tabel
membentuk struktur semigrup. Dengan
berikut
demikian himpunan lintasan dengan operasi
⋅
ε
ε
penjumlahan dan perkalian merupakan
sebuah ring. Selanjutnya untuk sebarang
K
lapangan
dan
quiver
dapat
didefinisikan suatu K-aljabar yang disebut
ε
ε
0
ε
0
ε
0
0
Α
0
Α
0
0
0
0
0
dengan aljabar lintasan atas lapangan K
Dapat ditunjukkan bahwa KQ isomorfis
pada .
dengan aljabar matriks segitiga bawah,
Definisi 3.5 Diberikan quiver . Aljabar
atas K yang sebagai basisnya adalah
himpunan
semua
lintasan
| , , … , | dengan panjang
di disebut sebagai aljabar lintasan
.
Pada aljabar lintasan
dua buah lintasan
didefinsikan dengan
{
…
…
…
…
=
…
; jika
; jika
yaitu
K
T K =[
K
dan
a
b, c
={[
, hasil kali
…
K
]
d
] | a, b, c, d ∈ K}.
Isomorfisma tersebut diberikan oleh
suatu
pemetaan
linier
sedemikian
hingga
=
≠
.
ε ⟼[
Untuk lebih memperjelas pengertian aljabar
⟼[
lintasan yang telah diberikan di atas,
berikut akan diberikan beberapa contoh
sederhana dari aljabar lintasan.
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
322
,
,
],ε ⟼ [
], ⟼ [
,
,
],
].
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
=�
= .
berhingga, maka ∑
SIFAT-SIFAT ALJABAR LINTASAN
Jika
Setelah mamahami definisi aljabar
∈�
adalah
lintasan beserta contoh-contohnya, berikut
identitas untuk
akan diberikan sifat-sifat aljabar lintasan.
Sebaliknya diandaikan bahwa
tak
Beberapa sifat di makalah ini diambil dari
berhingga. Misalkan
adalah
Assem (2005) yang akan disajikan dengan
elemen identitas dari
=∑= ⋋
lebih terurut dan bukti-bukti yang lebih
skalar tak nol dan
jelas. Sifat yang pertama menunjukkan
Himpunan semua sumber dari lintasan-
hubungan antara keberhinggaan quiver
lintasan
dengan aljabar lintasannya. Ada tidaknya
memiliki
siklus dan keberhinggaan jumlah titik pada
Diambil
�
suatu quiver memiliki hubungan terhadap
keberhinggan dimensi aljabar lintasannya.
.
�
, dengan ⋋ adalah
lintasan di
.
′, paling banyak
, katakan
elemen dan jelas berhingga.
sebarang
≠
maka
∈
\
′,
� . = ,
karena
terjadi
kontradiksi. Jadi, diperoleh bahwa
berhingga.
Lema 4.1 Diberikan quiver
dan
tak berhinga, maka basis dari
merupakan aljabar lintasan dari , maka (c) Andaikan
berlaku:
juga berdimensi tak hingga. Jika
=
(a)
(b)
adalah aljabar asosiatif,
memiliki sebuah elemen identitas
jika dan hanya jika
berhingga,
(c)
berdimensi hingga jika dan hanya
jika berhingga dan asikslis.
Bukti:
…
merupakan siklus di
maka untuk setiap
=
basis
,
diperoleh vektor
…
sehingga
juga
berdimensi tak hingga. Sebaliknya, jika
berhingga dan asikslis, maka
memuat
(a) Dengan memperhatikan kembali definisi
sehingga
pergandaan dua buah lintasan pada aljabar
lintasan
berhingga
berdimensi hingga.
Sebelum
lintasan, dapat diketahui bahwa hasil kali
sebanyak
hanya
membahas
tentang
lintasan yang jelas bersifat asosiatif.
lintasan, akan diberikan pengertian dari
|…|
(∑
untuk mendefinisikan aljabar terhubung
merupakan sebuah idempoten dari
Diambil
sebarang
lintasan
di , diperoleh
aljabar
elemen idempoten yang akan bermanfaat
(b) Jelas bahwa setiap lintasan stasioner � =
.
suatu
lanjut
vektor-vektor basis merupakan komposisi
||
keterhubungan
lebih
dan membahas sifat-sifatnya.
=
Definisi 4.2 Diberikan sebuah K-aljabar .
Elemen dikatakan idempoten jika
= .
Elemen idempoten dikatakan idempotent
pusat jika untuk setiap ∈ berlaku
=
� � ) = (� + � + + � � )
=�
+ +�
+ +� �
= + + +�
+ + +
� ∈�
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
323
∎
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
.
Elemen
idempotent
, ∈
dikatakan saling ortogonal jika
=
= . Elemen idempoten
dikatakan
primitif jika tidak dapat ditulis sebagai
jumlahan dari dua elemen idempoten
ortogonal tak nol di .
Sedangkan
Perhatikan bahwa
idempoten
diberikan
],
[
Jelas bahwa
�
], dan
=[
�
=
�.
�
=[
∈
berlaku
�
=[
Diambil sebarang
, diperoleh
=
=[
]=[
][
][
=[
Dengan demikian
�
]=
.
�
dan
sehingga
=[
=[
dan
][
digunakan
untuk
contohnya
perhatikan
=�
tidak memiliki idempoten pusat selain
=
dan
]∈
�.
Setiap aljabar
memiliki dua
merupakan idempoten yang tidak trivial
maka
−
juga idempotent yang
tidak trivial, dengan sifat
ortogonal.
Akibat
dan
lainnya
− saling
juga
akan
terdapat dekomposisi -modul kanan
]=[
�
idempotent trivial yaitu 0 dan 1. Jika
]
]=[
⊕
� ⊕�
−
. Sebaliknya, jika
adalah dekomposisi
yang tidak trivial dan
]
∈�,
],
maka
,
=
+
�
�
=
=
-modul
dengan
adalah pasangan
idempoten ortogonal dari
merupakan idempoten
yang saling ortogonal. Selain itu
.
merupakan aljabar terhubung karena
juga merupakan
][
atas
Contoh 4.3. Aljabar matriks
].
idempoten pusat. Selanjutnya perhatikan
bahwa
di
Sebagai
dari
�
+
Definisi 4.4 Aljabar
disebut aljabar
terhubung (atau aljabar indekomposabel)
jika
bukan merupakan jumlahan
langsung dari dua aljabar, atau secara
ekuivalen,
dikatakan aljabar terhubung
jika
tidak memiliki idempotent pusat
selain 0 dan 1.
merupakan idempoten pusat
karena untuk setiap
�
],
=
berikut.
].
=[
�
menyatakan definisi dari aljabar terhubung
memiliki empat buah
yaitu
bukan merupakan elemen
Definisi idempoten pusat yang telah
Contoh 4.3 Diberikan sebuah K-aljabar
matriks berukuran × yaitu
=[
�
idempoten primitif karena
Untuk lebih memahami definisi di
atas, berikut akan diberikan sebuah contoh.
=�
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
, dan � =
indekomposabel jika dan hanya jika
dan
primitif.
juga merupakan idempoten primitif karena
Jika
tidak dapat ditulis sebagai jumlahan dari
maka
dua buah idempoten ortogonal tak nol di .
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
324
merupakan idempotent pusat,
−
juga
idempotent
pusat,
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
sehingga
sisi
−
dan
adalah ideal dua
dan keduanya
menjadi
�
−
=
=[
-aljabar
∈
dengan elemen identitas
∈
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
dan
−
⊕
−
adalah dekomposisi
merupakan
sebuah
dengan sifat
mengakibatkan
dekomposisi
,…,
=
dengan
ideal-ideal
=
kanan
�
=
=
Dengan demikian
⨁…⨁
=
merupakan
disebut
himpunan
lengkap
[
Diperoleh
]
=[
elemen idempoten primitif. Sifat berikut
=
akan sangat bermanfaaat dalam pembuktian
sifat-sifat berikutnya.
=
adalah
+
dengan
], dan
+
=
Lema 4.6 Sebuah idempoten ∈
jika dan hanya jika aljabar
memiliki idempoten dan .
=
][
=[
],
primitif
hanya
Bukti:
�.
(
) Diketahui
∈
merupakan elemen
=
+
idempoten primitif, artinya
=[
}
,
Selanjutnya akan diberikan sebuah
Idempoten-idempoten
],
merupakan ideal-ideal
lema yang menyatakan sifat dari suatu
ortogonal primitif dari
[
=
=
,
idempoten ortogonal primitif dari aljabar .
}
idempoten
Contoh 4.5 Diberikan K-aljabar
].
=
dengan
merupakan himpunan lengkap idempoten-
ortogonal primitif dari .
[
⊕
memiliki dekomposisi
kanan indekomposabel. Jadi { ,
dekomposisi
indekomposabel dan himpunan { , … ,
⊕
, dan
indekomposabel.
sebagai
].
terdapat
Dekomposisi seperti diatas selanjutnya
disebut
]
]
=[
idempoten-idempoten
orthogonal primitif dari
+
][
=[
} yang
Setiap himpunan { , … ,
],
=[
. Pada kasus ini dekomposisi
jumlahan langsung dari aljabar .
+
][
ditulis sebagai
]
tidak dapat
dengan
elemen idempoten ortogonal tak nol di
Diambil sebarang idempoten
katakan
=
dengan
∈ .
∈
,
.
,
Karena
merupakan idempoten maka
= sehingga diperoleh
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
325
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
=
=
=
=
=
=
Dengan demikian diperoleh
.
(
)
Akan
kontraposisi.
elemen
primitif,katakan
≠
tetapi
=
=
atau dengan kata lain
+
Bukti:
dengan
∈
Diandaikan
} yang merupakan himpunan dari semua
lintasan stasioner � = ||
adalah
himpunan lengkap idempoten-idempoten
ortogonal primitif untuk
.
=
atau
ditunjukkan
merupakan
,
=
Sesuai dengan definisi pergandaan, �
bukan
merupakan idempoten ortogonal untuk
idempoten
Karena
dengan
,
merupakan
=
=
+
Diambil
+
�
∈
selain
kontradiksi sehingga
dan
memiliki
sebarang
+
�∈
idempoten
� . Jelas bahwa � dapat ditulis
dan
adalah kombinasi linier dari siklus-siklus
yang memuat
dengan panjang
.
Karena � idempoten maka � = �, sehingga
diperoleh persamaan
.
Dengan demiian aljabar
idempoten
tidak
dengan � =⋋ � + , dengan ⋋∈
=
Diperoleh idempoten
�
�
aljabar
+
+
. Selanjutnya
idempoten selain 0 dan � .
+
�
∈�
ekuivalen dengan menunjukkan bahwa
Perhatikan bahwa
+
.
tinggal ditunjukkan bahwa � primitif, atau
idempoten yang saling orthogonal.
=
=∑
berhingga, maka
adalah identitas dari
=
dan
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
= � − � = ⋋ −⋋ � +
+ .
memiliki
.
Terjadi
merupakan elemen
idempoten primitif.
Setelah diberikan pengertian dari
⋋−
=
Dari persamaan diatas diperoleh
∎ ⋋ −⋋= , sehingga ⋋=
⋋= , maka � =⋋ � +
idempoten ortogonal primitif, berikut akan
atau ⋋= . Jika
= � . Di sisi
lain jika ⋋= , maka � =⋋ � +
diberikan lema yang mengatakan bahwa
= .
� tidak memiliki
Dengan demikian �
himpunan semua lintasan stasioner dari
dan
idempoten selain 0 dan � , sehingga
merupakan himpunan lengkap idempoten-
terbukti � primitif.
idempoten ortogonal primitif.
Himpunan
{� | ∈
}
yang
merupakan himpunan lengkap idempoten
Lema 4.7 Diberikan sebuah quiver
berhingga
. Elemen
= ∑ ∈� �
merupakan identitas dari
dan {� | ∈
ortogonal primitif untuk
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
326
tidak selalu
∎
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
=∑
tunggal. Seperti pada contoh 3.6(2), selain
himpunan {� , � }, himpunan {� + , � −
, ∈
= (∑
} juga merupakan himpunan lengkap
idempotent ortogonal primitif untuk
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Jadi
.
−
idempoten ortogonal primitif untuk aljabar
Diandaikan aljabar
maka sesuai definisi
Lema 4.8 Diberikan
aljabar asosiatif
dengan elemen identitas, dan dimisalkan
bahwa { , … , } adalah himpunan
lengkap berhingga dari idempotentidempoten orthogonal primitif. Aljabar
terhubung jika dan hanya jika tidak
terdapat suatu partisi yang tidak trivial
∪̇ dari himpunan { , , … , } sedemikian
hingga untuk ∈ dan ∈ berakibat
= =
.
pusat dengan
karena
∑
maka
≠
merupakan
={|
untuk
setiap
=
∈ ,
=
∈ dan ∈ . Akibatnya
= (∑
= (∑
∈
∈
) = (∑
)(∑ ∈
∈
=
+∑
=
=
atau
= } dan
∪̇
={|
)
,
∈
=
idempoten dari
=
diperoleh
diperoleh
=
,
,
. Karena
=
. Misalkan
=
}. Karena
sebuah partisi yang
= , dan jika
=
.
∈ ,
∈ ,
Dengan
demikian, jika ∈ dan ∈ , diperoleh
.
=
∈ . Dari
Selanjutnya diambil sebarang
yang diketahui
=
=
tidak trivial dari { , , … , }. Jika
= , dan
=
(∑
=
≠ , , jelas
merupakan idempoten.
∈ ,
Untuk setiap
=∑=
=
primitif,
idempoten-idempoten
otrogonal, maka
≠ . Diperoleh
dan
pusat. Diambil
sehingga
≠ . Dan karena
dan
=∑,
=
. Karena partisi tersebut tidak trivial,
∈
memuat idempoten
maka diperoleh
=
yang tidak trivial dan dimisalkan
≠
tidak terhubung,
= . . = ∑=
Diandaikan terdapat sebuah partisi
=
aljabar terhubung.
tersebut.
Bukti:
.
. Terjadi kontradiksi
karena diketahui
aljabar dengan partisi himpunan lengkap
)=
∈
adalah dekomposisi yang
tidak trivial dari
lema yang menyatakan keterkaitan suatu
) (∑
adalah idempoten pusat, dan
⊕
Berikutnya akan diberikan sebuah
+∑∈
∈
=
= .
Secara analog diperoleh juga
= .
∎
Dari beberapa sifat di atas dapat
, ketika
ditarik syarat perlu dan cukup dari suatu
)
∈
aljabar
lintasan
terhubung.
Telah
ditunjukkan pada Lema 4.7 bahwa {� | ∈
)
} yang merupakan himpunan dari semua
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
327
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
lintasan
� =
stasioner
||
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
�
adalah
� =
dan juga �
� = .
himpunan lengkap idempoten-idempoten
Dengan Lema 4.8, diperoleh
ortogonal primitif untuk aljabar lintasan
terhubung, sehingga terjadi kontradiksi.
. Padahal menurut Lema 4.8 dikatakan
Jadi
suatu aljabar terhubung jika dan hanya jika
quiver
dan
{� | ∈
jika
}
terpisah
jika
yang
||
quiver
terhubung.
′
′ ∪̇
dan
=�
" sedemikian hingga
∈
terhubung maka terdapat
tidak terpartisi. Hal
� .
"
maka
Karena
∈
′ dan
∈
" yang bertetangga. Tanpa mengurangi
tersebut hanya akan terpenuhi jika
merupakan
∈
=
� =
�
merupakan himpunan dari semua lintasan
stasioner � =
tidak terhubung. Dengan
Lema 4.8, maka terdapat partisi gabungan
dari suatu
merupakan aljabar terhubung jika
hanya
adalah quiver terhubung.
Diandaikan
ortogonal primitif tidak terpartisi. Dengan
demikian aljabar lintasan
adalah quiver terhubung.
Diketahui
himpunan lengkap idempoten-idempoten
tidak
keumuman, terdapat
Lebih
karena
jelasnya akan ditunjukkan dalam teorema
dan
diperoleh �
sebagai berikut.
kontradiksi.
Teorema 4.9 Diberikan
quiver
berhingga. Aljabar lintasan
terhubung
jika dan hanya jika quiver terhubung.
∶
panah
⟶
bertentangga. Akan tetapi
� ∈�
� = , terjadi
Jadi,
adalah
aljabar
terhubung.
Dari pembahasan di atas, dapat
disimpulkan bahwa keterhubungan suatu
Bukti:
aljabar
Diketahui
terhubung. Diandaikan
tidak terhubung, dan misalkan
komponen terhubung dari
subquiver penuh dari
"=
himpunan titik
′ maupun
′
berada di salah satu
′ atau
maka �
Kasus yang lain, jika �
�
aljabar lintasan
dari suatu quiver
Hasil dari penelitian ini dapat menjadi
terhubung, maka sebarang lintasan
� =
′
′. Jelas bahwa
Karena
kasus jika
dengan
quivernya. Telah ditunjukkan bahwa suatu
yang memiliki
" tidak kosong. Diambil
∈
erat
merupakan aljabar terhubung jika dan
".
dan
terkait
"
. Misalkan
\
lintasan
hanya jika
∈
dasar untuk penelitian lebih lanjut dengan
tidak
mempelajari teori representasi dan kategori.
di
Sebagaimana disebutkan Savage (2006),
". Dipilih
=
merupakan quiver terhubung.
bahwa kategori modul-modul berdimensi
� = .
hingga atas aljabar lintasan
ekuivalen
dengan kategori representasi-representasi
maka
� = . Hal ini menunjukkan bahwa
berdimensi hingga dari quiver .
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
328
∎
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
Savage A., 2006, Finite-dimensional
algebras and quivers, Encyclopedia
or Mathematical Physics, 2 : 313-320.
DAFTAR PUSTAKA
Abrams, G., Kanuni, M., 2013, Cohn path
algebras have Invariant Basis
Number. ArXiV: 1303.2122v2.
Tomforde, M., 2011, Leavitt path algebras
with coefficients in a commutative
ring, J. Pure Appl. Algebra 215(4) :
471-484.
Alahmadi, A., Alsulami, H., 2014,
Simplicity of the Lie algebra of skew
symmetric elements of a Leavitt path
algebra. ArXiv:1304.2385.
Ara, P., Corti˜nas, G., 2013, Tensor
products of Leavitt path algebras,
Proc. Amer. Math. Soc. 141(8): 2629
– 2639.
Assem, I., Simson, D. & Skowronski, A.,
2005 Elemens of the Representation
Theory of Associative Algebras,
London Math.Soc Student Text 65.
Cambridge University Press.
Dummit, D.S., and Foote, R.M., 2004,
Abstract Algebra, Third Edition, John
Wiley & Sons, United State of
America.
Hazrat, R., 2013, A note on the
isomorphism conjectures for Leavitt
path algebras, J. Algebra 375 : 33–
40.
Rodriguez, M.A., Neubauer, P., 2011, A
path algebra for multi-relational
graphs, Proceedings of the 2011
IEEE 27th International Conference
on Data Engineering Workshops,
Vol. April 11-16 : 128-131.
Ruiz,
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
E.,
Tomforde,
M.,
2013,
Classification of unital simple Leavitt
path algebras of infinite graphs, J.
Algebra 384 45–83.
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
The Quiver of a Connected Path Algebra
Vika Yugi Kurniawan
Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRACT
A directed graph can be viewed as a 4-tuple =
, , , t where
and
are
finite sets of vertices and arrows respectively, and , are two maps from
to
. A
directed graph is often called a quiver. For a quiver and a field , we can define a algebra with basis the set of all paths in . This -algebra is called path algebra
. In this
paper, we study the properties of a path algebra over a field . These properties are used to
show interplay betwen a connected path algebra and its quiver. In the end of discussion, we
show that the path algebra KQ is connected if and only if Q is a connected quiver.
Keywords: Idempotent, Indecomposable, Path Algebra, Primitive orthogonal.
ABSTRAK
Graf berarah dapat dipandang sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari dua himpunan
serta dua pemetaan dan disebut sebagai quiver =
, , , . Untuk sebarang quiver
dan lapangan , dapat didefinisikan suatu -aljabar yang disebut dengan aljabar lintasan
yang memiliki basis berupa himpunan semua lintasan yang ada pada quiver . Pada makalah
ini, dipelajari sifat-sifat dari suatu aljabar lintasan atas lapangan . Selanjutnya sifat-sifat
tersebut digunakan untuk menunjukkan keterkaitan antara aljabar lintasan terhubung dengan
quivernya. Diakhir pembahasan ditunjukan bahwa suatu aljabar lintasan
dari suatu quiver
merupakan aljabar terhubung jika dan hanya jika merupakan quiver terhubung
Kata Kunci : Aljabar lintasan, Idempoten, Indekomposabel, Ortogonal primitif.
Banyak persoalan akan lebih jelas untuk
PENDAHULUAN
dari
difahami apabila direpresentasikan dalam
matematika diskrit yang banyak digunakan
bentuk graf. Konsep graf karya Euler dalam
sebagai alat bantu untuk menggambarkan
menyelesaikan
atau menyatakan suatu persoalan agar lebih
Konigsberg pada tahun 1735 merupakan
mudah
awal dari lahirnya teori graf. Meskipun
Teori
graf
dimengerti
adalah
dan
bagian
diselesaikan.
masalah
Coresponding Author : [email protected] (phone: +62-856-2528-707)
318
Jembatan
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
umurnya relatif muda, teori graf telah
bermanfaat untuk mempelajari hal-hal yang
berkembang sangat pesat akhir-akhir ini,
berkaitan dengan lintasan dari suatu graf
baik dalam bidang pengembangan teori
berarah atau quiver. Salah satunya pada
maupun aplikasi di berbagai bidang.
makalah Redrigues dan Neubaeur (2011)
Graf
secara
umum
yang
merupakan
memberikan
obyek kombinatorial yang terdiri dari garis-
secara
garis
digunakan
(edges)
dan
titik-titik
(vertex).
umum
kesimpulan
aljabar
untuk
bahwa
lintasan
dapat
mengkonstrusi
suatu
Apabila setiap garis dari graf memiliki
pembangun melintang dari graf multi-
orientasi arah, maka graf tersebut disebut
relasional
sebagai graf berarah. Dalam beberapa
tranversal
literatur, graf berarah dapat dipandang
perkembangan
sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari
lintasan ini cukup pesat sekali, antara lain
dua himpunan serta dua pemetaan dan
yang ditulis oleh Abrams dan Kanuni
disebut sebagai quiver
Himpunan
yang
himpunan titik
dimaksud
dari
himpunan
titik,
dengan
∈
,
, , .
dan
himpunan
yaitu
, ∶
tentang
itu
aljabar
Ruiz dan Tomforde (2013), dan Tomforde
.
(2011).
Pada makalah ini, dipelajari sifat-
ke
→
kajian
Karena
Ara dan Cortinas (2013), Hazrat (2013),
adalah
panah
engine).
graph
(2013), Alahmadi dan Alasulami (2014),
adalah
dan himpunan panah
Sedangkan pemetaan
pemetaan
=
multi-relational
(a
sifat
,
dari
suatu
alabar
lintasan
atas
disebut sebagai sumber
lapangan. Selajutnya sifat-sifat tersebut
∈
disebut
digunakan untuk menunjukkan keterkaitan
. Barisan
antara quiver terhadap keterhubungan dari
disebut sebagai
aljabar lintasannya. Penulisan makalah ini
lintasan. Dengan mendefinisikan suatu
bersifat studi kepustakaan, dimana penulis
operasi perkalian pada himpunan lintasan,
menghimpun hasil-hasil penelitian dari
maka himpunan semua lintasan pada quiver
berbagai
membentuk struktur semigrup. Selanjutnya
menyajikannya kembali secara runtut dan
untuk sebarang quiver
disertai contoh-contoh supaya pembaca
dari panah
∈
dan
sebagai target dari panah
panah-panah pada quiver
∈
dan lapangan
referensi
kemudian
dapat didefinisikan suatu K-aljabar yang
lebih mudah dalam memahami konsep
disebut dengan aljabar lintasan
aljabar lintasan atas lapangan.
yang
memiliki basis berupa himpunan semua
ALJABAR ATAS LAPANGAN
lintasan yang ada pada quiver tersebut.
Teori
tentang
aljabar
lintasan
Sebelum membahas tentang aljabar
sangat
lintasan,
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
319
terlebih
dahulu
akan
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
diperkenalkan pengertian aljabar beserta
�
contoh dan sifat-sifatnya. Perlu diketahui
bahwa beberapa pengertian dalam makalah
= {[
×
ini diambil dari Assem (2005) dan Dummit
⋱
∈
];
, untuk
}
(2004).
dengan
Definisi 2.1 Aljabar A atas lapangan K
atau K-aljabar adalah sebuah ring A
dengan elemen identitas sedemikian
sehingga sebagai K-ruang vektor A
memenuhi kondisi:
perkalian antar matriks biasa serta
⋋
=
untuk setiap ⋋∈
⋋
dan ,
=
perkalian
∈ .
merupakan
pemetaan linier dan untuk setiap
=
berlaku
. Jika
,
A. Sub
dari A
elemen
, ∈
Salah satu sub aljabar dari �
adalah
×
himpunan matriks segitiga atas berukuran
∈
× . Matriks identitas I dengan ukuran
bijektif
×
maka A dan B dikatakan isomorfis yang
dinotasikan
Definisi 2.3 Diberikan K-aljabar
ruang B di A disebut sub aljabar
jika elemen identitas A merupakan
identitas B dan untuk setiap
berlaku
∈ .
Perhatikan contoh 2.2 nomor 2.
disebut suatu
homomorfisma K-aljabar jika
matriks
aljabar.
⋋=⋋ . Jika A dan B merupakan K→
dengan
berikut akan diberikan definisi dari sub
⋋
sama dengan perkalian skalar dari kiri,
:
skalar
dan
Setelah memahami definisi aljabar,
dengan skalar dari kanan didefinisikan
aljabar, pemetaan
penjumlahan
merupakan aljabar atas lapangan .
Dalam hal ini perkalian vektor
yaitu
operasi
,
merupakan elemen identitas pada
matriks segitiga atas. Hasil kali matriks
≅ . Berikut akan diberikan
beberapa contoh aljabar.
segitiga atas juga berupa matriks segitiga
Contoh 2.2
atas.
aljabar, dengan operasi penjumlahan
perkaliaannya
terdefinisi
Demikian
seperti
dalam
pula
yang
operasi
matriks
berukuran
×
×
Pada
×
operasi
segitiga
bawah
merupakan sub aljabar
.
QUIVER DAN ALJABAR LINTASAN
perkalian skalarnya.
2. Matriks berukuran
, yaitu
himpunan
dari �
lapangannya.
dengan
demikian
perkaliaannya bersifat tertutup. Begitu juga
1. Setiap lapangan K merupakan K-
dan
Dengan
atas lapangan
bagian
ini
akan
diberikan
pengertian dasar beserta contoh dari quiver
dan aljabar lintasan.
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
320
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
Definisi 3.1 Quiver adalah pasangan 4tupel
, , ,
yang terdiri atas dua
himpunan, yaitu
(yang elemenelemennya disebut titik) dan
(yang
elemen-elemennya disebut panah), serta
dua pemetaan
, :
⟶
dengan
∈
disebut sumber dari panah ∈
dan
∈
disebut target dari
panah ∈ .
=
bersumber di
di
=
=
,
secara lebih ringkas
saja. Quiver
dan
diberikan sebagai berikut.
Definisi 3.3 Diberikan quiver
=
, , ,
dan
, ∈ . Barisan
| , , … , | dengan
∈
untuk
setiap
, dan berlaku
= ,
=
untuk setiap
+
=
disebut lintasan dengan
dan
panjang
yang bersumber di
dan
bertarget di .
dan bertarget
maka biasa ditulis
Quiver
lintasan pada suatu quiver yang akan
∈
Pada definisi di atas, jika
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
, ,
∶
biasa
=
,
Lintasan dapat ditulis juga sebagai
⟶ .
sebagai berikut
atau
dikatakan berhingga jika
berikut
akan
∈
ini setiap
��
→
→
= .
dengan
. Dalam hal
juga dipandang lintasan
yang dengan panjang = , disebut sebagai
diberikan
lintasan trivial pada
pengertian subquiver.
Definisi
, ,
′
=
′⊆
→
panjang dinotasikan dengan
terhubung jika ̅ graf terhubung.
Selanjutnya,
�
→
dan digambarkan
Himpunan semua lintasan pada
yang arah
dari setiap panahnya diabaikan, maka
quiver
�
=
merupakan himpunan berhingga.
Apabila graf ̅ adalah quiver
…
barisan panah
ditulis
dengan � =
3.2 Subquiver dari quiver
=
, merupakan pasangan 4-tupel
′, ′, ′, ′
sedemikian hingga
′
′
,
′⊆ ,
= |� ′ ,
=
dan dinotasikan
|| .
Definisi 3.4 Lintasan dengan panjang
yang memiliki sumber dan target pada
titik yang sama disebut siklus. Siklus
dengan panjang 1 disebut loop. Quiver
disebut asiklis jika tidak memiliki siklus.
|� ′ . Selain itu juga dipenuhi jika
∶
⟶ merupakan panah di
sedemikian
hingga
∈ ′ dan
, ∈ ′ maka
′
= dan ′
= .
pendahulu dari
dasar dari quiver, berikut akan diberikan
pengikut dari . Selanjutnya, jika terdapat
pengertian aljabar lintasan yang merupakan
panah dari
aljabar
pendahulu langsung dari
Pada quiver
dari
Setelah diberikan beberapa pengertian
yang
dibangun
oleh
lintasan-
ke
, jika terdapat lintasan
maka
ke
dan
maka
disebut sebagai
disebut sebagai
disebut sebagai
dan
disebut
lintasan yang ada pada quiver. Tapi
sebagai pengikut langsung dari
. Untuk
sebelumnya perlu diketahui definisi dari
setiap
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
321
∈
,
−
didefinisikan sebagai
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
Contoh 3.6 Diberikan quiver Q yang terdiri
himpunan semua pendahulu langsung dari
, dan
+
adalah himpunan semua pengikut
langsung dari
−
. Untuk selanjutnya,
disebut sebagai tetangga dari .
Pada
penelitian
ini
+
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
dari dua buah titik dengan dua buah panah
∪
yang menghubungkan keduanya seperti
pada gambar berikut
diasumsikan
semua quiver yang diberikan merupakan
quiver berhingga. Dengan mendefinisikan
Himpunan {ε , ε , } merupakan basis
suatu operasi perkalian pada himpunan
dari aljabar lintasan KQ dengan definisi
lintasan yang berupa barisan panah-panah,
maka himpunan semua lintasan pada quiver
perkalian yang diberikan pada tabel
membentuk struktur semigrup. Dengan
berikut
demikian himpunan lintasan dengan operasi
⋅
ε
ε
penjumlahan dan perkalian merupakan
sebuah ring. Selanjutnya untuk sebarang
K
lapangan
dan
quiver
dapat
didefinisikan suatu K-aljabar yang disebut
ε
ε
0
ε
0
ε
0
0
Α
0
Α
0
0
0
0
0
dengan aljabar lintasan atas lapangan K
Dapat ditunjukkan bahwa KQ isomorfis
pada .
dengan aljabar matriks segitiga bawah,
Definisi 3.5 Diberikan quiver . Aljabar
atas K yang sebagai basisnya adalah
himpunan
semua
lintasan
| , , … , | dengan panjang
di disebut sebagai aljabar lintasan
.
Pada aljabar lintasan
dua buah lintasan
didefinsikan dengan
{
…
…
…
…
=
…
; jika
; jika
yaitu
K
T K =[
K
dan
a
b, c
={[
, hasil kali
…
K
]
d
] | a, b, c, d ∈ K}.
Isomorfisma tersebut diberikan oleh
suatu
pemetaan
linier
sedemikian
hingga
=
≠
.
ε ⟼[
Untuk lebih memperjelas pengertian aljabar
⟼[
lintasan yang telah diberikan di atas,
berikut akan diberikan beberapa contoh
sederhana dari aljabar lintasan.
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
322
,
,
],ε ⟼ [
], ⟼ [
,
,
],
].
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
=�
= .
berhingga, maka ∑
SIFAT-SIFAT ALJABAR LINTASAN
Jika
Setelah mamahami definisi aljabar
∈�
adalah
lintasan beserta contoh-contohnya, berikut
identitas untuk
akan diberikan sifat-sifat aljabar lintasan.
Sebaliknya diandaikan bahwa
tak
Beberapa sifat di makalah ini diambil dari
berhingga. Misalkan
adalah
Assem (2005) yang akan disajikan dengan
elemen identitas dari
=∑= ⋋
lebih terurut dan bukti-bukti yang lebih
skalar tak nol dan
jelas. Sifat yang pertama menunjukkan
Himpunan semua sumber dari lintasan-
hubungan antara keberhinggaan quiver
lintasan
dengan aljabar lintasannya. Ada tidaknya
memiliki
siklus dan keberhinggaan jumlah titik pada
Diambil
�
suatu quiver memiliki hubungan terhadap
keberhinggan dimensi aljabar lintasannya.
.
�
, dengan ⋋ adalah
lintasan di
.
′, paling banyak
, katakan
elemen dan jelas berhingga.
sebarang
≠
maka
∈
\
′,
� . = ,
karena
terjadi
kontradiksi. Jadi, diperoleh bahwa
berhingga.
Lema 4.1 Diberikan quiver
dan
tak berhinga, maka basis dari
merupakan aljabar lintasan dari , maka (c) Andaikan
berlaku:
juga berdimensi tak hingga. Jika
=
(a)
(b)
adalah aljabar asosiatif,
memiliki sebuah elemen identitas
jika dan hanya jika
berhingga,
(c)
berdimensi hingga jika dan hanya
jika berhingga dan asikslis.
Bukti:
…
merupakan siklus di
maka untuk setiap
=
basis
,
diperoleh vektor
…
sehingga
juga
berdimensi tak hingga. Sebaliknya, jika
berhingga dan asikslis, maka
memuat
(a) Dengan memperhatikan kembali definisi
sehingga
pergandaan dua buah lintasan pada aljabar
lintasan
berhingga
berdimensi hingga.
Sebelum
lintasan, dapat diketahui bahwa hasil kali
sebanyak
hanya
membahas
tentang
lintasan yang jelas bersifat asosiatif.
lintasan, akan diberikan pengertian dari
|…|
(∑
untuk mendefinisikan aljabar terhubung
merupakan sebuah idempoten dari
Diambil
sebarang
lintasan
di , diperoleh
aljabar
elemen idempoten yang akan bermanfaat
(b) Jelas bahwa setiap lintasan stasioner � =
.
suatu
lanjut
vektor-vektor basis merupakan komposisi
||
keterhubungan
lebih
dan membahas sifat-sifatnya.
=
Definisi 4.2 Diberikan sebuah K-aljabar .
Elemen dikatakan idempoten jika
= .
Elemen idempoten dikatakan idempotent
pusat jika untuk setiap ∈ berlaku
=
� � ) = (� + � + + � � )
=�
+ +�
+ +� �
= + + +�
+ + +
� ∈�
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
323
∎
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
.
Elemen
idempotent
, ∈
dikatakan saling ortogonal jika
=
= . Elemen idempoten
dikatakan
primitif jika tidak dapat ditulis sebagai
jumlahan dari dua elemen idempoten
ortogonal tak nol di .
Sedangkan
Perhatikan bahwa
idempoten
diberikan
],
[
Jelas bahwa
�
], dan
=[
�
=
�.
�
=[
∈
berlaku
�
=[
Diambil sebarang
, diperoleh
=
=[
]=[
][
][
=[
Dengan demikian
�
]=
.
�
dan
sehingga
=[
=[
dan
][
digunakan
untuk
contohnya
perhatikan
=�
tidak memiliki idempoten pusat selain
=
dan
]∈
�.
Setiap aljabar
memiliki dua
merupakan idempoten yang tidak trivial
maka
−
juga idempotent yang
tidak trivial, dengan sifat
ortogonal.
Akibat
dan
lainnya
− saling
juga
akan
terdapat dekomposisi -modul kanan
]=[
�
idempotent trivial yaitu 0 dan 1. Jika
]
]=[
⊕
� ⊕�
−
. Sebaliknya, jika
adalah dekomposisi
yang tidak trivial dan
]
∈�,
],
maka
,
=
+
�
�
=
=
-modul
dengan
adalah pasangan
idempoten ortogonal dari
merupakan idempoten
yang saling ortogonal. Selain itu
.
merupakan aljabar terhubung karena
juga merupakan
][
atas
Contoh 4.3. Aljabar matriks
].
idempoten pusat. Selanjutnya perhatikan
bahwa
di
Sebagai
dari
�
+
Definisi 4.4 Aljabar
disebut aljabar
terhubung (atau aljabar indekomposabel)
jika
bukan merupakan jumlahan
langsung dari dua aljabar, atau secara
ekuivalen,
dikatakan aljabar terhubung
jika
tidak memiliki idempotent pusat
selain 0 dan 1.
merupakan idempoten pusat
karena untuk setiap
�
],
=
berikut.
].
=[
�
menyatakan definisi dari aljabar terhubung
memiliki empat buah
yaitu
bukan merupakan elemen
Definisi idempoten pusat yang telah
Contoh 4.3 Diberikan sebuah K-aljabar
matriks berukuran × yaitu
=[
�
idempoten primitif karena
Untuk lebih memahami definisi di
atas, berikut akan diberikan sebuah contoh.
=�
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
, dan � =
indekomposabel jika dan hanya jika
dan
primitif.
juga merupakan idempoten primitif karena
Jika
tidak dapat ditulis sebagai jumlahan dari
maka
dua buah idempoten ortogonal tak nol di .
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
324
merupakan idempotent pusat,
−
juga
idempotent
pusat,
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
sehingga
sisi
−
dan
adalah ideal dua
dan keduanya
menjadi
�
−
=
=[
-aljabar
∈
dengan elemen identitas
∈
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
dan
−
⊕
−
adalah dekomposisi
merupakan
sebuah
dengan sifat
mengakibatkan
dekomposisi
,…,
=
dengan
ideal-ideal
=
kanan
�
=
=
Dengan demikian
⨁…⨁
=
merupakan
disebut
himpunan
lengkap
[
Diperoleh
]
=[
elemen idempoten primitif. Sifat berikut
=
akan sangat bermanfaaat dalam pembuktian
sifat-sifat berikutnya.
=
adalah
+
dengan
], dan
+
=
Lema 4.6 Sebuah idempoten ∈
jika dan hanya jika aljabar
memiliki idempoten dan .
=
][
=[
],
primitif
hanya
Bukti:
�.
(
) Diketahui
∈
merupakan elemen
=
+
idempoten primitif, artinya
=[
}
,
Selanjutnya akan diberikan sebuah
Idempoten-idempoten
],
merupakan ideal-ideal
lema yang menyatakan sifat dari suatu
ortogonal primitif dari
[
=
=
,
idempoten ortogonal primitif dari aljabar .
}
idempoten
Contoh 4.5 Diberikan K-aljabar
].
=
dengan
merupakan himpunan lengkap idempoten-
ortogonal primitif dari .
[
⊕
memiliki dekomposisi
kanan indekomposabel. Jadi { ,
dekomposisi
indekomposabel dan himpunan { , … ,
⊕
, dan
indekomposabel.
sebagai
].
terdapat
Dekomposisi seperti diatas selanjutnya
disebut
]
]
=[
idempoten-idempoten
orthogonal primitif dari
+
][
=[
} yang
Setiap himpunan { , … ,
],
=[
. Pada kasus ini dekomposisi
jumlahan langsung dari aljabar .
+
][
ditulis sebagai
]
tidak dapat
dengan
elemen idempoten ortogonal tak nol di
Diambil sebarang idempoten
katakan
=
dengan
∈ .
∈
,
.
,
Karena
merupakan idempoten maka
= sehingga diperoleh
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
325
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
=
=
=
=
=
=
Dengan demikian diperoleh
.
(
)
Akan
kontraposisi.
elemen
primitif,katakan
≠
tetapi
=
=
atau dengan kata lain
+
Bukti:
dengan
∈
Diandaikan
} yang merupakan himpunan dari semua
lintasan stasioner � = ||
adalah
himpunan lengkap idempoten-idempoten
ortogonal primitif untuk
.
=
atau
ditunjukkan
merupakan
,
=
Sesuai dengan definisi pergandaan, �
bukan
merupakan idempoten ortogonal untuk
idempoten
Karena
dengan
,
merupakan
=
=
+
Diambil
+
�
∈
selain
kontradiksi sehingga
dan
memiliki
sebarang
+
�∈
idempoten
� . Jelas bahwa � dapat ditulis
dan
adalah kombinasi linier dari siklus-siklus
yang memuat
dengan panjang
.
Karena � idempoten maka � = �, sehingga
diperoleh persamaan
.
Dengan demiian aljabar
idempoten
tidak
dengan � =⋋ � + , dengan ⋋∈
=
Diperoleh idempoten
�
�
aljabar
+
+
. Selanjutnya
idempoten selain 0 dan � .
+
�
∈�
ekuivalen dengan menunjukkan bahwa
Perhatikan bahwa
+
.
tinggal ditunjukkan bahwa � primitif, atau
idempoten yang saling orthogonal.
=
=∑
berhingga, maka
adalah identitas dari
=
dan
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
= � − � = ⋋ −⋋ � +
+ .
memiliki
.
Terjadi
merupakan elemen
idempoten primitif.
Setelah diberikan pengertian dari
⋋−
=
Dari persamaan diatas diperoleh
∎ ⋋ −⋋= , sehingga ⋋=
⋋= , maka � =⋋ � +
idempoten ortogonal primitif, berikut akan
atau ⋋= . Jika
= � . Di sisi
lain jika ⋋= , maka � =⋋ � +
diberikan lema yang mengatakan bahwa
= .
� tidak memiliki
Dengan demikian �
himpunan semua lintasan stasioner dari
dan
idempoten selain 0 dan � , sehingga
merupakan himpunan lengkap idempoten-
terbukti � primitif.
idempoten ortogonal primitif.
Himpunan
{� | ∈
}
yang
merupakan himpunan lengkap idempoten
Lema 4.7 Diberikan sebuah quiver
berhingga
. Elemen
= ∑ ∈� �
merupakan identitas dari
dan {� | ∈
ortogonal primitif untuk
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
326
tidak selalu
∎
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
=∑
tunggal. Seperti pada contoh 3.6(2), selain
himpunan {� , � }, himpunan {� + , � −
, ∈
= (∑
} juga merupakan himpunan lengkap
idempotent ortogonal primitif untuk
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Jadi
.
−
idempoten ortogonal primitif untuk aljabar
Diandaikan aljabar
maka sesuai definisi
Lema 4.8 Diberikan
aljabar asosiatif
dengan elemen identitas, dan dimisalkan
bahwa { , … , } adalah himpunan
lengkap berhingga dari idempotentidempoten orthogonal primitif. Aljabar
terhubung jika dan hanya jika tidak
terdapat suatu partisi yang tidak trivial
∪̇ dari himpunan { , , … , } sedemikian
hingga untuk ∈ dan ∈ berakibat
= =
.
pusat dengan
karena
∑
maka
≠
merupakan
={|
untuk
setiap
=
∈ ,
=
∈ dan ∈ . Akibatnya
= (∑
= (∑
∈
∈
) = (∑
)(∑ ∈
∈
=
+∑
=
=
atau
= } dan
∪̇
={|
)
,
∈
=
idempoten dari
=
diperoleh
diperoleh
=
,
,
. Karena
=
. Misalkan
=
}. Karena
sebuah partisi yang
= , dan jika
=
.
∈ ,
∈ ,
Dengan
demikian, jika ∈ dan ∈ , diperoleh
.
=
∈ . Dari
Selanjutnya diambil sebarang
yang diketahui
=
=
tidak trivial dari { , , … , }. Jika
= , dan
=
(∑
=
≠ , , jelas
merupakan idempoten.
∈ ,
Untuk setiap
=∑=
=
primitif,
idempoten-idempoten
otrogonal, maka
≠ . Diperoleh
dan
pusat. Diambil
sehingga
≠ . Dan karena
dan
=∑,
=
. Karena partisi tersebut tidak trivial,
∈
memuat idempoten
maka diperoleh
=
yang tidak trivial dan dimisalkan
≠
tidak terhubung,
= . . = ∑=
Diandaikan terdapat sebuah partisi
=
aljabar terhubung.
tersebut.
Bukti:
.
. Terjadi kontradiksi
karena diketahui
aljabar dengan partisi himpunan lengkap
)=
∈
adalah dekomposisi yang
tidak trivial dari
lema yang menyatakan keterkaitan suatu
) (∑
adalah idempoten pusat, dan
⊕
Berikutnya akan diberikan sebuah
+∑∈
∈
=
= .
Secara analog diperoleh juga
= .
∎
Dari beberapa sifat di atas dapat
, ketika
ditarik syarat perlu dan cukup dari suatu
)
∈
aljabar
lintasan
terhubung.
Telah
ditunjukkan pada Lema 4.7 bahwa {� | ∈
)
} yang merupakan himpunan dari semua
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
327
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
lintasan
� =
stasioner
||
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
�
adalah
� =
dan juga �
� = .
himpunan lengkap idempoten-idempoten
Dengan Lema 4.8, diperoleh
ortogonal primitif untuk aljabar lintasan
terhubung, sehingga terjadi kontradiksi.
. Padahal menurut Lema 4.8 dikatakan
Jadi
suatu aljabar terhubung jika dan hanya jika
quiver
dan
{� | ∈
jika
}
terpisah
jika
yang
||
quiver
terhubung.
′
′ ∪̇
dan
=�
" sedemikian hingga
∈
terhubung maka terdapat
tidak terpartisi. Hal
� .
"
maka
Karena
∈
′ dan
∈
" yang bertetangga. Tanpa mengurangi
tersebut hanya akan terpenuhi jika
merupakan
∈
=
� =
�
merupakan himpunan dari semua lintasan
stasioner � =
tidak terhubung. Dengan
Lema 4.8, maka terdapat partisi gabungan
dari suatu
merupakan aljabar terhubung jika
hanya
adalah quiver terhubung.
Diandaikan
ortogonal primitif tidak terpartisi. Dengan
demikian aljabar lintasan
adalah quiver terhubung.
Diketahui
himpunan lengkap idempoten-idempoten
tidak
keumuman, terdapat
Lebih
karena
jelasnya akan ditunjukkan dalam teorema
dan
diperoleh �
sebagai berikut.
kontradiksi.
Teorema 4.9 Diberikan
quiver
berhingga. Aljabar lintasan
terhubung
jika dan hanya jika quiver terhubung.
∶
panah
⟶
bertentangga. Akan tetapi
� ∈�
� = , terjadi
Jadi,
adalah
aljabar
terhubung.
Dari pembahasan di atas, dapat
disimpulkan bahwa keterhubungan suatu
Bukti:
aljabar
Diketahui
terhubung. Diandaikan
tidak terhubung, dan misalkan
komponen terhubung dari
subquiver penuh dari
"=
himpunan titik
′ maupun
′
berada di salah satu
′ atau
maka �
Kasus yang lain, jika �
�
aljabar lintasan
dari suatu quiver
Hasil dari penelitian ini dapat menjadi
terhubung, maka sebarang lintasan
� =
′
′. Jelas bahwa
Karena
kasus jika
dengan
quivernya. Telah ditunjukkan bahwa suatu
yang memiliki
" tidak kosong. Diambil
∈
erat
merupakan aljabar terhubung jika dan
".
dan
terkait
"
. Misalkan
\
lintasan
hanya jika
∈
dasar untuk penelitian lebih lanjut dengan
tidak
mempelajari teori representasi dan kategori.
di
Sebagaimana disebutkan Savage (2006),
". Dipilih
=
merupakan quiver terhubung.
bahwa kategori modul-modul berdimensi
� = .
hingga atas aljabar lintasan
ekuivalen
dengan kategori representasi-representasi
maka
� = . Hal ini menunjukkan bahwa
berdimensi hingga dari quiver .
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
328
∎
Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329
Desember 2016
Savage A., 2006, Finite-dimensional
algebras and quivers, Encyclopedia
or Mathematical Physics, 2 : 313-320.
DAFTAR PUSTAKA
Abrams, G., Kanuni, M., 2013, Cohn path
algebras have Invariant Basis
Number. ArXiV: 1303.2122v2.
Tomforde, M., 2011, Leavitt path algebras
with coefficients in a commutative
ring, J. Pure Appl. Algebra 215(4) :
471-484.
Alahmadi, A., Alsulami, H., 2014,
Simplicity of the Lie algebra of skew
symmetric elements of a Leavitt path
algebra. ArXiv:1304.2385.
Ara, P., Corti˜nas, G., 2013, Tensor
products of Leavitt path algebras,
Proc. Amer. Math. Soc. 141(8): 2629
– 2639.
Assem, I., Simson, D. & Skowronski, A.,
2005 Elemens of the Representation
Theory of Associative Algebras,
London Math.Soc Student Text 65.
Cambridge University Press.
Dummit, D.S., and Foote, R.M., 2004,
Abstract Algebra, Third Edition, John
Wiley & Sons, United State of
America.
Hazrat, R., 2013, A note on the
isomorphism conjectures for Leavitt
path algebras, J. Algebra 375 : 33–
40.
Rodriguez, M.A., Neubauer, P., 2011, A
path algebra for multi-relational
graphs, Proceedings of the 2011
IEEE 27th International Conference
on Data Engineering Workshops,
Vol. April 11-16 : 128-131.
Ruiz,
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
E.,
Tomforde,
M.,
2013,
Classification of unital simple Leavitt
path algebras of infinite graphs, J.
Algebra 384 45–83.
Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung
(Vika Yugi Kurniawan)
329