TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT

TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT (Skirpsi)

Oleh

KHAIRIL WALID

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

ABSTRAK

TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT

Oleh

KHAIRIL WALID

Barisan bilangan bulat dengan suku pertama 1 terdiri dari suatu grup terhadap suatu operasi konvolusi yang disebut sebagai grup appell dan matriks bilangan bulat tak berhingga segitiga bawah dengan semua elemen diagonal 1 yang terdiri dari sebuah grup terhadap pergandaan matriks. Jika dan , maka . Pada penelitian ini dikaji grup dan beserta jenis jenis subgrupnya dalam hal ini termasuk grup dari matriks dengan kolom sama kecuali untuk nilai awal nol dan juga grup dari matriks yang kolom bilangan ganjil sama kecuali untuk nilai awal nol dan sama untuk kolom genap. Syarat syarat tersebut ditentukan sebagai perkalian dua matriks dalam menjadi dalam . Syarat syarat tersebut juga ditentukan oleh dua matriks dalam operasi pada Kata Kunci : Barisan Bilangan Bulat, Konvolusi, Matriks Transformasi, Grup Appell.

ABSTRACT

MATRIX TRANSFORMATIONS OF INTEGERS SEQUENCES

By

KHAIRIL WALID

The integer sequences with first term 1 comprise a group under convolution, namely, the appell group, and the lower triangular infinite integer matrices with all diagonal entries 1 comprise a group under matrix multipication. If and , then . The groups and and various subgroups are discussed. These include the group of matrices whose columns are identical except for initial zeros, and also the group of matrices in which the odd-numbered columns are identical except for initial zeros and the same is true for even-numbered columns. Conditions are determined for the product of two matrices in to be in . Conditions are also determined for two matrices in

_{to commute}

Keyword : The Integer Sequences, Matrix Transformations,Convolution, Appell Group.

RIWAYAT HIDUP

Penulis adalah anak keempat dari empat bersaudara, dari bapak Alm. Muhammad Nasir dan Ibu Masnawati yang dilahirkan pada 18 Agustus 1993 di Krui, Kabupaten Pesisir Barat, Lampung.

Sekolah kanak-kanak telah diselesaikan di TK Aisyah Krui pada tahun 1999. Pendidikan dasar diselesaikan di SD N 1 Krui pada tahun 2005. Selanjutnya, pendidikan diselesaikan di SMP N 2 Krui pada tahun 2008 dan dilanjutkan ke sekolah menengah kejuruan di SMK N 1 Liwa Lampung Barat pada tahun 2011.

Penulis melanjutkan pendidikan S1 Matematika di Universitas Lampung melalui jalur PMPAP. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai sekretaris bidang eksternal pada periode 2013-2014 serta aktif di UKMF Natural sebagai layouter pada periode 2012-2013.

Pada awal tahun 2015, penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di desa Way Dente, Kecamatan Dente Teladas, Tulang Bawang. Selain itu pada awal tahun 2014 penulis juga melaksanakan kerja praktik di Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung.

“Karena sesunggunhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.”

(QS. Al-Insyirah : 5)

“Apabila anda berbuat kebaikan kepada orang lain, maka anda telah berbuat baik terhadap diri anda sendiri.”

(Benyamin Franklin)

“Pekerjaan yang paling menyenangkan di dunia ini adalah hobi yang dibayar.”

Persembahan

Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan ridho nya sehingga Segala sesuatu nya yang berkaitan dengan

proses menimba ilmu di Universitas Lampung ini dapat dilancarkan.

Kupersembahkan karya sederhana ini untuk (Alm) ayah dan amak yang selalu dan tak henti memberikan doa, motivasi, dan kasih sayangnya. Tanpa kalian aku bukan apa apa. Dan

juga untuk kakak serta ponakan-ponakanku yang selalu menjadi motivasiku.

Teruntuk semua guru, dosen dan rekan rekan yang telah memberikan banyak ilmu dan pengalaman yang luar biasa.

Tanpa kalian, aku tidak dapat berdiri, berjalan dan berlari menelusuri detik demi detik, selangkah demi selangkah, dan nafas kehidupan ini. Semoga apa yang telah diperjuangkan

SANWACANA

Puji syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas ridho dan karunianya karya ilmiah ini dapat diselesaikan.

Skripsi dengan “Transformasi Matriks pada Barisan Bilangan Bulat”

merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Prof. Suharso, Ph,D. selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung beserta jajarannya. 2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph,D. selaku ketua Jurusan

Matematika beserta staff, terkhusus untuk Bunda Lusiana.

3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku pembimbing utama atas kesediaan memberi ilmu, waktu, bimbingan, saran dan kritik dalam proses menyelesaikan skripsi ini.

4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si selaku pembimbing kedua atas waktu, saran dan koreksi yang telah diberikan

5. Bapak Agus Sutrisno M.Si selaku penguji atas saran dan masukan dalam meyelesaikan skripsi ini.

6. Alm. Ayah Muhammad Nasir dan Amak Masnawati yang selalu

memberikan motivasi, semangat, do’a, kasih sayang dan materi yang

tak henti-hentinya.

7. Uni Aang, Uda Imen, Uni Nova, dan Uda Febi yang telah memberikan dukungan dalam bentuk semangat atau materi kepada penulis

8. Sahabat sahabat penulis Gusti, Haidir, Heizlan, Wesly, Farid, Mimi, Charissa, Dhia, Arifah, Udya, Anissa, Triani, Ayu, Novia, dan teman teman Asrama Insan Cendikia yang selalu memberikan semangat, dukungan, dan motivasi dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Keluarga Matematika angkatan 2011 dan HIMATIKA yang terus memberi semangat dan dukungan, terimakasih atas kebersamaan dan pengalaman yang tak terlupakan.

10.Semua pihak yang telah membantu penulis baik selama masa studi maupun dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa tulisan sederhana ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi terselip harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi masyarakat luas. Aamiin.

Bandar Lampung, Agustus 2015 Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penelitian ... 2

1.4 Manfaat Penilitian ... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat ... 3

2.2 Barisan ... 4

2.3 Sigma ... 7

2.4 Matriks ... 8

2.5 Operasi Operasi Matriks ... 9

2.6 Sifat Sifat Operasi Matriks ... 11

2.7 Grup ... 12

2.8 Riordan Matriks ... 14

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16

3.2 Metode Penelitian ... 16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pendahuluan ... 17

4.2 Grup Appell ... 20

4.3 Grup ( ) ... 25

4.4 Grup ... 26

V.KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan ... 30 DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR NOTASI

Himpunan bilangan bulat Operasi Konvolusi Operasi Biner Floor

∑ Sigma

[ ] Matriks

Matriks Barisan

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan bidang ilmu yang sangat penting dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Berbagai macam fenomena dan kejadian yang sangat erat kaitannya dengan dunia matematika. Bidang lain seperti fisika, kimia, bahkan biologi tidak terlepas dari dunia matematika. Dalam penggunaannya matematika, tidak hanya terpaku pada sebuah rumus-rumus yang telah ada.

Suatu barisan disebut baris aritmatika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selisih tersebut dinamakan beda (b) dan rumus umum untuk suku ke-n nya adalah dengan a adalah suku pertama pada barisan tersebut dan b adalah beda yaitu .

Transformasi linear dari ke merupakan transformasi matriks. Jika adalah sebarang transformasi linear, maka ada matriks A berukuran sehingga T adalah perkalian oleh A. Berdasarkan uraian tersebut, penulis menjadi tertarik untuk menyelidiki bagaimana cara untuk Transformasi Matriks pada barisan bilangan bulat.

2 1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini akan diselidiki bagaimana metode ataupun cara mentransformasi matriks pada barisan bilangan bulat.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dilakukannya penelitian ini, yaitu mengkaji bagaimana cara transformasi matriks pada barisan bilangan bulat.

1.4 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah :

1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memeperluas dan memperdalam pengetahuan ilmu matematika Transformasi Matriks khususnya pada barisan bilangan bulat.

3. Memberikan motivasi bagi pembaca dan peniliti untuk mengkaji lebih dalam permasalahan yang berhubungan dengan Transformasi Matriks khusunya pada barisan bilangan bulat.

3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan Bulat

Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,… Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z atau Ƶ. Himpunan Z tertutup terhadap operasi penjumlahan, operasi pengurangan dan operasi perkalian.

Berdasarkan garis bilangan diatas, bilangan bulat positif terletak disebelah kanan nol atau disebut dengan bilangan asli sedangkan untuk bilangan bulat negatif terletak disebelah kiri nol.

Sifat-sifat operasi bilangan bulat : (i) (Asosiatif)

(ii) (Komutatif)

-1 0 1 2 3 4 5

-2 -3 -4 -5

4

(iii)(Unsur Identitas)

(iv) (Distributif)

(v) (Invers)

(Riyanto, 2008) 2.2 Barisan

Dalam bahasa sederhana, barisan ( ) adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk bilangan bulat positif. Lebih tepatnya, barisan tak terhingga (Infinite Sequence) adalah fungsi yang daerah asal (domain)-nya adalah himpunan bilangan bulat positif dan daerah hasil (range)-nya adalah himpunan bilangan real. Sebuah barisan dapat dinotasikan dengan atau sederhana dengan {an}. Kadangkala, kita juga dapat sedikit diperluas batasan tersebut dengan membuat daerah asalnya terdiri dari seluruh bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan bulat tertentu, seperti dan

yang masing masing dilambangkan dengan dan

Sebuah barisan dapat ditentukan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk sebuah pola, seperti pada

1, 4, 7, 10, 13, . . .

Dengan rumus eksplisitnya untuk suku ke-n yaitu . (Purcell, 2002).

5

2.2.1 Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci diambil dari nama Leonardo of Pisa yang dikenal sebagai Fibonacci.

Definisi 2.2.1

Barisan Fibonacci adalah relasi rekurensi linear homogen orde 2 berikut :

Barisan Fibonacci dituliskan sebagai berikut :

2.2.2 Barisan Lucas

Barisan Lucas adalah perumuman khusus dari barisan Fibonacci. Didefinisikan dengan :

{

Barisan Lucas dituliskan sebagai berikut

Barisan Lucas jika dikaitkan dengan barisan Fibonacci dituliskan :

6

2.2.3 Barisan Catalan

Suku ke-n Barisan catalan didefinisikan dengan :

(

)

Barisan Catalan dituliskan sebagai berikut :

2.2.4 Fungsi Pembangkit Definisi 2.2.4

Fungsi pembangkit untuk sebuah barisan tak hingga :

Adalah

Contoh 2.2.4

Contoh 2.2.5

7

2.3 Sigma

Digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan. Simbol

Ʃ merupakan huruf kapital “S” dalam abjad Yunani dan juga huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.

Bentuk umum notasi sigma :

∑

Berikut contohnya :

∑

Sifat notasi sigma :

1. ∑ 2. ∑ ∑

3. ∑ ; dimana K adalah konstanta 4. ∑ ∑

5. ∑ ∑ ∑ 6. ∑n_{i 1 i} ∑_{i 0}n-1 _{i 1} ∑n 1_{i 2 i-1}

7. ∑ ∑ ∑ ; dimana 1 < m < n 8. ∑ ∑ ∑

9. a. ∑ ∑ ∑ ∑ b. ∑ ∑ ∑ ∑ (Purcell, 2002)

8

2.4 Matriks

Matriks merupakan suatu susunan angka berbentuk segiempat. Bilangan Bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks. Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan kolom (garis vertikal) yang dikandungnya. Misalkan pada contoh matriks dibawah ini, matriks pertama mempunyai tiga baris dan dua kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 2 (ditulis ). Dalam suatu uraian ukuran, angka pertama selalu menyatakan jumlah baris dan angka kedua menyatakan jumlah kolom. Matriks matriks lainnya pada contoh dibawah ini masing masing mempunyai ukuran dan . Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris.

Contoh 2.4.1

[

]

, [ ], [ ], , [ ]

Untuk menyatakan matriks, biasanya dengan menggunakan huruf besar, dan huruf kecil untuk menyatakan bilangan.

Contoh 2.4.2

A =

atau C = [ ]

Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai

. Jadi sebuah matriks umum dapat ditulis sebagai [

9

dan sebuah matriks umum ditulis sebagai :

[

]

Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom disebut matriks bujur sangkar berorde n, dan anggota anggota m11, m22, ... mnn disebut sebagai diagonal utama. (bisa dilihat pada matriks A diatas). (Anton, 2000)

2.5Operasi Operasi Matriks Definisi 2.5.1

Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota naggotanya yang berpadanan sama.

Dalam notasi matriks, jika A=[ ] dan B=[ ] mempunyai ukuran yang sama maka A=B jika dan hanya jika (A)ij=(B)ij.

Contoh 2.5.2

Jika x = 5, maka A = B, tidak ada nilai x yang membuat A = C karena A dan C adalah matriks dengan ukuran yang berbeda.

Definisi 2.5.3

Jika A dan B adalah matriks matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota anggota B dengan anggota anggota A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota anggota A dengan anggota-anggota B yang

10

berpadanan. Matriks Mtriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Contoh 2.5.4 [ ] [ ] Maka [ ]

dan [

]

Ungkapan A+C, B+C, A-C, dan B-C tidak terdefinisi. Definisi 2.5.5

Jika A adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c. Dalam notasi matriks, jika [ ], maka

Contoh 2.5.6

Untuk matriks matriks

Kita mendapatkan

Adalah umum menyatakan dengan – . Definisi 2.5.7

Jika A adalah sebuah matriks dan B adalah sebuah matriks , maka hasil kali AB adalah matriks yang anggota anggotanya didefinisikan

11

sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris dan kolom dari AB, pilih baris dari matriks A dan kolom secara bersama – sama dan kemudian jumlah hasilnya sama. (Anton, 2000)

2.6 Sifat-sifat Operasi Matriks

Pada bagian ini akan dibahas beberapa sifat operasi aritmatika pada matriks. Kita akan melihat bahwa banyak aturan dasar aritmatika untuk bilangan bilangan yang berlaku untuk matriks tetapi ada beberapa yang tidak.

Teorema 2.6.1

Dengan menganggap bahwa ukuran matriks matriks dibawah ini adalah sedemikian sehingga operasi yang bisa ditunjukkan bisa dilakukan, maka aturan aturannya adalah berikut ini :

a. (hukum komutatif untuk penjumlahan) b. (hukum asosiatif untuk penjumlahan) c. (hukum asosiatif untuk perkalian) d. (hukum distributif kiri)

e. (hukum distributif kanan) f. g. h. i. j. k. l.

12

2.7 Grup Definisi 2.7.1

Diberikan himpunan dan operasi biner . disebut grup yang dinotasikan dengan jika memenuhi aksioma berikut :

(i) untuk setiap (* bersifat assosiatif) (ii) Terdapat elemen di , yang disebut identitas di , sedemikan sehingga

, untuk setiap ;

(iii) Untuk setiap terdapat , sedemikian sehingga

_{, elemen disebut invers dari (Dummit and Foote, 2004)}

Untuk lebih memahami definisi grup, berikut diberikan contohnya.

Contoh 2.7.1

Diberikan bilangan bulat positif dan | Akan ditunjukkan bahwa merupakan grup.

(i) Akan ditunjukkan bahwa bersifat tertutup terhadap operasi +.

Diberikan sebarang dengan dan untuk suatu

.

Jadi, bersifat tertutup terhadap operasi +.

(ii) Akan ditunjukkan bahwa bersifat tertutup terhadap operasi +.

Diberikan sebarang dengan dan dan

13

= = =

Jadi, terbukti bahwa elemen di nZ bersifat assosiatif terhadap operasi +. (iii) Akan ditunjukkan setiap elemen di memiliki elemen identitas.

Untuk setiap , terdapat 0 sehingga untuk suatu

Jadi, elemen identitas pada yaitu 0.

(iv) Akan ditunjukkan setiap elemen di memiliki invers.

Diberikan sebarang dengan , akan ditentukan invers dari sebagai berikut :

(dengan adalah invers dari )

Jadi, invers dari adalah . Hal ini berakibat bahwa setiap elemen di memiliki invers.

14

2.8 Riordan Matriks Definisi 2.8.1

Suatu elemen adalah matriks tak hingga segitiga bawah dimana kolom ke k nya memiliki fungsi pembangkit dimana dan g(z), f(z) adalah fungsi pembangkit dengan atau dapat dituliskan sebagai:

[ ]

Selanjutnya R adalah sebuah Riordan Matrix dan dituliskan ( ) Contoh 2.8.1 [ ] [ ] Definisi 2.8.2

Riordan Grup | adalah Matriks Riordan dan

dimana yaitu dengan anggota R adalah matriks segitiga bawah dengan diagonal utamanya adalah 1. Perkalian pada R adalah ( )( ) ( ) ( ) Identitasnya adalah . Invers dari adalah

( ) , dimana

15

2.9 Fungsi Floor (Gaussian Function) Definisi 2.9.1

Untuk sebarang bilangan real x, bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x dinotasikan dengan

 

x . Selanjutnya f(x)

 

x disebut fungsi Gaussian (Gaussian Function/Floor Function).

Definisi 2.9.2

Untuk sebarang bilangan real x, nilai x -

 

x dinotaskan dengan

 

x , disebut bagian desimal dari x (the decimal part of x).

Sifat-Sifat dari

 

x dan

 

x

 jika dan hanya jika x adalah bilangan bulat. 

 Untuk setiap

 _{

 . Pada umumnya, untuk

 . Pada umumnya, untuk

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan dengan baris, matriks.

2. Mempelajari dan memahami definisi dan/atau teorema yang berkaitan dengan penelitian ini

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Untuk menyelesaikan masalah operasi perkalian pada barisan bilangan bulat, maka permasalahan ini dapat diselesaikan melalui struktur aljabar, yaitu teori grup dengan cara membawa masalah tersebut ke grup Appel, yaitu grup yang terdiri dari barisan bilangan bulat dengan suku pertama 1 suatu operasi konvolusi dan matriks bilangan bulat tak hingga segitiga di bawah dengan semua elemen diagonal 1 terhadap operasi pergandaan matriks.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2000. Elementary Linear Algebra. First Edition. Interaksara, Batam

Burton, D. M. 1980. Elementry Number Theory. University Of New Hampshire. United State of Africa.

Dummit, D.S and Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra. Third Edition. John Wiley & Sons,Inc.United States America.

Fraleigh, J.B. 2000. A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addision Wesley Publishing Company, Inc. Philippines.

Purcell, Edwin J. 2003. Calculus. Eighth Edition. Addision Wesley Publishing Company, Inc. Philippines.

TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT

Oleh

KHAIRIL WALID

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

14 2.8 Riordan Matriks

Definisi 2.8.1

Suatu elemen adalah matriks tak hingga segitiga bawah dimana kolom ke k nya memiliki fungsi pembangkit dimana dan g(z), f(z) adalah fungsi pembangkit dengan atau dapat dituliskan sebagai:

[ ]

Selanjutnya R adalah sebuah Riordan Matrix dan dituliskan ( ) Contoh 2.8.1 [ ] [ ] Definisi 2.8.2

Riordan Grup | adalah Matriks Riordan dan

dimana yaitu dengan anggota R adalah matriks segitiga bawah dengan diagonal utamanya adalah 1. Perkalian pada R adalah ( )( ) ( ) ( ) Identitasnya adalah . Invers dari adalah

( ) , dimana

15 2.9 Fungsi Floor (Gaussian Function)

Definisi 2.9.1

Untuk sebarang bilangan real x, bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x dinotasikan dengan

 

x . Selanjutnya f(x)

 

x disebut fungsi Gaussian (Gaussian Function/Floor Function).

Definisi 2.9.2

Untuk sebarang bilangan real x, nilai x -

 

x dinotaskan dengan

 

x , disebut bagian desimal dari x (the decimal part of x).

Sifat-Sifat dari

 

x dan

 

x

 jika dan hanya jika x adalah bilangan bulat.



 Untuk setiap

 _{

 . Pada umumnya, untuk

 . Pada umumnya, untuk

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan dengan baris, matriks.

2. Mempelajari dan memahami definisi dan/atau teorema yang berkaitan dengan penelitian ini

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Untuk menyelesaikan masalah operasi perkalian pada barisan bilangan bulat, maka permasalahan ini dapat diselesaikan melalui struktur aljabar, yaitu teori grup dengan cara membawa masalah tersebut ke grup Appel, yaitu grup yang terdiri dari barisan bilangan bulat dengan suku pertama 1 suatu operasi konvolusi dan matriks bilangan bulat tak hingga segitiga di bawah dengan semua elemen diagonal 1 terhadap operasi pergandaan matriks.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2000. Elementary Linear Algebra. First Edition. Interaksara, Batam

Burton, D. M. 1980. Elementry Number Theory. University Of New Hampshire. United State of Africa.

Dummit, D.S and Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra. Third Edition. John Wiley & Sons,Inc.United States America.

Fraleigh, J.B. 2000. A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addision Wesley Publishing Company, Inc. Philippines.

Purcell, Edwin J. 2003. Calculus. Eighth Edition. Addision Wesley Publishing Company, Inc. Philippines.

TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT

Oleh

KHAIRIL WALID

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015