ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI SALURAN PERNAFASAN AKUT (ISPA), RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI SALURAN PERNAFASAN AKUT (ISPA).
ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTED,
R E C OVE R E D) PAD A PE NY AKI T I N FE KS I
SALURAN PERNAFASAN AKUT (ISPA)
Oleh:
Andre Jaya Putra Pakpahan
NIM 409230002
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2014
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa
yang telah melimpahkan kasih karunia, penyertaan, serta hikmatNya sehingga
skripsi yang berjudul “Analisis Model Epidemi SIR (Susceptible, Infected,
Recovered) pada Penyakit Infeksi Saluran Pernafasan Akut(ISPA)” ini dapat
terselesaikan dengan baik.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada
kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu
Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan,
M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. H.
Banjarnahor, M.Pd., selaku Pembimbing Akademik, Bapak Drs. Yasifati Hia,
M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, serta Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si
selaku Ketua Program Studi Matematika dan Pembimbing Skripsi yang telah
meluangkan waktu dalam memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjukpetunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini
dapat penulis selesaikan dengan baik, Ibu Dra. Ani Minarni, M.Si., Ibu Susiana,
S.Si, M.Si., dan Ibu Yulita Molliq Rangkuti, S.Si, M.Sc, Phd., selaku dosen
penguji penulis yang telah memberikan saran dan masukan selama penulisan
skripsi ini, Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan, Bapak Drs. Banu Susanto,
M.Si., selaku Kassubag Tata Usaha dan penanggung jawab dalam penelitian
penulis di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan
hormat kepada Ayahanda Santun Pakpahan yang menjadi motivator penulis
sampai saat ini dan Ibunda Erida Sianipar, untuk semua kasih sayang, doa,
v
nasihat, dukungan, dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
Ucapan terima kasih juga saya ucapkan kepada saudara/i penulis, kepada abang
saya Roy Desmon Pakpahan dan adik-adik saya Arpin Wildan Pakpahan, Berliana
Pakpahan dan Christine Pakpahan, terima kasih atas cinta, kasih sayang, doa dan
dukungan yang telah memotivasi dan memberi semangat bagi saya untuk
menyelesaikan studi.
Penulis juga mengucapkan terima kasih untuk teman-teman terdekat saya
Melicha Simanjuntak, Ingko F Pasaribu, Pudan Sihombing, Lae Naga Gokil, Riris
Sitanggang, Tumpal F Nainggolan, Tsin Pardede yang selalu memotivasi dan
memberi semangat. Tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada sahabatsahabat penulis: Jesman, Yohannes, Alfri, Yetti, Regina, Eva, dan Naomi yang
selalu menemani dan tak henti-hentinya memberikan dukungan, semangat dan
doa, dan canda tawa yang sering dilakukan bersama. Terimakasih pula untuk
teman-teman seperjuangan : Shinta, Dwita, Devi, Gomgom, Daning, Armansyah,
dan teman-teman seperjuangan Non-Dik’09 yang tidak dapat saya sebutkan satu
persatu yang selama ini selalu memberikan doa, semangat dan dukungan selama
penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kata
sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik
dan saran membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Medan, September 2014
Penulis,
Andre Jaya P Pakpahan
NIM. 409230002
iii
ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED,
RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI SALURAN PERNAFASAN
AKUT (ISPA)
Andre Jaya Putra Pakpahan (409230002)
ABSTRAK
Infeksi Saluran Pernafasan Akut (ISPA) merupakan salah satu penyakit
barbahaya di negara berkembang. Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis yang
dapat diterima secara ilmiah terhadap peristiwa penyebaran penyakit ISPA. Salah
satunya dapat dipandang dalam bentuk model matematika. Model penyebaran
penyakit ISPA yang disusun menghasilkan persamaan model yang menggambarkan
penyebaran penyakit ISPA pada kelas susceptible, infectious dan recovered. Model
yang terbentuk perlu dianalisis dengan mencari titik kritis, nilai eigen dan basic
reproduction ratio. Kemudian dilakukan simulasi menggunakan metode RungeKutta
orde 4 untuk menguji analisis parameter. Dari hasil analisis akan didapat parameter
yang paling berpengaruh dalam penyebaran ISPA adalah laju penularan dan laju
kesembuhan. Dengan demikian penyebaran ISPA dapat dikendalikan dari kejadian
epidemi dengan membuat atau menurunkan laju penularan dan meningkatkan laju
kesembuhan.
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................. i
RIWAYAT HIDUP ............................................................................................ ii
ABSTRAK ......................................................................................................... iii
KATA PENGANTAR ....................................................................................... iv
DAFTAR ISI ...................................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................viii
DAFTAR TABEL ............................................................................................ ix
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1
1.1
Latar Belakang .................................................................................... 1
1.2
Rumusan Masalah ................................................................................ 3
1.3
Batasan Masalah ................................................................................. 3
1.4
Tujuan Penelitian ................................................................................ 4
1.5
Manfaat Penelitian .............................................................................. 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 6
2.1
Infeksi Saluran Pernafasan Akut (ISPA) ............................................ 6
2.2
Efektivitas Vaksin ............................................................................... 7
2.3
Model Matematika .............................................................................. 8
2.4
Model Epidemi .................................................................................... 9
2.5
Persamaan Diferensial Biasa ............................................................... 10
2.6
Sistem Persamaan Diferensial ............................................................. 11
2.7
Titik Kesetimbangan ........................................................................... 12
2.8
Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................................. 13
2.9
Matriks Jacobian ................................................................................. 15
2.10 Basic Reproduction Ratio ................................................................... 15
2.11 Metode Euler........................................................................................ 16
2.12 Metode Runge-Kutta Orde 4 ................................................................ 17
2.13 Metode SIR .......................................................................................... 20
vii
BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 22
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................. 22
3.2
Jadwal Penelitian ................................................................................ 22
3.3
Jenis Penelitian .................................................................................... 22
3.4
Prosedur Penelitian ............................................................................. 23
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................... 25
4.1 ISPA ....................................................................................................... 25
4.2 Pembentukan Model Matematika ISPA ................................................. 27
4.3 Analisis Model Matematika ................................................................... 28
4.3.1 Titik Kesetimbangan ............................................................................ 28
4.3.2 Basic Reproduction Ratio .................................................................... 30
4.3.3 Nilai Eigen ........................................................................................... 31
4.4 Simulasi Analisis Numerik .................................................................... 35
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................... 50
5.1 Kesimpulan ............................................................................................ 50
5.2 Saran ...................................................................................................... 51
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1
Hasil Perhitungan .................................................................
19
Tabel 3.1
Jadwal Penelitian ..................................................................
22
Tabel 4.1
Data Bulanan Penyakit ISPA di Teladan, Medan ................
35
Tabel 4.2
Jumlah Populasi SIR pada Penyakit ISPA ...........................
46
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Tahap Penyusunan Model Matematika ................................
9
Gambar 2.2
Model Matematika Epidemi SIR ..........................................
21
Gambar 3.1
Skema Prosedur Penelitian ....................................................
24
Gambar 4.1
Model Matematika ISPA .......................................................
27
Gambar 4.2
Grafik Populasi Susceptible ISPA Teladan Medan...............
35
Gambar 4.3
Grafik Populasi Infected ISPA Teladan Medan ....................
36
Gambar 4.4
Grafik Populasi Recovered ISPA Teladan Medan ................
36
Gambar 4.5
Grafik Simulasi pada Populasi Supceptible ..........................
47
Gambar 4.6
Grafik Simulasi pada Populasi Infected ................................
47
Gambar 4.7
Grafik Simulasi pada Populasi Recovered ............................
48
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Saat ini perubahan iklim yang ekstrim sangat mempengaruhi kondisi
kesehatan masyarakat pada umumnya, dan faktanya ada beberapa penyakit yang
kemudian menjadi sangat mewabah dan menyerang di berbagai usia. Salah satu
diantaranya adalah Penyakit ISPA atau Infeksi Saluran Pernafasan Akut. Apalagi
saat ini di mana cuaca terkadang sangat panas disertai angin kencang, tapi tibatiba saja hujan deras yang juga disertai angin kencang. Hal ini secara tidak
langsung mempengaruhi ketahanan tubuh seseorang. Penyakit ISPA adalah
penyakit infeksi yang menyerang bagian fungsi pernafasan baik itu hidung,
telinga tengah, tenggorokan (faring), kotak suara (laring), dan paru paru
(http://id.wikipedia.org/wiki/Infeksi_saluran_napas_atas).
Penyakit ISPA merupakan penyakit paling banyak diderita masyarakat di
kota, salah satunya Kota Medan. Setelah erupsi gunung Sinabung pada September
2013 lalu jumlah penderita infeksi saluran pernafasan akut (ISPA) di kota Medan
terus meningkat. Berdasarkan data Dinas Kesehatan (Dinkes) Kota Medan,
jumlah pasien ISPA yang dating ke-39 puskesmas pada September 2013 tercatat
12.190 kasus. Jumlah ini kemudian meningkat menjadi 15.911 kasus pada
Oktober, 18.556 kasus di November, dan melonjak menjadi 19.433 kasus pada
Desember. Hingga saat ini angka kematian akibat ISPA yang berat sangat tinggi.
Kematian seringkali disebabkan karena penderita datang untuk berobat dalam
keadaan parah/lanjut dan kurang gizi.
(http://www.koran-sindo.com/node/364695).
Penyakit ini sangat berbahaya, maka perlu dilakukan sebuah penelitian
dengan menggunakan model matematika. Model matematika memiliki peranan
penting dalam mencegah penyebaran penyakit agar tidak meluas. Peranan
matematika ini berupa model matematika, yang disebut model epidemi. Dengan
menggunakan berbagai asumsi, permasalahan yang ada dapat ditransformasikan
1
2
dalam model matematika. Dalam model matematika yang ada, selanjutnya dapat
dianalisis perilaku-perilaku yang ada di dalamnya. Dengan demikian akan
diketahui tingkat penyebaran suatu penyakit menular.
Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis yang dapat diterima secara ilmiah
terhadap peristiwa penyebaran penyakit menular. Salah satunya dapat dipandang
dalam bentuk model matematika. Fredlina dkk melakukan penelitian mengenai
penyakit tuberculosis dengan model SIR (Suspectible, Infected, dan Recovered).
Model penyebaran penyakit TB yang disusun menghasilkan persamaan model
yang menggambarkan penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible, infectious,
dan recovered. Model yang terbentuk
perlu
dianalisis dengan mencari titik
kesetimbangan, nilai eigen dan basic reproduction ratio. Kemudian dilakukan
simulasi menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 untuk
menguji analisis
parameter. Dari hasil analisis akan didapat parameter yang paling berpengaruh
dalam penyebaran tuberkulosis adalah laju penularan dan laju kesembuhan.
Dengan demikian penyebaran tuberkulosis dapat dikendalikan dari kejadian
epidemi dengan membuat atau menurunkan laju penularan dan meningkatkan laju
kesembuhan (Fredlina, dkk. 2012).
Model SIR merupakan model epidemi yang menggambarkan penyebaran
penyakit infeksi dengan individu yang sembuh tidak dapat terinfeksi kembali.
Model ini bertujuan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu
wabah penyakit dalam suatu populasi tertutup dan bersifat epidemi. Model
epidemi SIR pertama kali diperkenalkan oleh W. O. Kermack dan Mc. Kendrick
dalam makalahnya yang berjudul“A Contribution to the Mathematical Theory of
Epidemics” yang kemudian muncul dalam Proceding Royal Society London
halaman 700-721 tahun 1927, dan kemudian menjadi peranan penting dalam
perkembangan matematika epidemi. Mengenai rangkuman tersebut telah
dituliskan secara lengkap oleh Murray. Di dalam modelnya, populasi manusia
dibagi menjadi tiga kelompok yaitu individu rentan atau susceptible (S), individu
yang terinfeksi atau infected (I),dan individu yang telah sembuh atau recovered
dari penyakit menular (R)(Iswanto, 2012).
3
Model SIR digunakan untuk melihat perubahan pada setiap subbab-nya
untuk mereka yang membutuhkan perhatian medis selama penyebaran
penyakitnya. Model SIR juga dapat menjelaskan bahwa seseorang yang telah
sembuh dari suatu penyakit, maka orang tersebut akan memiliki kekebalan dalam
tubuhnya. Sehingga dalam tubuhnya memiliki daya tahan untuk tidak terjangkit
penyakit dengan jenis yang sama. Hanya saja model SIR ini tidak bekerja pada
semua penyakit, ketika seseorang terjangkit penyakit menular, ada kemungkinan
suatu saat orang tersebut akan terjangkit lagi.
Penelitian ini akan menyelidiki model penularan penyakit ISPA (Infeksi
Saluran Pernafasan Akut) di Kota Medan melalui model epidemi SIR
(Suspectible, Infected, Recovered). Model matematika yang dibuat diharapkan
dapat memberikan manfaat khususnya kepada pemerintah Kota Medan dalam
memberikan kebijakan penentuan wilayah yang harus diberikan program
vaksinasi penyakit ISPA.
Berdasarkan masalah di atas maka penulis mencoba untuk mengangkat
topik ini sebagai judul skripsi yaitu“ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR
(SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI
SALURAN PERNAPASAN AKUT (ISPA)”.
1.2
Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi perumusan masalah dalam penelitian ini adalah
bagaimana cara penggunaan model epidemi SIR pada penyakit menular, secara
khusus penyakit ISPA dan bagaimana cara menentukan perkembangan epidemi
suatu populasi yang terkena wabah penyakit menular.
1.3
Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini dapat diuraikan sebagai berikut :
1. Model ini berkaitan dengan manusia yang rentan (Susceptible), manusia
yang terinfeksi (Infectious), manusia yang sembuh (Recovered).
2. Laju kelahiran yang terjadi dalam populasi ini diasumsikan sama dengan
laju kematian.
4
3. Penyebaran penyakit terjadi pada populasi tertutup (tidak terjadi migrasi),
sehingga pengaruh dari luar diabaikan.
4. Jumlah populasi diasumsikan selalu konstan dan tidak memperhatikan masa
inkubasi.
5. Simulasi model epidemi dilakukan di kota Medan dan informasi mengenai
penyakit ISPA diperoleh dari Dinas Kesehatan Kota Medan dan Dinas
Kesehatan Puskesmas Teladan berdasarkan Laporan Tahunan Dinas
Kesehatan Kota Medan tahun 2014.
1.4
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan daripenelitian ini adalah :
1. Mengetahui model penularan penyakit ISPA dengan menggunakan model
epidemi SIR (Suspectible, Infected, Recovered).
2. Melakukan simulasi numerik dengan menggunakan metode Runge-Kutta
Orde 4.
3. Menentukan titik kesetimbangan, eigen value, dan basic reproduction ratio.
4. Mengetahui perkembangan epidemi pada penyakit ISPA dalam suatu
populasi.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini dapat berpengaruh bagi orang lain dan bagi
penulis sendiri. Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
a) Bagi Orang Lain
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi kepada masyarakat
tentang peranan model epidemi SIR terhadap penyebaran penyakit menular
seperti ISPA dan informasi tersebut diharapkan dapat menjadi referensi bagi
pemeritah untuk menentukan kebijakan yang tepat
meluasnya penyebaran penyakit ISPA.
dalam mencegah
5
b) Bagi Penulis
Bagi penulis, penelitian ini dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan
dan wawasan mengenai penerapan model matematika dalam bidang
kesehatan khususnya model epidemi SIR terhadap penyakit menular.
DAFTAR PUSTAKA
Conte, S.D., dan Boor, C.D., (1980), Elementary Numerical Analysis, Penerbit
Erlangga, Jakarta.
Finizio, N. dan Ladas, G., (1988), Persamaan Diferensial Biasa Dengan
Penerapan Modern, Ed ke-2, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Fredlina, K.Q., Oka, T.B., dan Dwipayana, I.M.E, (2012), Model SIR
(Susceptible,
Infectious,
Recovered)
Untuk
Penyebaran
Penyakit
Tuberkulosis, e-Jurnal Matematika Vol.1 No.1 : 52-58
Jhonson, T., (2009), Mathematical Modeling of Diseases : Susceptible-InfectedRecovered (SIR) Model, University of Minnesota, Morris, Spring 2009.
Howard, Anton alih bahasa, Silaban, P. dkk., (2000), Aljabar Linear Elementer,
Ed ke-8, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Iswanto, R.J., (2012), Pemodelan Matematika, Ed Pertama, Penerbit Graha Ilmu,
Yogyakarta.
Luknanto, D., (2003), Model Matematika, Universitas Gajah Mada, Yokyakarta.
Ma, Z., dan Jia, L., (2007), Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics,
World Scientific Publishing Co.Pie,Ltd, Singapore.
Munir, R., (2003), Metode Numerik, Informatika, Bandung.
Murray, J.D., (1993). Mathematical Biology : An Introduction, Third Edition,
Springer.
Notoatmojo, S., (2007), Kesehatan Masyarakat Ilmu dan Seni, PT. Rineka Cipta,
Jakarta.
Ragan, R., The SIR Model, 15 Mei 2009.
Waluya, S.B., (2006), Persamaan Diferensial, Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta.
Wikipedia,
(2014),
http://id.wikipedia.org/wiki/Infeksi_saluran_napas_atas
(diakses 16 Juni 2014)
Wikipedia, (2014), http://id.wikipedia.org/wiki/Wabah (diakses 16 Juni 2014)
Sindo, (2014), http://www.koran-sindo.com/node/364695 (diakses 24 Juni 2014)
R E C OVE R E D) PAD A PE NY AKI T I N FE KS I
SALURAN PERNAFASAN AKUT (ISPA)
Oleh:
Andre Jaya Putra Pakpahan
NIM 409230002
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2014
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa
yang telah melimpahkan kasih karunia, penyertaan, serta hikmatNya sehingga
skripsi yang berjudul “Analisis Model Epidemi SIR (Susceptible, Infected,
Recovered) pada Penyakit Infeksi Saluran Pernafasan Akut(ISPA)” ini dapat
terselesaikan dengan baik.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada
kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu
Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan,
M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. H.
Banjarnahor, M.Pd., selaku Pembimbing Akademik, Bapak Drs. Yasifati Hia,
M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, serta Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si
selaku Ketua Program Studi Matematika dan Pembimbing Skripsi yang telah
meluangkan waktu dalam memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjukpetunjuk yang sangat berharga selama penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini
dapat penulis selesaikan dengan baik, Ibu Dra. Ani Minarni, M.Si., Ibu Susiana,
S.Si, M.Si., dan Ibu Yulita Molliq Rangkuti, S.Si, M.Sc, Phd., selaku dosen
penguji penulis yang telah memberikan saran dan masukan selama penulisan
skripsi ini, Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan, Bapak Drs. Banu Susanto,
M.Si., selaku Kassubag Tata Usaha dan penanggung jawab dalam penelitian
penulis di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan
hormat kepada Ayahanda Santun Pakpahan yang menjadi motivator penulis
sampai saat ini dan Ibunda Erida Sianipar, untuk semua kasih sayang, doa,
v
nasihat, dukungan, dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
Ucapan terima kasih juga saya ucapkan kepada saudara/i penulis, kepada abang
saya Roy Desmon Pakpahan dan adik-adik saya Arpin Wildan Pakpahan, Berliana
Pakpahan dan Christine Pakpahan, terima kasih atas cinta, kasih sayang, doa dan
dukungan yang telah memotivasi dan memberi semangat bagi saya untuk
menyelesaikan studi.
Penulis juga mengucapkan terima kasih untuk teman-teman terdekat saya
Melicha Simanjuntak, Ingko F Pasaribu, Pudan Sihombing, Lae Naga Gokil, Riris
Sitanggang, Tumpal F Nainggolan, Tsin Pardede yang selalu memotivasi dan
memberi semangat. Tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada sahabatsahabat penulis: Jesman, Yohannes, Alfri, Yetti, Regina, Eva, dan Naomi yang
selalu menemani dan tak henti-hentinya memberikan dukungan, semangat dan
doa, dan canda tawa yang sering dilakukan bersama. Terimakasih pula untuk
teman-teman seperjuangan : Shinta, Dwita, Devi, Gomgom, Daning, Armansyah,
dan teman-teman seperjuangan Non-Dik’09 yang tidak dapat saya sebutkan satu
persatu yang selama ini selalu memberikan doa, semangat dan dukungan selama
penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kata
sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik
dan saran membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Medan, September 2014
Penulis,
Andre Jaya P Pakpahan
NIM. 409230002
iii
ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED,
RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI SALURAN PERNAFASAN
AKUT (ISPA)
Andre Jaya Putra Pakpahan (409230002)
ABSTRAK
Infeksi Saluran Pernafasan Akut (ISPA) merupakan salah satu penyakit
barbahaya di negara berkembang. Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis yang
dapat diterima secara ilmiah terhadap peristiwa penyebaran penyakit ISPA. Salah
satunya dapat dipandang dalam bentuk model matematika. Model penyebaran
penyakit ISPA yang disusun menghasilkan persamaan model yang menggambarkan
penyebaran penyakit ISPA pada kelas susceptible, infectious dan recovered. Model
yang terbentuk perlu dianalisis dengan mencari titik kritis, nilai eigen dan basic
reproduction ratio. Kemudian dilakukan simulasi menggunakan metode RungeKutta
orde 4 untuk menguji analisis parameter. Dari hasil analisis akan didapat parameter
yang paling berpengaruh dalam penyebaran ISPA adalah laju penularan dan laju
kesembuhan. Dengan demikian penyebaran ISPA dapat dikendalikan dari kejadian
epidemi dengan membuat atau menurunkan laju penularan dan meningkatkan laju
kesembuhan.
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................. i
RIWAYAT HIDUP ............................................................................................ ii
ABSTRAK ......................................................................................................... iii
KATA PENGANTAR ....................................................................................... iv
DAFTAR ISI ...................................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................viii
DAFTAR TABEL ............................................................................................ ix
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1
1.1
Latar Belakang .................................................................................... 1
1.2
Rumusan Masalah ................................................................................ 3
1.3
Batasan Masalah ................................................................................. 3
1.4
Tujuan Penelitian ................................................................................ 4
1.5
Manfaat Penelitian .............................................................................. 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 6
2.1
Infeksi Saluran Pernafasan Akut (ISPA) ............................................ 6
2.2
Efektivitas Vaksin ............................................................................... 7
2.3
Model Matematika .............................................................................. 8
2.4
Model Epidemi .................................................................................... 9
2.5
Persamaan Diferensial Biasa ............................................................... 10
2.6
Sistem Persamaan Diferensial ............................................................. 11
2.7
Titik Kesetimbangan ........................................................................... 12
2.8
Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................................. 13
2.9
Matriks Jacobian ................................................................................. 15
2.10 Basic Reproduction Ratio ................................................................... 15
2.11 Metode Euler........................................................................................ 16
2.12 Metode Runge-Kutta Orde 4 ................................................................ 17
2.13 Metode SIR .......................................................................................... 20
vii
BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 22
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................. 22
3.2
Jadwal Penelitian ................................................................................ 22
3.3
Jenis Penelitian .................................................................................... 22
3.4
Prosedur Penelitian ............................................................................. 23
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................... 25
4.1 ISPA ....................................................................................................... 25
4.2 Pembentukan Model Matematika ISPA ................................................. 27
4.3 Analisis Model Matematika ................................................................... 28
4.3.1 Titik Kesetimbangan ............................................................................ 28
4.3.2 Basic Reproduction Ratio .................................................................... 30
4.3.3 Nilai Eigen ........................................................................................... 31
4.4 Simulasi Analisis Numerik .................................................................... 35
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................... 50
5.1 Kesimpulan ............................................................................................ 50
5.2 Saran ...................................................................................................... 51
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1
Hasil Perhitungan .................................................................
19
Tabel 3.1
Jadwal Penelitian ..................................................................
22
Tabel 4.1
Data Bulanan Penyakit ISPA di Teladan, Medan ................
35
Tabel 4.2
Jumlah Populasi SIR pada Penyakit ISPA ...........................
46
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Tahap Penyusunan Model Matematika ................................
9
Gambar 2.2
Model Matematika Epidemi SIR ..........................................
21
Gambar 3.1
Skema Prosedur Penelitian ....................................................
24
Gambar 4.1
Model Matematika ISPA .......................................................
27
Gambar 4.2
Grafik Populasi Susceptible ISPA Teladan Medan...............
35
Gambar 4.3
Grafik Populasi Infected ISPA Teladan Medan ....................
36
Gambar 4.4
Grafik Populasi Recovered ISPA Teladan Medan ................
36
Gambar 4.5
Grafik Simulasi pada Populasi Supceptible ..........................
47
Gambar 4.6
Grafik Simulasi pada Populasi Infected ................................
47
Gambar 4.7
Grafik Simulasi pada Populasi Recovered ............................
48
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Saat ini perubahan iklim yang ekstrim sangat mempengaruhi kondisi
kesehatan masyarakat pada umumnya, dan faktanya ada beberapa penyakit yang
kemudian menjadi sangat mewabah dan menyerang di berbagai usia. Salah satu
diantaranya adalah Penyakit ISPA atau Infeksi Saluran Pernafasan Akut. Apalagi
saat ini di mana cuaca terkadang sangat panas disertai angin kencang, tapi tibatiba saja hujan deras yang juga disertai angin kencang. Hal ini secara tidak
langsung mempengaruhi ketahanan tubuh seseorang. Penyakit ISPA adalah
penyakit infeksi yang menyerang bagian fungsi pernafasan baik itu hidung,
telinga tengah, tenggorokan (faring), kotak suara (laring), dan paru paru
(http://id.wikipedia.org/wiki/Infeksi_saluran_napas_atas).
Penyakit ISPA merupakan penyakit paling banyak diderita masyarakat di
kota, salah satunya Kota Medan. Setelah erupsi gunung Sinabung pada September
2013 lalu jumlah penderita infeksi saluran pernafasan akut (ISPA) di kota Medan
terus meningkat. Berdasarkan data Dinas Kesehatan (Dinkes) Kota Medan,
jumlah pasien ISPA yang dating ke-39 puskesmas pada September 2013 tercatat
12.190 kasus. Jumlah ini kemudian meningkat menjadi 15.911 kasus pada
Oktober, 18.556 kasus di November, dan melonjak menjadi 19.433 kasus pada
Desember. Hingga saat ini angka kematian akibat ISPA yang berat sangat tinggi.
Kematian seringkali disebabkan karena penderita datang untuk berobat dalam
keadaan parah/lanjut dan kurang gizi.
(http://www.koran-sindo.com/node/364695).
Penyakit ini sangat berbahaya, maka perlu dilakukan sebuah penelitian
dengan menggunakan model matematika. Model matematika memiliki peranan
penting dalam mencegah penyebaran penyakit agar tidak meluas. Peranan
matematika ini berupa model matematika, yang disebut model epidemi. Dengan
menggunakan berbagai asumsi, permasalahan yang ada dapat ditransformasikan
1
2
dalam model matematika. Dalam model matematika yang ada, selanjutnya dapat
dianalisis perilaku-perilaku yang ada di dalamnya. Dengan demikian akan
diketahui tingkat penyebaran suatu penyakit menular.
Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis yang dapat diterima secara ilmiah
terhadap peristiwa penyebaran penyakit menular. Salah satunya dapat dipandang
dalam bentuk model matematika. Fredlina dkk melakukan penelitian mengenai
penyakit tuberculosis dengan model SIR (Suspectible, Infected, dan Recovered).
Model penyebaran penyakit TB yang disusun menghasilkan persamaan model
yang menggambarkan penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible, infectious,
dan recovered. Model yang terbentuk
perlu
dianalisis dengan mencari titik
kesetimbangan, nilai eigen dan basic reproduction ratio. Kemudian dilakukan
simulasi menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 untuk
menguji analisis
parameter. Dari hasil analisis akan didapat parameter yang paling berpengaruh
dalam penyebaran tuberkulosis adalah laju penularan dan laju kesembuhan.
Dengan demikian penyebaran tuberkulosis dapat dikendalikan dari kejadian
epidemi dengan membuat atau menurunkan laju penularan dan meningkatkan laju
kesembuhan (Fredlina, dkk. 2012).
Model SIR merupakan model epidemi yang menggambarkan penyebaran
penyakit infeksi dengan individu yang sembuh tidak dapat terinfeksi kembali.
Model ini bertujuan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu
wabah penyakit dalam suatu populasi tertutup dan bersifat epidemi. Model
epidemi SIR pertama kali diperkenalkan oleh W. O. Kermack dan Mc. Kendrick
dalam makalahnya yang berjudul“A Contribution to the Mathematical Theory of
Epidemics” yang kemudian muncul dalam Proceding Royal Society London
halaman 700-721 tahun 1927, dan kemudian menjadi peranan penting dalam
perkembangan matematika epidemi. Mengenai rangkuman tersebut telah
dituliskan secara lengkap oleh Murray. Di dalam modelnya, populasi manusia
dibagi menjadi tiga kelompok yaitu individu rentan atau susceptible (S), individu
yang terinfeksi atau infected (I),dan individu yang telah sembuh atau recovered
dari penyakit menular (R)(Iswanto, 2012).
3
Model SIR digunakan untuk melihat perubahan pada setiap subbab-nya
untuk mereka yang membutuhkan perhatian medis selama penyebaran
penyakitnya. Model SIR juga dapat menjelaskan bahwa seseorang yang telah
sembuh dari suatu penyakit, maka orang tersebut akan memiliki kekebalan dalam
tubuhnya. Sehingga dalam tubuhnya memiliki daya tahan untuk tidak terjangkit
penyakit dengan jenis yang sama. Hanya saja model SIR ini tidak bekerja pada
semua penyakit, ketika seseorang terjangkit penyakit menular, ada kemungkinan
suatu saat orang tersebut akan terjangkit lagi.
Penelitian ini akan menyelidiki model penularan penyakit ISPA (Infeksi
Saluran Pernafasan Akut) di Kota Medan melalui model epidemi SIR
(Suspectible, Infected, Recovered). Model matematika yang dibuat diharapkan
dapat memberikan manfaat khususnya kepada pemerintah Kota Medan dalam
memberikan kebijakan penentuan wilayah yang harus diberikan program
vaksinasi penyakit ISPA.
Berdasarkan masalah di atas maka penulis mencoba untuk mengangkat
topik ini sebagai judul skripsi yaitu“ANALISIS MODEL EPIDEMI SIR
(SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PADA PENYAKIT INFEKSI
SALURAN PERNAPASAN AKUT (ISPA)”.
1.2
Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi perumusan masalah dalam penelitian ini adalah
bagaimana cara penggunaan model epidemi SIR pada penyakit menular, secara
khusus penyakit ISPA dan bagaimana cara menentukan perkembangan epidemi
suatu populasi yang terkena wabah penyakit menular.
1.3
Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini dapat diuraikan sebagai berikut :
1. Model ini berkaitan dengan manusia yang rentan (Susceptible), manusia
yang terinfeksi (Infectious), manusia yang sembuh (Recovered).
2. Laju kelahiran yang terjadi dalam populasi ini diasumsikan sama dengan
laju kematian.
4
3. Penyebaran penyakit terjadi pada populasi tertutup (tidak terjadi migrasi),
sehingga pengaruh dari luar diabaikan.
4. Jumlah populasi diasumsikan selalu konstan dan tidak memperhatikan masa
inkubasi.
5. Simulasi model epidemi dilakukan di kota Medan dan informasi mengenai
penyakit ISPA diperoleh dari Dinas Kesehatan Kota Medan dan Dinas
Kesehatan Puskesmas Teladan berdasarkan Laporan Tahunan Dinas
Kesehatan Kota Medan tahun 2014.
1.4
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan daripenelitian ini adalah :
1. Mengetahui model penularan penyakit ISPA dengan menggunakan model
epidemi SIR (Suspectible, Infected, Recovered).
2. Melakukan simulasi numerik dengan menggunakan metode Runge-Kutta
Orde 4.
3. Menentukan titik kesetimbangan, eigen value, dan basic reproduction ratio.
4. Mengetahui perkembangan epidemi pada penyakit ISPA dalam suatu
populasi.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini dapat berpengaruh bagi orang lain dan bagi
penulis sendiri. Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
a) Bagi Orang Lain
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi kepada masyarakat
tentang peranan model epidemi SIR terhadap penyebaran penyakit menular
seperti ISPA dan informasi tersebut diharapkan dapat menjadi referensi bagi
pemeritah untuk menentukan kebijakan yang tepat
meluasnya penyebaran penyakit ISPA.
dalam mencegah
5
b) Bagi Penulis
Bagi penulis, penelitian ini dapat bermanfaat untuk menambah pengetahuan
dan wawasan mengenai penerapan model matematika dalam bidang
kesehatan khususnya model epidemi SIR terhadap penyakit menular.
DAFTAR PUSTAKA
Conte, S.D., dan Boor, C.D., (1980), Elementary Numerical Analysis, Penerbit
Erlangga, Jakarta.
Finizio, N. dan Ladas, G., (1988), Persamaan Diferensial Biasa Dengan
Penerapan Modern, Ed ke-2, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Fredlina, K.Q., Oka, T.B., dan Dwipayana, I.M.E, (2012), Model SIR
(Susceptible,
Infectious,
Recovered)
Untuk
Penyebaran
Penyakit
Tuberkulosis, e-Jurnal Matematika Vol.1 No.1 : 52-58
Jhonson, T., (2009), Mathematical Modeling of Diseases : Susceptible-InfectedRecovered (SIR) Model, University of Minnesota, Morris, Spring 2009.
Howard, Anton alih bahasa, Silaban, P. dkk., (2000), Aljabar Linear Elementer,
Ed ke-8, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Iswanto, R.J., (2012), Pemodelan Matematika, Ed Pertama, Penerbit Graha Ilmu,
Yogyakarta.
Luknanto, D., (2003), Model Matematika, Universitas Gajah Mada, Yokyakarta.
Ma, Z., dan Jia, L., (2007), Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics,
World Scientific Publishing Co.Pie,Ltd, Singapore.
Munir, R., (2003), Metode Numerik, Informatika, Bandung.
Murray, J.D., (1993). Mathematical Biology : An Introduction, Third Edition,
Springer.
Notoatmojo, S., (2007), Kesehatan Masyarakat Ilmu dan Seni, PT. Rineka Cipta,
Jakarta.
Ragan, R., The SIR Model, 15 Mei 2009.
Waluya, S.B., (2006), Persamaan Diferensial, Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta.
Wikipedia,
(2014),
http://id.wikipedia.org/wiki/Infeksi_saluran_napas_atas
(diakses 16 Juni 2014)
Wikipedia, (2014), http://id.wikipedia.org/wiki/Wabah (diakses 16 Juni 2014)
Sindo, (2014), http://www.koran-sindo.com/node/364695 (diakses 24 Juni 2014)