47a1a sistem persamaan linier

1

SISTEM PERSAMAAN LINIER
A.

Pendahuluan
Suatu persamaan linier yang mengandung n peubah

dalam bentuk

dengan

dinyatakan
adalah konstanta

riil.
B.

Sistem Persamaan Dua Variabel

1.

Bentuk Umum

ax + by = c
px + qy =r
di mana:

a, b, c, p, q, r  R
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y
c, r = konstanta
x, y = variabel

2.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara
lain :
a. Eliminasi
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan

menggunakan metode eliminasi adalah:

 Menyamakan koefisien salah satu variabel

 Menjumlahkan atau mengurangkan ruas – ruas yang bersesuaian dari
kedua persamaan linier baru
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara eliminasi !

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

2

Penyelesaian:
2x – 3y = 16

4x – 6y = 32

2x – 4y = 18

3x – 6y = 27

y = -2

x=5

HP = {5,-2}

b. Substitusi
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan
menggunakan metode substitusi adalah:

 Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel lain dari salah satu
persamaan

 Substitusikan hasil dari langkah (1) pada persamaan lainnya
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara substitusi !

Penyelesaian:
x – 2y = 9
x = 9 + 2y
2x – 3y = 16

x = 9 + 2y

2 (9 + 2y) – 3y = 16

x = 9 + 2 (-2)

18 + 4y – 3y = 16

x=9–4

y = 16 – 18

x=5

y = -2

HP = {5,-2}

c. Eliminasi dan Substitusi
Merupakan gabungan antara metode eliminasi dan substitusi.

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

3

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara substitusi dan eliminasi !
Penyelesaian:
2x – 3y = 16

x – 2y = 9

2x – 4y = 18

x – 2(-2) = 9
x+4=9

y = -2

x=5
HP = {5,-2}

d. Determinan
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan
menggunakan metode determinan adalah:
 Menghitung nilai

|

 Menghitung nilai
 Menghitung nilai

|

|

|

|

|

 Menghitung nilai x dan y, dengan rumus:

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara determinan !
Penyelesaian:

|

|

|

|

|

|

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

4

HP = {5,-2}

C.

Sistem Persamaan Tiga Variabel

1.

Bentuk Umum
ax + by + cz = p

dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r

di mana:

a, b, c, d, e, f, g, h, i, p, q, r  R
a, d, g = koefisien dari x
b, e, f = koefisien dari y
c, f, i = koefisien dari z
p, q, r = konstanta
x, y, z = variabel

2.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
a. Substitusi dan Eliminasi
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara substitusi dan eliminasi !

Penyelesaian:

 Persamaan (1) dan (3)

 Persamaan (1) dan (2)

x + 2y – z = -5

3x + 6y – 3z = -15

-x + y + 4z = -1

3x + y +2z = 5

3y + 3z = -6

5y – 5z = -20

y + z = -2

(4)

y – z = -4

(5)

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

 Persamaan (4) dan (5)

y + 1 = -2
y = -3

y + z = -2

 Persamaan (1)

y – z = -4
2z = 2

x + 2y – z = -5

z=1

x + 2(-3) – 1 = -5

 Persamaan (4)

x – 6 – 1 = -5
x=2

y + z = -2

HP = {2, -3, 1}

b. Determinan
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel
dengan menggunakan metode determinan adalah:
 Menghitung nilai
 Menghitung nilai
 Menghitung nilai
 Menghitung nilai

|

|
|

|

|

|

|

|

 Menghitung nilai x, y dan z, dengan rumus:

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara determinan !

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

5

6

Penyelesaian:
|

|

|

|

|

|

|

|

HP = {2,-3,1}

Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.