S MAT 1002579 Chapter3
20
BAB III
GRAF BERARAH BARIS-BERHINGGA
Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep pada graf berarah. Lebih lanjut, akan
dibahas juga lintasan berhingga, lintasan tak hingga, dan himpunan silinder beserta
contohnya.
3.1 Graf Berarah
Berikut ini akan dibahas graf berarah, graf berarah baris-berhingga dan produk dari
graf berarah
Definisi 3.1.1: Graf Berarah (Raeburn, 2005: 5)
Sebuah graf berarah
1.
terdiri dari pasangan
merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut
titik.
2.
merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut
sisi.
merupakan dua fungsi yang disebut fungsi range dan source,
3.
,
4. Jika
merupakan source dari
dan
,
dan
merupakan range dari .
adalah sebuah sisi dari
ke
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
.
Contoh 3.1.2
Diberikan
dan
dan
, dengan
, ilustrasi dari graf
,
dapat diberikan seperti gambar
Definisi 3.1.3: Graf Berarah Baris-Berhingga (Raeburn, 2005: 6)
Sebuah graf berarah
disebut baris-berhingga, jika setiap titiknya menerima paling
banyak berhingga sisi, yaitu, dimana
berhingga untuk setiap
adalah himpunan
.
Contoh 3.1.4
Diberikan
merupakan himpunan tak hingga dan
gabungan dari himpunan tunggal
merupakan
, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut
…
Definisi 3.1.5: Produk dari Graf Berarah (Johnston & Reynolds: 2009)
21
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Produk dari graf berarah
, dimana
dan
dan
adalah graf
didefinisikan sebagai berikut:
Untuk setiap
)
(
Contoh 3.1.6
Diberikan graf berarah
, dan graf
)
(
dengan
,
dengan
,
dimana
dimana
Maka graf
dan
, dimana
,
, dan
(
(
Graf
)
)
(
)
(
(
)
)
)
(
dan
dapat diilustrasikan sebagai berikut
22
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
.
3.2 Lintasan Pada Graf Berarah
Berikut ini akan dibahas konsep lintasan berhingga dan lintasan tak hingga pada
sebuah graf berarah, dan juga akan dibahas himpunan silinder.
Definisi 3.2.1: Lintasan Berhingga (Raeburn, 2005: 9)
Lintasan dengan panjang
sisi-sisi di
dari graf berarah
merupakan barisan
untuk
sedemikian sehingga
Selanjutnya dituliskan | |
untuk panjang dari
himpunan dari lintasan-lintasan dengan panjang
.
.
. Himpunan
…
dari
merupakan
dapat diilustrasikan sebagai
berikut
…
Dari ilustrasi tersebut, diperoleh
…
…
…
…
Selanjutnya definisikan
source ke
dan
⋃
. Kemudian, kita perluas pemetaan range dan
dengan menetapkan
untuk
dan
.
23
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
| |
untuk | |
,
Jika
dan
lintasan
merupakan lintasan-lintasan dengan
…
| |
…
| |.
Untuk himpunan dari titik-titik
dan
, kita notasikan
untuk
dan himpunan dari lintasan-lintasan
kita definisikan
jika
, kita tulis
,
. Selanjutnya,
yang artinya
dan
untuk
.
Definisi 3.2.2: Lintasan Tak Hingga (KPRR, 1997: 5)
Lintasan tak hingga
dari graf berarah
untuk
sedemikian sehingga
Jika lintasan-lintasan
lintasan
…
| |
….
dan
Kita perluas pemetaan range ke
himpunan dari titik-titik
…
merupakan barisan
.
dengan
, kita tulis
dengan menetapkan
.
sebagai berikut
…
Definisi 3.2.3: Himpunan Silinder (Webster, 2010: 12)
Untuk
, kita definisikan himpunan silinder dari
untuk
dan untuk
, kita definisikan
Ilustrasi lintasan tak hingga dari graf berarah
oleh
24
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
…
Himpunan silinder dari lintasan
adalah lintasan
yang berada di
, dimana
merupakan faktor dari . Ilustrasi dari himpunan silinder sebagai berikut
…
′′
′
Dari ilustrasi tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat barisan
′ ′ … sedemikian sehingga membentuk barisan baru
…
25
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
…
…
′ ′ .
dan
BAB III
GRAF BERARAH BARIS-BERHINGGA
Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep pada graf berarah. Lebih lanjut, akan
dibahas juga lintasan berhingga, lintasan tak hingga, dan himpunan silinder beserta
contohnya.
3.1 Graf Berarah
Berikut ini akan dibahas graf berarah, graf berarah baris-berhingga dan produk dari
graf berarah
Definisi 3.1.1: Graf Berarah (Raeburn, 2005: 5)
Sebuah graf berarah
1.
terdiri dari pasangan
merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut
titik.
2.
merupakan himpunan terhitung (countable) yang unsur-unsurnya disebut
sisi.
merupakan dua fungsi yang disebut fungsi range dan source,
3.
,
4. Jika
merupakan source dari
dan
,
dan
merupakan range dari .
adalah sebuah sisi dari
ke
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
.
Contoh 3.1.2
Diberikan
dan
dan
, dengan
, ilustrasi dari graf
,
dapat diberikan seperti gambar
Definisi 3.1.3: Graf Berarah Baris-Berhingga (Raeburn, 2005: 6)
Sebuah graf berarah
disebut baris-berhingga, jika setiap titiknya menerima paling
banyak berhingga sisi, yaitu, dimana
berhingga untuk setiap
adalah himpunan
.
Contoh 3.1.4
Diberikan
merupakan himpunan tak hingga dan
gabungan dari himpunan tunggal
merupakan
, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut
…
Definisi 3.1.5: Produk dari Graf Berarah (Johnston & Reynolds: 2009)
21
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Produk dari graf berarah
, dimana
dan
dan
adalah graf
didefinisikan sebagai berikut:
Untuk setiap
)
(
Contoh 3.1.6
Diberikan graf berarah
, dan graf
)
(
dengan
,
dengan
,
dimana
dimana
Maka graf
dan
, dimana
,
, dan
(
(
Graf
)
)
(
)
(
(
)
)
)
(
dan
dapat diilustrasikan sebagai berikut
22
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
.
3.2 Lintasan Pada Graf Berarah
Berikut ini akan dibahas konsep lintasan berhingga dan lintasan tak hingga pada
sebuah graf berarah, dan juga akan dibahas himpunan silinder.
Definisi 3.2.1: Lintasan Berhingga (Raeburn, 2005: 9)
Lintasan dengan panjang
sisi-sisi di
dari graf berarah
merupakan barisan
untuk
sedemikian sehingga
Selanjutnya dituliskan | |
untuk panjang dari
himpunan dari lintasan-lintasan dengan panjang
.
.
. Himpunan
…
dari
merupakan
dapat diilustrasikan sebagai
berikut
…
Dari ilustrasi tersebut, diperoleh
…
…
…
…
Selanjutnya definisikan
source ke
dan
⋃
. Kemudian, kita perluas pemetaan range dan
dengan menetapkan
untuk
dan
.
23
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
| |
untuk | |
,
Jika
dan
lintasan
merupakan lintasan-lintasan dengan
…
| |
…
| |.
Untuk himpunan dari titik-titik
dan
, kita notasikan
untuk
dan himpunan dari lintasan-lintasan
kita definisikan
jika
, kita tulis
,
. Selanjutnya,
yang artinya
dan
untuk
.
Definisi 3.2.2: Lintasan Tak Hingga (KPRR, 1997: 5)
Lintasan tak hingga
dari graf berarah
untuk
sedemikian sehingga
Jika lintasan-lintasan
lintasan
…
| |
….
dan
Kita perluas pemetaan range ke
himpunan dari titik-titik
…
merupakan barisan
.
dengan
, kita tulis
dengan menetapkan
.
sebagai berikut
…
Definisi 3.2.3: Himpunan Silinder (Webster, 2010: 12)
Untuk
, kita definisikan himpunan silinder dari
untuk
dan untuk
, kita definisikan
Ilustrasi lintasan tak hingga dari graf berarah
oleh
24
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
…
Himpunan silinder dari lintasan
adalah lintasan
yang berada di
, dimana
merupakan faktor dari . Ilustrasi dari himpunan silinder sebagai berikut
…
′′
′
Dari ilustrasi tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat barisan
′ ′ … sedemikian sehingga membentuk barisan baru
…
25
Azico Sudhagama, 2014
Topologi kompak lokal hausdorff Pada ruang lintasan tak hingga
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
…
…
′ ′ .
dan