this PDF file Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean | Kurniawan | Natural Science: Journal of Science and Technology 1 PB
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks
atas Semiring Boolean
Zero Divisor Graph of Semiring
of Matrices over Boolean Semiring
Vika Yugi Kurniawan*
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret
ABSTRACT
The zero-divisor graph of a semiring , denoted by
, is the (simple) graph whose
vertex set is the set of non-zero zero-divisors of . Two distinct vertices are connected by an
edge if their product is zero. In this paper we study the properties of the right zero divisors
and the left zero divisors of semiring of matrices over Boolean semiring
and then use
).
these results to determine the diameter of the graph (
Keywords : zero divisor graph, diameter of a graph, semiring of matrices, Boolean
semiring.
ABSTRAK
Untuk setiap semiring yang memiliki pembagi nol sejati dapat dibentuk suatu graf
graf pembagi nol
. Himpunan semua pembagi nol sejati dari yang dinotasikan
saling
sebagai himpunan verteks dari graf
. Dua verteks berbeda dan di
terhubung oleh sebuah edge jika dan hanya jika berlaku
atau
. Pada makalah
ini dipelajari sifat-sifat pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan dari semiring matriks atas
semiring Boolean, dinotasikan
. Selanjutnya sifat-sifat tersebut digunakan untuk
).
menentukan diameter dari graf (
Kata Kunci:
Boolean.
graf pembagi nol, diameter graf, semiring matriks, semiring
Coresponding Author : [email protected], [email protected] (phone: + 62-856-2528-707)
127
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
sifat-sifat
1. Pendahuluan
Konsep tentang graf pembagi nol
tersebut
digunakan
untuk
(
).
menentukan diameter dari graf
pertama kali diperkenalan oleh Beck (1988)
Penulisan
dalam kajiannya tentang ring komutatif
.
kepustakaan yang mengacu pada hasil
Graf pembagi nol
didefinisikan sebagai
kajian John dan Vijay (2014) dengan
graf
dengan
menyertakan
sederhana
himpunan
verteksnya adalah elemen-elemen pembagi
nol di dalam ring
dan dua verteks
saling terhubung jika
makalah
ini
konsep
bersifat
dasar
studi
dari
graf
pembagi nol beserta contoh-contoh.
dan
. Kajian
2. Semiring Matriks atas Semiring
tentang graf pembagi nol ini berkembang
Boolean
sangat cepat. Anderson dan Livingston
Menurut Golan [4], semiring adalah
(1999) melakukan kajian yang cukup
himpunan tak kosong
yang dilengkapi
mendalam tentang graf pembagi nol dari
operasi penjumlahan
dan pergandaan
ring
komutatif.
Pada
tahun-tahun
yang didefinsikan sedemikian sehingga
berikutnya banyak peneliti yang mengkaji
memenuhi kondisi-kondisi berikut:
sekaligus mengembangkan gagasan tentang
1.
graf
pembagi
mengembangkan
nol.
Redmond
setiap
non-
(i)
komutatif. Lebih jauh lagi, Dozlan dan
(ii)
Oblak (2012) mengembangkan kajian graf
(iii)
nol
pada
tentang
kasus
ring
pembagi nol dari semiring.
2.
Berikutnya, John dan Vijay (2014)
semiring
matriks
atas
adalah monoid dengan elemen
indentitas 1, artinya untuk setiap
berlaku:
semiring
(i)
Boolean. Dalam kajian tersebut telah
(ii)
ditentukan diameter graf pembagi nol dari
3. Distributif
semiring matriks atas semiring Boolean
atau yang dinotasikan dengan
(
).
untuk setiap
(i)
pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan
(ii)
semiring
matriks
Boolean, dinotasikan
atas
pergandaan
atas
penjumlahan dari kedua sisi, artinya
Pada makalah ini dipelajari sifat-sifat
dari
komutatif
berlaku:
melakukan kajian tentang graf pembagi nol
dari
monoid
dengan elemen netral 0, artinya untuk
graf
pembagi
konsep
(2002)
adalah
semiring
4. Elemen
. Selanjutnya
netral
berlaku:
terhadap
operasi
penjumlahan juga merupakan elemen
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
128
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
penyerap terhadap pergandaan, artinya
, untuk semua
Suatu semiring yang anggotanya
berupa
.
matriks-matriks
persegi
semiring Boolean berukuruan
Untuk menghindari kasus trivial,
disebut
dengan semiring matriks atas semiring
dalam pembahasan ini ditentukan 0 sebagai
Boolean, dan dinotasikan dengan
satu-satunya
elemen
Pada semiring
terdapat
yang memenuhi
penyerap.
maka
Jika
ke
disebut sebagai pembagi nol kanan
elemen
Contoh
disebut sebagai pembagi nol
hingga
semua
semiring
pembagi
dinotasikan
. Untuk mempermudah
dari
Himpunan
dengan
didefinisikan
semua
Pada makalah Guzman[5] yang
Boolean
Kuich[7],
sebagai
himpunan semua pembagi nol kanan di
.
kepada
.
elemen pembagi nol sejati pada
dan himpunan
mengacu
semiring
identifikasi, diberikan nama untuk setiap
.
nol
dipilih adalah
atau
. Himpunan dari semua
Himpunan
yang
matriks atas semiring Boolean berordo
sedemikian
pembagi nol kiri dinotasikan dengan
.
Boolean
. Suatu
kiri jika terdapat
.
Contoh 2.1 Semiring matriks atas semiring
. Himpunan dari semua pembagi nol
kanan dinotasikan dengan
dan kolom
dan 0 untuk semua entri yang lain
dinotasikan dengan
sedemikian hingga
.
, matriks yang hanya
memiliki entri 1 pada baris ke
. Suatu elemen
jika terdapat
atas
pembagi
nol
sebagai himpunan
kiri
Sedangkan
semiring
dan
. Elemen-elemen di
didefinisikan sebagai
dengan
semiring dengan dua buah elemen
dinotasikan
yang dilengkapi operasi penjumlahan
sedangkan
dan pergandaan
dinotasikan
yang definisinya seperti
pada tabel 1.
di
dinotasikan
, elemen-elemen di
dengan
elemen-elemen
dengan
,
di
. Berikut
adalah elemen-elemen pembagi nol sejati di
+
0 1
.
0
1
0
0 1
0 0
0
1
1 1
1 0
1
Tabel 1. Operasi pada semiring Boolean
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
129
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Diberikan matriks
yang merupakan
pembagi nol kanan, artinya terdapat matriks
,
sedemikian hingga
tak nol
Pada Contoh 2.1 ini, bisa ditulis juga
. Diandaikan
dan
merupakan matriks
yang semua barisnya tak nol, menurut
.
proposisi 2.2 diperoleh
. Hal ini
kontrakdiksi dengan fakta bahwa
Proposisi 2.2 Diberikan matriks
. Jika
Dengan demikian matriks
adalah matriks tak nol dan
.
pasti memiliki
setidaknya sebuah baris nol.
merupakan matriks yang semua barisnya
tak nol, maka hasil kali
merupakan
Teorema 2.4 Setiap matriks di
matriks tak nol.
yang memiliki setidaknya satu baris nol
Bukti
merupakan pembagi nol kanan.
Tanpa
mengurangi
diasumsikan
matriks
[
keumuman,
Bukti
. Diambil sebarang
yang semua barisnya tak nol,
] dengan
memiliki tepat satu baris nol, misalkan
untuk paling
sedikit sebuah
baris ke-
untuk setiap
∑
adalah [
untuk
adalah baris nol. Dengan
demikian terdapat matriks
. Baris ke- dari matriks hasil
kali
yang
Diambil sebarang matriks
hingga
] dengan
sedemikian
. Jadi terbukti bahwa
merupakan pembagi nol kanan. Dengan
.
cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
Karena pada matriks A hanya terdapat
matriks-matriks di
sebuah entri tak nol yaitu
dua baris nol, tiga baris nol,...,
diperoleh baris ke- dari matriks
[
]. Karena terdapat
untuk paling sedikit sebuah
maka
adalah
yang memiliki
baris nol juga merupakan pembagi nol
yang
kanan. Jadi, setiap matriks di
memiliki
,
setidaknya
satu
baris
nol
merupakan pembagi nol kanan.
maka baris ke- tersebut merupakan baris
tak nol. Ini menunjukkan bahwa matriks
Proposisi 2.5 Diberikan matriks
merupakan matriks tak nol.
. Jika
adalah matriks yang semua
Teorema 2.3 Setiap pembagi nol kanan
kolomnya tak nol dan
memiliki setidaknya satu baris nol.
tak nol, maka hasil kali
Bukti
matriks tak nol.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
130
merupakan matriks
merupakan
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Teorema 2.7 Setiap matriks di
Bukti
Tanpa
mengurangi
keumuman,
diasumsikan matriks tak nol
Diambil sebarang matriks
kolomnya tak
.
[
[
adalah
∑
Bukti
paling
] dengan
sedikit
memiliki tepat satu kolom nol, misalkan
kolom ke-
.
untuk
hingga
dengan
yang
pada matriks B hanya terdapat sebuah entri
kolom
ke-
[
matriks
dapat
dibuktikan
bahwa
yang memiliki
kolom nol juga merupakan pembagi nol
untuk
paling sedikit sebuah
sama
dua kolom nol, tiga kolom nol, ...,
adalah
] . Karena
. Jadi terbukti bahwa
matriks-matriks di
maka diperoleh
dari
sedemikian
merupakan pembagi nol kiri. Dengan cara
. Karena
tak nol yaitu
adalah kolom nol. Dengan
demikian terdapat matriks
dari matriks hasil kali
]
yang
Diambil sebarang matriks
sebuah
untuk setiap
Kolom ke-
merupakan pembagi nol kiri.
yang semua
nol,
untuk
yang memiliki setidaknya satu kolom nol
kiri. Jadi, terbukti setiap matriks di
, maka
yang memiliki setidaknya satu kolom nol
kolom ke- tersebut merupakan kolom tak
merupakan pembagi nol kiri.
nol. Ini menunjukkan bahwa matriks
merupakan matriks tak nol.
Akibat
2.8
Matriks
merupakan
pembagi nol kanan sekaligus pembagi nol
Teorema 2.6 Setiap pembagi nol kiri
kiri.
memiliki setidaknya satu kolom nol.
Bukti
Bukti
Jelas hal ini merupakan implikasi dari
Diberikan matriks
yang merupakan
teorema 2.4 dan 2.7.
pembagi nol kiri, artinya terdapat matriks
sedemikian hingga
Sebagai contoh dari akibat 2.8 di
merupakan matriks
atas, perhatikan kembali martiks-matriks di
yang semua kolomnya tak nol, menurut
pada contoh 2.1. Matriks-matriks
tak nol
. Diandaikan
proposisi 2.5 diperoleh
. Hal ini
kontrakdiksi dengan fakta bahwa
Dengan demikian matriks
dan
.
jelas merupakan pembagi nol kanan
pasti memiliki
sekaligus pembagi nol kiri di
setidaknya sebuah kolom nol.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
131
.
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Lemma 2.9 Jika matriks
3. Graf Pembagi Nol dari
merupakan
Graf pembagi nol dari semiring
pembagi nol kiri dengan kolom ke-
yang dinotasikan dengan
sebagai satu-satunya kolom nol, maka
merupakan
graf sederhana yang himpunan verteksnya
.
adalah himpunan semua pembagi nol sejati
Bukti
Diberikan
[
matriks
]
. Karena kolom kematriks
dari
dengan
verteks (
dari
merupakan kolom nol, maka
untuk
matriks
dengan
.
[
]
yang lain yaitu
entri ke-
, atau dengan kata lain himpunan
nol yang berbeda
,
sebuah edge di graf
jika
Untuk
merupakan
Bukti
]
. Graf pembagi nol dari
matriks
dengan
[
yang lain yaitu
entri ke-
). Perhatikan
(
) tidak lain
graf pembagi nol
dari
adalah himpunan semua pembagi nol sejati
merupakan baris nol, maka
.
dinotasikan (
kembali Contoh 2.1, himpunan verteks dari
dengan
. Karena baris ke-
untuk
graf
atas semiring Boolean berorde
dinotasikan
[
konsep
Contoh 3.1 Diberikan semiring matriks
.
matriks
memahami
).
(
baris nol, maka
matriks
.
semiring matriks atas semiring Boolean
pembagi nol kanan dengan baris ke-
Diberikan
jika dan hanya
salah satu contoh graf pembagi nol dari
untuk
.
sebagai satu-satunya
) adalah
pembagi nol ini, selanjutnya akan dibahas
∑
Lemma 2.10 Jika matriks
(
atau
. Dari sini diperoleh
. Dengan demikian
. Pasangan dua elemen pembagi
Diambil
dan semua entri
dari
) adalah himpunan
. Dengan demikian himpunan
dari
Diambil
verteksnya
]
,
(
dan semua entri
. Dari sini diperoleh
dari
. Dengan demikian
∑
)
.
Selanjutnya
untuk mengetahui keterhubungan antara
satu verteks dengan verteks yang lain,
untuk
Tabel 2 memperlihatkan hasil kali dari
.
setiap dua verteks di
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
132
(
)
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Barisan
.
0
0
0
0
0
0
yang
saling
berurutan pada graf disebut sebagai path.
0
0
edge-edge
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk
0
setiap dua verteks yang berbeda terdapat
0
sedikitnya
sebuah
path
yang
menghubungkan. Jarak antara dua buah
0
0
0
0
0
verteks yang berbeda
0
dengan
Tabel 2. Hasil kali verteks-verteks di
adalah panjang dari path
terpendek yang menghubungkan keduanya.
)
(
dan , dinotasikan
Diameter dari graf
dengan
Tabel 2 memperlihatkan hasil kali
yang dinotasikan
adalah maksimum dari
jarak setiap dua verteks berbeda pada graf
dari setiap dua elemen pembagi nol di
atau
bisa
ditulis
disini adalah graf sederhana yang tidak
Dalam kajian terdahulu,
secara
memuat loop, sehingga hasil kali antara
umum telah diperoleh bahwa diameter dari
suatu elemen pembagi nol dengan dirinya
graf pembagi nol untuk setiap semiring
sendiri tidak perlu diselidiki. Dari hasil kali
selalu kurang dari atau sama dengan 3. Hal
pada
ini dapat dilihat dari teorema 4.1 yang
dengan urutan perkalian dari baris
ke kolom tabel. Makna
pada tabel berarti
hasil kali dari kedua elemen tidak sama
.
dengan . Perlu diingat bahwa konsep graf
tabel
di
atas
dapat
diketahui
dibuktikan oleh Dozlan dan Oblak [3].
keterhubungan antar verteks-verteks di
(
)
sehingga
diperoleh
graf
Teorema 4.1 Untuk suatu semiring S, graf
seperti pada
pembagi nol dari
pembagi nol
Gambar 1.
l1
s3
(
diameternya
r1
s4
selalu terhubung dan
Selanjutnya
s2
pada
)
makalah
.
ini,
ingin
dipelajari secara khusus diameter graf
r2
s1
pembagi
l2
nol
berukuruan
Gambar 1. Graf pembagi nol dari
dari
semiring
atas semiring Boolean
yang dinotasikan dengan
4. Diameter dari (
.
)
Pada
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
133
matriks
pembahasan
, untuk
selanjutnya,
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
notasi
didefinisikan sebagai himpunan
dan
Perhatikan kembali Contoh 2.1
sebagai himpunan semua pembagi
untuk memahami Teorema 4.1. Bisa dilihat
semua pembagi nol kanan di
notasi
nol kiri di
pada gambar di bawah bahwa jarak untuk
Sedangkan
dan
setiap
.
dengan
kurang dari atau sama
dengan 2, sebagaimana yang diperlihatkan
Teorema 4.2 Jika
dan
oleh path bergaris tebal.
, maka
.
l1
r1
s4
Bukti
Pada pembuktian ini akan dibedakan
kedalam dua kasus yaitu
s3
dan
. Untuk kasus pertama, diambil
.
Jika
pembagi
sedemikian hingga
nol
Lemma 4.3 Jika
adalah pembagi nol
kanan dengan baris ke-
. Diketahui
kiri dari
pasti memiliki elemen tak nol
pembagi nol kiri pasti memiliki setidaknya
hanya pada kolom ke- .
satu
Bukti
nol.
Tanpa
mengurangi
keumuman, diasumsikan bahwa kolom kedari matriks
, dan
nol. Dengan lemma 2.9, diperoleh
(
untuk
. Dengan demikian
)
untuk
Dengan
∑
merupakan satu-satunya baris
(
juga
. Jadi
dan
. Misalkan
sebarang
[
yaitu
. Entri ke-
adalah
adalah pembagi
.
.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
134
dai
. Dengan
adalah nol,
untuk setiap
sehingga
] untuk
dengan kolom ke- sebagai
demikian entri ke-
untuk
. Dari sini pada kasus khusus
diperoleh
Diambil
kolom nol, maka diperoleh
. Dengan
)
dengan
) ) dengan
nol kiri dari
nol, maka dengan lemma 2.10 diperoleh
demikian
] untuk
pada matriks hasil kali
setidaknya memiliki satu baris nol. Jika
untuk
.
( (
teorema 2.3, suatu pembagi nol kanan
baris ke-
[
Diberikan matriks
adalah satu-satunya kolom
untuk
sebagai satu-
satunya baris nol maka setiap pembagi nol
. Menurut Teorema 2.6, suatu
kolom
l2
kanan
. Untuk kasus kedua, dimisalkan
dan
s1
r2
maka
yang artinya
s2
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Diandaikan
pada kolom ke- , sehingga
memuat elemen tak nol pada
kolom ke- ,
tak nol di
tidak memiliki pembagi nol kiri yang
. Tanpa mengurangi
keumuman diasumsikan
sama. Oleh keran itu
adalah elemen
Dengan
pada kolom ke- . Karena itu
pada hasil kali
dan
teorema
.
4.1
diperoleh
akan terdapat jumlahan
dari bentuk
untuk
2. Misalkan posisi baris nol dari
.
dan
Karena baris ke- merupakan satu-satunya
seletak. Tanpa mengurangi keumuman
kolom nol di
diasumsikan bahwa baris ke-
, maka
setidaknya suatu
entri
tak
nol
tersebut
untuk
. Sebut saja
dan baris ke- dari
,
Dengan lemma 2.9, maka keduanya
sehingga
. Dengan demikian
elemen tak nol hanya pada kolom ke- .
Oleh karena itu, terdapat pembagi nol
merupakan pembagi nol kiri dari . Jadi,
kiri dari
adalah baris nol.
memiliki pembagi nol kiri dengan
.
Hal ini kontradiksi dengan hipotesa bahwa
terbukti bahwa
dari
kiri yang sama untuk
merupakan pembagi nol
dan
. Jadi
.
yang elemen tak nol-nya hanya
pada kolom ke- .
Lemma 3.4 Jika
Teorema 3.11 Diberikan
1. Jika posisi baris nol dari
dengan kolom ke-
.
dan
dari
maka
dan
sebagai satu-satunya
kolom nol maka setiap pembagi nol kanan
tidak
setelak maka
2. Jika posisi baris nol dari
adalah pembagi nol kiri
pasti memiliki elemen tak nol hanya
pada baris ke- .
setelak
Bukti
2.
[
Diberikan matriks
Bukti
Diambil
, maka
1. Misalkan posisi baris nol dari
tidak
seletak.
Tanpa
,
.
ke- dari
adalah baris nol dan baris
pada
ke-
adalah baris nol. Dengan
∑
lemma 2.9, setiap pembagi nol kiri dari
,
matriks
Diambil
) ) dengan
hasil
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
135
] untuk
adalah
dengan baris ke- sebagai
demikian entri ke-
memiliki elemen tak nol hanya
[
adalah pembagi
baris nol, maka diperoleh
kolom ke- dan setiap pembagi nol kiri
sebarang
. Entri ke-
kali
. Misalkan
nol kanan dari
memiliki elemen tak nol hanya pada
dari
.
( (
mengurangi
kemumuman, diasumsikan bahwa baris
dari
dengan
untuk
dan
] untuk
dai
. Dengan
adalah nol,
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
yaitu
elemen tak nol hanya pada baris ke-
untuk setiap
dan setiap pembagi nol kanan dari
.
Diandaikan
memiliki elemen tak nol hanya pada
memuat elemen tak nol pada
baris ke- ,
keumuman diasumsikan
tak nol di
baris ke- , sehingga
. Tanpa mengurangi
sama. Oleh keran itu
Dengan
akan terdapat jumlahan
dari bentuk
untuk
Karena kolom ke-
dan kolom ke- dari
, sehingga
. Dengan demikian
memiliki pembagi nol kiri dengan
ini kontradiksi dengan hipotesa bahwa
elemen tak nol hanya pada kolom ke- .
merupakan pembagi nol kanan dari . Oleh
Oleh karena itu, terdapat pembagi nol
merupakan
kiri yang sama untuk
yang elemen tak
Teorema 3.8 Diberikan
dan
Berdasarkan teorema-teorema yang
tidak
telah dibuktikan, dapat diambil kesimpulan
2. Jika posisi kolom nol dari
setelak maka
tentang jarak dua verteks pada graf
dan
pembagi nol dari semiring matriks atas
2.
semiring
Bukti
, maka
seletak.
kemumuman,
Tanpa
dari
dan kolom keDengan
masing-masing
pembagi nol kanan dari
2.10,
dan
termuat
yang
dalam
(kiri dan kanan), diperoleh
2. Untuk verteks-verteks
adalah kolom
lemma
sebagai
himpunan pembagi nol yang berbeda
bahwa
adalah kolom nol
dari
)
(
1. Untuk verteks-verteks
dan
mengurangi
diasumsikan
boolean
berikut:
.
1. Misalkan posisi kolom nol dari
nol.
. Jadi
SIMPULAN
.
setelak maka
kolom ke-
dan
.
nol-nya hanya pada baris ke- .
1. Jika posisi kolom nol dari
adalah baris nol.
Dengan lemma 2.10, maka keduanya
. Hal
karena itu terbukti bahwa
dan
diasumsikan bahwa kolom ke- dari
. Sebut
saja entri tak nol tersebut
tidak
diperoleh
seletak. Tanpa mengurangi keumuman
untuk setidaknya satu
Diambil
4.1
2. Misalkan posisi kolom nol dari
, maka
pembagi nol kanan dari
teorema
.
.
merupakan satu-
satunya kolom nol di
tidak
memiliki pembagi nol kanan yang
adalah elemen
pada baris ke- . Karena itu
pada hasil kali
dan
keduanya
setiap
termuat
dan
dalam
yang
himpuan
pembagi nol yang sama diperoleh:
memiliki
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
136
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
J. Commut. Rings, Vol. 1 no. 4 : 203211.
a. Jika posisi baris nol atau kolom nol
dari
dan
tidak setelak maka
b. Jika posisi baris nol atau kolom nol
dari
dan
setelak
maka
2.
Dengan demikian diperoleh diameter dari
graf (
) adalah 3.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson D.F and Livingston P.S., 1999,
The zero-divisor graph of a
commutative ring, J. Algebra , Vol.
217 : 434-447.
Beck I., 1988, Coloring of commutative
rings, J. Algebra , Vol. 116 : 208-226.
Dozlan D. and Oblak P., 2012, The zerodivisor graphs of rings and semirings,
Int.
J.
Algebra
and
Computation, Vol. 22, no. 4,
1250033, 20 str.
Golan J.S., 1999, Semirings and their
applications,
Kluwer
Academic
Publishers, Dordrecht.
Guzman F., 1992, The Variety of Boolean
Semiring,
Journal of Pure and
Applied Algebra , Vol. 78 : 253-270.
John L. and Vijay H., 2014, Diameter of
the Zero Divisor Graph of Semiring
of Matrices over Boolean Semiring,
International Mathematical Forum,
Vol. 9 no. 29 : 1369 – 1375.
Kuich W. and Salomaa
Semirings, Automata,
Springer, Berlin.
A., 1986,
Languages,
Redmond S.P., 2002, The zero divisor
graph of a non-commutative ring, Int.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
137
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks
atas Semiring Boolean
Zero Divisor Graph of Semiring
of Matrices over Boolean Semiring
Vika Yugi Kurniawan*
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret
ABSTRACT
The zero-divisor graph of a semiring , denoted by
, is the (simple) graph whose
vertex set is the set of non-zero zero-divisors of . Two distinct vertices are connected by an
edge if their product is zero. In this paper we study the properties of the right zero divisors
and the left zero divisors of semiring of matrices over Boolean semiring
and then use
).
these results to determine the diameter of the graph (
Keywords : zero divisor graph, diameter of a graph, semiring of matrices, Boolean
semiring.
ABSTRAK
Untuk setiap semiring yang memiliki pembagi nol sejati dapat dibentuk suatu graf
graf pembagi nol
. Himpunan semua pembagi nol sejati dari yang dinotasikan
saling
sebagai himpunan verteks dari graf
. Dua verteks berbeda dan di
terhubung oleh sebuah edge jika dan hanya jika berlaku
atau
. Pada makalah
ini dipelajari sifat-sifat pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan dari semiring matriks atas
semiring Boolean, dinotasikan
. Selanjutnya sifat-sifat tersebut digunakan untuk
).
menentukan diameter dari graf (
Kata Kunci:
Boolean.
graf pembagi nol, diameter graf, semiring matriks, semiring
Coresponding Author : [email protected], [email protected] (phone: + 62-856-2528-707)
127
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
sifat-sifat
1. Pendahuluan
Konsep tentang graf pembagi nol
tersebut
digunakan
untuk
(
).
menentukan diameter dari graf
pertama kali diperkenalan oleh Beck (1988)
Penulisan
dalam kajiannya tentang ring komutatif
.
kepustakaan yang mengacu pada hasil
Graf pembagi nol
didefinisikan sebagai
kajian John dan Vijay (2014) dengan
graf
dengan
menyertakan
sederhana
himpunan
verteksnya adalah elemen-elemen pembagi
nol di dalam ring
dan dua verteks
saling terhubung jika
makalah
ini
konsep
bersifat
dasar
studi
dari
graf
pembagi nol beserta contoh-contoh.
dan
. Kajian
2. Semiring Matriks atas Semiring
tentang graf pembagi nol ini berkembang
Boolean
sangat cepat. Anderson dan Livingston
Menurut Golan [4], semiring adalah
(1999) melakukan kajian yang cukup
himpunan tak kosong
yang dilengkapi
mendalam tentang graf pembagi nol dari
operasi penjumlahan
dan pergandaan
ring
komutatif.
Pada
tahun-tahun
yang didefinsikan sedemikian sehingga
berikutnya banyak peneliti yang mengkaji
memenuhi kondisi-kondisi berikut:
sekaligus mengembangkan gagasan tentang
1.
graf
pembagi
mengembangkan
nol.
Redmond
setiap
non-
(i)
komutatif. Lebih jauh lagi, Dozlan dan
(ii)
Oblak (2012) mengembangkan kajian graf
(iii)
nol
pada
tentang
kasus
ring
pembagi nol dari semiring.
2.
Berikutnya, John dan Vijay (2014)
semiring
matriks
atas
adalah monoid dengan elemen
indentitas 1, artinya untuk setiap
berlaku:
semiring
(i)
Boolean. Dalam kajian tersebut telah
(ii)
ditentukan diameter graf pembagi nol dari
3. Distributif
semiring matriks atas semiring Boolean
atau yang dinotasikan dengan
(
).
untuk setiap
(i)
pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan
(ii)
semiring
matriks
Boolean, dinotasikan
atas
pergandaan
atas
penjumlahan dari kedua sisi, artinya
Pada makalah ini dipelajari sifat-sifat
dari
komutatif
berlaku:
melakukan kajian tentang graf pembagi nol
dari
monoid
dengan elemen netral 0, artinya untuk
graf
pembagi
konsep
(2002)
adalah
semiring
4. Elemen
. Selanjutnya
netral
berlaku:
terhadap
operasi
penjumlahan juga merupakan elemen
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
128
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
penyerap terhadap pergandaan, artinya
, untuk semua
Suatu semiring yang anggotanya
berupa
.
matriks-matriks
persegi
semiring Boolean berukuruan
Untuk menghindari kasus trivial,
disebut
dengan semiring matriks atas semiring
dalam pembahasan ini ditentukan 0 sebagai
Boolean, dan dinotasikan dengan
satu-satunya
elemen
Pada semiring
terdapat
yang memenuhi
penyerap.
maka
Jika
ke
disebut sebagai pembagi nol kanan
elemen
Contoh
disebut sebagai pembagi nol
hingga
semua
semiring
pembagi
dinotasikan
. Untuk mempermudah
dari
Himpunan
dengan
didefinisikan
semua
Pada makalah Guzman[5] yang
Boolean
Kuich[7],
sebagai
himpunan semua pembagi nol kanan di
.
kepada
.
elemen pembagi nol sejati pada
dan himpunan
mengacu
semiring
identifikasi, diberikan nama untuk setiap
.
nol
dipilih adalah
atau
. Himpunan dari semua
Himpunan
yang
matriks atas semiring Boolean berordo
sedemikian
pembagi nol kiri dinotasikan dengan
.
Boolean
. Suatu
kiri jika terdapat
.
Contoh 2.1 Semiring matriks atas semiring
. Himpunan dari semua pembagi nol
kanan dinotasikan dengan
dan kolom
dan 0 untuk semua entri yang lain
dinotasikan dengan
sedemikian hingga
.
, matriks yang hanya
memiliki entri 1 pada baris ke
. Suatu elemen
jika terdapat
atas
pembagi
nol
sebagai himpunan
kiri
Sedangkan
semiring
dan
. Elemen-elemen di
didefinisikan sebagai
dengan
semiring dengan dua buah elemen
dinotasikan
yang dilengkapi operasi penjumlahan
sedangkan
dan pergandaan
dinotasikan
yang definisinya seperti
pada tabel 1.
di
dinotasikan
, elemen-elemen di
dengan
elemen-elemen
dengan
,
di
. Berikut
adalah elemen-elemen pembagi nol sejati di
+
0 1
.
0
1
0
0 1
0 0
0
1
1 1
1 0
1
Tabel 1. Operasi pada semiring Boolean
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
129
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Diberikan matriks
yang merupakan
pembagi nol kanan, artinya terdapat matriks
,
sedemikian hingga
tak nol
Pada Contoh 2.1 ini, bisa ditulis juga
. Diandaikan
dan
merupakan matriks
yang semua barisnya tak nol, menurut
.
proposisi 2.2 diperoleh
. Hal ini
kontrakdiksi dengan fakta bahwa
Proposisi 2.2 Diberikan matriks
. Jika
Dengan demikian matriks
adalah matriks tak nol dan
.
pasti memiliki
setidaknya sebuah baris nol.
merupakan matriks yang semua barisnya
tak nol, maka hasil kali
merupakan
Teorema 2.4 Setiap matriks di
matriks tak nol.
yang memiliki setidaknya satu baris nol
Bukti
merupakan pembagi nol kanan.
Tanpa
mengurangi
diasumsikan
matriks
[
keumuman,
Bukti
. Diambil sebarang
yang semua barisnya tak nol,
] dengan
memiliki tepat satu baris nol, misalkan
untuk paling
sedikit sebuah
baris ke-
untuk setiap
∑
adalah [
untuk
adalah baris nol. Dengan
demikian terdapat matriks
. Baris ke- dari matriks hasil
kali
yang
Diambil sebarang matriks
hingga
] dengan
sedemikian
. Jadi terbukti bahwa
merupakan pembagi nol kanan. Dengan
.
cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
Karena pada matriks A hanya terdapat
matriks-matriks di
sebuah entri tak nol yaitu
dua baris nol, tiga baris nol,...,
diperoleh baris ke- dari matriks
[
]. Karena terdapat
untuk paling sedikit sebuah
maka
adalah
yang memiliki
baris nol juga merupakan pembagi nol
yang
kanan. Jadi, setiap matriks di
memiliki
,
setidaknya
satu
baris
nol
merupakan pembagi nol kanan.
maka baris ke- tersebut merupakan baris
tak nol. Ini menunjukkan bahwa matriks
Proposisi 2.5 Diberikan matriks
merupakan matriks tak nol.
. Jika
adalah matriks yang semua
Teorema 2.3 Setiap pembagi nol kanan
kolomnya tak nol dan
memiliki setidaknya satu baris nol.
tak nol, maka hasil kali
Bukti
matriks tak nol.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
130
merupakan matriks
merupakan
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Teorema 2.7 Setiap matriks di
Bukti
Tanpa
mengurangi
keumuman,
diasumsikan matriks tak nol
Diambil sebarang matriks
kolomnya tak
.
[
[
adalah
∑
Bukti
paling
] dengan
sedikit
memiliki tepat satu kolom nol, misalkan
kolom ke-
.
untuk
hingga
dengan
yang
pada matriks B hanya terdapat sebuah entri
kolom
ke-
[
matriks
dapat
dibuktikan
bahwa
yang memiliki
kolom nol juga merupakan pembagi nol
untuk
paling sedikit sebuah
sama
dua kolom nol, tiga kolom nol, ...,
adalah
] . Karena
. Jadi terbukti bahwa
matriks-matriks di
maka diperoleh
dari
sedemikian
merupakan pembagi nol kiri. Dengan cara
. Karena
tak nol yaitu
adalah kolom nol. Dengan
demikian terdapat matriks
dari matriks hasil kali
]
yang
Diambil sebarang matriks
sebuah
untuk setiap
Kolom ke-
merupakan pembagi nol kiri.
yang semua
nol,
untuk
yang memiliki setidaknya satu kolom nol
kiri. Jadi, terbukti setiap matriks di
, maka
yang memiliki setidaknya satu kolom nol
kolom ke- tersebut merupakan kolom tak
merupakan pembagi nol kiri.
nol. Ini menunjukkan bahwa matriks
merupakan matriks tak nol.
Akibat
2.8
Matriks
merupakan
pembagi nol kanan sekaligus pembagi nol
Teorema 2.6 Setiap pembagi nol kiri
kiri.
memiliki setidaknya satu kolom nol.
Bukti
Bukti
Jelas hal ini merupakan implikasi dari
Diberikan matriks
yang merupakan
teorema 2.4 dan 2.7.
pembagi nol kiri, artinya terdapat matriks
sedemikian hingga
Sebagai contoh dari akibat 2.8 di
merupakan matriks
atas, perhatikan kembali martiks-matriks di
yang semua kolomnya tak nol, menurut
pada contoh 2.1. Matriks-matriks
tak nol
. Diandaikan
proposisi 2.5 diperoleh
. Hal ini
kontrakdiksi dengan fakta bahwa
Dengan demikian matriks
dan
.
jelas merupakan pembagi nol kanan
pasti memiliki
sekaligus pembagi nol kiri di
setidaknya sebuah kolom nol.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
131
.
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Lemma 2.9 Jika matriks
3. Graf Pembagi Nol dari
merupakan
Graf pembagi nol dari semiring
pembagi nol kiri dengan kolom ke-
yang dinotasikan dengan
sebagai satu-satunya kolom nol, maka
merupakan
graf sederhana yang himpunan verteksnya
.
adalah himpunan semua pembagi nol sejati
Bukti
Diberikan
[
matriks
]
. Karena kolom kematriks
dari
dengan
verteks (
dari
merupakan kolom nol, maka
untuk
matriks
dengan
.
[
]
yang lain yaitu
entri ke-
, atau dengan kata lain himpunan
nol yang berbeda
,
sebuah edge di graf
jika
Untuk
merupakan
Bukti
]
. Graf pembagi nol dari
matriks
dengan
[
yang lain yaitu
entri ke-
). Perhatikan
(
) tidak lain
graf pembagi nol
dari
adalah himpunan semua pembagi nol sejati
merupakan baris nol, maka
.
dinotasikan (
kembali Contoh 2.1, himpunan verteks dari
dengan
. Karena baris ke-
untuk
graf
atas semiring Boolean berorde
dinotasikan
[
konsep
Contoh 3.1 Diberikan semiring matriks
.
matriks
memahami
).
(
baris nol, maka
matriks
.
semiring matriks atas semiring Boolean
pembagi nol kanan dengan baris ke-
Diberikan
jika dan hanya
salah satu contoh graf pembagi nol dari
untuk
.
sebagai satu-satunya
) adalah
pembagi nol ini, selanjutnya akan dibahas
∑
Lemma 2.10 Jika matriks
(
atau
. Dari sini diperoleh
. Dengan demikian
. Pasangan dua elemen pembagi
Diambil
dan semua entri
dari
) adalah himpunan
. Dengan demikian himpunan
dari
Diambil
verteksnya
]
,
(
dan semua entri
. Dari sini diperoleh
dari
. Dengan demikian
∑
)
.
Selanjutnya
untuk mengetahui keterhubungan antara
satu verteks dengan verteks yang lain,
untuk
Tabel 2 memperlihatkan hasil kali dari
.
setiap dua verteks di
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
132
(
)
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Barisan
.
0
0
0
0
0
0
yang
saling
berurutan pada graf disebut sebagai path.
0
0
edge-edge
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk
0
setiap dua verteks yang berbeda terdapat
0
sedikitnya
sebuah
path
yang
menghubungkan. Jarak antara dua buah
0
0
0
0
0
verteks yang berbeda
0
dengan
Tabel 2. Hasil kali verteks-verteks di
adalah panjang dari path
terpendek yang menghubungkan keduanya.
)
(
dan , dinotasikan
Diameter dari graf
dengan
Tabel 2 memperlihatkan hasil kali
yang dinotasikan
adalah maksimum dari
jarak setiap dua verteks berbeda pada graf
dari setiap dua elemen pembagi nol di
atau
bisa
ditulis
disini adalah graf sederhana yang tidak
Dalam kajian terdahulu,
secara
memuat loop, sehingga hasil kali antara
umum telah diperoleh bahwa diameter dari
suatu elemen pembagi nol dengan dirinya
graf pembagi nol untuk setiap semiring
sendiri tidak perlu diselidiki. Dari hasil kali
selalu kurang dari atau sama dengan 3. Hal
pada
ini dapat dilihat dari teorema 4.1 yang
dengan urutan perkalian dari baris
ke kolom tabel. Makna
pada tabel berarti
hasil kali dari kedua elemen tidak sama
.
dengan . Perlu diingat bahwa konsep graf
tabel
di
atas
dapat
diketahui
dibuktikan oleh Dozlan dan Oblak [3].
keterhubungan antar verteks-verteks di
(
)
sehingga
diperoleh
graf
Teorema 4.1 Untuk suatu semiring S, graf
seperti pada
pembagi nol dari
pembagi nol
Gambar 1.
l1
s3
(
diameternya
r1
s4
selalu terhubung dan
Selanjutnya
s2
pada
)
makalah
.
ini,
ingin
dipelajari secara khusus diameter graf
r2
s1
pembagi
l2
nol
berukuruan
Gambar 1. Graf pembagi nol dari
dari
semiring
atas semiring Boolean
yang dinotasikan dengan
4. Diameter dari (
.
)
Pada
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
133
matriks
pembahasan
, untuk
selanjutnya,
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
notasi
didefinisikan sebagai himpunan
dan
Perhatikan kembali Contoh 2.1
sebagai himpunan semua pembagi
untuk memahami Teorema 4.1. Bisa dilihat
semua pembagi nol kanan di
notasi
nol kiri di
pada gambar di bawah bahwa jarak untuk
Sedangkan
dan
setiap
.
dengan
kurang dari atau sama
dengan 2, sebagaimana yang diperlihatkan
Teorema 4.2 Jika
dan
oleh path bergaris tebal.
, maka
.
l1
r1
s4
Bukti
Pada pembuktian ini akan dibedakan
kedalam dua kasus yaitu
s3
dan
. Untuk kasus pertama, diambil
.
Jika
pembagi
sedemikian hingga
nol
Lemma 4.3 Jika
adalah pembagi nol
kanan dengan baris ke-
. Diketahui
kiri dari
pasti memiliki elemen tak nol
pembagi nol kiri pasti memiliki setidaknya
hanya pada kolom ke- .
satu
Bukti
nol.
Tanpa
mengurangi
keumuman, diasumsikan bahwa kolom kedari matriks
, dan
nol. Dengan lemma 2.9, diperoleh
(
untuk
. Dengan demikian
)
untuk
Dengan
∑
merupakan satu-satunya baris
(
juga
. Jadi
dan
. Misalkan
sebarang
[
yaitu
. Entri ke-
adalah
adalah pembagi
.
.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
134
dai
. Dengan
adalah nol,
untuk setiap
sehingga
] untuk
dengan kolom ke- sebagai
demikian entri ke-
untuk
. Dari sini pada kasus khusus
diperoleh
Diambil
kolom nol, maka diperoleh
. Dengan
)
dengan
) ) dengan
nol kiri dari
nol, maka dengan lemma 2.10 diperoleh
demikian
] untuk
pada matriks hasil kali
setidaknya memiliki satu baris nol. Jika
untuk
.
( (
teorema 2.3, suatu pembagi nol kanan
baris ke-
[
Diberikan matriks
adalah satu-satunya kolom
untuk
sebagai satu-
satunya baris nol maka setiap pembagi nol
. Menurut Teorema 2.6, suatu
kolom
l2
kanan
. Untuk kasus kedua, dimisalkan
dan
s1
r2
maka
yang artinya
s2
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
Diandaikan
pada kolom ke- , sehingga
memuat elemen tak nol pada
kolom ke- ,
tak nol di
tidak memiliki pembagi nol kiri yang
. Tanpa mengurangi
keumuman diasumsikan
sama. Oleh keran itu
adalah elemen
Dengan
pada kolom ke- . Karena itu
pada hasil kali
dan
teorema
.
4.1
diperoleh
akan terdapat jumlahan
dari bentuk
untuk
2. Misalkan posisi baris nol dari
.
dan
Karena baris ke- merupakan satu-satunya
seletak. Tanpa mengurangi keumuman
kolom nol di
diasumsikan bahwa baris ke-
, maka
setidaknya suatu
entri
tak
nol
tersebut
untuk
. Sebut saja
dan baris ke- dari
,
Dengan lemma 2.9, maka keduanya
sehingga
. Dengan demikian
elemen tak nol hanya pada kolom ke- .
Oleh karena itu, terdapat pembagi nol
merupakan pembagi nol kiri dari . Jadi,
kiri dari
adalah baris nol.
memiliki pembagi nol kiri dengan
.
Hal ini kontradiksi dengan hipotesa bahwa
terbukti bahwa
dari
kiri yang sama untuk
merupakan pembagi nol
dan
. Jadi
.
yang elemen tak nol-nya hanya
pada kolom ke- .
Lemma 3.4 Jika
Teorema 3.11 Diberikan
1. Jika posisi baris nol dari
dengan kolom ke-
.
dan
dari
maka
dan
sebagai satu-satunya
kolom nol maka setiap pembagi nol kanan
tidak
setelak maka
2. Jika posisi baris nol dari
adalah pembagi nol kiri
pasti memiliki elemen tak nol hanya
pada baris ke- .
setelak
Bukti
2.
[
Diberikan matriks
Bukti
Diambil
, maka
1. Misalkan posisi baris nol dari
tidak
seletak.
Tanpa
,
.
ke- dari
adalah baris nol dan baris
pada
ke-
adalah baris nol. Dengan
∑
lemma 2.9, setiap pembagi nol kiri dari
,
matriks
Diambil
) ) dengan
hasil
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
135
] untuk
adalah
dengan baris ke- sebagai
demikian entri ke-
memiliki elemen tak nol hanya
[
adalah pembagi
baris nol, maka diperoleh
kolom ke- dan setiap pembagi nol kiri
sebarang
. Entri ke-
kali
. Misalkan
nol kanan dari
memiliki elemen tak nol hanya pada
dari
.
( (
mengurangi
kemumuman, diasumsikan bahwa baris
dari
dengan
untuk
dan
] untuk
dai
. Dengan
adalah nol,
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
yaitu
elemen tak nol hanya pada baris ke-
untuk setiap
dan setiap pembagi nol kanan dari
.
Diandaikan
memiliki elemen tak nol hanya pada
memuat elemen tak nol pada
baris ke- ,
keumuman diasumsikan
tak nol di
baris ke- , sehingga
. Tanpa mengurangi
sama. Oleh keran itu
Dengan
akan terdapat jumlahan
dari bentuk
untuk
Karena kolom ke-
dan kolom ke- dari
, sehingga
. Dengan demikian
memiliki pembagi nol kiri dengan
ini kontradiksi dengan hipotesa bahwa
elemen tak nol hanya pada kolom ke- .
merupakan pembagi nol kanan dari . Oleh
Oleh karena itu, terdapat pembagi nol
merupakan
kiri yang sama untuk
yang elemen tak
Teorema 3.8 Diberikan
dan
Berdasarkan teorema-teorema yang
tidak
telah dibuktikan, dapat diambil kesimpulan
2. Jika posisi kolom nol dari
setelak maka
tentang jarak dua verteks pada graf
dan
pembagi nol dari semiring matriks atas
2.
semiring
Bukti
, maka
seletak.
kemumuman,
Tanpa
dari
dan kolom keDengan
masing-masing
pembagi nol kanan dari
2.10,
dan
termuat
yang
dalam
(kiri dan kanan), diperoleh
2. Untuk verteks-verteks
adalah kolom
lemma
sebagai
himpunan pembagi nol yang berbeda
bahwa
adalah kolom nol
dari
)
(
1. Untuk verteks-verteks
dan
mengurangi
diasumsikan
boolean
berikut:
.
1. Misalkan posisi kolom nol dari
nol.
. Jadi
SIMPULAN
.
setelak maka
kolom ke-
dan
.
nol-nya hanya pada baris ke- .
1. Jika posisi kolom nol dari
adalah baris nol.
Dengan lemma 2.10, maka keduanya
. Hal
karena itu terbukti bahwa
dan
diasumsikan bahwa kolom ke- dari
. Sebut
saja entri tak nol tersebut
tidak
diperoleh
seletak. Tanpa mengurangi keumuman
untuk setidaknya satu
Diambil
4.1
2. Misalkan posisi kolom nol dari
, maka
pembagi nol kanan dari
teorema
.
.
merupakan satu-
satunya kolom nol di
tidak
memiliki pembagi nol kanan yang
adalah elemen
pada baris ke- . Karena itu
pada hasil kali
dan
keduanya
setiap
termuat
dan
dalam
yang
himpuan
pembagi nol yang sama diperoleh:
memiliki
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
136
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e: 2541-1969
Natural Science: Journal of Science and Technology
Vol 7 (1) : 127 – 137 (Maret 2018)
J. Commut. Rings, Vol. 1 no. 4 : 203211.
a. Jika posisi baris nol atau kolom nol
dari
dan
tidak setelak maka
b. Jika posisi baris nol atau kolom nol
dari
dan
setelak
maka
2.
Dengan demikian diperoleh diameter dari
graf (
) adalah 3.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson D.F and Livingston P.S., 1999,
The zero-divisor graph of a
commutative ring, J. Algebra , Vol.
217 : 434-447.
Beck I., 1988, Coloring of commutative
rings, J. Algebra , Vol. 116 : 208-226.
Dozlan D. and Oblak P., 2012, The zerodivisor graphs of rings and semirings,
Int.
J.
Algebra
and
Computation, Vol. 22, no. 4,
1250033, 20 str.
Golan J.S., 1999, Semirings and their
applications,
Kluwer
Academic
Publishers, Dordrecht.
Guzman F., 1992, The Variety of Boolean
Semiring,
Journal of Pure and
Applied Algebra , Vol. 78 : 253-270.
John L. and Vijay H., 2014, Diameter of
the Zero Divisor Graph of Semiring
of Matrices over Boolean Semiring,
International Mathematical Forum,
Vol. 9 no. 29 : 1369 – 1375.
Kuich W. and Salomaa
Semirings, Automata,
Springer, Berlin.
A., 1986,
Languages,
Redmond S.P., 2002, The zero divisor
graph of a non-commutative ring, Int.
Graf Pembagi Nol dari Semiring Matriks atas Semiring Boolean
(Vika Yugi Kurniawan)
137