PERILAKU SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA DENGAN WAKTU TUNDA.

PERILAKU SOLUSI SISTEM PERSAMAAN
LOTKA-VOLTERRA DENGAN WAKTU TUNDA

Oleh :
Silva Humaira
NIM. 4123230026
Program Studi Matematika

SKRIPSI

SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016

i

ii

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada 13 Desember 1994 di Medan. Ayah
bernama Wagino dan ibu bernama Khairani, S.Ag. Penulis memiliki 1
saudara laki-laki bernama Muhammad Prawira dan satu saudara
perempuan bernana Tia Husnul Zurriyati.Pada tahun 1999 penulis
mengikuti sekolah PAUD di Fremethodist. Lalu pada tahun 2000
penulis bersekolah di SD Swasta Alwashliyah Ampera II Medan dan
lulus pada tahun 2006. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan
pendidikan kejenjang menengah di SMP N 7 Medan. Pada tahun
2009, penulis melanjutkan pendidikan di SMAN4 Medan dan lulus
pada tahun 2012. Pada tahun 2012, penulis diterima di Universitas
Negeri Medan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
jurusan Matematika, Program studi Matematika.

iii

PERILAKU SOLUSI SISTEM PERSAMAAN

LOTKA-VOLTERRA DENGAN WAKTU TUNDA
Silva Humaira
NIM: 4123230026
ABSTRAK
Penelitian ini membahas perilaku sistem persamaan Lotka-Volterra dengan
waktu tunda. Pembahasan dilakukan terhadap hasil simulasi Matlab dengan
menggunakan metode Forward Euler. Dari hasil pengamatan yang telah dilakukan
pada simulasi untuk beberapa nilai parameter dapat dilihat adanya hubungan antara
waktu tunda dengan perilaku solusi sistem. Adanya pengaruh waktu tunda pada
sistem Lotka-Volterra akan menghilangkan sifat periodik solusi. Pengaruh waktu
tunda mengakibatkan siklus populasi semakin mengembang, namun kedua
populasi tidak akan mengalami kepunahan. Kemudian panjang interval tunda
berpengaruh terhadap laju perkembangan siklus populasi. Makin panjang interval
tunda makin cepat laju perkembangan sikluspopulasi.
Kata kunci: Lotka-Volterra, waktu tunda, keseimbangan, kestabilan.

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
segala nikmat dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Sistem Persamaan LotkaVolterra dengan Waktu Tunda”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai
pihak,oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika dan
selaku dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing dan mengarahkan
penulis dalam melaksanakan penelitian hingga skripsi ini dapat terselesaikan
denganbaik.
5. Dr. Mulyono, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan denganbaik.
6. Dra.Lucy Karyati Basar, M.Si., ArnahRitonga ,S.Si., M.Si. , Susiana, S.Si.,
M.Si selaku dosen penguji yang telah membimbing serta memberikan masukan

dalam pembuatan skripsi.
7. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual.
8. Kepala Perpustakaan Digital Library Universitas Negeri Medan beserta stafnya
yang telah memberikan izin dan kemudahan selama peneliti melakukan
peneltian.

v

9. Kedua orang tua tercinta, yaitu Ayahanda Wagino dan Ibunda Khairani, S.Ag,
yang telah memberikan dukungan dan semangat serta do’a yang selalu menjadi
pelecut semangat dalam menulis skripsiini.
10. Nenek saya tersayang yang selalu mendoakan saya. Adik-adik saya yaitu
Muhammad Prawira, Tia Husnul Zurriyati, Dara Febriani, Putri Salsabilla, Lia
Putri dan seluruh keluarga saya yang telah membantu dan menjadi motivasi
selamaini.
11. Teman-teman terkasih (Faisal, Ayu, Sabrina, Syahputri, Retno, Putri, Zeze,
Deffy, Dian, Fanny, Tiwi,Riri).

12. Sahabat-sahabtku dibangku kuliah (Ira, Intan, Hawa, Ester, Dea, Heni,
Wulandari).
13. Teman-teman seperjuangan seluruh keluarga besar Matematika Nondik 2012
(Ramlah, Yuni, Essa, Ade, Robin, Tanyel, Bruce, Candra, Rizba, Penny, Nina,
Cardo, Nuel, Yayuk, Nanda, Nadya, Intan, Rahma, Dewi, Isna, Yanti, Mika,
Sriwati, Delvi, Mona, Hadi, Julius, Faisal, Jufrido, Abdul,Daus).
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan ketidaksempurnaan. Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terimakasih.
Medan, September 2016
Penulis

Silva Humaira
NIM. 41232300

vi

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN

i

RIWAYAT HIDUP

ii

ABSTRAK

iii

KATA PENGANTAR

iv

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR TABEL

ix

BABI

Pendahuluan
1.1. Latar Belakang Masalah
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian

1

1
4
4
4
4

BABII

KajianTeori
2.1. Metode Numerik
2.2. Forward Euler
2.3. Model Lotka-Volterra
2.4. Persamaan Diferensial Tunda
2.5. Persamaan Lotka-Volterra denganWaktu Tunda
2.6. Titik Keseimbangan (Equilibrium)

6
6
7
10

12
13
15

BAB III MetodePenelitian
3.1. Tempat dan WaktuPenelitian
3.2. Jenis Penelitian
3.3. Prosedur Penelitian

17
17
17
17

BABIV Pembahasan
4.1. Model Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda
4.2. Simulasi Numerik
4.2.1. Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusI
4.2.2. Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusII
4.2.3. Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusIII

4.2.4. Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusIV
4.3. Perilaku Solusi untuk t Menuju Tak Hingga
4.3.1. Sistem Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda (τ=1)
4.3.2. Sistem Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda(τ=0,1)

19
19
22
22
24
25
26
27
27
28

vii

BABV

Penutup
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran

30
30
30

DAFTARPUSTAKA

31

Lampiran A Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusI

32

Lampiran B Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusII

34

Lampiran C Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusIII

36

Lampiran D Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusIV

38

Lampiran E Sistem Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda (τ=1)

40

Lampiran F Sistem Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda (τ=0,1)

42

Lampiran G Sistem Lotka-Volterra tanpa Waktu Tunda

43

Lampiran H Surat Permintaan Kesediaan Dosen PS

45

Lampiran I Surat Permohonan Izin Penelitian

46

Lampiran J Surat Izin Penelitian dari Fakultas

47

Lampiran K Surat Izin Penelitian dari Tempat Penelitian

48

Lampiran L Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian

49

viii

DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Gambar 2.2

Gambar 4.1
Gambar 4.2

Gambar 4.3

Gambar 4.4

Gambar 4.5

Gambar 4.6

Gambar 4.7

Trayektori dari model (2.7) dengan parameter α=
2, =1, =1,δ=1
Solusi periodik mangsa dan populasi pemangsa, untuk
model Lotka-Volterra (2.7) dengan parameter α=
2, = 1, = 1,δ= 1
Bidang fase: hubungan antara populasi mangsa dan
populasi pemangsa
Grafik persamaan diferensial dari persamaan mangsapemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 01, = 0, 01,
δ= 0,01, x(0) = 2 dan y(0) = 1
Grafik Persamaan Diferensial dari Persamaan Mangsapemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 02, = 0, 02,
δ= 0,01, x(0) = 2, y(0) = 1
Grafik persamaan diferensial dari persamaan mangsapemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 01, = 0, 02,
δ= 0,02, x(0) = 2, y(0) = 1
Grafik persamaan diferensial dari persamaan mangsapemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 02, = 0, 01,
δ= 0,02, x(0) = 2, y(0) = 1
Trayektori pada bidang fase dengan parameter α=
0, 01, = 0, 01, = 0, 02, δ= 0, 02, x(0) =2,
y(0) = 1 .
Trayektori pada bidang fase dengan parameter α=
0, 01, = 0, 01, = 0, 02, δ= 0, 02, x(0) =2,
dan y(0) = 1

11

12
21

22

24

25

26

28

28

ix

DAFTAR TABEL
Tabel 1.1

Tabel 2.1

Tabel 3.1

Tabel 4.1

Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α= 0,
01, = 0, 01, = 0, 01, δ= 0, 01, x(0) = 2, dan
y(0) = 1

33

Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α=
0, 01, = 0, 02, = 0, 02, δ= 0, 01, x(0) = 2, dan
y(0) = 1

35

Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α=
0, 01, = 0, 01, = 0, 02, δ= 0, 02, x(0) = 2, dan
y(0)=1

37

Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α=
0, 01, = 0, 02, = 0, 01, δ= 0, 02, x(0) = 2, dan
y(0)=1

39

BAB I
Pendahuluan
1.1.

Latar BelakangMasalah
Model matematika merupakan representasi masalah dalam dunia nyata yang

menggunakan bahasa matematika. Bahasa matematika yang digunakan dalam
pemodelan meliputi persamaan diferensial, sistem dinamika, statistik, aljabar,
analisis, teori permainan, dan lain sebagainya. Adapun salah satu yang menarik
dipelajari adalah persamaan diferensial. Sampai saat ini, teori mengenai
persamaan diferensial terus dikembangkan, metode yang dipakai untuk
menyelesaikan masalah persamaan diferensial pun bermacam-macam, tergantung
dari jenis persamaan diferensial yangdipelajari.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunanturunan dari satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial
biasa hanya melibatkan suatu fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya
yang semuanya dievaluasi pada saat yang sama, yaitu pada saat t.
Waktu tunda (time delay) penting dalam pemodelan masalah nyata sebab
keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi pada keadaan sebelumnya. Hal
ini penting untuk dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi
karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi
pada waktu sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu
sebelumnya atau pada waktu (t −α) (Haberman, 1998).
Dalam masalah biologi, sering digunakan model matematika dengan waktu
tunda, yang sering disebut dengan persamaan diferensial tunda. Banyak sistem
interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah satunya adalah sistem
interaksi mangsa-pemangsa (predator-prey). Pemangsa merupakan spesies yang
pada umumnya ukurannya lebih besar dibandingkan dengan mangsa, sedangkan
mangsa adalah spesies yang dimangsa yang pada umumnya ukurannya lebih kecil
dari pada pemangsa (William, 2008).
Pemangsa mengontrol ledakan populasi mangsa, dan sebaliknya naik
1

2

turunnya populasi hewan mangsa mengontrol populasi pemangsa. Pengontrolan
populasi itu menyebabkan ekosistem selalu berada dalam keadaan seimbang.
Hubungan antara mangsa dan pemangsa misalnya dalam populasi hewan, yaitu
antara cicak-nyamuk, singa-kancil, serta ular-tikus.
Para ahli dinamika populasi telah mengembangkan banyak model
matematika

untuk

menghitung

kecepatan

pertumbuhan

populasi,

baik

pertumbuhan yang hanya dipengaruhi oleh faktor internal maupun eksternal.
Model-model itu antara lain, model pertumbuhan eksponensial,

model

pertumbuhan logistik, model interaksi predator-prey, model interaktif kompetitif.
Salah satu persamaan matematik yang telah dikembangkan adalah persamaan
model Lotka-Volterra (Susanto,2000).
ModelLotka Volterra pertama kali diperkenalkan oleh VitoVolterra
(1860−1940) dan Alfred J. Lotka (1880 −1949). Vito Volterra adalah seorang
matema- tikawan Italia di bidang matematika murni di awal 1920. Humberto
D’Ancona anak dari Vito Volterra yang merupakan ahli biologi, mendalami
populasi berbagai spesies ikan di Laut Adriatik. Pada tahun 1926, ia melakukan
studi statistik jumlah setiap spesies ikan yang dijual di pasar ikan dari tiga
pelabuhan: Fiume, Trieste, dan Venice. Dia melihat bahwa selama Perang Dunia I,
jumlah pemangsa di laut Adriatik meningkat sementara jumlah mangsa jauh
berkurang. Dia menyimpulkan bahwa ini merupakan konsekuensi berkurangnya
nelayan karena peperangan yang terjadi antara Italia dan Austria. Ia penasaran
mengapa hal itu bisa terjadi didaerah itu. Ia berpikir mungkin Volterra bisa
menemukan sebuah model matematika yang mungkin bisa menjelaskan situasi
ekologi untuk fenomena itu. Setelah beberapa bulan, Volterra mengembangkan
serangkaian model untuk interaksi dua atau lebih spesies. Semenjak itu, Volterra
mengembangkan penelitiannya tentang model- modelekologi.
Sementaraitu,AlfredJ.Lotka(1880−1949),seorang ahli matematika biologi
berkebangsaan Amerika merumuskan banyak model yang sama seperti Volterra. Ia
menerbitkan sebuah buku berjudul Elements of Physical Biology. Contoh utamanya
dari sistem mangsa-pemangsa yaitu populasi tanaman (sebagai mangsa) dan hewan
herbivora (sebagai pemangsa) yang tergantung pada tanaman sebagai makanannya.
Model ini yang sekarang dikenal sebagai model Lotka-Volterra (Saputra,2008).
Jika dimisalkan x(t) adalah kepadatan populasi mangsa pada saat t dan y(t)
adalah kepadatan populasi pemangsa pada saat t. Maka model Lotka-Volterra dapat

3

dikembangkan sebagai berikut:
dx
dt
dy
dt

= αx − xy

(1.1)

= − y +δxy

Walaupun model Lotka-Volterra tidak dapat menggambarkan secara
kompleks hubungan antar spesies seperti kejadian nyata di alam, tetapi model
sederhana tersebut merupakan langkah awal untuk mengetahui perilaku hubungan
antara mangsa dan pemangsa dari sudut pandang matematika. Karena modelnya
yang cukup sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar
bagi pengembangan model yang lebih realistis. Berbagai asumsi digunakan
untuk

memodifikasi

model

interaksi

persamaan

Lotka-Volterra

dengan

mempertimbangkan faktor-faktor yang berpengaruh atas pertumbuhan masingmasing spesies mangsa dan pemangsa yang berinteraksi.
Salah satu pengembangan lain dari model Lotka Volterra adalah model
yangdilakukan oleh Syafruddin (2015) dan Ritania (2014). Dimana Syafruddin
Sidemenyelesaikan persamaan Lotka-Volterra dengan metode transformasi
diferensial.Dan Ritania membahas kestabilan populasi pada model Lotka-Volterra
tiga spesies.
Metode

numerik

merupakan

suatu

metode

untuk

menyelesaikan

permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan
cara operasi hitungan. Metode numerik juga mampu menyelesaikan suatu sistem
persamaan diferensial yang besar, non linear, dan sangat kompleks dengan syarat
awal yang telah diketahui. Pencarian dengan menggunakan metode numerik
menghasilkan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik sehingga
penyelesaian tersebut memuat nilaikesalahan.
Dalam Penelitian ini direncanakan menggunakan metode numerik untuk
menganalisismodeldenganwaktutunda.Analisisuntukmodeldenganwaktutunda
biasanya lebih kompleks dan metode yang telah ditemukan masih sangat sedikit.
Simulasi numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan model dengan waktu
tundayangkompleks,danfasilitasyangadapadasoftwareMatlab,dapatmembantu
untuk memvisualisasikan solusi dari model persamaan diferensial dengan waktu
tunda (Toaha,2008).
Matlab merupakan suatu program komputer yang dapat membantu

4

memecahkan berbagai masalah matematis yang kerap kita temui dalam bidang
teknis. Kita bisa memanfaatkan kemampuan Matlab untuk menemukan solusi
dari berbagai masalah numerik secara cepat, mulai hal yang paling dasar hingga
kompleks. Salah satu aspek yang sangat berguna dari Matlab ialah kemampuannya untuk menggambarkan berbagai jenis grafik, sehingga kita dapat memvisualisasikan data dan fungsi yang kompleks (Widiarsono,2005).

1.2.

RumusanMasalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,

permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku solusi persamaan Lotka-Volterra dengan menambahkan faktor tunda pada interaksi mangsa danpemangsa?
2. Dengan pendekatan numerik akan dilihat apakah keadaan keseimbangan
persamaan Lotka-Volterra tanpa waktu tunda, sama dengan keadaan
keseimbangan persamaan Lotka-Volterra dengan waktutunda?

1.3.

BatasanMasalah
Penelitian ini difokuskan pada perilaku solusi sistem persamaan Lotka-

Volterra dengan waktu tunda pada interaksi mangsa dan pemangsa khususnya
dilihat pada keadaan seimbangnya.

1.4.

TujuanPenelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui perilaku solusi sistem

persamaan Lotka-Volterra dengan waktu tunda pada interaksi mangsa dan
pemangsa.

1.5.

ManfaatPenelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat

sebagai berikut :
1. Bagi peneliti : merupakan media belajar dalam meneliti perilaku solusi
sistem persamaan Lotka-Volterra dengan waktu tunda dan

memberikan

5

sumbangan pemikiran berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku
kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang perilaku solusi sistem
persamaan Lotka-Volterra dengan waktu tunda.

30

BAB V
Penutup
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya yang menjelaskan tentang persamaan
Lotka-Volterra maka didapatkan kesimpulan bahwa:
1. Adanya pengaruh waktu tunda pada sistem Lotka-Volterra akan menghilangkan sifat
periodik solusi. Pengaruh waktu tunda mengakibatkan siklus populasi semakin
mengembang, namun kedua populasi tidak akan mengalami kepunahan.
2. Panjang interval tunda berpengaruh terhadap laju perkembangan siklus populasi. Makin
panjang interval tunda makin cepat laju perkembangan siklus populasi.

5.2. Saran
Penjelasan dalam pembahasan menunjukkan bahwa waktu tunda yang relative lebih
panjang akan mengakibatkan terjadinya perkembangan siklus solusi pada sistem Lotka-Volterra.
Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk menganalisis secara matematika hubungan antara panjang
atau lamanya waktu tunda yang diberikan dengan panjang amplitudo solusinya

31

DAFTAR PUSTAKA

Haberman, R., (1998), Mathematical Models : Mechanical Vibrations, Population
Dynamics, and Traffic Flow,1, Siam, Dallas.
Heri, S., Dewi, R., (2005), Metode Numerik dengan Pendekatan Algoritma, Sinar
Baru Algensindo, Bandung.
Perko, L., ( 2001), Differential Equations and Dynamical Systems, 3, Springer, New
York.
Ritania, M. Leli, D., (2014), Kestabilan Populasi Model Lotka-Volterra Tiga Spesies
dengan Titik Kesetimbangan, Kampus Binawidya Pekanbaru, 1(2), 134–135.
Saputra, K. V. I., (2008), Semi-global Analysis of Lotka-Volterra Systems with
Constant Terms, La Trobe University, Victoria.
Susanto, P., (2000), Pengantar Ekologi Hewan, Departemen Pendidikan Nasional,
Jakarta.
Syafruddin, S., Sutriani, H., (2015), Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra dengan
Metode Transformasi Diferensial, Universitas Negeri Makassar, 3(1).
Toaha, S., (2008), Model dengan Tundaan Waktu, Matematika, Statistika, dan
Komputasi, 4(2), 13–14.
Widiarsono, T., (2005), Tutorial Praktis Belajar Matlab, Jakarta.
Wiggins, S., (2003), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and
Chaos, 2, Springer, Bristol.
William, E. Boyce, R., (2008), Elementary Differential Equations and Boundaryn
Value Problems, 9, Department of
Mathematical Sciences Rensselaer
Polytechnic Institute, New York.