PRILAKU PENYELESAIAN PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA AKIBAT WAKTU TUNDA (TIME DELAY ) | La Gubu | JURNAL ILMIAH MATEMATIKA DAN TERAPAN 145 498 1 PB

PRILAKU PENYELESAIAN PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA AKIBAT WAKTU TUNDA
(TIME DELAY)

La Gubu1
1Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kampus Bumi Tridharma Anduonohu Kendari
93232 Email: lagubu2001@yahoo.com

Abstrak
Model prey-predator Lotka-Volterra dengan waktu tunda merupakan model interaksi satu prey dan satu
predator. Model ini melibatkan persamaan integral dan sistem persamaan diferensial non linear
autonomous. Sistem persamaan tersebut dapat dilinearkan dengan menggunakan Transformasi Laplace
disekitar titik kesetimbangannya, kemudian ditentukan prilaku penyelesaiannya dengan menggunakan
hampiran solusi. Sistem persamaan ini mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu titik (0,0) dan titik

a 2 a1 . Untuk memeriksa apakah titik kesetimbangan tersebut stabil atau tidak dapat dilihat dari nilai,
2

1

nilai eigen yang diperoleh. Hasil analisis menunjukkan bahwa titik

a2 a1
,
2

merupakan titik

1

kesetimbangan yang stabil asimtotik.

I.

PENDAHULUAN
Banyak sistem interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah satunya adalah

sistem interaksi mangsa-pemangsa (prey-predator). Predator merupakan spesis pemangsa yang
secara fisik ukurannya lebih besar dibandingkan dengan prey, sedangkan prey adalah spesis yang
dimangsa yang ukurannya lebih kecil daripada predator, (Boyce dan Diprima, 1997).

Sistem interaksi prey-predator dalam hal ini satu prey dan satu predator telah disusun oleh
Lotka dan Volterra, yang selanjutnya disebut model persamaan Lotka-Volterra (L-V). Walaupun
model L-V tidak dapat menggambarkan secara kompleks hubungan antar spesis seperti kejadian
nyata di alam, tetapi model sederhana tersebut merupakan langkah awal untuk mengetahui perilaku
hubungan antara prey dan predator dari sudut pandang matematika.
Model persamaan L-V dapat diselesaikan dengan linierisasi persamaan nonlinier pada titik
kesetimbangan dan kestabilannya yang sangat peka terhadap gangguan (perturbasi). Karena
modelnya yang cukup sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar bagi
pengembangan model yang lebih realitas.
Berbagai asumsi digunakan untuk memodifikasi model interakasi persamaan L-V dengan
mempertimbangkan faktor-faktor yang berpengaruh atas masing-masing pertumbuhan spesis prey
dan predator yang berinteraksi. Jika dalam suatu populasi terjadi bencana akibat pengaruh biotik
maka pertumbuhan spesis-spesis dalam populasi tersebut akan mengalami gangguan. Hal ini
berakibat pertumbuhan prey akan mengalami penundaan akbibat rusaknya sumberdaya yang ada.

JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25

Lebih lanjut pertumbuhan predator akan ikut mengalami penundaan akibat berkurangnya prey
sebagai sumber bahan makanan utama. Hal ini yang menjadi acuan untuk mengembangkan model
L-V akibat kerusakan populasi.

II.

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Persamaan Lotka-Volterra (L-V)
Lotka-Volterra membangun model interaksi dua spesis yakni mangsa ( prey) dan pemangsa
(predator) dengan menganggap bahwa x1 sebagai (prey) dan x2 sebagai pemangsa (predator) yang
saling berinteraksi pada suatu daerah tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk membangun
model interaksi dua spesis, berdasarkan Lotka-Volterra adalah sebagai berikut :
1.

Jika populasi predator diabaikan, maka laju pertumbuhan populasi prey akan naik secara
eksponensial, diperoleh

2.

a1 x1 ,

a1

konstanta proporsional.

Jika populasi prey diabaikan, maka laju pertumbuhan populasi predator akan menurun,
diperoleh

3.

dx1
dt

dx2
dt

a2 x2 ,

a2

konstanta proporsional.

Setiap interaksi kedua populasi, akan meningkatkan pertumbuhan populasi predator dan

menghalangi pertumbuhan populasi prey. Oleh karena itu, pertumbuhan populasi predator

α 2 x1 x2 , sedangkan pertumbuhan
α1 x1 x2 , dengan α1,α2 konstanta proporsional.

bertambah sebanyak
sebanyak

populasi prey akan berkurang

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut di atas dapat dibentuk sistem persamaan:
dx 1
dx 2
a1x 1 α 1x 1x 2
a 2 x 2 α 2 x 1x 2 ,
dt
dt
dengan

a1,a2 ,α1

dan

α2

(2.1)

konstanta proporsional dan positif.

Sistem persamaan (2.1) disebut persamaan predator-prey Lotka-Volterra (L-V), (Boyce dan Diprima,
1997). Kedua populasi yang berinteraksi dari sistem persamaan (2.1) ternyata juga merupakan
interaksi simbiosis mutualisme. Karena dalam suatu populasi tidak ada spesis yang dapat hidup
bertahan lama tanpa kehadiran spesis lain.
2.2 Persamaan L-V Akibat Waktu Tunda
Bagian ini akan dibangun model persamaan prey-predator L-V akibat adanya kerusakan
populasi yang dapat mempengaruhi pertumbuhan prey yang juga akan mempengaruhi pertumbuhan
predator berdasarkan persamaan (2.1) yang telah dibangun. Hal ini biasa dikenal model preypredator akibat waktu tunda.
Definisi 2.2.1 Suatu persamaan diferensial disebut persamaan diferensial tundaan

(Differential Delay Equation), jika pada persamaan terdapat hubungan ketergantungan antara waktu

sebelumnya dan waktu sekarang.

15

Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)

Diasumsikan bahwa laju perubahan pertumbuhan kedua populasi ( prey dan predator)
bergantung pada ukuran populasi awal pada saat itu, yaitu x(t-s) dengan

dx
s) pada
dt

bergantung pada s dan diukur oleh fungsi normalisasi k(s), sehingga efek rata-rata

pembobotan dari ukuran semua populasi awal pada

dx
dt

s ≥ 0, sehingga efek x(t-

xt

s k s ds

0

dx
dt

diberikan sebagai berikut :

,

(2.2)

k s ds
0

dimana k(s) merupakan bentuk normalisasi pada fungsi pembobot atau fungsi kernel ( kernel

function) yang dapat ditulis sebagai berikut :

k s ds 1 ,

(2.3)

0

berakibat bahwa ukuran semua populasi awal x(t) tergantung pada
t

k t s x s ds
0

k z xt

z dz .

(2.4)

0

Berdasarkan Definisi 2.2.1 dan persamaan (2.4), dapat dibentuk persamaan L-V akibat
waktu tunda, dengan mengasumsikan bahwa ukuran populasi prey x1 berkurang dalam masa
persiapan akibat interaksi dengan predator x2, sehingga berdasarkan persamaan (2.1), diperoleh:

dx1
dt

a1x1 α1x1x 2

dx 2
dt

a 2 x 2 α2 x 2

t

k t s x1 s ds

a 2 x 2 α 2 x 2 k z x1 t z dz

(2.5)

0

dimana k(t-s) merupakan fungsi normalisasi yang berpengaruh terhadap t dari populasi pertama
pada saat s

t setelah waktu interval t-s.

Lebih lanjut berdasarkan persamaan (2.5), laju populasi prey akan bertambah akibat
pengaruh laju perubahan populasi predator yang berkurang sehingga diperoleh:

dx1
dt
dx2
dt

t

a1 x1 α1 x1 k 2 t s x2 s ds a1 x1 α1 x1 k 2 z x2 t z dz
0
t

a2 x2 α2 x2 k1 t s x1 s ds

(2.6)

a2 x2 α2 x2 k1 z x1 t z dz
0

dimana k1(z) dan k2(z) merupakan fungsi normalisasi atau fungsi kernel tundaan (delay kernel

function), yang dapat dituliskan sebagai berikut:

k1 z dz 1 ,
0

k 2 z dz 1 .

(2.7)

0

16

JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25

Sistem persamaan (2.6) disebut persamaan L-V dengan waktu tunda, (J.N Kapur, 2000).
2.3 Kesetimbangan Persamaan L-V dengan Waktu Tunda
Bagian ini akan diberikan beberapa pengertian yang berhubungan dengan kesetimbangan
untuk menyelesaikan persamaan L-V akibat waktu tunda. Berikut definisi tentang bagaimana
menentukan titik kesetimbangan.
Definisi 2.3.1 Misalkan diberikan sistem dua dimensi :

dx1 /dt

f1(x1,x2 ) dan dx2 /dt

f 2(x1,x2 ).

(2.8)

Diasumsikan bahwa f1 dan f2 kontinu dan mempunyai turunan parsial terhadap

x1

dan

x 2 . Titik

kesetimbangan diperoleh jika

f1 x1,x2

0 dan f 2 x1,x2

0

(2.9)

Nilai x1 dan x2 yang memenuhi persamaan (2.9) disebut titik kesetimbangan dari persamaan (2.8).
Definisi 2.3.2. Sifat-sifat kesetimbangan interaksi dua spesis prey-predator, yaitu sebagai berikut :
1) Kesetimbangan sistem merupakan tipe yang stabil tapi tidak stabil asimtotik (menghasilkan trayektori pusat
netral atau lintasan mengelilingi titik kesetimbangannya), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah

0.

i dengan

2) Kesetimbangan sistem merupakan tipe yang stabil asimtotik (semua trayekttori lintasannya menuju titik
kesetimbangan), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah

0

3) Kesetimbangan sistem merupakan tipe yang stabil asimtotik, jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah

i dengan

0

4) Keseitmbangan sistem merupakan tipe tidak stabil (semua trayektori menjauhi titik kesetimbangannya), jika

0

nilai eigen dari matriks Jacobi adalah

dan keduanya positif.

5) Kesetimbangan sistem merupakan tipe tidak stabil (semua trayektori menjauh atau memencar dari titik

0.

i dengan

kesetimbangannya), jika nilai eigen dari matriks Jacobi adalah

Secara umum untuk mencari solusi analitik sisitem persamaan L-V (2.6) sangatlah sulit,
untuk menyelesaikannya akan diberikan asumsi sebagai berikut, jika

x1 t

x1

x2 t

dan

x2

,

(2.10)

maka berdasarkan persamaan (2.6) dan Definisi 2.3.1,diperoleh

a1x1 α1x1 k 2 z x 2dz=0 karena k 2 z dz 1 , berakibat
0

x1 a1

x

1 2

0

0

, sehingga diperoleh

x1 0

atau x
1

a1 .
1

Selanjutnya

a 2 x 2 α 2 x2 k1 z x1dz

0 karena k1 z dz 1 , berakibat

0

x2 a2

x

2 1

0

0 x2 a2
,

x

2 1

0 , maka diperoleh x2

0 atau x1

a2
2

Jadi diperoleh dua titik kesetimbangan (equilibrium), yaitu titik (0,0) dan

a 2 a1 .
,
2

17

1

Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)

2.4 Sistem Non Linier dan Kestabilan
Sistem persamaan differensial nonlinear yang tidak bergantung terhadap waktu
(autonomous) biasa dituliskan dalam bentuk :
dx 1
dt

f 1 x 1, x 2 ,

dx 2
dt

f 2 x 1, x 2 .

(2.11)

Jika sistem persamaan differensial (2.11) mempunyai keadaan kesetimbangan

ui

xi

xi

maka menurut ekspansi Taylor untuk fungsi dua peubah disekitar

x1,x2 dan
titik x1,x2

diperoleh :

f i x1 ,x2
atau

f1 x1 ,x2

f i x1 ,x2
f1 x1 ,x2

x1

x 1 x1
2!

x1

f 2 x1 ,x2

2

f 1 x1 , x 2
x1

x1 x2
2!

x1

2

x1

x2

x1 x 2
2!

2

x2
2!

2

f x1 , x 2
x2

f1 x1 , x2
.....
x1 x2
f 2 x1 ,x2
x2 x2
x1

f 2 x1 , x 2
x1

f i x1 ,x2
......., i = 1,2
2
xi
f x ,x
x2 1 1 2
x2
(2.12a)

2

2

x1

2

2

x2

2

x2

x1

x1
2!

ui
2!

f1 x1 ,x2
x1

x1
2

f 2 x1 ,x2
+

2

f x ,x
ui i 1 2
xi

x2

x2
2!

2
2

x2

f 2 x1 , x 2
x1 x 2

2

f 2 x1 ,x2
x2

2

f 2 x1 , x 2
x2

(2.12b)

2

....

Persamaan (2.12a) dan (2.12b) dapat juga dituliskan dalam bentuk :

dimana

f1 x1 ,x2

f1 x1 ,x2

f 2 x1 ,x2

f 2 x1 ,x2

g1 u1 , u2

x1 x1
2!

x1

g 2 u1 , u 2

Jika x

2

2

f 1 x1 , x2
x1

x1 x2
2!

x 1 x1
2!
x1

f1 x1 ,x2
x1
f x ,x
u1 2 1 2
x1

u1

2

2

x2

2

x2

2

x1 x2
2!

x2

2

x2

x2
2!

2

2

2

g1 u1 ,u2 ,u1
g 2 u1 ,u2 ,u2

x1

x1

x2

x2

f x1 , x2
x22

f1 x1 , x2
x1 x 2

f 2 x1 , x 2
x1

f1 x1 ,x2
x2
f x ,x
u2 2 1 2
x2

u2

x2
2!

f 2 x1 , x 2
x1 x 2

.....
2

2

f 2 x1 , x 2
x2

2

.....

x1 , x2 merupakan keadaan kesetimbangan (equilibrium), maka : f i x1 , x2

0 , i = 1,2.
18

JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25

Di definisikan :
dx 1
dt

x1

dx 2
dt

d
x x , x
dt 1 1 2

d
x x2
dt 2

(2.13)

sehingga persamaan (2.11) dapat ditulis :

f1 x1 ,x 2
x1
f 2 x1 ,x 2
x1

dx1
dt
dx2
dt

f1 x1 ,x 2
x2
f 2 x1 ,x 2
x2

x1-x1

g1 u1 ,u 2

x 2 -x 2

g 2 u1 ,u 2

.

(2.14)

Karena di titik kesetimbangan f1(x1,x2) = f2(x1,x2) = 0, dan di sekitar titik kesetimbangan x1 dianggap
cukup dekat dengan

x1 , demikian pula dengan x2 dan x2 , maka x1 x1

sangat kecil. Hal ini menyebabkan suku-suku g(u1,u2) yang memuat

x1 x1 x2

x2

dx1
dt
dx2
dt

dan

x1

x2 x2
x1 2, x2

x2

2,

, … dapat diabaikan, sehingga diperoleh

f1 x1 ,x 2
x1
f 2 x1 ,x 2
x1

f 1 x1 ,x 2
x2
f 2 x1 ,x 2
x2

x1-x1
x 2 -x 2

 = Au
dalam notasi vektor dapat dituliskan : x
dimana x

nilainya

dx1
dt , u
dx2
dt

u1

(2.15)

, dan

u2

A disebut turunan parsial pertama yang disebut matriks Jacobian dari f pada ( x1 , x2 ) yang
memberikan hasil sistem linier :

A

f1 x 1 , x 2
x1
f 2 x1 , x 2
x1

f1 x 1 , x 2
x2
f 2 x1 , x 2
x2

f1
x1
f2
x1

f1
x2 .
f2
x2

(2.16)

Nilai eigen matriks konstan A memberikan informasi kestabilan lokal di titik kesetimbangan

x1 , x2

(Nayfeh dan Balachandra, 1995).
III.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Predator prey L-V dengan waktu tunda dapat dituliskan kembali seperti berikut ini :

dx1
dt
dx 2
dt

19

t

a1x1 α1x1 k 2 t s x 2 s ds a1x1 α1x1 k 2 z x 2 t z dz
(3.1)

0
t

a 2 x 2 α2 x 2

k1 t s x1 s ds

a 2 x 2 α 2 x 2 k1 z x1 t z dz
0

,

Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)

x1 t

Jika

x1

dan

x2 t

x2,

maka telah diperoleh dua titik kesetimbangan dari

a 2 a1 . Titik kesetimbangan (0,0) dapat diabaikan, karena
,

persamaan (3.1), yaitu titik (0,0) dan

2

1

tidak ada pertumbuhan populasi dari kedua populasi atau di titik ini tidak ada prey dan predator. Oleh
karena itu, disini hanya dapat diambil keadaan kesetimbangan disekitar titik

a 2 a1
,
2

1

Misalkan u1dan u2 adalah perturbasi pada keadaan seimbang, sehingga dari asumsi
persamaan (2.10) dimodelkan dalam persamaan perturbasi dalam bentuk

x1 t

x 1 u1 t , x 2 t

x2

u2 t

(3.2)

Persamaan (3.2) disubtitusi kedalam persamaan (3.1) disekitar titik kesetimbangan

x1 , x2

diperoleh :

d x1 u1
dt

α1 x1 u1

a1 x1 u1

k 2 z x 2 u2 t z dz
0

du1
dt

ax1 +a1u1 α1x1 k 2 z x 2 dz α1x1 k 2 z u2 t z dz
0

0

α1u1 k 2 z x 2 dz α1u1 k 2 z u2 t z dz
0

du1
dt

0

a1x1 +a1u1 α1u1x 2 α1x1x 2 α1x1 k 2 z u2 t z dz
0

α1u1 k 2 z u2 t z dz
0

Dalam hal ini, akan dinolkan bagian yang konstan dan perkalian dari ui, dengan

i

1,2 ,

sehingga diperoleh :

Atau

du1
dt

a1u1 α1u1x 2 α1x1 k 2 z u2 t z dz

du1
dt

a1u1 α1u1

0

a1

α1

a2

1

k 2 z u2 t z dz ,

2 0

lebih lanjut

d x 2 u2
dt
du2
dt

a 2 x 2 u2

α 2 x 2 u2

k1 z x1 u1 t z dz
0

a 2 x 2 a 2u 2

2 x2

k1 z x1 dz
0

2 x2

k1 z u1 t z dz
0

a2u 2 k1 z x1 dz a2u 2 k1 z u1 t z dz
0

0

20

JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25

du2
dt

a2 x 2 a 2u2 α 2 x 2 x1 α 2 x 2 k1 z u1 t z dz α 2u2 x1
0

α 2u2 k1 z u1 t z dz
0

Dalam hal ini, akan dinolkan bagian yang konstan dan perkalian dari ui, dengan

i

1,2 ,

sehingga diperoleh :

du2
dt
Atau

a 2u2 α 2u2 x1 α 2 x 2 k1 z u1 t z dz
0

du2
dt

a 2 u2 α 2 u2

a2

a1

α2

2

k1 z u1 t z dz .

1 0

Jadi dari persamaan (4.1) dan persamaan (4.3) diperoleh :

du1
dt

a1u1 α1u1x 2 α1x1 k 2 z u 2 t z dz
.

0

du 2
dt

(3.3)

a 2 u 2 α 2 u 2 x1 α 2 x 2 k1 z u1 t z dz
0

Persamaan (3.3) dapat diselesaikan dengan mengambil hampiran solusi numerik

A1eλt , u 2 =A 2eλt

u1

(3.4)

Persamaan (3.4) disubtitusi kedalam persamaan (3.3) disekitar titik kesetimbangan

x1 , x2

diperoleh

d A1e

t
t

a1 A1e

dt

A e t x2

x k2 z A2e

1 1

1 1

t z

dz

0

A1

a1 A1

1

A1 x2

z

x A2 k2 z e

dz,

1 1

0

Karena

e

t

0.
A1

Jadi dari persamaan (3.3) dan persamaan (3.4) diperoleh :

a1 A1

1

A1 x2

z

x A2 k2 z e

dz

1 1

,

0

A2

a2 A2

2

A2 x1

z

x A1 k1 z e

2 2

(3.5)

dz

0

sehingga

a2

A1

1

A2 k 2 z e

2

A2

a1
2
1

z

a2

dz

1

*

(3.6)

2

0

A1 k1 z e

A2 k 2

z

dz

a2
2

*

A1k1

2

0

Persamaan (3.6) merupakan solusi persamaan (3.3) yang bisa juga ditulis dalam bentuk

A2
21

x A 1 k1*

2 2

A1

x A2 k2*

1 1

(3.7)

Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)

k1

dimana

*

k2

dan

*

merupakan Tranformasi Laplace pada k1(z) dan k2(z), dengan

persamaannya sebagai berikut:
L {k1 ( z )}

*

k1

z

e

k1 z dz dan L {k 2 ( z)}

k2

*

e

0

z

k 2 z dz

0

Matriks Jacobian dari persamaan (3.3) yang diperoleh dari persamaan (3.7) disekitar titik

x1 , x2

kesetimbangan

A

adalah

f1 x1 , x2

f1 x1 , x2

A1

A2

f 2 x1 , x2

f 2 x1 , x2

A1

A2

(3.8)

x1 , x2

x1 , x2

Karena A merupakan matris Jacobian, maka matriks Jacobi dari persamaan (3.7) dapat ditulis

a2

0
sebagai :

1
2

A

a1

0

2
1

Persamaan karateristik dari matriks A diatas adalah
*

2

*

a1a2 k1

k2 k2
k1*(λ)

0.

dan

k2*(λ)

an zn 1
, k2 z
n

e

Untuk menentukan nilai

(3.9)
akan diberikan model distribusi tunda dengan persamaan

berikut :

e

k1 z

az

bz

bm z m
m

1

(3.10)

dimana m,n, a, b, z adalah konstanta positif.
Dengan menggunakan Transformasi Laplace pada k1(z) dan k2(z) diperoleh k1*(λ) dan k2*(λ)
berdasarkan persamaan (3.10) yang dapat dituliskan sebagai berikut :
L

k1 ( z)
k1

*

az

L e

anzn
(n)

1

,

n

a

n

a z

e

z n 1 dz .

(3.11)

0

Untuk mencari integral dari persamaan (3.11) akan dimisalkan u = ( λ + a )z dengan dz

an
n

sehingga diperoleh : k *
1

e

u

n 1

u
a

0

du

n

a

a

du ,
a

a

Selanjutnya
L k 2 ( z)

L e

bz m

b zm
(m)

1

k1
,

e

*
0

z

e bz b m z m 1
dz
m

22

JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25

k2

bm
m

*

b z

e

z m 1 dz .

(3.12)

0

Untuk mencari integral persamaan (3.12) akan dimisalkan v = ( λ + b )z dengan

dv

dz

b

,

sehingga diperoleh :

bm
m

*

k2

e

m 1

v

v

dv

b

0

m

b

b

.

a

Jadi, dari persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) diperoleh:

k1

*

e

az

e

bz

an zn
n

0

k1

*
0

m

b z
m

1

n

a
a

m 1

(3.13)
m

b
b

Dengan mensubsitusi persamaan (3.13) kedalam persamaan (3.9) diperoleh

λ2

n

a

a 1a 2

λ

a

n

(3.14)

0

b λ

λ2 a λ

g

m

b

b λ

m

a 1a 2 a n b m

0.

(3.15)

Persamaan (3.15) diderivatifkan terhadap λ diperoleh:

g

2

n

a
n 1

a

m

b

2

m 1

b

n 1

n a

2a

m

b

b

n b

2

a

n

m b

m a

m 1

(3.16)

Misalkan

2a

b

n b

m a

(3.17)

sehingga persamaan (3.16) menjadi

g

a

n 1

b

m 1

(3.18)

Berdasarkan persamaan (3.18) diperoleh bahwa jika

g

0.

a,

b dan 0,

maka

Hal ini berarti laju pertumbuhan populasi prey-predator akan setimbang. Lebih lanjut

menurut persamaan (3.15) diperoleh

g

0

pada interval

a, 0 atau ( b, a ) .

Ini juga

berarti jumlah populasi prey akan menurun, sehingga berpengaruh terhadap penurunan jumlah
populasi predator akibat kurangnya sumber bahan makanan utama yang bersumber dari populasi
prey. Lebih lanjut, keadaan titik kesetimbangan ( a2 a1 ) kedua populasi menunjukkan stabil
,

2

asimtotik. Kestabilan asimtotik ini ditunjukkan oleh
Selanjutnya, jika diambil

1

a dan

1

yang mempunyai nilai-nilai eigen real negatif.
2

b persamaan (3.4) menjadi

-at

u1 (t) A1e

u 2 (t)=A2e-bt ,

23

(3.19)

Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay)

sehingga berdasarkan persamaan (3.2) dan persamaan (3.19) disekitar titik kesetimbangan (

a2

,

a1

2

diperoleh bahwa asumsi solusi dari persamaan (3.1) adalah
a2
x1 (t )
A1e at
.
2
x2 (t )

a1

A2e

)

1

(3.20)

bt

1

Karena pada saat

0 dicapai,

kerapatan populasi prey dan predator akan mencapai garis

asimtot atau berlangsung stasioner tanpa ada perubahan (yang merupakan titik kesetimbangannya),
sehingga pada akhirnya pertumbuhan kedua populasi berhenti. Oleh karena itu, untuk

0

akan

diabaikan.
Lebih jelasnya, dinamika pertumbuhan x1 dan x2 terhadap waktu t akibat waktu tunda
dengan adanya pengaruh u1(t) dan u2(t) dengan berdasarkan persamaan (3.20) dapat ditunjukkan
dengan grafik berikut :

x1
x2

x1 , x2

Gambar 1. Simulasi x1 dan x2 di titik ( a2

,

2

a1

) dengan a1 =

1

= 1, a2 =

2

= 0,3, a = 0,5, b=1,5, dan

1

A1 = A2 =1.
Berdasarkan Gambar 1, menunjukkan x1 dan x2 keseimbangannya stabil asimtotik tanpa
osilasi. Analisis menunjukkan untuk setiap konstanta a1,

1,

a 2,

2,

a, dan b berlaku sifat

kesetimbangan yang stabil asimtotik di ( a2 , a1 ).
2

1

Lebih lanjut, berdasarkan gambar 1, tidak terjadi isolasi pada dinamika perumbuhan
populasi prey dan predator. Laju pertumbuhan yang tidak berisolasi ini disebabkan oleh saling
ketergantungan antara keduanya. Jumlah populasi predator yang

ada dipengaruhi oleh jumlah

populasi prey. Kemudian dari gambar 1 terlihat juga bahwa pertumbuhan populasi predator lebih
cepat menuju ke titik kesetimbangan ( a2 , a1 ) dari pada populasi prey.
2

1

Lebih lanjut, prilaku sifat solusi kesetimbangan persamaan prey-predator akan digunakan
analisis bidang fase berikut :

24

JIMT, Vol. 8, No.1, Mei 2011 : 14 – 25

x
x21

x1

x2

0

0

Gambar 2. Simulasi sistem persamaan L-V akibat waktu tunda dengan a1 = α1 = 1, a2 = α2 =
0,3 dan nilai awal x1(0)=1.2; x2(0) = 1,7.
Berdasarkan gambar 2 terlihat bahwa trayektori dari model tersebut berbentuk memilin yang
mengarah ke dalam atau ke titik (

a2
2

,

a1

). Hal ini berarti simulasi menunjukkan trayektori menuju ke

1

titik kesetimbangannya, sehingga berdasarkan Definisi 2.3.2, titik ( a2 a1 ) merupakan titik yang
,

2

1

stabil asimtotik.
IV.

KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa laju perubahan

pertumbuhan predator lebih cepat menuju ke titik kesetimbangan ( a2 a1 ) dibandingkan dengan laju
,

2

perubahan pertumbuhan populasi prey. Sementara itu, titik ( a2
2

V.

,

1

a1 ) bersifat stabil asimtotik.
1

DAFTAR PUSTAKA
1.

Boyce, E.W. and Diprima, R.C., 1997, Elementary Differential Equations and Boundary Value

Problems, John Wiley & Sons Inc., New York.
2.

Burger, D.N., Borrie, M,S., 1982, Modelling with Differential Equations , John Wiley & Sons.
Inc.

3.

Kapur, J.N., 2000, Mathematical Models in Biology and Medicine, Affiliated East-West Press
Private Limited., New Delhi.

4.

Kreyzig, E, 1999, Advance Engineering Mathematics, John Wiley & Sons. Inc.

5.

Nafyeh, A.H. and

Balachandra, B., 1995, Applied Nonlinear Dynamic: Analytical,

Computational, and Experimental Method, John Wiley & Sons Inc., New York.
6.
7.

Ross, S.L., 1984, Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc.
Santosa,W., Pamuntjak, R.J., 1990, Persamaan Diferensial Biasa, Departemen Pendidikan
dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Jakarta

25