1. P → ~Q P - Uraian Logic for Dummies Bab 11 Kel7 IFC

  

TUGAS

LOGIKA INFORMATIKA

Terjemahan:

Mark Zegarelli: “Logic For Dummies, Chapter 11. Big

  

Assumption with Conditional and Indirect Proofs”

REVISI I

  

Oleh:

GUNGUN GUNAWAN

208 700 837

  

IHSAN FAUZI RAHMAN

208 700 848

  

IRHAMSYAH

208 700 859

JAOHAN

208 700 862

  

SAEFUL MUBIN

206 700 186

PRODI TEKNIK INFORMATIKA JURUSAN TEKNOLOGI

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

  

2009

• Memahami pembukti bersyarat
• Mengasumsikan dan mengeluarkan Premis-premis
• Membuktikan argumentasi-argumentasi dengan pembuktian yang tidak langsung
• Mencampur Pembuktian bersyarat dan pembuktian tak langsung Pembuktian bersyarat adalah pembuktian yang paling mudah, tetapi tidak selalu bisa mengunakannya. Pembuktian ini diperbolehkan ketika kesimpulan itu kepada satu argumentasi, yaitu: a  -statemen. Sebaliknya, pembuktian tidak langsung, (pembuktian dengan kontradiksi) adalah satu metoda yang kuat yang bisa bekerja pada setiap pembuktian tetapi bukan cara yang mudah.

  

Pengaruh keadaan Premis-premismu dengan Pembuktian

Bersyarat Mengerti pembuktian bersyarat

  Untuk membuktikan kebenaran dari suatu argumentasi yang mempunyai kesimpulan dalam bentuk x  y (- ini beberapa  statemen), kamu dapat mengikuti langkah-langkah ini: 1. Lepaskan sub statemen x.

  2. Tambahkan x daftar Premis-premismu sebagai satu premis yang diasumsikan (AP).

  3. Buktikan (bahwa) sub statemen y seolah-olah adalah kesimpulan. Sebagai contoh, buktikan kesimpulan Q → ((~P & ~R) v (Q → P)) adalah sah, pembuktian bersyarat memperbolehkan kamu untuk: 1. lepaskan sub statemen Q. 2. tambahkan Q kepada daftar Premis-premis sabagai AP.

  3. Buktikan (bahwa) sub (~statemen (~ P & ~R) v ( Q → P) seolah-olah adalah kesimpulan. Premis-premisnya sama, namun sekarang kamu mempunyai satu premis tambahan yang diasumsikan (AP). Cara kerjanya:

  1. P → ~Q P

  2. P v ~R P

  3. Q AP Pecah premis-premismu agar menghasilkan bagian/potongan yang diperlukan: 4. ~P 1, 3 MT 5. ~R 2, 4 DS Dengan ketiga statement tunggal tersebut kamu bisa mengerjakan: 6. ~P & ~R 4, 5 Conj 7. (~P & ~R) v (Q → P)

  6 Add Untuk melengkapi tkamu bukti, di sini adalah formalitas yang akhir:

  8. Q → ((~P & ~R) v (Q → P)) 3–7 CP

  Langkah akhir ini disebut pemecatan AP, yang menjelaskan kepada pembaca tersebut, meskipun kamu sedang beroperasi seolah-olah asumsi itu benar dari statemen-statemen 3 sampai 7, kamu sudah tidak lagi membuat asumsi ini di dalam statemen 8. Dengan kata lain, kesimpulannya adalah sangat benar jika asumsi itu tidak benar! Pembuktian bersyarat dapat dianalogikan seperti uang kamu di bank, kamu bisa menggunakannya untuk menutupi tagihan kartu kreditmu: Contoh:

  P → ~Q, ~(~P & R) : Q → (~(P v R) v (Q → P))

  Asumsikan bahwa jika Q benar maka ~(P v R) v (Q → P) adalah juga benar." Lalu kamu tinggal membuktikannya.

Menarik kesimpulan

  Kamu dapat menerapkan aturan ekuivalensi (kesamaan) kepada kesimpulan dari suatu argumentasi untuk membuat pembuktian bersyarat lebih mudah digunakan.

  Menyatakan kesimpulan-kesimpulan dengan Kontra

  Ingat bahwa setiap -statemen bisa dilakukan dalam dua cara: Cara tadi yang telah disebutkan dan dalam bentuk Kontra nya (lihat Bab 10). Maka ketika kesimpulan itu adalah a -statemen, kamu dapat menggunakan pembuktian bersyarat untuk menyerangnya dalam dua cara yang berbeda. Sebagai contoh, periksa bukti ini, yang diambil pada nilai nominal:

  P → Q, R v (Q → P) : ~(P↔Q) → R

  1. P → Q P

  2. R v (Q → P) P 3. ~(P↔Q) AP Jika awalnya begini, premis yang diasumsikan (AP) ternyata tidak banyak membantu. Maka gunakan Kontra sebagaimana langkah berikut:

  1. P → Q P

  2. R v (Q → P) P 3. ~R AP Dalam hal ini, kamu sedang berusaha untuk membuktikan (bahwa) ( P↔Q).

  Solusi ini adalah jauh lebih langsung:

  4. Q → P 2, 3 DS 5. (P → Q) & (Q → P) 1, 5 Conj

  6. P↔Q

  5 Equiv Sekarang, kamu dapat melepaskan AP mu sebagai berikut: 7. ~R → (P↔Q) 3–6 CP Dan tidak melupakan untuk mengambil bukti tersebut di semua cara kepada kesimpulan: 8. ~(P↔Q) → R 7 Contra Setiap perubahan-perubahan yang kamu lakukan pada akhir kesimpulan akan terbukti.

  Memenangkan melalui Implikasi

  Kamu dapat juga merubah setiap v-statement ke dalam a -statemen dengan menggunakan Impl (lihat Bab 10). Menggunakan Impl membuat setiap v- statement yang berperan dalam pembuktian bersyarat. Sebagai contoh:

  P : ~R v (Q → (P & R))

  Tanpa pembuktian bersyarat, kamu tidak memiliki banyak harapan. Tetapi, banyak masalah menjadi lebih sederhana setelah kamu mengenali bahwa kamu dapat menggunakan Impl untuk menulis kesimpulan.

  R → (Q → (P & R))

  Lalu gunakan Exp untuk menuliskan ulang ini: (R & Q) → (P & R) Jadi, sekarang kamu siap untuk melakukannya dengan pembuktianmu:

  1. P P

  2. R & Q AP Sekarang kamu ingin mengambil P & R. Langkah tersebut pada kenyataannya menuliskan mereka sendiri:

  3. R 2 Simp

  4. P & R 1, 3 Conj lepaskan AP mu: 5. (R & Q) → (P & R) 2–4 CP sisanya hanya menelusuri kembali ke bentuk asli kesimpulan:

  6. R → (Q → (P & R))

  5 Exp 7. ~R v (Q → (P & R))

  6 Impl

  Menyusun Asumsi-asumsi

  Setelah kamu mengasumsikan suatu premis, jika kesimpulan yang baru adalah a -statemen (atau dapat diubah menjadi sesuatu), kamu dapat mengasumsikan premis lain. Ini adalah cara bagus untuk mendapat dua (atau lebih!) nilai dari asumsi-asumsi. contoh:

  ~Q v R : (P v R) → ((Q & S) → (R & S))

  Mulai dengan premis mu dan AP: 1. ~Q v R P

  2. P v R AP Sayangnya, kamu masih mempunyai suatu cara yang panjang untuk membuktikan (bahwa) ( Q & S) → (R &S). Tetapi, karena kesimpulan yang baru adalah a - statemen, kamu dapat mengambil AP lain, seperti ini:

  3. Q & S AP Sekarang pembuktian R & S:

  4. Q

  3 Simp

  5. S

  3 Simp

  6. R 1, 4 DS

  7. R & S 5, 6 Conj Dalam posisi ini, lepas AP yang diasumsikan: 8. (Q & S) → (R & S) 3–7 CP

  9. (P v R) → ((Q & S) → (R & S)) 2–8 CP Ketika kamu mengasumsikan premis lebih dari satu, kamu harus melepaskan itu semua dalam susunan yang terbalik: Lepaskan premis yang terakhir terlebih dahulu kemudian kerjakan kembali ke cara premis pertama.

  

Berpikir Secara tidak langsung: Membuktikan Argumen-

argumen dengan Pembuktian Yang Tidak Langsung

  Ketika kamu memikirkan segalanya dengan caramu, secara kebetulan kamu akan mendapatkan suatu argumen yang tidak terbayangkan. Sebagai contoh:

  P → (Q & ~R), R : ~(P v ~R)

  1. P → (Q & ~R) P

  2. R P Karena kesimpulan itu dalam satu bentuk maka kamu tidak bisa mengubahnya menjadi a →-statemen, sehngga tidak bisa diselesaikan dengan pembuktian bersyarat.

  Bagian ini menunjukkan kamu bagaimana caranya menggunakan pembuktian tidak langsung, yang mana tidak seperti pembuktian bersyarat, selalu satu pilihan seperti apa kesimpulannya.

  Mengetahui Pembuktian yang tidak langsung

  Pembuktian yang tidak langsung (juga disebut pembuktian dengan kontradiksi) adalah suatu jenis dari judo logis. Gagasan di sini untuk mengasumsikan bahwa kesimpulan itu adalah tidak benar dan menunjukkan mengapa asumsi ini salah. Untuk membuktikan bahwa semua argumentasi adalah valid (benar), kamu dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

  1. Tiadakan kesimpulan.

  2. Tambahkan peniadaan itu kepada daftar premis-premismu sebagai satu asumsi.

  3. Buktikan (bahwa) setiap statemen yang berlawanan (setiap statemen dari bentuk x & ~x). Gunakan pembuktian tidak langsung untuk membuktikan kesimpulan ~(P v ~R) yaitu dengan menggunakan negasinya, P v ~R sebagai AP. Dan sekarang kamu membuktikan asumsi ini kearah yang berlawanan. Di sini pembuktian seperti apa yang akan kelihatan:

  P → (Q & ~R), R : ~(P v ~R)

  1. P → (Q & ~R) P

  2. R P

  3. P 0 ~R AP Sekarang akan membuktikan suatu statemen dan negasinya, lalu membiasakan mereka membangun suatu kontradiktori &-statemen, seperti ini: Dengan AP kamu boleh melepaskannya begitu saja:

  4. P 2, 3 DS

  5. Q & ~R 1, 4 MP 6. ~R Simp Kamu sudah memperoleh R dan ~R, untuk menyusunnya ke dalam suatu statemen

  7. R & ~R 2, 6 Conj Asumsi sudah memimpin kepada satu situasi yang mustahil, supaya kamu mengetahui bahwa AP harus salah. Jika P v ~R adalah salah, lalu ~(P v ~R) harus benar: 8. ~(P 0 ~R) 3–7 IP Seperti halnya pembuktian bersyarat, kamu perlu untuk melepaskan AP, yang menjelaskan itu, meskipun kamu sedang beroperasi seolah-olah asumsi itu benar dari statemen-statemen 3 sampai 7, kamu sudah tidak lagi membuat asumsi ini di dalam statemen 8. Sebenarnya, ini kamu sudah membuktikan bahwa asumsi itu tidak benar!

  Membuktikan kesimpulan-kesimpulan pendek

  Pembuktian tidak langsung bekerja ketika kesimpulan itu lebih pendek dibanding premis karena kesimpulan yang ditiadakan menjadi satu premis pendek yang bagus untuk digunakan. Sebagai contoh, mempertimbangkan argumentasi ini: ~((~P v Q) & R) → S, P v ~R : S 1. ~((~P v Q) & R) → S P

  2. P v ~R P 3. ~Q v S P Dengan menggunakan cara apapun, kamu akan harus memecah premis yang pertama, tetapi akan jadi lebih mudah dengan beberapa bantuan: 4. ~S AP kamu langsung dapat mengambil langkah-langkah berikut: 5. (~P v Q) & R 1, 4 MT 6. ~P v Q 5 Simp

  7. R 5 Simp Ingat, kamu sedang berusaha untuk memperoleh dua statemen yang berlawanan. Namun sekarang, peluang itu lebih banyak:

  8. P 2, 7 DS

  9. Q 6, 8 DS

  10. S 3, 9 DS Ketika kamu sedang lakukan satu pembuktian yang tidak langsung, jangan dimasukkan ke dalam pikiranmu tetapi lakukan setelah kamu membuktikan kesimpulannya. Ingat bahwa kamu juga perlu untuk membangun suatu statemen yang berlawanan.

  Dalam hal ini, AP menunjukkan ke arah negasi sendiri, yang membiarkan kamu untuk melengkapi bukti:

  11. S & ~S 4, 10 Conj

  12. S 4–11 CP Poin 12 kelihatan seperti poin 10, namun sekarang kamu sudah melepaskan AP, sehingga bukti telah lengkap.

Mengkombinasikan Pembuktian Tidak Langsung Dan bersyarat

  ~P & Q → (~R & S), Q : R → P 1. ~P & Q → (~R & S) P

  2. Q P Pada pengabaian bukti pertamamu, kamu hanya dapat mengatur untuk mendapat: 3. ~(~P & Q) 0 (~R & S)

  1 Impl Karena bukti bersyarat adalah satu pilihan, kamu coba terlebih dulu:

  4. R AP (untuk pembuktian bersyarat) Sekarang, kamu dapat melanjutkan dengan pembuktian yang tidak langsung dengan cara menegasikan apa yang sekarang kamu coba untuk membuktikan dan menambahkannya sebagai suatu premis: 5. ~P AP (untuk pembuktian tidak langsung) Sekarang, tujuannya adalah untuk mencari satu kontradiksi. Lalu potongan- potongan tersebut dimasukkan.

  6. ~P & Q 2, 5 Conj 7. ~R & S 1, 6 MP 8. ~R 7 Simp Sekarang lepaskan AP tersebut untuk pembuktian tidak langsung:

  9. R & ~R 4, 8 Conj

  10. P 5–9 IP Tentu saja, pembuktian P adalah tujuan dari pembuktian bersyarat asli, maka di sini kamu akan dapatkan:

  11. R → P 4–10 CP Ingat: Ketika menggunakan metoda-metoda pembuktian tidak langsung dan bersyarat secara bersama-sama, lepaskan beberapa AP mu mulai dari yang terakhir kamu tambahkan dan lakukan caramu seperti semula.