S MTK 1005324 Chapter5

59

BAB 5
PENUTUP

5.1.

Simpulan
Γ+ , Γ

5.1.1. Konstruksi sistem dinamik
1

Γ+

dan aksi � dari semigrup Γ + ke Endo

+

fungsi karakteristik dari { ∈ Γ + ,
∈ Γ + }.

̅̅̅̅̅̅̅{1
��� :

Γ+

∗

, � mencakup konstruksi aljabarΓ+

. Untuk setiap

∈ Γ + , definisikan

≥ }, kemudian bentuk

merupakan subaljabar-

∗

dari � ∞ Γ

Γ+

≔

dengan operasi

perkalian dan penjumlahan titik demi titik, norm supremum dan involusi
konjugasi bilangan kompleks.
∈ Γ + , definisikan aksi

Untuk setiap

�: Γ + ⟶

⟼�

dimana

�∞ Γ

� : �∞ Γ ⟶ �∞ Γ
Karena
Γ+

Γ+

�

∗

merupakan subaljabar-

⟼�

−

.

dari � ∞ Γ , maka � dapat direstriksi ke

∀ ∈ Γ + ; definisikan restriksi tersebut sebagai aksi �: Γ + ⟶ Endo

Karena terdapat aksi dari Γ +
dibentuk sistem dinamik

Γ+ , Γ

pada

+

5.1.2. Misal �: � + ⟶ Isom �

,� .

Γ+

pada

Γ+

� � ∗ � � ∗ = �����{

representasi isometrik dari Γ + . Definisikan

≔ ̅̅̅̅̅̅̅{1
��� :

, }

�����{

.

melalui endomorfisma, maka dapat

pemetaan linier well-defined �� pada ���{1 :
diperluas

Γ+

, }

∗

∈ Γ + }.

∈ Γ + } yang kemudian dapat

Karena

1 1 = 1����{

, }

dan

, maka �� adalah suatu homomorfisma-*.

Karena berlaku �� � (1 ) = � �� 1 � ∗ , maka �� , � representasi kovarian

Ishma Fadlina Urfa, 2014
PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

60

pada

∈ Γ + }. Kemudian berdasarkan kekontinuan,

���{1 :

representasi kovarian pada
oleh {�Γ+
Γ+

×� Γ + . Lebih tepatnya,

Γ+ , Γ

+

Produk silang

Γ+

×� Γ + dibentuk oleh dibangun

Γ+

�� , �

×� Γ + ≔ ̅̅̅̅̅̅̅{�
��� Γ+

� Γ+

∗

: ,

∈ Γ + }.

representasi kovarian dari sistem dinamik

, � , terdapat isomorfisma �� × � dari

∗

�+ =

Γ+

� : ∈ Γ + jika dan hanya jika � non-uniter. Jadi produk silang

dapat dipandang sebagai aljabaruniter berdasarkan isomorfisma.

5.2.

adalah

: ∈ Γ + }, dimana �Γ+ representasi dari Γ + ke semigrup isometri di

5.1.3. Untuk setiap
∗

Γ+ .

�� , �

∗

×� Γ + ke
Γ+

×� Γ +

yang dibangun oleh unsur-unsur isometri non-

Saran
Dalam tugas akhir ini penulis mengkaji hubungan produk silang

Γ+

×� Γ + dengan aljabar-

∗

yang dibangun oleh representasi-representasi

isometrik non-uniter. Untuk bahan kajian selanjutnya, dapat diteliti hubungan
antara aljabar-

∗

yang dibangun oleh representasi isometrik non-uniter � dari Γ +

dengan aljabar Toeplitz � Γ atas grup terurut Γ.

Ishma Fadlina Urfa, 2014
PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu