S MTK 1005324 Chapter3

BAB 3

PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN

ALJABAR TOEPLITZ

Pada bab ini diberikan salah satu konsep aljabar- yaitu produk silang dari suatu sistem dinamik. Selanjutnya dibahas beberapa konsep aljabar Toeplitz sebagai materi pendukung yang masih berhubungan dengan konsep produk silang.

3.1. Produk Silang

Sebelum diberikan definisi suatu produk silang dari sistem dinamik, akan dibahas konsep-konsep yang terkait dengan produk silang terlebih dahulu.

Definisi 3.1.1: Aksi Grup pada Himpunan. (Hungerford, 1974: 88)

Misal suatu grup dan � suatu himpunan. Aksi dari pada � adalah pemetaan

, ⟼ dari × � ⟶ � sedemikian sehingga: i. id� = , ∀ �, id� elemen satuan di .

ii. = , ∀ , , �.

Jika terdapat pemetaan seperti diatas, maka dikatakan beraksi pada �.

Contoh dari aksi grup pada himpunan adalah aksi grup pada aljabar-seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3.1.2: Aksi Grup pada Aljabar-�

Misal suatu grup, suatu aljabar- dan definisikan ≔ {�: ⟶

| � isomorfisma − }. Aksi dari pada adalah homomorfisma grup : ⟶ yang membawa ⟼ , ∀ .

Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik

Misal suatu grup, suatu aljabar- dan : ⟶ aksi dari pada . Sistem , , dikatakan sebagai sistem dinamik jika terdapat homomorfisma (aksi) yang menghubungkan dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan .

Contoh 3.1.4.

1)Misal � himpunan fungsi-fungsi kontinu : � ⟶ ℂ, dan suatu homomorfisma yang didefinisikan dengan

� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .

� , ℤ, α adalah suatu sistem dinamik.

2) Definisikan ℝ himpunan fungsi-fungsi kontinu : ℝ ⟶ ℂ yang vanish at infinity: untuk setiap � > 0 terdapat himpunan kompak _,� ⊂ ℝ, sedemikian sehingga | | < � untuk setiap _,�. ℝ adalah suatu aljabar- tanpa satuan. (Conway, 1999: 2)

Misal untuk setiap ℝ dan ℝ, definisikan

�� ≔ −� , ∀ ℝ.

1) Akan ditunjukkan _� yang didefinisikan _� ≔ −� , ∀ ℝ adalah unsur di ℝ .

- Akan ditunjukkan lim

→±∞ � = lim→±∞

Jika → ∞, karena −� suatu konstanta positif, maka −� → ∞. Akibatnyalim

→∞ −� = lim→∞ = 0. Jika → −∞, maka

lim

→−∞ −� = lim→−∞ = 0. Jadi lim→±∞ � = 0.

- Akan ditunjukkan _� kontinu.

Misal ℝ. Akan ditunjukkan _� kontinu di . Ambil _� barisan Cauchy di ℝ sedemikian sehingga _� → . Akan ditunjukkan

� � ⟶ � . Misal � = � −�. Karena � → , maka � → −�_{. Karena kontinu, maka}

� → −� = � . Di lain

pihak, _{� �} = _� −� = _� . Jadi _{� �} ⟶ _� , dengan kata lain _� kontinu di .

2) Akan ditunjukkan pemetaan �_� dimana �_� = _� adalah sebuah automorfisma- dari ℝ ke ℝ .

- Akan ditunjukkan �� homomorfisma- . (i) �� + = + _�

= + −�

= −� + −� = �_� + �_�

= (�� + �� ) , ∀ ℝ

Jadi �� + = �� + �� . (ii) �� = _�

= −� = −� −� = �_� �_�

= �_� �_� , ∀ ℝ Jadi �_� = �_� �_� .

(iii) �� = _� = −�

= �_� , ∀ ℝ Jadi �� = �� .

(iv) �_� = _� = −� =̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−� = ��̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= �_� , ∀ ℝ Jadi �� = �� .

- Akan ditunjukkan �_� 1-1.

Ambil , ℝ sedemikian sehingga �_� = �_� . Perhatikan

�� = �� , ∀ ℝ

⟺ −� = −� , ∀ ℝ ⟺ � −� = � −� , ∀ ℝ ⟺ = , ∀ ℝ Jadi = .

- Akan ditunjukkan �_� pada.

Ambil sembarang fungsi ℝ . Akan ditunjukkan terdapat

ℝ dimana = �_� sedemikian sehingga ∀ ℝ berlaku

�� = � = −� = .

Pilih = � , ∀ ℝ. Diperoleh

�� = � = −� = � −� = .

Jadi �_� pada.

Jadi �� automorfisma- .

3) Akan ditunjukkan pemetaan → �_� homomorfisma grup, dengan demikian diperoleh aksi

�: ℝ ⟶ ( ℝ )

⟼ �_� = −� , ∀ ℝ. Misalkan �: → ��.

- Akan ditunjukkan � pemetaan.

= ⟺ − � ₌ −�

⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ − � = −�

⟺ �_� = �_� , ∀ ℝ. Jadi � pemetaan.

- Akan ditunjukkan � homomorfisma. Ambil sembarang , ℝ. Perhatikan �_{� +�} = _{� +�}

= − � +� = −� −� = −� −� = �_{� �}

= �_� �_� , ∀ ℝ, ℝ . Jadi �_{� +�} = �_� �_� , ∀ ℝ .

Jadi, � homomorfisma grup.

Berdasarkan 1), 2) dan 3), � sebuah aksi dari ℝ ke ℝ melalui automorfisma. Jadi,

�: ℝ ⟶ ℝ

⟼ �_� = −� , ∀ ℝ

adalah sebuah aksi dari ℝ pada aljabar- ℝ melalui automorfisma. Dengan demikian, ( ℝ , ℝ, � adalah sebuah sistem dinamik.

Definisi 3.1.5: Representasi Kovarian dari Sistem Dinamik

Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Representasi kovarian dari , , adalah pasangan , dimana

: ⟶ adalah representasi non-degenerate dari ke dimana seperti yang didefinisikan pada Definisi 2.6.3, dan : ⟶ representasi

uniter dari ke himpunan operator-operator linier terbatas uniter yang memenuhi kondisi kovarian berikut:

( � ) = � , ∀ , � .

Contoh 3.1.6. (Williams, 1952: 45)

Misal ℎ suatu homeomorfisma dari � ke �, adalah “rotasi oleh �”: yaitu,

ℎ ≔ − ��� _{, ∀ �}

dan misal � , ℤ, α adalah sistem dinamik dengan aksi

� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .

Misal : Τ → ( Τ ) representasi yang didefinisikan oleh perkalian titik demi titik:

ℎ ≔ ℎ ,

dan misal : ℤ → ( Τ ) representasi uniter yang didefinisikan dengan

�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).

Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α . Perhatikan

� � ℎ = � ℎ( − ��� )

= ( − ��� ) _� ℎ( − ��� )

= _� ℎ

= _� ℎ

Jadi , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α .

Iain Raeburn dalam papernya On Crossed Products and Takai Duality

aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi kovarian dari , , .

Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik

Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Produk silang dari , , adalah sistem , �, _� yang terdiri dari aljabar- (aljabar- dinotasikan dengan ×_� ), representasi _�: ⟶

, dan representasi _�: ⟶ yang memenuhi:

i. �, _� adalah kovarian; yaitu, memenuhi �( � ) = _{� �} � _� ,

∀ , � ;

ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari

sedemikian sehingga × _� = dan × _� = ; iii. dibangun oleh {_� � ∶ � } ∪ { _� ∶ }.

Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut.

Proposisi 3.1.8. (Raeburn, 1988: 324)

1) Jika , _�, _� dan , _�, _� keduanya adalah produk silang dari

, , , terdapat isomorfisma � dari ke sedemikian sehingga �

� = � dan � � = �.

2) Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik.

Setiap representasi non-degenerate dari ×_� memiliki bentuk × dimana , representasi kovarian dari , , . Homomorfisma _� dan _� adalah injektif.

3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz

Pada bab selanjutnya, akan dikaji hubungan antara produk silang atas semigrup endomorfisma dengan aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter. Aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz. Untuk itu pada subbab ini dibahas secara ringkas konsep aljabar Toeplitz atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak. Penulis mengacu pada tesis magister Aljabar Toeplitz atas Grup Terurut

karya Lindiarni (1997).

Misal Γ grup terurut. Definisikan grup dual dari Γ sebagai

Γ̂ ≔ { : Γ ⟶ �: homomorfisma grup kontinu}.

Grup dual Γ̂ membentuk grup dibawah operasi perkalian titik demi titik. Dapat ditunjukkan pula bahwa Γ̂ adalah suatu grup topologi kompak. Karena Γ̂ kompak, maka (Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ} adalah aljabar- terhadap operasi tambah dan kali titik demi titik serta norm supremum.

Pandang pemetaan evaluasi

� : Γ̂ ⟶ �

⟼ � = , ∀ Γ, Γ̂.

Untuk setiap Γ, � adalah suatu homomorfisma. Kemudian dapat ditunjukkan

�� {� : Γ} adalah subaljabar- padat dari (Γ̂). Bentuk ruang Hilbert

(Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ ∶ ∫ | | < ∞} Γ̂

dengan adalah ukuran Haar pada Γ̂. (Γ̂) adalah ̅̅̅̅̅̅(Γ̂) terhadap norm yang dihasilkan dari hasil kali dalam:

< �, � > = ∫ ��̅}

Definisi 3.2.1. (Adji, Laca, dkk. 1994: 1140)

Himpunan {� : Γ} adalah basis ortonormal untuk (Γ̂). Definisikan Γ+ sebagai subruang tutup ̅̅̅̅̅̅̅{� :�� Γ+}. Misal � proyeksi dari (Γ̂) ke

Γ+ _{. Untuk setiap � (Γ̂), operator Toeplitz}

� adalah operator pada Γ+ _{yang didefinisikan oleh}

� = � � , ∀ (Γ̂), � (Γ̂). Aljabar

Toeplitz � Γ dari grup terurut Γ adalah subaljabar- dari Γ+ yang dibangun oleh operator Toeplitz { _�: � (Γ̂)}.

Sebagai catatan, perhatikan bahwa karena (Γ̂) = (Γ̂)̅̅̅̅̅̅ , maka untuk setiap � (Γ̂) dan (Γ̂), � (Γ̂). Jadi dapat didefinisikan operasi perkalian di (Γ̂).

Telah diuraikan konsep aljabar Toeplitz atas suatu grup terurut. Selanjutnya, Murphy (1991) mendefinisikan aljabar Toeplitz abstrak dalam papernya Ordered Group and Toeplitz Algebra.

Definisi 3.2.2: Semigrup Isometri. (Lindiarni, 1997: 49)

Misal Γ grup terurut dan suatu aljabar- unital. Semigrup isometri di relatif terhadap Γ adalah pemetaan : Γ+ ⟶ sedemikian sehingga isometri di untuk setiap Γ+ dan ₊ = , untuk setiap , Γ+.

Definisi 3.2.3.

Aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ adalah aljabar- unital yang dibangun oleh , Γ+, dimana adalah semigrup isometri di Γ. Notasikan aljabar- dengan { : Γ+}.

Notasikan aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ dengan � Γ . Muphy telah membuktikan bahwa aljabar Toeplitz dari suatu grup terurut Γ selalu ada dan bersifat universal, yang terangkum dalam teorema berikut:

Teorema 3.2.4. (Murphy, 1987: 315)

Misal � grup terurut dan : �+ ⟶ adalah semigrup isometri nonuniter di aljabar- unital . Terdapat homomorfisma- unik : � � ⟶ sedemikian sehingga = injektif, dimana : �+ ⟶ � � adalah semigrup isometri di � � .

Berdasarkan teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa semua aljabar-yang dibangun oleh semigrup isometri nonuniter dari Γ+ dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz � Γ .

= ⟺ − � ₌ −�

⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ − � = −�

⟺ �_� = �_� , ∀ ℝ. Jadi � pemetaan.

- Akan ditunjukkan � homomorfisma. Ambil sembarang , ℝ. Perhatikan

�_{� +�} = _{� +�}

= − � +�

= −� −�

= −� −�

= �_{� �}

= �_� �_� , ∀ ℝ, ℝ .

Jadi �_{� +�} = �_� �_� , ∀ ℝ . Jadi, � homomorfisma grup.

Berdasarkan 1), 2) dan 3), � sebuah aksi dari ℝ ke ℝ melalui automorfisma. Jadi,

�: ℝ ⟶ ℝ

⟼ �_� = −� , ∀ ℝ

adalah sebuah aksi dari ℝ pada aljabar- ℝ melalui automorfisma. Dengan demikian, ( ℝ , ℝ, � adalah sebuah sistem dinamik.

Definisi 3.1.5: Representasi Kovarian dari Sistem Dinamik

Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Representasi kovarian dari , , adalah pasangan , dimana

: ⟶ adalah representasi non-degenerate dari ke dimana seperti yang didefinisikan pada Definisi 2.6.3, dan : ⟶ representasi

uniter dari ke himpunan operator-operator linier terbatas uniter yang memenuhi kondisi kovarian berikut:

( � ) = � , ∀ , � .

Contoh 3.1.6. (Williams, 1952: 45)

Misal ℎ suatu homeomorfisma dari � ke �, adalah “rotasi oleh �”: yaitu,

ℎ ≔ − ��� _{, ∀ �}

dan misal � , ℤ, α adalah sistem dinamik dengan aksi

� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .

Misal : Τ → ( Τ ) representasi yang didefinisikan oleh perkalian titik demi titik:

ℎ ≔ ℎ ,

dan misal : ℤ → ( Τ ) representasi uniter yang didefinisikan dengan

�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).

Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α . Perhatikan

� � ℎ = � ℎ( − ��� )

= ( − ��� ) _� ℎ( − ��� )

= _� ℎ

= _� ℎ

Jadi , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α .

Iain Raeburn dalam papernya On Crossed Products and Takai Duality

aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi kovarian dari , , .

Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik

Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Produk silang dari , , adalah sistem , _�, _� yang terdiri dari aljabar- (aljabar- dinotasikan dengan ×_� ), representasi _�: ⟶

, dan representasi _�: ⟶ yang memenuhi:

i. _�, _� adalah kovarian; yaitu, memenuhi _�( � ) = _{� �} � _� ,

∀ , � ;

ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari

sedemikian sehingga × _� = dan × _� = ; iii. dibangun oleh {_� � ∶ � } ∪ { _� ∶ }.

Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut.

Proposisi 3.1.8. (Raeburn, 1988: 324)

1) Jika , _�, _� dan , _�, _� keduanya adalah produk silang dari

, , , terdapat isomorfisma � dari ke sedemikian sehingga �

� = � dan � � = �.

2) Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik.

Setiap representasi non-degenerate dari ×_� memiliki bentuk × dimana , representasi kovarian dari , , . Homomorfisma _� dan _� adalah injektif.

3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz

Pada bab selanjutnya, akan dikaji hubungan antara produk silang atas semigrup endomorfisma dengan aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter. Aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz. Untuk itu pada subbab ini dibahas secara ringkas konsep aljabar Toeplitz atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak. Penulis mengacu pada tesis magister Aljabar Toeplitz atas Grup Terurut

karya Lindiarni (1997).

Misal Γ grup terurut. Definisikan grup dual dari Γ sebagai

Γ̂ ≔ { : Γ ⟶ �: homomorfisma grup kontinu}.

Grup dual Γ̂ membentuk grup dibawah operasi perkalian titik demi titik. Dapat ditunjukkan pula bahwa Γ̂ adalah suatu grup topologi kompak. Karena Γ̂ kompak, maka (Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ} adalah aljabar- terhadap operasi tambah dan kali titik demi titik serta norm supremum.

Pandang pemetaan evaluasi

� : Γ̂ ⟶ �

⟼ � = , ∀ Γ, Γ̂.

Untuk setiap Γ, � adalah suatu homomorfisma. Kemudian dapat ditunjukkan

�� {� : Γ} adalah subaljabar- padat dari (Γ̂). Bentuk ruang Hilbert

(Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ ∶ ∫ | | < ∞} Γ̂

dengan adalah ukuran Haar pada Γ̂. (Γ̂) adalah ̅̅̅̅̅̅(Γ̂) terhadap norm yang dihasilkan dari hasil kali dalam:

< �, � > = ∫ ��̅}

Definisi 3.2.1. (Adji, Laca, dkk. 1994: 1140)

Himpunan {� : Γ} adalah basis ortonormal untuk (Γ̂). Definisikan Γ+ sebagai subruang tutup ̅̅̅̅̅̅̅{� :�� Γ+}. Misal � proyeksi dari (Γ̂) ke

Γ+ _{. Untuk setiap � (Γ̂), operator Toeplitz}

� adalah operator pada Γ+ _{yang didefinisikan oleh}

� = � � , ∀ (Γ̂), � (Γ̂). Aljabar

Toeplitz � Γ dari grup terurut Γ adalah subaljabar- dari Γ+ yang dibangun oleh operator Toeplitz { _�: � (Γ̂)}.

Sebagai catatan, perhatikan bahwa karena (Γ̂) = (Γ̂)̅̅̅̅̅̅ , maka untuk setiap � (Γ̂) dan (Γ̂), � (Γ̂). Jadi dapat didefinisikan operasi perkalian di (Γ̂).

Telah diuraikan konsep aljabar Toeplitz atas suatu grup terurut. Selanjutnya, Murphy (1991) mendefinisikan aljabar Toeplitz abstrak dalam papernya Ordered Group and Toeplitz Algebra.

Definisi 3.2.2: Semigrup Isometri. (Lindiarni, 1997: 49)

Misal Γ grup terurut dan suatu aljabar- unital. Semigrup isometri di relatif terhadap Γ adalah pemetaan : Γ+ ⟶ sedemikian sehingga isometri di untuk setiap Γ+ dan ₊ = , untuk setiap , Γ+.

Definisi 3.2.3.

Aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ adalah aljabar- unital yang dibangun oleh , Γ+, dimana adalah semigrup isometri di Γ. Notasikan aljabar- dengan { : Γ+}.

Notasikan aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ dengan � Γ . Muphy telah membuktikan bahwa aljabar Toeplitz dari suatu grup terurut Γ selalu ada dan bersifat universal, yang terangkum dalam teorema berikut:

Teorema 3.2.4. (Murphy, 1987: 315)

Misal � grup terurut dan : �+ ⟶ adalah semigrup isometri nonuniter di

aljabar- unital . Terdapat homomorfisma- unik : � � ⟶ sedemikian

sehingga = injektif, dimana : �+ ⟶ � � adalah semigrup isometri

di � � .

Berdasarkan teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa semua aljabar-yang dibangun oleh semigrup isometri nonuniter dari Γ+ dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz � Γ .