MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELA BELAN FORD-FULKERSON UNTUK MASALAH ARUS MAKSIMUM.

MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELABELAN FORD-FULKERSON UNTUK

MASALAH ARUS MAKSIMUM

Oleh :

Katrin Jenny Sirait NIM 408211024 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan rahmatNya yang memberikan kesehatan dan hikmat kepada penulis sehingga penelitian skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “Membandingkan Kemangkusan Algoritma Dinic dan Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson untuk Masalah Arus Maksimum”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sain di Universitas Negeri Medan.

Keberhasilan penulis dalam praktik dan penyelesaian laporan ini, tidak terlepas dari dukungan ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan doa dan dana kepada penulis serta masukan yang sangat berguna dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan.

2. Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

3. Bapak Drs. P. Maulim Silitonga, M.Si., selaku Pembantu Dekan I Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

4. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika. 5. Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika. 6. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika,

Dosen Pembimbing Akademik, dan Pembimbing Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

7. Bapak Mulyono, S.Si., M.Si., selaku Dosen Penguji. 8. Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku Dosen Penguji. 9. Bapak Drs. J. Ambarita, M.Pd., selaku Dosen Penguji.

10.Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

v

11.Bapak Drs. Jonner Hasugian, M.Si., selaku Kepala Perpustakaan Umum Universitas Sumatera Utara.

12.Seluruh staf pegawai di Perpustakaan Umum Universitas Sumatera Utara. 13.Keluarga Abang Rony Silvestre Sirait, Amd. dan Yoise Pangumbalerang,

S.Si., Apt. yang banyak memberikan dukungan kepada penulis.

14.Keluarga Abang Elson Sirait, Amd. dan Maria Elizabeth, Amd. Keb. yang banyak memberikan dukungan kepada penulis.

15.Bapak Agung Yudhianto, S.Si. yang banyak memberikan masukan dalam penulisan skripsi ini.

16.Teman-teman terkasih Tiurma Tambunan, S.Si., Marshinta Sinaga, S.Si., Evy Simarmata, Rumondang Meyria Simangunsong, Efril Maemunah, S.Si., Riadi Setiawan, Santi Sinaga, yang selalu memberi motivasi kepada penulis.

17.Teman-teman seperjuangan di kelas Matematika Non Kependidikan 2008 yang selalu memberikan semangat kepada penulis.

18.Semua pihak yang turut membantu dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.

.

Medan, Juli 2013 Penulis

Katrin Jenny Sirait NIM 408211024

iii

MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELABELAN FORD-FULKERSON UNTUK

MASALAH ARUS MAKSIMUM KATRIN JENNY SIRAIT (408211024)

ABSTRAK

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bentuk dari graf adalah jaringan (network), yaitu graf berarah berbobot sederhana yang memiliki simpul sumber (source), simpul tujuan (sink), dan tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu. Algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson merupakan algoritma yang digunakan dalam pemecahan masalah arus maksimum. Algoritma Dinic memanfaatkan jaringan sisa. Pada jaringan sisa ini diidentifikasi

f-augmenting path terpendek melalui layered network, kemudian dikonstruksi

suatu blocking flow yang dapat digunakan untuk menentukan arus maksimum. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson berisi 2 fase. Fase pertama melakukan pelabelan untuk memeriksa apakah terdapat augmenting path. Jika terdapat

f-augmenting path, maka menentukan dan menambahkan f-f-augmenting path pada

arus f. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson memberikan solusi arus maksimum yang sama yaitu sebanyak 7. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson lebih mangkus dibandingkan dengan algoritma Dinic karena algoritma pelabelan Ford-Fulkerson membutuhkan waktu dan ruang memori yang lebih sedikit dalam mencari solusi dari masalah arus maksimum.

Kata kunci : algoritma pelabelan ford-fulkerson, algoritma dinic, masalah arus maksimum, jaringan

vi DAFTAR ISI

Halaman

Lembaran Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

Daftar Gambar ix

Daftar Lampiran x

BAB I. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Rumusan Masalah 4

1.3. Batasan Masalah 4

1.4. Tujuan Penelitian 4

1.5. Manfaat Penelitian 4

BAB II. LANDASAN TEORI 6

2.1. Graf 6

2.1.1 Definisi Graf 6

2.1.2 Definisi Graf Terhubung 7

2.1.3 Definisi Graf Berarah 7

2.1.4 Definisi Berbobot 8

2.1.5 Definisi Graf Lengkap 8

2.1.6 Definisi Graf Komplemen 8

2.2. Terminology Graf 9

2.2.1 Definisi Loop 9

2.2.2 Definisi Walk 9

2.2.3 Definisi Path 10

2.2.4 Definisi Sirkuit 10

vii

2.2.6 Defenisi Subgraf 10

2.3. Jaringan 11

2.3.1 Definisi Jaringan 11

2.3.2 Definisi Jaringan Transportasi 13

2.3.3 Definisi Arus 13

2.3.4 Definisi Kapasitas Sisa 14

2.3.5 Definisi Nilai Arus 14

2.3.6 Definisi f-saturated dan f-unsaturated 14

2.3.7 Definisi Arus Maksimum 14

2.3.8 Definisi Cut 15

2.3.9 Definisi Cut s-t 15

2.3.10 Definisi Cut Minimum 16

2.3.11 Definisi Sisi Maju dan Sisi Mundur 18

2.3.12 Definisi f-unsaturated Path 18

2.3.13 Definisi f-augmenting Path 19

2.4. Algoritma Dinic 20

2.4.1 Jaringan Sisa 21

2.4.2 Layered Network 22

2.4.3.Konstruksi Arus Baru 23

2.5. Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson 24

2.5.1 Aturan Pelabelan 24

2.6. Kemangkusan Algoritma 25

BAB III METODE PENELITIAN 26

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian 26

3.2. Jenis Penelitian 26

3.3. Prosedur Penelitian 26

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 28

4.1. Algoritma Dinic 28

4.1.1 Konstruksi Jaringan Sisa 28

viii

4.1.3.Konstruksi Arus Baru 35

4.2. Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson 46

4.3. Membandingkan Algoritma Dinic dengan Algoritma Pelabelan

Ford-Fulkerson 50

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 52

5.1. Kesimpulan 52

5.2. Saran 52

ix

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1. Graf G = (V, E) 6

Gambar 2.2. Graf Terhubung 7

Gambar 2.3. Graf Berarah 7

Gambar 2.4. Graf Berbobot 8

Gambar 2.5. Graf Lengkap K4 8

Gambar 2.6. (a) Graf G1 (b) Subgraf dari G1 11 Gambar 2.7. Jaringan dengan 1 source, yaitu s dan 1 sink, yaitu t 12

Gambar 2.8. Jaringan Pemompaan Air 12

Gambar 2.9. Cut dari jaringan transportasi 15

Gambar 4.1. Jaringan transportasi N = (V, E) 28

Gambar 4.2. Jaringan sisa Nf = (V, Ef) relatif terhadap arus f di N 31

Gambar 4.3. Layered network 34

Gambar 4.4. Jaringan Transportasi N dengan kapasitas jalur 35 Gambar 4.5. Jaringan transportasi untuk langkah 1 36 Gambar 4.6. Jaringan sisa relatif dari gambar 4.4 38 Gambar 4.7. Layered Network dari gambar 4.4 38

Gambar 4.8. Blocking flow gambar 4.4 41

Gambar 4.9. Jaringan dengan arus maksimum 43 Gambar 4.10. Jaringan sisa dari gambar 4.9 45 Gambar 4.11. Jaringan transportasi dengan arus 0 46 Gambar 4.12 Jaringan transportasi dengan arus 3 47 Gambar 4.13 Jaringan transportasi dengan arus 5 48 Gambar 4.14 Arus maksimum yang diperoleh dari Algoritma Labeling 49

x

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Foto Dokumentasi 56

Lampiran 2 Surat Kesediaan Dosen Pembimbing Skripsi 59 Lampiran 3 Surat Permohonan Izin Penelitian 60

Lampiran 4 Surat Izin Penelitian 61

Lampiran 5 Surat Izin Melakukan Penelitian 62 Lampiran 6 Surat Selesai Melakukan Penelitian 63

1 BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bentuk dari graf adalah flow

network, yaitu graf berarah yang tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu.

Terdapat banyak aplikasi flow network dalam kehidupan sehari-hari. Flow

network sering digunakan untuk memodelkan jaringan yang sering menjadi

masalah dalam kehidupan seperti jaringan lalu lintas, masalah arus listrik, jaringan komunikasi, masalah produksi, distribusi, perencanaan proyek, penentuan lokasi, jaringan pipa air, dan lain-lain. Transportasi barang dari lokasi sumber ke lokasi tujuan yang melewati beberapa lokasi-antara merupakan salah satu contoh masalah optimasi yang dapat didefinisikan ke dalam bentuk graf atau jaringan. Optimasi adalah salah satu disiplin ilmu dalam matematika yang fokus untuk mendapatkan nilai minimum atau maksimum secara sistematis dalam berbagai kasus. Optimasi sangat berguna di segala bidang untuk mencapai hasil yang memuaskan. Hal ini sesuai dengan prinsip ekonomi yang berorientasi untuk menekan pengeluaran demi menghasilkan keluaran (output) yang maksimal. Masalah optimasi penting dikarenakan persaingan yang semakin ketat di berbagai bidang.

Terdapat 5 algoritma yang bisa digunakan dalam menyelesaikan masalah

flow network. Kelima algoritma tersebut antara lain algoritma pelabelan

Ford-Fulkerson, algoritma pelabelan Edmonds dan Karp, algoritma Dinic, algoritma MPM (Malhotra, Pramodh Kumar & Maheswari), dan algoritma Goldberg-Tarjan (Thulasiraman & Swamy, 1992).

Menurut Moligane, Algoritma Dinic lebih baik dibandingkan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson, maupun algoritma Pelabelan yang telah dimodifikasi oleh Edmonds-Karp (Yudhianto, 2003). Algoritma Dinic diperkenalkan oleh Dinic pada tahun 1970. Sedangkan algoritma Ford-Fulkerson merupakan algoritma pertama dalam menangani masalah flow network, ditemukan oleh Ford

2

dan Fulkerson pada tahun 1956. Dalam metode ini mereka ingin memaparkan suatu cara untuk mencari kapasitas maksimum suatu aliran di dalam jaringan. Selain menghemat waktu dengan mengolah algoritma ini menjadi suatu program, metode ini juga akan efektif untuk para penggunanya dalam melakukan suatu proses, tindakan, atau pengambilan keputusan untuk tujuan tertentu dengan mengetahui arus maksimum yang terdapat dalam suatu jaringan (Ahuja & Orlin, 1989).

Dalam penulisan ini akan dibahas algoritma Dinic dan Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson dengan langkah per langkah hingga akhirnya ditemukan arus maksimum. Setelah itu dibandingkan kemangkusan dari kedua algoritma diatas. Penulis merasa terdorong mencoba membahas penggunaan algoritma Dinic dan Algoritma Ford-Fulkerson karena saran dari Yudhianto dalam tugas akhirnya yang berjudul Algoritma Dinic dalam Masalah Arus Maksimum, agar ditelitinya algoritma selain algoritma dinic sehingga diketahui algoritma mana yang benar-benar efektif sesuai masalah arus maksimum.

Dua simpul penting di graf G adalah simpul sumber s dan simpul tujuan t. Setiap jalur di G telah terkait dengan angka positif yang disebut kapasitas. Sebuah arus dalam jaringan adalah kumpulan arus rangkaian yang memiliki sifat bahwa jumlah dari banyaknya semua arus rangkaian yang terkandung dalam jalur manapun adalah tidak lebih besar dari kapasitas busur itu (Ford & Fulkerson, 1956).

Pada jaringan asiklik berlapis. Untuk nilai arus maksimum, kedua fase diulang sampai nilai arus maksimum dalam jaringan asli telah ditemukan. Beberapa algoritma arus maksimum menggunakan pendekatan fase kedua untuk memecahkan masalah nilai maksimum (Waissi, 1991).

Ahuja dan Orlin menunjukkan bahwa algoritma Dinic adalah sangat mirip dengan algoritma jalur penambah terpendek. Memang algoritma jalur penambah terpendek dapat dipandang sebagai algoritma Dinic di mana di tempat jaringan berlapis, jarak label yang digunakan untuk mengidentifikasi jalur penambah terpendek. Mereka menunjukkan bahwa kedua algoritma adalah sama dalam arti

3

bahwa pada masalah yang sama mereka akan melakukan deretan penambahan yang sama. Akibatnya, operasi yang dilakukan oleh algoritma Dinic adalah sama seperti yang dilakukan oleh algoritma jalur penambah terpendek kecuali bahwa jalur dipindai selama pelabelan ulang akan digantikan oleh jalur dipindai sementara membangun jaringan berlapis (Ahuja, dkk., 1997).

Masalah arus maksimum, menemukan arus nilai maksimum pada jaringan dari sumber ke tujuan, merupakan salah satu masalah yang paling mendasar dengan berbagai aplikasi ilmiah dan teknik dan telah dipelajari secara intensif. Masalahnya dirumuskan oleh Dantzig dan dipecahkan oleh Ford-Fulkerson berdasarkan metode jalur penambah. Algoritma Ford-Fulkerson mengasumsikan bahwa jaringan masukan memiliki kapasitas integral atau rasional dan kadang-kadang gagal untuk benar menemukan arus maksimum atau untuk jaringan dengan kapasitas rasional (Asano & Asano, 2000).

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan oleh Yudhianto, algoritma Dinic dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum yang dimodelkan dalam suatu jaringan transportasi (Yudhianto, 2003). Penulis akan mencoba menunjukkan penyelesaian masalah arus maksimum dengan menggunakan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson dalam suatu jaringan transportasi. Kemudian hasil penelitian penulis nantinya akan dibandingkan dengan hasil penelitian Yudhianto agar terlihat algoritma mana yang lebih baik antara algoritma Dinic dan algoritma Ford-Fulkerson.

Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata dasar kemangkusan dan keefektifan, mangkus dan efektif, sama-sama memiliki arti berhasil guna. Penulis memilih kata kemangkusan dibanding keefektifan dikarenakan kata keefektifan dalam bidang ilmu matematika mengandung makna ilmu statistik. Sedangkan penulis tidak membahas ilmu statistik. Sehingga penulis tertarik untuk membahas algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson, dengan judul “Membandingkan Kemangkusan Algoritma Dinic dan Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson untuk Masalah Arus Maksimum”.

4 1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang tersebut maka rumusan masalah yang akan diteliti adalah sebagai berikut :

1. Bagaimanakah menemukan solusi dari masalah arus maksimum dengan menggunakan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson? 2. Manakah algoritma yang lebih mangkus untuk meyelesaikan masalah arus

maksimum antara algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah dalam pembahasan ini adalah sebagai berikut : 1. Algoritma yang dibahas pada penulisan ini adalah algoritma Dinic dan

algoritma Pelabelan Ford Fulkerson.

2. Teori graf yang diuraikan dalam penulisan ini hanya menyangkut graf berarah.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk mendapatkan solusi dari penggunaan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson dalam masalah arus maksimum.

2. Untuk mengetahui perbandingan hasil penyelesaian masalah arus maksimum dengan menggunakan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian yang diharapkan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford Fulkerson dalam masalah arus maksimum.

5

2. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang perbedaan antara algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford Fulkerson dalam masalah arus maksimum.

3. Dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan penelitian yang berkaitan dengan algoritma dalam arus jaringan.

52 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum yang dimodelkan dalam suatu jaringan transportasi. Algoritma Dinic ini menggunakan konstruksi jaringan sisa, layered network dan konstruksi arus baru (blocking flow). Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson menggunakan 2 Fase. Fase pertama yaitu melabeli s dengan (-,∞) dan semua simpul lainnya. Fase kedua yaitu menghitung arus yang mengalir pada jalur. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson memberikan hasil arus maksimum yang sama yaitu sebanyak 7.

2. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson lebih mangkus dibandingkan dengan algoritma Dinic karena algoritma pelabelan Ford-Fulkerson membutuhkan waktu yang lebih singkat dan ruang memori yang lebih sedikit dalam mencari penyelesaian masalah arus maksimum dibandingkan dengan algoritma Dinic.

5.2 Saran

Pada tulisan ini penulis membahas algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson serta membandingkan kemangkusan kedua algoritma tersebut. Penulis tidak membahas algoritma pelabelan Edmonds dan Karp, algoritma MPM (Malhotra, Pramodh Kumar & Maheswari), algoritma Goldberg-Tarjan untuk masalah arus maksimum. Maka disarankan adanya tindak lanjut pengerjaan untuk masalah arus maksimum untuk algoritma yang tidak dibahas sehingga diketahui algoritma mana yang lebih mangkus. Selain itu hasil penelitian

53

ini dapat diterapkan kepada perusahaan-perusahaan ataupun badan usaha dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan arus maksimum seperti masalah transportasi barang dari lokasi sumber ke lokasi tujuan.

ii

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Biak (Papua Barat), pada tanggal 27 Januari 1990. Ayahanda bernama L. Sirait dan Ibunda bernama K. Manik, dan merupakan anak ketujuh dari tujuh bersaudara. Pada tahun 1994, penulis masuk Sekolah Taman Kanak-kanak Tunas Harapan Nusa Biak, dan lulus pada tahun 1995. Pada tahun 1996, penulis masuk sekolah SD Inpres Samofa, Biak. Dikarenakan ikut orang tua, penulis pindah ke SD Negeri Nomor 101899 Lubuk Pakam, dan lulus pada tahun 2002. Pada tahun 2002, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Lubuk Pakam, dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2005, penulis melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1 Lubuk Pakam dan lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Medan, dan lulus ujian pada bulan Juli 2013. Kegiatan ekstrakulikuler yang pernah diikuti oleh penulis di Universitas Negeri Medan yaitu Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen Protestan (UKMKP-UP FMIPA), dan Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika (IKBKM).

3

bahwa pada masalah yang sama mereka akan melakukan deretan penambahan yang sama. Akibatnya, operasi yang dilakukan oleh algoritma Dinic adalah sama seperti yang dilakukan oleh algoritma jalur penambah terpendek kecuali bahwa jalur dipindai selama pelabelan ulang akan digantikan oleh jalur dipindai sementara membangun jaringan berlapis (Ahuja, dkk., 1997).

Masalah arus maksimum, menemukan arus nilai maksimum pada jaringan dari sumber ke tujuan, merupakan salah satu masalah yang paling mendasar dengan berbagai aplikasi ilmiah dan teknik dan telah dipelajari secara intensif. Masalahnya dirumuskan oleh Dantzig dan dipecahkan oleh Ford-Fulkerson berdasarkan metode jalur penambah. Algoritma Ford-Fulkerson mengasumsikan bahwa jaringan masukan memiliki kapasitas integral atau rasional dan kadang-kadang gagal untuk benar menemukan arus maksimum atau untuk jaringan dengan kapasitas rasional (Asano & Asano, 2000).

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan oleh Yudhianto, algoritma Dinic dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum yang dimodelkan dalam suatu jaringan transportasi (Yudhianto, 2003). Penulis akan mencoba menunjukkan penyelesaian masalah arus maksimum dengan menggunakan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson dalam suatu jaringan transportasi. Kemudian hasil penelitian penulis nantinya akan dibandingkan dengan hasil penelitian Yudhianto agar terlihat algoritma mana yang lebih baik antara algoritma Dinic dan algoritma Ford-Fulkerson.

Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata dasar kemangkusan dan keefektifan, mangkus dan efektif, sama-sama memiliki arti berhasil guna. Penulis memilih kata kemangkusan dibanding keefektifan dikarenakan kata keefektifan dalam bidang ilmu matematika mengandung makna ilmu statistik. Sedangkan penulis tidak membahas ilmu statistik. Sehingga penulis tertarik untuk membahas algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson, dengan judul “Membandingkan Kemangkusan Algoritma Dinic dan Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson untuk Masalah Arus Maksimum”.

4 1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang tersebut maka rumusan masalah yang akan diteliti adalah sebagai berikut :

1. Bagaimanakah menemukan solusi dari masalah arus maksimum dengan menggunakan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson? 2. Manakah algoritma yang lebih mangkus untuk meyelesaikan masalah arus

maksimum antara algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah dalam pembahasan ini adalah sebagai berikut : 1. Algoritma yang dibahas pada penulisan ini adalah algoritma Dinic dan

algoritma Pelabelan Ford Fulkerson.

2. Teori graf yang diuraikan dalam penulisan ini hanya menyangkut graf berarah.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk mendapatkan solusi dari penggunaan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson dalam masalah arus maksimum.

2. Untuk mengetahui perbandingan hasil penyelesaian masalah arus maksimum dengan menggunakan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian yang diharapkan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford Fulkerson dalam masalah arus maksimum.

5

2. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang perbedaan antara algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford Fulkerson dalam masalah arus maksimum.

3. Dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan penelitian yang berkaitan dengan algoritma dalam arus jaringan.

52 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum yang dimodelkan dalam suatu jaringan transportasi. Algoritma Dinic ini menggunakan konstruksi jaringan sisa, layered network dan konstruksi arus baru (blocking flow). Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson menggunakan 2 Fase. Fase pertama yaitu melabeli s dengan (-,∞) dan semua simpul lainnya. Fase kedua yaitu menghitung arus yang mengalir pada jalur. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson memberikan hasil arus maksimum yang sama yaitu sebanyak 7.

2. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson lebih mangkus dibandingkan dengan algoritma Dinic karena algoritma pelabelan Ford-Fulkerson membutuhkan waktu yang lebih singkat dan ruang memori yang lebih sedikit dalam mencari penyelesaian masalah arus maksimum dibandingkan dengan algoritma Dinic.

5.2 Saran

Pada tulisan ini penulis membahas algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson serta membandingkan kemangkusan kedua algoritma tersebut. Penulis tidak membahas algoritma pelabelan Edmonds dan Karp, algoritma MPM (Malhotra, Pramodh Kumar & Maheswari), algoritma Goldberg-Tarjan untuk masalah arus maksimum. Maka disarankan adanya tindak lanjut pengerjaan untuk masalah arus maksimum untuk algoritma yang tidak dibahas sehingga diketahui algoritma mana yang lebih mangkus. Selain itu hasil penelitian

53

ini dapat diterapkan kepada perusahaan-perusahaan ataupun badan usaha dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan arus maksimum seperti masalah transportasi barang dari lokasi sumber ke lokasi tujuan.

ii

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Biak (Papua Barat), pada tanggal 27 Januari 1990. Ayahanda bernama L. Sirait dan Ibunda bernama K. Manik, dan merupakan anak ketujuh dari tujuh bersaudara. Pada tahun 1994, penulis masuk Sekolah Taman Kanak-kanak Tunas Harapan Nusa Biak, dan lulus pada tahun 1995. Pada tahun 1996, penulis masuk sekolah SD Inpres Samofa, Biak. Dikarenakan ikut orang tua, penulis pindah ke SD Negeri Nomor 101899 Lubuk Pakam, dan lulus pada tahun 2002. Pada tahun 2002, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Lubuk Pakam, dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2005, penulis melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1 Lubuk Pakam dan lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Medan, dan lulus ujian pada bulan Juli 2013. Kegiatan ekstrakulikuler yang pernah diikuti oleh penulis di Universitas Negeri Medan yaitu Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen Protestan (UKMKP-UP FMIPA), dan Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika (IKBKM).