PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL SKRIPSI

  

PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

  

Program Studi Matematika

Oleh:

Bernadeta Widiasih

  

NIM : 013114017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

    Terima  kasih 

 mengajariku membedakan yang benar dan yang salah 

Telah

  Mendorongku  untuk mempertahankan mimpi­mimpiku   padaku untuk tidak terpengaruh oleh rintangan  Menunjukkan

 untuk mengubah kebingunganku menjadi senyuman 

  Dan  

 mengatakan bahwa kalian menyayangiku 

Telah

  Menunjukkan  betapa istimewanya cinta itu  Menghapuskan  air mataku kala aku sedih 

 untuk menenangkanku saat aku ingin marah 

Dan

   

 membantu sesama dengan perbuatan baik kalian 

Telah  bahwa aku pun mesti menolong sesama 

  Mengajariku Memelukku  ketikaaku merasa sunyi 

 membisikkan padaku 

Dan

AKU SAYANG PADAMU

  Terima  kasih keluargaku atas segala yang kalian lakukan 

 bagaimana jadinya diriku tanpa kalian  

Entah

   

Kupersembahkan karya ini untuk:

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

Program linear bilangan bulat merupakan bagian dari program linear di mana

menginginkan penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat. Dalam program linear

bilangan bulat terdapat dua model, yakni program linear bilangan bulat fraksional

dual dan program linear bilangan bulat dual. Program linear bilangan bulat fraksional

dual memungkinkan adanya nilai variabel berupa bilangan pecahan dalam

perhitungannya, sedangkan dalam program linear bilangan bulat dual semua nilai

variabel dalam perhitungan haruslah berupa bilangan bulat. Masalah program linear

bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode, seperti

metode bidang pemotong, metode cabang dan batas, dan metode enumerasi. Pada

penulisan ini masalah program linear bilangan bulat akan diselesaikan dengan

metode bidang pemotong.

  Penyelesaian masalah program linear bilangan bulat dengan metode bidang

pemotong dimulai dengan mengubah bentuk baku menjadi bentuk kanonik, dan

menyusun tabel awal. Setelah itu dilanjutkan dengan mencari baris sumber dan

kolom pivot serta menentukan bentuk kendala bidang pemotong. Bentuk kendala

bidang pemotong tersebut kemudian ditambahkan ke dalam tabel, yang selanjutnya

diselesaikan dengan metode simpleks. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian

optimum dicapai.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRACT

Integer programming is a part of linear programming where its solutions are

integer. There are two models of integer programming, dual fractional integer

programming and dual all-integer integer programming. The value of variables in

calculations of dual fractional integer programming can be in the form of fractional,

while in dual all-integer integer programming all of variable values in calculations

must be in the form of integer. Some methods, such as cutting plane method, branch

and bound method and enumeration method can solve the integer programming

problem. In this paper, we use cutting plane method to solve integer programming

problem.

  The first step in solving integer programming problem by cutting plane

method is changing standard form to canonic form, and arranging the beginning

table. After that, we choose the source row and pivot column, and then determine the

form of the Gomory Cut. We will add the Gomory Cut into the table and solve it by

dual simplex method. We repeat this iteration process until optimum integer solution.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan

perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini

disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan

terima kasih kepada:

  

1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh

perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

  

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan fakultas MIPA yang telah

memberi dukungan dalm penulisan skripsi ini.

  

3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika, dan

dosen penguji yang memberikan dukungan, saran dan kritik dalam skripsi ini.

  

4. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran

dan kritik dalam skripsi ini.

  

5. Bapak dan Ibu dosen di Fakultas MIPA yang telah membimbing dan mendidik

penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.

  6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat fakultas MIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan dan fasilitas yang telah diberikan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Ibu, Mba eta, Lia dan semua keluargaku tercinta atas kasih sayang, doa, semangat, dukungan dan kesabarannya menanti kelulusan ini.

  

8. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Maria(jangan lupain masa2 qta

nunggu 21 ya!!!), Indah, Erika, Ajeng(tunggu aku dijakarta ya), Very, Upik, Yuli, Dani, Tabita, Fanya(makasih laptopnya), Andre, Ariel, Agnes, Wiwit, Rita+Alam (makasih semangat n bantuannya), Vrysca, Daniel, Tedy, Ray, April, Ardi, serta kakak-kakak angkatan 1998, 1999, 2000 dan adik-adik angkatan 2002, 2003, 2004 yang telah membantu dan mendukung penulis.

  

9. Untuk seseorang yang selama ini mengisi hatiku yang telah memberi dukungan,

semangat, nasehat, doa, cinta dan rasa sayangnya.

  

10. Untuk saudara-saudaraku yang menemaniku dijogja: Wahyu(makasih dah mau

anter aku n pinjemin komputernya), Nita, Wiwit, mas Lus dan keluargaku yang telah memberi dukungan, semangat, saran dan doanya.

  

11. Anak-anak kost gang endro no 8 : Mba lina(makasih atas perhatiannya hingga ku

bisa mengerti arti hidup), Mba rini, Mba armi, Ayu, Tia, Mery, F3, Cu2, Weni, Rini, Ika, Lia, Ratna, Riska, Winda,Beni dan teman-teman kost dari awal sampai

akhir aku kuliah yang telah memberi dukungan, semangat, doa dan candanya.

  

12. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak

langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.

  Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh

karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat

membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan

menjadi referensi bagi pembaca.

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

  Halaman

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………..…… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………………. ii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………… iii

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………..…….. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….…... v

ABSTRAK ………………………………………………………………….…… vi

ABSTRACT ………………………………………………….………………..... vii

KATA PENGANTAR …………………………………………………….…….. viii

DAFTAR ISI ……………………………………………………………….……. x

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………….……. xii

DAFTAR TABEL ………………………………………………………….……. xiii

  

BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………..……. 1

A. Latar Belakang Masalah …………………………………….…… 1 B. Rumusan Masalah ………………………………………...…….. 2 C. Pembatasan Masalah ………………………………………...….. 2 D. Tujuan Penulisan …………………………………………………. 3 E. Manfaat Penulisan ……………………………………………….. 3 F. Metode Penulisan ……………………………..…………..……... 3

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL……………………..……... 5 A. Program Linear ……………………………………………….…… 5 B. Metode Grafik ……………………………………………….…… 9 C. Metode simpleks…………………………………...……………... 10 D. Metode Simpleks Dual ……………………………………..…….. 16 E. Program Linear Bilangan Bulat ..…………………………...…… 21

BAB III PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL 25

A. Masalah Program Linear Bilangan Bulat........…………………... 25 B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Fraksional Dual ……………………………………………………….….…… 29

BAB IV PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL ......................... 60

A. Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual Dengan Metode Bidang Pemotong...................................................................…… 60 B. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual......... 68

BAB IV PENUTUP .....................................................................................….. 81

A. Kesimpulan ……………......................................................…….. 81 B. Saran ………………………………………………………...…… 82

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………. 83

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1.Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear dengan metode

grafik……………………………………………………………… 10

Gambar 3.1.Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat dengan

metode bidang pemotong …………..……....……………............... 26

Gambar 3.2.Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Fraksional

  Dual……………………………………………………………….. 51

Gambar 4.1. Penyelesaian Masalah Program Linear Bilangan Bulat Dual……... 80

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 2.1 Tabel Awal Simpleks…………………………………………………………… 14Tabel 2.2 Tabel Awal Simpleks Dual………………………………………………...…… 19Tabel 3.1 Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat Fraktional Dual.......…………..... 30Tabel 3.2. Tabel Dengan Bentuk Kendala Bidang Pemotong........ ………………………. 32Tabel 3.3. Tabel Awal Pada Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat………… 40Tabel 3.4. Tabel Setelah Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 1.…………………...…. 41Tabel 3.5. Tabel Setelah Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 2……………………….. 42Tabel 3.6. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 1………………...…. 45Tabel 3.7. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 1.........…….. 46Tabel 3.8. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 2................................ 48Tabel 3.9. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 2.................... 49Tabel 3.10. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 3............................. 54Tabel 3.11. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 3................ 55Tabel 3.12. Tabel Dengan Bentuk Pembatas Sekunder Pada Iterasi 4............................ 57Tabel 3.13. Hasil setelah dilakukan operasi baris elementer pada iterasi 4..................... 58Tabel 4.1. Tabel Awal Program Linear Bilangan Bulat.................................................. 65Tabel 4.2. Tabel Awal Pada Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat............. 73Tabel 4.3. Tabel Bentuk Kendala Bidang Pemotong Pada Iterasi 1............................... 75Tabel 4.4. Tabel Setelah Dilakukan Operasi Baris Elementer Pada Iterasi 1.................. 75Tabel 4.5. Tabel Dengan Bentuk Kendala Bidang Pemotong Pada Iterasi 2.................. 78

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I P ENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Program linear adalah teknik optimasi yang bertujuan untuk menentukan

  pemecahan masalah dari suatu program matematika yang linear sehingga dapat ditemukan nilai sasaran yang optimal. Hasil akhir penyelesaian masalah program linear bisa dapat berupa bilangan pecahan atau bilangan bulat. Dalam penyelesaian masalah yang berupa bilangan bulat diperlukan suatu penyelesaian khusus untuk menjawabnya, yaitu program linear bilangan bulat.

  Program linear bilangan bulat merupakan salah satu bentuk dari program linear dengan satu variabel atau lebih. Dalam masalah program linear bilangan bulat ini variabel masukannya bernilai bilangan bulat. Banyak sekali ditemukan permasalahan program linear bilangan bulat dalam kehidupan sehari-hari dan industri. Permasalahan tersebut tidak dapat diselesaikan hanya dengan program linear biasa, misalnya masalah produksi, masalah transportasi, masalah penjadwalan para pekerja dan mesin-mesin kantor, desain jaringan telekomunikasi dan masalah salesmen yang berpergian (traveling salesman).

  Dalam program linear bilangan bulat terdapat dua model, yakni program linear bilangan bulat fraksional dual dan program linear bilangan bulat dual.

  Program linear bilangan bulat fraksional dual memungkinkan adanya nilai variabel berupa bilangan pecahan dalam perhitungannya, sedangkan dalam

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  program linear bilangan bulat dual semua nilai variabel dalam perhitungan haruslah berupa bilangan bulat.

  Masalah program linear bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode, seperti metode bidang pemotong, metode cabang dan batas, dan metode enumerasi. Pada penulisan ini masalah program linear bilangan bulat akan diselesaikan dengan metode bidang pemotong. Metode bidang pemotong untuk pertama kalinya diaplikasikan pada masalah program linear bilangan bulat fraktional dual kemudian diperbaiki menjadi masalah program linear bilangan bulat dual. Penyelesaian kedua masalah program linear bilangan bulat tersebut menggunakan metode simpleks dual.

  B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dituliskan dengan beberapa pertanyaan sebagai berikut :

  1. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat fraksional dual dengan metode bidang pemotong ?

  2. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dual dengan metode bidang pemotong ?

  C. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini hanya akan dibahas tentang program linear bilangan bulat, yakni program linear bilangan bulat fraksional dual dan program linear bilangan bulat dual yang diselesaikan dengan metode bidang pemotong yang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  menggunakan metode simpleks dual dan landasan teori yang berkaitan dengan aljabar linear seperti sistem persamaan linear, matriks dan ruang vektor yang telah dipelajari pada saat kuliah tidak akan dibahas dalam skripsi ini.

  D. Tujuan Penulisan

  Sesuai dengan latar belakang di atas, penulisan skripsi ini bertujuan untuk dapat menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat khususnya tentang masalah program linear bilangan bulat fraksional dual dan masalah program linear bilangan bulat dual dengan metode bidang pemotong dan dapat dipertanggungjawabkan langkah demi langkah.

  E. Manfaat Penulisan

  1. Dapat menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat fraksional dual

  2. Dapat menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dual F.

   Metode Penulisan

  Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku - buku acuan yang berkaitan dengan topik skripsi ini, sehingga tulisan ini tidak ada penemuan hal-hal yang baru.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

G. Sistematika Penulisan

  Sistem penulisan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan sebagai berikut:

  Bab I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.

  BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL Bab ini memberikan penjelasan secara singkat beberapa dasar pengetahuan, yaitu tentang program linear, metode grafik, metode simpleks, metode simpleks dual dan program linear bilangan bulat.

  BAB III PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT FRAKSIONAL DUAL Bab ini membahas tentang langkah-langkah penyelesaian masalah program linear bilangan bulat fraksional dual menggunakan metode bidang pemotong.

  BAB IV PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DUAL Bab ini membahas tentang langkah-langkah penyelesaian masalah program linear bilangan bulat dual menggunakan metode bidang pemotong.

  BAB V Penutup Bab ini berisi beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL A. Program Linear Penerapan program linear untuk pertama kalinya adalah di bidang

  perencanaan militer, yakni pada perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Kemudian pada tahun1930-an ahli matematika seperti Von Neuman dan Leontief melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan pendekatan aljabar linear (aljabar matriks). Karya Leontif yang terkenal adalah model input-output. Setelah itu ahli matematika Dr George B. Dantzig, seorang anggota dari pasukan Angkatan Udara tersebut, memformulasikan masalah program linear secara umum dan menemukan penyelesaian dengan metode simpleks pada tahun 1947.

  Program linear adalah suatu metode optimasi yang digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan fungsi sasaran dan kendala-kendala berbentuk linear.

  Secara umum masalah program linear dapat dinyatakan sebagai berikut :

  1. Bentuk Baku Masalah Program Linear : Minimumkan ( atau maksimumkan) :

  z c x c x K c x (2.1)

  = _{1 1 2 2 n n} + + +

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  } , , ≥

  ≥ = ≤

  x Ax b

  (2.8) dengan : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  = _{mn m m} ^{n n}

  a a a a a a a a a

  K M O M K K

  2 ^{1 2 22 21 1 12 11} A ,

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  = _n

  dengan kendala-kendala :

  x x x

  M ^{2 1}

  x ,

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  = _n

  b b b

  M ^{2 1}

  b , ( ) _n

  , c c c , , _{2 1} K = c

  {

  dengan kendala-kendala : ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

  ≥ = ≤ + + + ≥ = ≤ + + +

  ∑ =

  ≥ = ≤ + + +

  m n mn m m ^{n n n n} b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

  } , , { } , , {

  } , , {

  2 ^{2 1 1 2}

²

^{2 22 1 21 1}

¹

^{2 12 1 11} K

  M O O M K K (2.2)

  n j x _j

  , , 2 , 1 ,

  K = ≥

  (2.3) Rumus di atas dapat diringkas sebagai berikut : Minimumkan ( atau maksimumkan) :

  = ⁿ _{j j j}

  =

  x c z ₁

  (2.4) dengan kendala

  ∑ =

  = ≥ = ≤ ⁿ _{j i j ij}

  m i b x a ₁

  , , 2 , ) 1 , , , ( K (2.5)

  n j x _j

  , , 2 , 1 , K

  = ≥ (2.6)

  2. Bentuk Matriks Masalah Program linear : Minimumkan (atau maksimumkan) : cx

  z (2.7)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.1 Fungsi sasaran atau fungsi tujuan Fungsi sasaran masalah program linear berbentuk _p z c x

  = _{j j}

  ∑ _{j = 1}

  dengan p merupakan banyaknya variabel, x merupakan variabel ke- j , dan c _{j j} merupakan koefisien ongkos dari variabel ke- j .

  Definisi 2.2 Kendala utama dan kendala tak negatif

  Persamaan atau pertidaksamaan dalam masalah program linear _n

  a x ( ≤ , = , ≥ ) b , i = _{i , j j i} 1 , 2 ,..., m ∑ _{j = 1}

  disebut kendala utama, dengan m merupakan banyaknya kendala, dan a _{i , j} (koefisien teknis) merupakan koefisien kendala ke- i dari variabel ke- j dan b _i menyatakan konstanta di ruas kanan untuk kendala ke- i .

  Sedangkan x ≥ ; j = _j 1 , 2 ,..., p disebut kendala tak negatif Untuk mengembangkan suatu metode penyelesaian, secara umum harus sesuai dengan karakter dari masalah program linear. Karakter tersebut dinyatakan dalam bentuk baku sebagai berikut : 1. Fungsi sasarannya berpola minimum atau maksimum.

  2. Semua kendalanya berbentuk persamaan. Bentuk ini disebut bentuk kanonik dari masalah program linear.

  3. Semua variabel keputusan x adalah tak negatif. _i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.3 Penyelesaian layak

Penyelesaian layak adalah penyelesaian yang memenuhi semua kendala yakni

kendala utama dan kendala tak negatif.

  Definisi 2.4 Penyelesaian optimum

Penyelesaian optimum adalah penyelesaian layak yang takhingga banyak yang

mengoptimumkan fungsi sasaran.

  Definisi 2.5 Penyelesaian basis

  Suatu vektor x merupakan penyelesaian basis, jika: (i) x memenuhi persamaan kendala utama dalam program linear.

  (ii) kolom-kolom matriks kendala yang bersesuaian dengan vektor tak nol x adalah bebas linear.

  Definisi 2.6 Penyelesaian layak basis

  Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis jika x adalah penyelesaian basis dan memenuhi kendala tak negatif x ≥ .

  Definisi 2.7 Penyelesaian layak basis optimum

  Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis optimum jika x adalah penyelesaian layak basis yang juga mengoptimumkan fungsi sasaran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Masalah program linear biasanya diselesaikan dengan dua metode penyelesaian, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik bila masalah tersebut hanya memiliki dua variabel keputusan. Tetapi untuk masalah yang memiliki variabel keputusan lebih dari dua tidak mungkin menggunakan metode grafik. Lalu pada tahun 1947 George Dantzig dan pakar-pakar lainnya mengembangkan metode simpleks yang dapat menyelesaikan masalah program linear yang memuat tiga variabel keputusan atau lebih.

B. Metode Grafik

  Masalah program linear dengan dua variabel dapat diselesaikan menggunakan metode grafik. Meskipun masalah program linear jarang yang hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik memudahkan dalam penyelesaian masalah tersebut. Masalah program linear dapat diilustrasikan dengan melihat Gambar 2.1, yakni Pasangan x , x yang memenuhi semua kendala disebut

  ( ) _{1 2}

  penyelesaian layak (feasible solution). Titik-titik dalam daerah layak disebut titik layak. Himpunan titik layak yang terlihat dalam Gambar 2.1, yakni daerah OABCD adalah daerah layak yang diperoleh dari perpotongan kendala-kendala utama. Grafik fungsi sasaran ini berupa garis lurus z dan disebut garis selidik karena menggambarkan pasangan-pasangan x , x yang memberikan nilai z yang

  ( ) _{1 2}

  sama. Pada masalah program linear yang memaksimumkan fungsi sasaran z maka akan ditemukan penyelesaian optimum titik B, yakni titik yang memaksimumkan fungsi sasaran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  x ₂ D _C B

_A

x ₁ z

  Gambar

2.1. Ilustrasi Penyelesaian Masalah Program Linear dengan metode grafik C.

   Metode simpleks

  Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks, kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan ini harus diubah dahulu ke bentuk persamaan dengan penambahan variabel slack atau variabel pengetat yang mempunyai koefisien ongkos nol. Jika kendala berpola kurang dari ( )

  ≤ , yakni kendala berbentuk pertidaksamaan :

  

a x a x K a x b

_{k 1 1 k 2 2 kn n k} + + + ≤ maka kendala tersebut dapat diubah ke bentuk persamaan dengan menambah

  variabel pengetat x dengan 0 x > . Dengan demikian , persamaan untuk _{1 n}

• n
¹

  kendala tersebut adalah a x a x K a x x b , x . _{1 1 k} + + + + _{2 2 kn n n 1 k n} = >

• k
¹

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dengan cara yang sama, kendala berpola lebih besar dari ( ) ≥ , yakni kendala berbentuk pertidaksamaan : _{k 1 1 k 2 2 kn n k} + + + a x a x K a x ≥ b dapat diubah ke bentuk persamaan dengan mengurangi pertidaksamaan tersebut dengan variabel pengetat x dengan x _{1 n} >

• n

¹

_{1 1 k 2 2 kn n n +1 k n} + + + a x a x K a x − x = b , x &am
• k
¹ Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala baru, fungsi sasaran yang

  K semula berbentuk z = c x c x c x diubah menjadi _{1 1 2 2 n n} + + +

  z c x c x K c x c ( x K x ) , j n

  1 , n 2 , K , p = + + + + + + + + = ^{1 1 2 2 n n j n 1 p}

• K K dengan 0 c = c = = c = dan x , i = n
• n ^{1 n 2 p i} pengetat.

  1 , n + + 2 , , p adalah variabel

  Dengan demikian masalah yang telah diubah kedalam bentuk kanonik akan menjadi seperti ini : Minimumkan ( atau maksimumkan ) : _n

  z = c x (2.9) _{j j} ∑ _{j = 1}

  dengan kendala _n

  a x = b , i = _{ij j i} 1 , 2 , K , m (2.10) ∑ _{j = 1} x , j

  1 , 2 , K , n (2.11) _j ≥ =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Bentuk kanonik

  Definisi 2.8

  Bentuk pertidaksamaan yang sudah diubah dalam bentuk persamaan disebut bentuk kanonik dari masalah program linear.

  Berikut ini akan diberikan contoh masalah program linear yang diubah ke bentuk kanonik

  Contoh 2.1 Ubah soal dibawah ini ke bentuk kanonik.

  10 x 20 x 5 x = − _{1 2 3} dengan kendala _{1 2} + x − x x ≤ ₃

• Maksimumkan : z

  8

• 2 x − x x ≤
_{1 2 3}

  10 Penyelesaian : Pada masing-masing kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan ditambahkan satu variabel pengetat, misalkan x dan x sehingga masala program linear di _{4 5} atas menjadi :

  Maksimumkan : z 10 x 20 x 5 x x x = − _{1 2 3 4} + + + ₅ Dengan kendala :

  x x x x

  8 ₁ − + + = _{2 3 4} 2 x − x x x = _{1 2 3} + + ₅

  10 Soal ini sudah berbentuk kanonik dan berpola maksimum, dengan x , x , x _{1 2 3} variabel asli dan x , x adalah variabel pengetat. _{4 5}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Jika masalah program linear yang telah diubah ke dalam bentuk persamaan berpola maksimum maka masalah sudah dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Bila masalah program linear berpola maksimum atau berpola minimum dan mempunyai penyelesaian basis yang tidak layak, karena memuat nilai negatif untuk variabel pengetat, maka masalah program linear tersebut belum bisa diselesaikan dengan metode simpleks.

  Masalah program linear yang masih memuat nilai negatif pada variabel pengetatnya memerlukan variabel semu, yaitu variabel yang ditambahkan kedalam persamaan kendala-kendala. Jika a adalah variabel semu yang disisipkan pada persamaan yang memuat variabel pengetat bernilai negatif maka masalah program linear tersebut sudah memuat suatu penyelesaian layak basis. Variabel semu ini bersifat sebagai katalisator (penghubung) dan mempunyai nilai nol supaya masalah semula mempunyai penyelesaian optimum. Bila ada variabel semu yang dipakai maka fungsi sasaran yang baru untuk pola maksimum berbentuk z z Ma , sedangkan fungsi sasaran yang baru untuk pola minimum

  = −

  = Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode simpleks adalah melalui tabel simpleks.

• berbentuk z z Ma dengan M bilangan positif yang cukup besar.

  Langkah-langkah penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan metode simpleks melalui tabel simpleks adalah sebagai berikut :

  Langkah 1:

  2 ^{1 2 22 21 1 12 11 m} b b b

  x : variabel-variabel keputusan _ij a : koefisien teknis _i b : suku tetap (tak negatif) _j c : koefisien ongkos _i x : variabel yang menjadi basis dalam tabel yang ditinjau ^{n n}

c z c z c z

  Keterangan : _j

  z

  −

  z _n K z z z _{2 1} z _{j j} c z

  M ^{2 1} _j

  R R R

  M ^{2 1} _m

  K M O M K K

  Membentuk masalah program linear menjadi bentuk kanonik yaitu kendalanya harus berbentuk persamaan, dengan menambahkan variabel pengetat, variabel semu dan ≥ _i b sehingga memenuhi bentuk baku program linear.

  

a a a

a a a

a a a

  M ^{2 1} _{mn m m} ^{n n}

  x x x

  M ^{2 1} _m

  K x x x _{2 1 i} b _i R m c c c

  c _n K c c c _{2 1 i} c _{j i} x x \ n

Tabel 2.1 Tabel Awal Simpleks j

  Menyusun tabel awal seperti dalam tabel berikut ( Tabel 2.1 )

  Langkah 2 :

  − − − K _{2 2 1 1} PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  c : koefisien ongkos milik variabel basis x _{i m i} z : c a _{j i ij} ∑ _{i = m 1} z : c b _{i i}

  ∑ _{i = 1} z c selisih z dengan c _{j j j j} − : b _i R : hanya untuk a ≥ _{i i} a _ik

  Langkah 3 :

  Menguji keoptimuman, dengan memperhatikan nilai z − . Untuk masalah c _{j j} dengan pola maksimum, tabel dikatakan optimum bila nilai z c _{j j} − ≥ untuk semua j. Sedangkan untuk masalah dengan pola minimum tabel dikatakan optimum bila nilai z − c ≤ untuk semua j. Bila sudah optimum _{j j} berarti sudah didapatkan penyelesaiannya. Jika belum optimum maka dilanjutkan ke Langkah 4.

  Langkah 4 :

  Memperbaiki tabel. Dalam hal ini artinya memilih variabel baru yang masuk menjadi variabel basis. Untuk masalah yang berpola maksimum adalah dengan memilih kolom pivot, yaitu kolom dengan nilai z c _{j j} − terkecil atau paling minimum. Untuk masalah yang berpola maksimum adalah dengan memilih nilai z − terbesar atau paling maksimum. Setelah ditemukan c _{j j}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  kolom pivot maka selanjutnya dicari nilai rasio ( R ) untuk setiap baris, _i yaitu b dibagi unsur-unsur pada kolom pivot yang bernilai positif. Tidak _i berbeda untuk pola maksimum dan pola minimum, dipilih nilai R terkecil _i ⎛ b ⎞ _i atau . Baris dengan terkecil kemudian menjadi baris

  R = min R _{i i}

  ⎜⎜ ⎟⎟

  a _ik

  ⎝ ⎠ pivot. Setelah baris pivot dan kolom pivot terpilih, maka perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot ( ) a disebut sebagai elemen pivot dimana _rs variabelnya akan menjadi variabel basis baru yang akan menggantikan variabel basis lama dan selanjutnya menuju ke Langkah 5.

  Langkah 5 :

  Pada tabel selanjutnya elemen a diubah supaya bernilai satu dan semua _rs elemen pada kolom yang bersesuaian diubah menjadi nol dengan melakukan operasi baris elementer. Variabel basis baru dan koefisien ongkos menyesuaikan dengan variabel basis baru tersebut. Selanjutnya kembali ke langkah 3.

D. Metode Simpleks Dual

  Masalah program linear memiliki dua macam metode simpleks, yaitu metode simpleks primal dan metode simpleks dual. Untuk setiap masalah program linear dapat diubah ke bentuk dual dimana kendala dan variabelnya adalah kebalikan dari primal, yakni koefisien variabel dalam masalah primal menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  variabel dan m kendala maka masalah dualnya akan menjadi m variabel dan n kendala. Dapat dikatakan bahwa jumlah kendala dalam masalah primal sama dengan jumlah variabel dalam masalah dual. Bila masalah primal memaksimumkan fungsi sasaran maka masalah dualnya pasti meminimumkan fungsi sasaran, dan begitu sebaliknya.

  Berikut akan diberikan contoh bentuk dual dari bentuk primal pada masalah program linear

  Contoh 2.2

  Masalah primal 6 x ₁ 2 x − x _{2 3} + + Minimumkan z = 2 x ₄ 4 x ₁ 3 x − ₂ 2 x ₃ + + dengan kendala 2 x ≥ ₄

  10

  18 8 x x ₁ + + + ₂ 2 x ₃ 4 x ≥ ₄ dan , , ,

  x x x x ≥ _{1 2 3 4} Penyelesaian :

  Masalah dual

  10 y 18 y = _{1 2} dengan kendala

• Maksimumkan g

  4 y

  8

  6 ₁ + y ≤ ₂ 3 y + y ≤ _{1 2}

  2

  2 y

  1 − ≤ − _{1 2} 2 y + y ₁ 4 ≤ ₂

• 2 y

  2 dan y , y _{1 2} ≥

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dalam metode simpleks dual penyelesaiannya dimulai dari penyelesaian basis yang tidak layak dan memenuhi ciri optimum sedangkan metode simpleks primal penyelesaiannya dimulai dari penyelesaian layak basis tetapi tidak harus optimum.

  Masalah program linear yang akan dicari dualnya harus berpola maksimum baku atau minimum baku yang memiliki bentuk baku sebagai berikut : Pola maksimum baku :

  Maksimumkan z cx = memenuhi

  Ax ≤ ( semua berbentuk b ≤ )

  Pola minimum baku : Minimumkan z = cx memenuhi Ax b

  ≥ ( semua berbentuk ≥ ) Untuk dapat menyusun suatu masalah primal kedalam bentuk dual maka harus dibuat kedalam bentuk kanonik sebagai berikut :