Analisis kesilapan pelajar matrikulasi d
ANALISIS KESILAPAN PELAJAR MATRIKULASI DALAM TAJUK PILIH ATUR DAN GABUNGAN
Rusydah Usry & Roslinda Rosli
Fakulti Pendidikan
Universiti Kebangsaan Malaysia (UKM)
rusydah@siswa.ukm.edu.my
roslinda@ukm.edu.my
Abstrak
Pilih Atur dan Gabungan merupakan salah satu topik yang sering mendapat perhatian guru dan
pelajar dari sudut aplikasinya dalam kehidupan seharian. Kajian ini bertujuan untuk mengenal pasti
kesilapan pelajar di sebuah kolej matrikulasi dalam topik Pilih Atur dan Gabungan. Seramai 83 orang
pelajar yang terdiri daripada 46 orang pelajar aliran modul I, 23 orang pelajar aliran modul II dan 14
orang pelajar aliran modul III Program Dua Tahun terlibat dalam kajian ini. Instrumen adalah ujian
diagnostik Pilih Atur dan Gabungan. Jenis kesalahan yang dihadapi oleh pelajar diklasifikasikan
berdasarkan kesilapan masalah Kombinatorik oleh Carmen Batanero. Data dianalisis secara
deskriptif dengan menggunakan frekuensi dan peratusan untuk tujuan diagnostik jenis-jenis
kesilapan. Dapatan kajian menunjukkan pelajar sering melakukan lima kesilapan utama iaitu
kesilapan mentafsir soalan, kesilapan dalam mengenal pasti jenis objek yang digunakan sama ada
serupa atau berbeza terutamanya kes abjad, nombor dan benda bukan hidup, membuat
penyelesaian menggunakan operasi aritmetik yang salah, penggunaan formula yang salah dan
memberi jawapan salah tanpa membawa sebarang maksud. Hasil kajian ini dapat membantu
pensyarah merancang pengajaran dengan lebih berkesan untuk menjayakan aktiviti pengajaran dan
pembelajaran Pilih Atur dan Gabungan.
Kata kunci: Kesilapan, Pilih Atur dan Gabungan, Kombinatorik
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Pendahuluan
Pernahkah kita terfikir bahawa susunan buku di dalam perpustakaan menjadi mudah untuk disusun
dan dicari jika tiada sistem penomboran tertentu? Bayangkan jika tiada sistem penomboran,
bagaimana seseorang mampu menyusun buku-buku tersebut supaya mudah di susun dan di akses
oleh ramai orang. Ini adalah antara masalah yang boleh diselesaikan menggunakan Kombinatorik.
Kombinatorik mempunyai skop yang luas bukan sekadar menyelesaikan masalah Pilih Atur, Susunan
dan Gabungan (Batanero, Navarro-pelayo, & Godino, 1997b).
Di Malaysia, Kombinatorik dimasukkan dalam silibus Mata Pelajaran Matematik Tambahan peringkat
sekolah menengah dan Peringkat Kolej Matrikulasi. Terdapat dua subtajuk di dalamnya iaitu Pilih
Atur dan Gabungan (Kementerian Pendidikan Malaysia, 2012). Pilih Atur dan Gabungan juga adalah
tajuk ketujuh bagi semester dua Program Satu Tahun dan tajuk kedua bagi semester empat Program
Dua Tahun bagi kolej matrikulasi dalam Huraian Sukatan Pelajaran Matematik Program Dua Tahun
Bahagian Matrikulasi Kementerian Pelajaran Malaysia. Pengetahuan asas dari sekolah menengah
diharapkan dapat membantu pelajar memahami dan menguasai tajuk tersebut dengan lebih baik.
Namun, kajian lepas mendapati pencapaian pelajar dalam tajuk ini di peringkat murid sekolah adalah
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
1
lemah (Batanero, Navarro-pelayo, & Godino, 1997a, 1997b; English, 2005; Lockwood, 2014). Begitu
juga di peringkat institusi pengajian tinggi (Godino, Batanero, & Roa, 2009).
Tajuk ini juga mempunyai peranan yang besar kepada aplikasi sains dan teknologi seperti
termodinamik dan mekanik statistik dalam mata pelajaran Fizik, dalam mata pelajaran Kimia pula
mengira bilangan molekul organik dan penyebaran wabak penyakit bagi mata pelajaran Biologi
(Kapur, 1970). Disebabkan ianya berkait rapat dengan pengiraan, kebarangkalian dan teori
pembangunan kognitif (cognitive developmental theory) (English, 2005), maka amat penting bagi
pelajar memahami dan menguasai tajuk ini.
2. Analisis Kesilapan
Analisis kesilapan pelajar dalam sesuatu topik matematik harus dilakukan bagi membantu pensyarah
meningkatkan mutu pengajaran dan pembelajaran. Melalui penyelesaian masalah pelajar,
pensyarah dapat membuat analisis kesilapan bagi sesuatu topik dan perlu lebih khusus supaya salah
faham pelajar dapat dikesan. Analisis kesilapan ini boleh membantu guru lebih memahami puncapunca kepayahan matematik yang dialami oleh pelajar, seterusnya membina model pemulihan yang
sesuai dengan kelemahan pelajar (Shong, Chan, Sengodan, & Jailani, 2013).
Terdapat pelbagai model analisis kesilapan yang telah dikemukakan oleh para pengkaji matematik,
contohnya Model Hierarki Kesilapan oleh Newman (1977) mengelaskan jenis kesilapan yang
dilakukan oleh pelajar iaitu Kesalahan cuai , Kesalahan Sistematik dan Kesalahan Rawak dalam tajuk
Pembezaan (Kailani, I., 2010). Manakala Model Klasifikasi Empirikal oleh Nitsa Moshovitz-Hadar
(1987) mengelaskan kesilapan matematik mengikut kategori kesalahan kesilapan teknikal, kesilapan
penyalahgunaan teorem atau definisi dan kesalahan mentafsir bahasa dalam tajuk Geometri
Koordinat (Shong et al., 2013). Model Casey (1978) pula mengelaskan kesilapan matematik mengikut
sebab yang diketahui dan tidak diketahui (Clement, 1982). Model Cox pula mengkategorikan
kesilapan seperti kesilapan rawak, kesilapan sistematik dan kesilapan kecuaian dalam operasi
penambahan dan penolakan pecahan (Salleh, Saad, Arshad, Yunus, & Zakaria, 2013).
Kajian menunjukkan bahawa pelajar banyak melakukan kesilapan matematik seperti melakukan
operasi manipulasi pengiraan dan algebra yang melibatkan indeks dan kesilapan ini adalah
disebabkan oleh kelemahan dalam konsep asas indeks (Barnes, n.d.). Selain itu, kesilapan
kefahaman istilah dan kemahiran proses dalam topik-topik pelajaran perkara rumus, persamaan
kuadratik dan persamaan serentak (Norasiah, 2002). Kesilapan kefahaman dan transformasi
(Watson, 1980; Radzali, 1997) merupakan dua kesilapan utama dalam menyelesaikan masalah
matematik berayat (Fatimah & Lim, 1997; Clarkson, 1992).
Kesilapan biasa yang terdapat dalam masalah Kombinatorik pula telah dikenal pasti oleh Batanero C.
et al. (1997a) dan Hadar, N., & Hadass, R. (1981). Terdapat empat belas kesalahan yang biasa pelajar
lakukan semasa menyelesaikan masalah Kombinatorik (Batanero et al., 1997b). Antaranya masalah
asas pengiraan (Lockwood, Swinyard, & Caughman, 2014), kesilapan dalam menyenaraikan
kemungkinan-kemungkinan jawapan (Lockwood & Gibson, 2014). Oleh itu, kajian ini diharap dapat
menambahkan lagi bukti tentang kesilapan pelajar semasa melakukan penyelesaian masalah
Kombinatorik terutama dalam topik Pilih Atur dan Gabungan.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
2
3. Pilih Atur dan Gabungan
Kombinatorik mempunyai beberapa model asas seperti Gabungan, susunan, Pilih Atur, notasi,
konsep dan formula (Batanero et al., 1997b) Terdapat juga beberapa konsep dan model asas dalam
Kombinatorik seperti operasi Pilih Atur, susunan, Gabungan, notasi dan formula. Selain itu, terdapat
prosedur tertentu dalam Kombinatorik seperti prosedur logik dan prosedur grafik yang berkaitan
dengan graf dan gambar rajah pokok. Prosedur berangka berkenaan hasil penambahan, segi tiga
Pas al Pas al’s tria gle , o or ko i atorik da faktorial Bata ero et al., 997 .
Antara operasi yang sering bermasalah kepada pelajar ialah Pilih Atur dengan pengulangan
(Batanero, Navarro-pelayo, & Godino, 1997a), hasil darab Pilih Atur, Gabungan dengan pengulangan,
pengurangan Gabungan (Fessakis & Kafoussi, 2009). Di peringkat kolej matrikulasi, terdapat tujuh
hasil pembelajaran yang perlu pelajar faham dan kuasai. Antaranya ialah Pilih Atur n objek yang
berbeza, Pilih Atur r objek daripada n objek yang berbeza, Pilih Atur objek yang sama dan Gabungan
r objek daripada n objek (HSP Matematik PDT BMKPM, 2010). Setiap subtajuk tersebut mempunyai
proses dan strategi penyelesaian yang berbeza. Kelemahan di dalam membezakan setiap satu proses
dan strategi pembelajaran menyebabkan pelajar tidak dapat menjawab soalan dengan tepat.
Soalan-soalan Pilih Atur dan Gabungan adalah jenis soalan berayat. Masalah matematik berayat
telah dikenalkan sejak sekolah rendah lagi dan menjadi satu komponen yang penting dalam
kurikulum KBSR. Masalah dalam menyelesaikan soalan berayat boleh menyebabkan pelajar tidak
memahami kehendak soalan. Seterusnya pelajar tidak dapat menjawab mengikut kehendak soalan.
Tahap kesukaran masalah yang tinggi juga berkait dengan kesilapan konsep (Batanero et al., 1997b)
dalam menjawab tajuk ini. Selain itu, masalah strategi penyelesaian masalah yang pelbagai seperti
kaedah cuba jaya,mendapatkan corak tertentu, mencirikan corak setelah mendapat corak yang
konsisten dan kehadiran corak odometer dalam pemilihan item (English, 2005).
Penyelidikan dalam bidang pendidikan Kombinatorik ini telah banyak dijalankan dan memberi
tumpuan kepada penaakulan Kombinatorik pada kanak-kanak (English, 2005), pemikiran pelajar
tentang Kombinatorik dari set terorienstasi dan proses berorientasikan perspektif (Lockwood, 2011)
dan model klasifikasi Kombinatorik (Batanero et al., 1997a, 1997b). Dalam kajian-kajian tersebut
mendapati bahawa pelajar dari pelbagai peringkat umur bermasalah dalam menyelesaikan masalah
pengiraan (Batanero et al., 1997a, 1997b; English, 2005). Malah terdapat juga kajian yang mendapati
bahawa kadar kejayaan pelajar masih rendah dalam pelbagai jenis masalah Kombinatorik samada
sebelum atau selepas pengajaran (Batanero et al., 1997b; Lockwood, 2014). Bagi menangani
masalah ini, beberapa kajian telah dilakukan bagi mengkaji kesilapan pelajar tentang Kombinatorik
(Batanero et al., 1997a, 1997b; Hadar & Hadass, 1981; Kavousian, 2008). Walau bagaimanapun, di
Malaysia kajian seperti ini kurang diberi perhatian.
4. Objektif kajian
Objektif kajian ini adalah untuk membuat analisis jenis kesilapan yang dilakukan oleh pelajar dalam
tajuk Pilih Atur dan Gabungan. Objektif kajian juga cuba menjawab persoalan-persoalan kajian yang
berkaitan dengan subtajuk-subtajuk Pilih Atur dan Gabungan iaitu menyusun n bilangan objek yang
berbeza, menyusun r objek daripada n objek yang berbeza, menyusun r daripada beberapa n objek
yang sama, memilih r objek daripada n objek yang berbeza dan masalah yang berkaitan kedua-dua
subtajuk Pilih Atur dan Gabungan.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
3
5. Metodologi
5.1 Reka bentuk kajian
Kaedah ini adalah kajian tinjauan. Kajian tinjauan adalah kaedah penyelidikan yang sesuai digunakan
untuk memahami sesuatu situasi (Noraini Kaprawi, 2013). Kaedah penyelidikan yang digunakan
dalam kajian ini adalah kaedah kuantitatif. Tujuan kajian tinjauan ini adalah untuk mengenal pasti
bentuk-bentuk kesilapan yang sering dilakukan oleh pelajar semasa menyelesaikan masalah dalam
tajuk Pilih Atur dan Gabungan.
5.2 Instrumen
Instrumen kajian ini adalah ujian diagnostik Pilih Atur dan Gabungan yang diambil daripada set
soalan percubaan peperiksaan akhir semester 4, Program Dua Tahun (PDT) yang telah dibina oleh
pensyarah-pensyarah kolej matrikulasi tersebut. Set soalan terdiri daripada 10 item yang berbentuk
subjektif yang kebanyakannya diaplikasikan daripada soalan-soalan Peperiksaan Semester Peringkat
Matrikulasi (PSPM). Walau bagaimanapun pengkaji hanya menganalisis satu item yang berkaitan
dengan tajuk Pilih Atur dan Gabungan sahaja.
Item bagi tajuk Pilih Atur dan Gabungan ini mempunyai ciri seperti objek yang disoal adalah huruf,
pemilihan dan susunan sebilangan objek daripada keseluruhan dan penyelesaian masalah berkaitan
kedua-dua subtajuk. Berikut merupakan jadual subtajuk yang diuji dalam set soalan percubaan
peperiksaan akhir semester 4 PDT (jadual 1). Huruf adalah objek secaman (identical), yang mana
pelajar perlu mengambil kira huruf-huruf yang sama kerana tidak boleh dibezakan setiap satu.
Jadual 1: Subtajuk Ujian Diagnostik Pilih Atur dan Gabungan
Subtajuk Ujian Diagnostik Pilih Atur dan
Item:
Gabungan
Diberi suatu perkataan LOGARITHMS.
Cari bilangan cara yang berlainan untuk
Pilih Atur: Mencari bilangan cara susunan
(a) menyusun empat huruf.
dalam menyusun r objek daripada n objek
yang berbeza.
Pilih Atur: Mencari bilangan cara susunan
(b) menyusun semua huruf supaya huruf vokal
dalam menyusun n objek yang berbeza.
bersebelahan antara satu sama lain.
Gabungan: Menentukan bilangan cara untuk
(c) memilih empat huruf supaya kesemuanya
memilih r objek daripada n objek yang
huruf konsonan.
berbeza.
Menyelesaikan masalah berkaitan kedua(d) menyusun empat huruf supaya bilangan
dua subtajuk Pilih Atur dan Gabungan.
huruf vokal adalah sama dengan bilangan
huruf konsonan.
(e) menyusun empat huruf supaya bilangan
huruf konsonan melebihi bilangan vokal.
Walau bagaimanapun perkataan yang diberi tidak mempunyai huruf yang sama, maka pelajar tidak
perlu mengambil kira operasi khas bagi objek secaman atau serupa.
5.3 Kesahan dan kebolehpercayaan
Bagi memastikan soalan-soalan yang dibina menguji semua aras kemahiran yang hendak dinilai,
suatu Jadual Penentuan Ujian dibina. Untuk memastikan instrumen ini mempunyai kesahan
kandungan, pengkaji merujuk kepada Huraian Sukatan Pelajaran Matematik Program Dua Tahun
BMKPM. Instrumen juga disemak oleh dua orang pensyarah berpengalaman melebihi sepuluh tahun
mengajar matematik di kolej matrikulasi untuk mendapatkan kesahan kandungan dan kesahan
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
4
muka. Pengkaji membuat pemeriksaan bersama seorang rakan (inter-rater agreement) bagi
mendapatkan kebolehpercayaan. Mackinnon, A. (2000) menyatakan bahawa pemeriksaan antara
dua pemeriksa sesuai digunakan bagi mengelakkan berat sebelah dan kelaziman (bias and
prevalence). Setelah beberapa kali perbincangan, akhirnya mendapat persetujuan bersama sebanyak
95%.
5.4 Sampel
Sampel kajian ini terdiri daripada 83 orang pelajar semester 4 Program Dua Tahun (PDT) berumur 18
dan 19 tahun, di sebuah kolej matrikulasi di pantai timur yang terdiri daripada 26 (31.33%) orang
lelaki dan 57 (68.67%) orang perempuan. Mereka merupakan pelajar pelbagai aliran yang terdiri
daripada 46 orang pelajar aliran modul I, 23 orang pelajar aliran modul II dan 14 orang pelajar aliran
modul III. Semua pelajar diwajibkan mengikuti mata pelajaran Matematik dan Kimia. Terdapat mata
pelajaran pilihan iaitu pelajar modul I adalah pelajar yang mengambil mata pelajaran Biologi dan
Fizik, modul II pula mengambil mata pelajaran Fizik dan Sains Komputer dan modul III mengambil
mata pelajaran Biologi dan Sains Komputer.
5.5 Kaedah Pengumpulan Data
Semasa kajian ini dijalankan, pelajar telah habis sesi pengajaran dan pembelajaran Matematik di
semester 4 yang meliputi pelbagai tajuk termasuk Pilih Atur dan Gabungan. Tempoh pengajaran
secara kuliah bagi tajuk ini adalah 12 jam iaitu selama 3 minggu manakala sesi tutorial juga telah
diadakan selama 3 minggu. Kaedah pentadbiran secara langsung telah dipilih bagi mengumpul data
bagi kajian tinjauan ini mendapatkan maklum balas yang sesuai (Noraini Kaprawi, 2013).
6. Dapatan dan Perbincangan
Kesilapan pelajar diklasifikasikan berdasarkan kesilapan masalah Kombinatorik oleh Carmen
Batanero (1997b) yang terdiri daripada kesilapan mentafsir soalan (STATEMENT), ralat tertib iaitu
keliru dalam membezakan ciri-ciri Susunan, Pilih Atur dan Gabungan (ORDER), kesilapan
pengulangan (REPETITION), kesilapan dalam mengenal pasti jenis objek yang digunakan sama ada
serupa atau berbeza terutamanya kes abjad, nombor, benda bukan hidup dan orang (OBJECTS),
membuat penyelesaian menggunakan operasi aritmetik yang salah (OPERATIONS), penggunaan
formula yang salah (FORMULA), tidak mengingat pengertian nilai-nilai bagi parameter di dalam
formula Kombinatorik (PARAMETERS) dan memberi jawapan salah tanpa membawa sebarang
maksud (INTANSWER).
Secara keseluruhan daripada analisis yang dibuat terhadap kesilapan yang dilakukan oleh pelajar
menunjukkan tahap pencapaian tajuk Pilih Atur dan Gabungan adalah lemah. Ini dapat dilihat
berdasarkan peratusan yang menjawab betul adalah berbeza bagi setiap soalan yang mana terdapat
jurang yang besar bagi peratusan maksimum ialah 86.65% dan minimum pula 3.61%. Dapatan ini
selari dengan kajian oleh Godino et al. (2009) .
Soalan (a) adalah soalan Pilih Atur di mana pelajar perlu mencari bilangan cara susunan dalam
menyusun 4 huruf daripada 10 huruf yang berbeza. Seramai 86.75% pelajar dapat menjawab soalan
ini dengan betul dan 13.25% adalah salah. Kesilapan pelajar telah dianalisis seperti jadual 2.
Kesilapan tertinggi adalah memberi jawapan salah atau tidak memberi sebarang petunjuk yang
boleh menjawab soalan seperti tidak memilih bilangan objek yang diperlukan. Kesilapan seperti ini
boleh dikatakan kaedah cuba jaya (English, 2005). Walau bagaimanapun bagi masalah Pilih Atur
tanpa pengulangan ini boleh dikatakan dikuasai oleh pelajar kerana lebih 80% pelajar dapat
menjawab dengan cemerlang.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
5
Jadual 2: Jenis kesilapan daripada jawapan (a).
Jenis kesilapan
Contoh jawapan pelajar
ORDER
Menggunakan rumus Gabungan
Bil
2
%
2.41
REPEATED
Mencari Pilih Atur menggunakan operasi
pengulangan
2
2.41
PARAMETER
Mengambil nilai r yang salah
1
1.20
INTANSWER
Menyusun keseluruhan objek
6
7.23
Jadual 3 menyatakan jenis kesilapan yang dilakukan oleh pelajar semasa menjawab soalan (b).
Soalan (b) meminta pelajar mencari bilangan cara susunan dalam menyusun keseluruhan objek yang
berbeza dengan mengambil kira syarat tertentu. Hanya 30.12% sahaja pelajar yang dapat menjawab
soalan ini dengan betul, manakala 69.88% adalah salah. Bagi masalah seperti ini pelajar perlu
mengambil kira syarat yang diperlukan. Kesilapan tertinggi dalam soalan ini adalah tidak mengingat
pengertian nilai-nilai bagi parameter seperti huruf konsonan (PARAMETER) atau salah faham istilah
(Norasiah, 2002) iaitu sebanyak 27.71%.
Jadual 3: Jenis kesilapan daripada jawapan (b)
Jenis
Contoh jawapan pelajar
kesilapan
OBJECTS
Menggunakan operasi bahagi di mana operasi ini hanya digunakan
jika terdapat huruf yang sama
Bil
%
10
12.05
ORDER
Menggunakan rumus Gabungan dan Pilih Atur
3
3.61
PARAMETER
Tidak mengambil kira susunan bagi huruf konsonan
23
27.71
OPERATIONS
Tidak perlu menggunakan operasi penambahan
4
4.82
INTANSWER
Tidak memilih bilangan huruf konsonan yang diperlukan
13
15.66
5
6.02
Tiada jawapan
Soalan (c) adalah soalan Gabungan di mana pelajar hanya perlu memilih 4 huruf daripada 10 huruf
yang berbeza. Seramai 50.6% pelajar dapat menjawab soalan ini dengan betul dan 49.4% adalah
salah. Kesilapan pelajar telah dianalisis seperti jadual 4. Ini bermakna pelajar masih tidak dapat
membezakan antara Pilih Atur dan Gabungan iaitu seramai 37.35%. Ia selaras dengan kajian
Batanero et al. (1997b) yang menyatakan pelajar perlu menguasai konsep Pilih Atur dan Gabungan di
mana kedua-duanya mempunyai maksud yang berbeza.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
6
Jadual 4: Jenis kesilapan daripada jawapan (c)
Jenis kesilapan
Contoh jawapan pelajar
ORDER
Menggunakan rumus Pilih Atur
Bil
31
%
37.35
PARAMETER
Mengambil nilai r yang salah
9
10.84
REPEATED
Menggunakan operasi pengulangan
1
1.2
Bagi soalan (d) dan (e), pelajar perlu menyelesaikan masalah berkaitan kedua-dua subtajuk Pilih Atur
dan Gabungan. Masalah yang diberi perlu dianalisis dengan sebaik mungkin kerana pelajar harus
membezakan kaedah susunan yang didahulukan atau memilih dahulu baru disusun kemudian.
Soalan bentuk seperti ini agak mengelirukan dan pelajar selalu bermasalah menyelesaikannya. Ini
terbukti apabila hanya 6.02% dan 3.61% sahaja pelajar dapat menyelesaikan dengan betul bagi
soalan (d) dan (e). Bagi soalan (d) seramai 93.98% pelajar tidak dapat menjawab dengan tepat,
manakala soalan (e) seramai 96.39%. Jadual 5 adalah analisis kesilapan bagi soalan (d) diikuti analisis
soalan (e) dalam jadual 6.
Jadual 5: Jenis kesilapan daripada jawapan (d)
Jenis
Contoh jawapan pelajar
kesilapan
OPERATIONS
Menggunakan operasi penambahan sahaja tanpa operasi
pendaraban
ORDER
REPEATED
INTANSWER
Bil
%
11
13.25
51
61.45
1
1.2
11
13.25
4
4.82
tidak memilih dan menyusun huruf vokal dan konsonan seperti
yang diperlukan
Menggunakan operasi pengulangan
Tidak membuat pemilihan yang betul
Tiada jawapan
Jadual 6: Jenis kesilapan daripada jawapan (e)
Jenis
Contoh jawapan pelajar
kesilapan
ORDER
Hanya menggunakan rumus Gabungan dan tidak menyusun
huruf-huruf yang telah dipilih
Bil
%
45
54.22
2.41
OPERATIONS
Menggunakan operasi penambahan sahaja tanpa operasi
pendaraban
2
PARAMETER
Hanya menjawab sebahagian soalan sahaja
20
24.10
INTANSWER
Hanya memilih sebahagian huruf sahaja dan tidak disusun
3
3.61
10
12.05
Tiada jawapan
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
7
Secara keseluruhan, jenis kesilapan utama yang dilakukan oleh pelajar matrikulasi adalah keliru
dalam membezakan ciri-ciri Pilih Atur dan Gabungan (ORDER) iaitu sebanyak 132 (53.01%) daripada
keseluruhan jumlah kesilapan. Ini bermakna separuh daripada pelajar masih lagi lemah dalam
membezakan setiap subtajuk atau tidak memahami konsep dalam Pilih Atur dan Gabungan. Dapatan
ini selari dengan kajian Batanero et al. (1997b) Manakala tidak mengingat pengertian nilai-nilai bagi
parameter di dalam formula (PARAMETER) pula sebanyak 53 (21.29%). Pelajar selalu menghafal
formula dan menggunakannya tanpa memahami maksud sebenar formula tersebut (Kavousian,
2008). Kedua-dua dapatan kajian ini menunjukkan keputusan yang sama dengan kajian Batanero et
al. (1997b) di mana kesilapan-kesilapan tersebut adalah kesilapan yang paling kerap dilakukan oleh
pelajar.
Selain itu jenis kesilapan lain yang telah dilakukan oleh pelajar adalah seperti memberi jawapan
salah tanpa membawa sebarang maksud (INTANSWER) sebanyak 33 (13.25%). Kebanyakan pelajar
yang melakukan kesilapan jenis ini hanyalah menggunakan kaedah cuba jaya (trial and error)(English,
2005). Membuat penyelesaian menggunakan operasi aritmetik yang salah (OPERATIONS) seperti
penggunaan hasil pendaraban dan penambahan pula sebanyak 17 (6.83%) kesilapan. Dapatan ini
selari dengan kajian Lockwood, Swinyard, & Caughman (2014) di mana pelajar perlu menguasai asas
pengiraan bagi memudahkan pelajar menguasai tajuk ini.
Kesilapan dalam mengenal pasti jenis objek yang digunakan sama ada secaman (identical) atau
berbeza terutamanya kes abjad, nombor, benda bukan hidup dan orang (OBJECTS) pula sebanyak 10
(4.02%). Abjad, nombor dan benda bukan hidup adalah kategori objek secaman di mana jika
terdapat objek-objek yang sama dalam kumpulan tersebut, maka pelajar haruslah melakukan
operasi pembahagian. Ini disebabkan oleh, objek-objek tersebut tidak boleh dikenal pasti sama yang
mana telah atau belum dipilih dan disusun. Kesilapan yang terakhir adalah kesilapan dalam
membuat pengulangan (REPETITION) sebanyak 4 (1.6%). Hasil dapatan ini berbeza dengan hasil
kajian Batanero et al. (1997b), di mana kesilapan jenis ini agak kurang dilakukan oleh pelajar
mungkin disebabkan item-item yang diberi tidak mempunyai soalan yang berkaitan dengan kes
pengulangan.
7. Kesimpulan dan Cadangan
Perancangan pengajaran dan pembelajaran berpandukan kesilapan dan kelemahan yang sering
dilakukan oleh pelajar dapat membantu pensyarah matrikulasi khususnya dalam membantu pelajar
mengatasi kelemahan mereka. Selain itu, pensyarah juga boleh memberi tumpuan yang lebih
terhadap mana-mana jenis kesilapan dan kelemahan yang kurang dikuasai oleh pelajar seperti
konsep asas Pilih Atur dan Gabungan. Konsep asas ini perlu di ajar sebaik mungkin kerana pelajar
perlu dapat membezakan kedua-duanya bagi membolehkan mereka menjawab soalan-soalan Pilih
Atur dan Gabungan dengan cemerlang (Batanero et al., 1997b). Di peringkat pengajian tinggi,
masalah Kombinatorik bukan sahaja sekadar boleh membezakan Pilih Atur dan Gabungan, tetapi
mengaplikasikannya dalam mata pelajaran yang lain dan lebih luas (English, 2005; Godino et al.,
2009; Kapur, 1970). Kajian ini di harap dapat dijadikan sebagai garis panduan kepada guru dan
pensyarah matrikulasi khususnya dalam membaiki dan meningkatkan tahap penguasaan pelajar
dalam tajuk Pilih Atur dan Gabungan. Selain itu, di harap pada masa hadapan banyak lagi kajian yang
akan dijalankan dalam tajuk ini kerana ianya berkait rapat dengan tajuk lain seperti kebarangkalian
(Batanero et al., 1997b; English, 2007).
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
8
Rujukan
Ahmad Hozi H. A. Rahman (2009). Menguji dan menaksir kefahaman pelajar. In Noraini Idris & Shukri
Osman (Eds.), Pengajaran dan pembelajaran (pp. 189-230). Malaysia: The McGraw-Hill Companies.
Bahagian Matrikulasi Kementerian Pendidikan Malaysia. (2010). Huraian Sukatan Pelajaran
Matematik Program Dua Tahun.
Barnes, H. (2006). Effectively using new paradigms in the teaching and learning of mathematics:
Action research in a multicultural South African classroom. Retrieved on December, 15, 2010.
Batanero, C., Navarro-pelayo, V., & Godino, J. D. (1997a). Combinatorial Reasoning and its
Assessment, 1997, 239–252.
Batanero, C., Navarro-Pelayo, V., & Godino, J. D. (1997b). Effect of the implicit combinatorial model
on combinatorial reasoning in secondary school pupils. Educational Studies in Mathematics, 32(2),
181-199.
Biggs, N. . (1979). The roots of combinatorics. Historia Mathematica, 6(2), 109–136.
doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0
English, L. D. (2005). Combinatorics and the development of children's combinatorial reasoning. In
Exploring Probability in School (pp. 121-141). Springer US.
Fesakis, G., & Kafoussi, S. (2009, July). Kindergarten children capabilities in combinatorial problems
using computer microworlds and manipulatives. In the Proceedings of the 33rd Conference of the
IGPME (PME33), Thessaloniki, Greece (Vol. 3, pp. 41-48).
Godino, J. D., Batanero, C., & Roa, R. (2009). An Onto-Semiotic Analysis of Combinatorial Problems
and the Solving Processes by University Students. Educational Studies in Mathematics (Vol. 60).
Springer. doi:10.1007/sl0649-005-5893-3
Hadar, N., & Hadass, R. (1981). The Road to Solving a Combinatorial Problem Is Strewn with Pitfalls.
Educational Studies in Mathematics , Vol . 12 , No . 4 ( Nov ., 1981 ), Pp . 435-443, 12(4), 435–443.
Kailani, I. (2010). Diagnosis Penguasaan Dan Kesalahan Lazim Dalam Tajuk Pembezaan Di Kalangan
Pelajar Sekolah Menengah Di Daerah Johor Bahru. 1-9. Retrieved January 10, 2015, from
http://eprints.utm.my/10677/
Kapur, J. N. (1970). Combinatorial analysis and school mathematics. Educational Studies in
Mathematics, 3(1), 111-127.
Kavousian, S. (2008). Enquiries into undergraduate students' understanding of combinatorial
structures (Doctoral dissertation, Faculty of Education-Simon Fraser University).
Kementerian Pendidikan Malaysia. (2012). Spesifikasi Kurikulum Matematik Tambahan Tingkatan 5.
Knobloch, E. (1974). The mathematical studies of G.W. Leibniz on combinatorics. Historia
Mathematica, 1(4), 409–430. doi:10.1016/0315-0860(74)90032-9
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
9
Lockwood, E. N. (2011). Student Approaches to Combinatorial Enumeration: The Role of Set-Oriented
Thinking (Doctoral dissertation, Portland State University).
Lockwood, E. (2014). A Set-Oriented Perspective on Solving Counting Problems, 2, 31–37.
Lockwood, E., & Gibson, B. (2014, February). Effects of systematic listing in solving counting
problems. In 17th Special Interest Group of the MAA on Research on Undergraduate Mathematics
Education.
Lo k ood, E., S i ard, C., & Caugh a , J. S.
Through Reinvention of Basic Counting Formulas.
4 . E a i g Stude t’s Combinatorial Thinging
Mackinnon, A. (2000). A spreadsheet for the calculation of comprehensive statistics for the
assessment of diagnostic tests and inter-rater agreement. Computers in biology and medicine, 30 (3),
127-134.
Mat Rofa Ismail. (2010). Menerokai Etnomatematik Melayu-Isla : Teori Ko
dalam, 32(1), 75–92.
i atorik al-Khatib
Noraini Kaprawi. (2013). Kajian Tinjauan. In Noraini Idris (Eds.), Penyelidikan dalam pendidikan (pp.
201-222). Malaysia: The McGraw-Hill Companie
Salleh, Z., Saad, N. M., Arshad, M. N., Yunus, H., & Zakaria, E. (2013). Analisis jenis kesilapan dalam
operasi penambahan dan penolakan pecahan. Jurnal Pendidikan Matematik, 1(1), 1–10.
Shong, T. S., Chan, K. S., Sengodan, V., & Jailani, N. (2013). Error Analysis of Students in the Learning
of Coordinate Geometry. Jurnal Pendidikan Matematik, 1(1), 19–30.
Watson, I. (1980). Investigating errors of beginning mathematicians. Educational Studies in
Mathematics, 11(3), 319–329. doi:10.1007/BF00697743
White, A. L.
9 . A Re aluatio of Ne
a ’s Error A al sis. MAV Annual Conference 2009, 3 (Year
7), 249–257. Retrieved February 3, 2015 from
http://www.mav.vic.edu.au/files/conferences/2009/08White.pdf
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
10
Rusydah Usry & Roslinda Rosli
Fakulti Pendidikan
Universiti Kebangsaan Malaysia (UKM)
rusydah@siswa.ukm.edu.my
roslinda@ukm.edu.my
Abstrak
Pilih Atur dan Gabungan merupakan salah satu topik yang sering mendapat perhatian guru dan
pelajar dari sudut aplikasinya dalam kehidupan seharian. Kajian ini bertujuan untuk mengenal pasti
kesilapan pelajar di sebuah kolej matrikulasi dalam topik Pilih Atur dan Gabungan. Seramai 83 orang
pelajar yang terdiri daripada 46 orang pelajar aliran modul I, 23 orang pelajar aliran modul II dan 14
orang pelajar aliran modul III Program Dua Tahun terlibat dalam kajian ini. Instrumen adalah ujian
diagnostik Pilih Atur dan Gabungan. Jenis kesalahan yang dihadapi oleh pelajar diklasifikasikan
berdasarkan kesilapan masalah Kombinatorik oleh Carmen Batanero. Data dianalisis secara
deskriptif dengan menggunakan frekuensi dan peratusan untuk tujuan diagnostik jenis-jenis
kesilapan. Dapatan kajian menunjukkan pelajar sering melakukan lima kesilapan utama iaitu
kesilapan mentafsir soalan, kesilapan dalam mengenal pasti jenis objek yang digunakan sama ada
serupa atau berbeza terutamanya kes abjad, nombor dan benda bukan hidup, membuat
penyelesaian menggunakan operasi aritmetik yang salah, penggunaan formula yang salah dan
memberi jawapan salah tanpa membawa sebarang maksud. Hasil kajian ini dapat membantu
pensyarah merancang pengajaran dengan lebih berkesan untuk menjayakan aktiviti pengajaran dan
pembelajaran Pilih Atur dan Gabungan.
Kata kunci: Kesilapan, Pilih Atur dan Gabungan, Kombinatorik
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Pendahuluan
Pernahkah kita terfikir bahawa susunan buku di dalam perpustakaan menjadi mudah untuk disusun
dan dicari jika tiada sistem penomboran tertentu? Bayangkan jika tiada sistem penomboran,
bagaimana seseorang mampu menyusun buku-buku tersebut supaya mudah di susun dan di akses
oleh ramai orang. Ini adalah antara masalah yang boleh diselesaikan menggunakan Kombinatorik.
Kombinatorik mempunyai skop yang luas bukan sekadar menyelesaikan masalah Pilih Atur, Susunan
dan Gabungan (Batanero, Navarro-pelayo, & Godino, 1997b).
Di Malaysia, Kombinatorik dimasukkan dalam silibus Mata Pelajaran Matematik Tambahan peringkat
sekolah menengah dan Peringkat Kolej Matrikulasi. Terdapat dua subtajuk di dalamnya iaitu Pilih
Atur dan Gabungan (Kementerian Pendidikan Malaysia, 2012). Pilih Atur dan Gabungan juga adalah
tajuk ketujuh bagi semester dua Program Satu Tahun dan tajuk kedua bagi semester empat Program
Dua Tahun bagi kolej matrikulasi dalam Huraian Sukatan Pelajaran Matematik Program Dua Tahun
Bahagian Matrikulasi Kementerian Pelajaran Malaysia. Pengetahuan asas dari sekolah menengah
diharapkan dapat membantu pelajar memahami dan menguasai tajuk tersebut dengan lebih baik.
Namun, kajian lepas mendapati pencapaian pelajar dalam tajuk ini di peringkat murid sekolah adalah
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
1
lemah (Batanero, Navarro-pelayo, & Godino, 1997a, 1997b; English, 2005; Lockwood, 2014). Begitu
juga di peringkat institusi pengajian tinggi (Godino, Batanero, & Roa, 2009).
Tajuk ini juga mempunyai peranan yang besar kepada aplikasi sains dan teknologi seperti
termodinamik dan mekanik statistik dalam mata pelajaran Fizik, dalam mata pelajaran Kimia pula
mengira bilangan molekul organik dan penyebaran wabak penyakit bagi mata pelajaran Biologi
(Kapur, 1970). Disebabkan ianya berkait rapat dengan pengiraan, kebarangkalian dan teori
pembangunan kognitif (cognitive developmental theory) (English, 2005), maka amat penting bagi
pelajar memahami dan menguasai tajuk ini.
2. Analisis Kesilapan
Analisis kesilapan pelajar dalam sesuatu topik matematik harus dilakukan bagi membantu pensyarah
meningkatkan mutu pengajaran dan pembelajaran. Melalui penyelesaian masalah pelajar,
pensyarah dapat membuat analisis kesilapan bagi sesuatu topik dan perlu lebih khusus supaya salah
faham pelajar dapat dikesan. Analisis kesilapan ini boleh membantu guru lebih memahami puncapunca kepayahan matematik yang dialami oleh pelajar, seterusnya membina model pemulihan yang
sesuai dengan kelemahan pelajar (Shong, Chan, Sengodan, & Jailani, 2013).
Terdapat pelbagai model analisis kesilapan yang telah dikemukakan oleh para pengkaji matematik,
contohnya Model Hierarki Kesilapan oleh Newman (1977) mengelaskan jenis kesilapan yang
dilakukan oleh pelajar iaitu Kesalahan cuai , Kesalahan Sistematik dan Kesalahan Rawak dalam tajuk
Pembezaan (Kailani, I., 2010). Manakala Model Klasifikasi Empirikal oleh Nitsa Moshovitz-Hadar
(1987) mengelaskan kesilapan matematik mengikut kategori kesalahan kesilapan teknikal, kesilapan
penyalahgunaan teorem atau definisi dan kesalahan mentafsir bahasa dalam tajuk Geometri
Koordinat (Shong et al., 2013). Model Casey (1978) pula mengelaskan kesilapan matematik mengikut
sebab yang diketahui dan tidak diketahui (Clement, 1982). Model Cox pula mengkategorikan
kesilapan seperti kesilapan rawak, kesilapan sistematik dan kesilapan kecuaian dalam operasi
penambahan dan penolakan pecahan (Salleh, Saad, Arshad, Yunus, & Zakaria, 2013).
Kajian menunjukkan bahawa pelajar banyak melakukan kesilapan matematik seperti melakukan
operasi manipulasi pengiraan dan algebra yang melibatkan indeks dan kesilapan ini adalah
disebabkan oleh kelemahan dalam konsep asas indeks (Barnes, n.d.). Selain itu, kesilapan
kefahaman istilah dan kemahiran proses dalam topik-topik pelajaran perkara rumus, persamaan
kuadratik dan persamaan serentak (Norasiah, 2002). Kesilapan kefahaman dan transformasi
(Watson, 1980; Radzali, 1997) merupakan dua kesilapan utama dalam menyelesaikan masalah
matematik berayat (Fatimah & Lim, 1997; Clarkson, 1992).
Kesilapan biasa yang terdapat dalam masalah Kombinatorik pula telah dikenal pasti oleh Batanero C.
et al. (1997a) dan Hadar, N., & Hadass, R. (1981). Terdapat empat belas kesalahan yang biasa pelajar
lakukan semasa menyelesaikan masalah Kombinatorik (Batanero et al., 1997b). Antaranya masalah
asas pengiraan (Lockwood, Swinyard, & Caughman, 2014), kesilapan dalam menyenaraikan
kemungkinan-kemungkinan jawapan (Lockwood & Gibson, 2014). Oleh itu, kajian ini diharap dapat
menambahkan lagi bukti tentang kesilapan pelajar semasa melakukan penyelesaian masalah
Kombinatorik terutama dalam topik Pilih Atur dan Gabungan.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
2
3. Pilih Atur dan Gabungan
Kombinatorik mempunyai beberapa model asas seperti Gabungan, susunan, Pilih Atur, notasi,
konsep dan formula (Batanero et al., 1997b) Terdapat juga beberapa konsep dan model asas dalam
Kombinatorik seperti operasi Pilih Atur, susunan, Gabungan, notasi dan formula. Selain itu, terdapat
prosedur tertentu dalam Kombinatorik seperti prosedur logik dan prosedur grafik yang berkaitan
dengan graf dan gambar rajah pokok. Prosedur berangka berkenaan hasil penambahan, segi tiga
Pas al Pas al’s tria gle , o or ko i atorik da faktorial Bata ero et al., 997 .
Antara operasi yang sering bermasalah kepada pelajar ialah Pilih Atur dengan pengulangan
(Batanero, Navarro-pelayo, & Godino, 1997a), hasil darab Pilih Atur, Gabungan dengan pengulangan,
pengurangan Gabungan (Fessakis & Kafoussi, 2009). Di peringkat kolej matrikulasi, terdapat tujuh
hasil pembelajaran yang perlu pelajar faham dan kuasai. Antaranya ialah Pilih Atur n objek yang
berbeza, Pilih Atur r objek daripada n objek yang berbeza, Pilih Atur objek yang sama dan Gabungan
r objek daripada n objek (HSP Matematik PDT BMKPM, 2010). Setiap subtajuk tersebut mempunyai
proses dan strategi penyelesaian yang berbeza. Kelemahan di dalam membezakan setiap satu proses
dan strategi pembelajaran menyebabkan pelajar tidak dapat menjawab soalan dengan tepat.
Soalan-soalan Pilih Atur dan Gabungan adalah jenis soalan berayat. Masalah matematik berayat
telah dikenalkan sejak sekolah rendah lagi dan menjadi satu komponen yang penting dalam
kurikulum KBSR. Masalah dalam menyelesaikan soalan berayat boleh menyebabkan pelajar tidak
memahami kehendak soalan. Seterusnya pelajar tidak dapat menjawab mengikut kehendak soalan.
Tahap kesukaran masalah yang tinggi juga berkait dengan kesilapan konsep (Batanero et al., 1997b)
dalam menjawab tajuk ini. Selain itu, masalah strategi penyelesaian masalah yang pelbagai seperti
kaedah cuba jaya,mendapatkan corak tertentu, mencirikan corak setelah mendapat corak yang
konsisten dan kehadiran corak odometer dalam pemilihan item (English, 2005).
Penyelidikan dalam bidang pendidikan Kombinatorik ini telah banyak dijalankan dan memberi
tumpuan kepada penaakulan Kombinatorik pada kanak-kanak (English, 2005), pemikiran pelajar
tentang Kombinatorik dari set terorienstasi dan proses berorientasikan perspektif (Lockwood, 2011)
dan model klasifikasi Kombinatorik (Batanero et al., 1997a, 1997b). Dalam kajian-kajian tersebut
mendapati bahawa pelajar dari pelbagai peringkat umur bermasalah dalam menyelesaikan masalah
pengiraan (Batanero et al., 1997a, 1997b; English, 2005). Malah terdapat juga kajian yang mendapati
bahawa kadar kejayaan pelajar masih rendah dalam pelbagai jenis masalah Kombinatorik samada
sebelum atau selepas pengajaran (Batanero et al., 1997b; Lockwood, 2014). Bagi menangani
masalah ini, beberapa kajian telah dilakukan bagi mengkaji kesilapan pelajar tentang Kombinatorik
(Batanero et al., 1997a, 1997b; Hadar & Hadass, 1981; Kavousian, 2008). Walau bagaimanapun, di
Malaysia kajian seperti ini kurang diberi perhatian.
4. Objektif kajian
Objektif kajian ini adalah untuk membuat analisis jenis kesilapan yang dilakukan oleh pelajar dalam
tajuk Pilih Atur dan Gabungan. Objektif kajian juga cuba menjawab persoalan-persoalan kajian yang
berkaitan dengan subtajuk-subtajuk Pilih Atur dan Gabungan iaitu menyusun n bilangan objek yang
berbeza, menyusun r objek daripada n objek yang berbeza, menyusun r daripada beberapa n objek
yang sama, memilih r objek daripada n objek yang berbeza dan masalah yang berkaitan kedua-dua
subtajuk Pilih Atur dan Gabungan.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
3
5. Metodologi
5.1 Reka bentuk kajian
Kaedah ini adalah kajian tinjauan. Kajian tinjauan adalah kaedah penyelidikan yang sesuai digunakan
untuk memahami sesuatu situasi (Noraini Kaprawi, 2013). Kaedah penyelidikan yang digunakan
dalam kajian ini adalah kaedah kuantitatif. Tujuan kajian tinjauan ini adalah untuk mengenal pasti
bentuk-bentuk kesilapan yang sering dilakukan oleh pelajar semasa menyelesaikan masalah dalam
tajuk Pilih Atur dan Gabungan.
5.2 Instrumen
Instrumen kajian ini adalah ujian diagnostik Pilih Atur dan Gabungan yang diambil daripada set
soalan percubaan peperiksaan akhir semester 4, Program Dua Tahun (PDT) yang telah dibina oleh
pensyarah-pensyarah kolej matrikulasi tersebut. Set soalan terdiri daripada 10 item yang berbentuk
subjektif yang kebanyakannya diaplikasikan daripada soalan-soalan Peperiksaan Semester Peringkat
Matrikulasi (PSPM). Walau bagaimanapun pengkaji hanya menganalisis satu item yang berkaitan
dengan tajuk Pilih Atur dan Gabungan sahaja.
Item bagi tajuk Pilih Atur dan Gabungan ini mempunyai ciri seperti objek yang disoal adalah huruf,
pemilihan dan susunan sebilangan objek daripada keseluruhan dan penyelesaian masalah berkaitan
kedua-dua subtajuk. Berikut merupakan jadual subtajuk yang diuji dalam set soalan percubaan
peperiksaan akhir semester 4 PDT (jadual 1). Huruf adalah objek secaman (identical), yang mana
pelajar perlu mengambil kira huruf-huruf yang sama kerana tidak boleh dibezakan setiap satu.
Jadual 1: Subtajuk Ujian Diagnostik Pilih Atur dan Gabungan
Subtajuk Ujian Diagnostik Pilih Atur dan
Item:
Gabungan
Diberi suatu perkataan LOGARITHMS.
Cari bilangan cara yang berlainan untuk
Pilih Atur: Mencari bilangan cara susunan
(a) menyusun empat huruf.
dalam menyusun r objek daripada n objek
yang berbeza.
Pilih Atur: Mencari bilangan cara susunan
(b) menyusun semua huruf supaya huruf vokal
dalam menyusun n objek yang berbeza.
bersebelahan antara satu sama lain.
Gabungan: Menentukan bilangan cara untuk
(c) memilih empat huruf supaya kesemuanya
memilih r objek daripada n objek yang
huruf konsonan.
berbeza.
Menyelesaikan masalah berkaitan kedua(d) menyusun empat huruf supaya bilangan
dua subtajuk Pilih Atur dan Gabungan.
huruf vokal adalah sama dengan bilangan
huruf konsonan.
(e) menyusun empat huruf supaya bilangan
huruf konsonan melebihi bilangan vokal.
Walau bagaimanapun perkataan yang diberi tidak mempunyai huruf yang sama, maka pelajar tidak
perlu mengambil kira operasi khas bagi objek secaman atau serupa.
5.3 Kesahan dan kebolehpercayaan
Bagi memastikan soalan-soalan yang dibina menguji semua aras kemahiran yang hendak dinilai,
suatu Jadual Penentuan Ujian dibina. Untuk memastikan instrumen ini mempunyai kesahan
kandungan, pengkaji merujuk kepada Huraian Sukatan Pelajaran Matematik Program Dua Tahun
BMKPM. Instrumen juga disemak oleh dua orang pensyarah berpengalaman melebihi sepuluh tahun
mengajar matematik di kolej matrikulasi untuk mendapatkan kesahan kandungan dan kesahan
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
4
muka. Pengkaji membuat pemeriksaan bersama seorang rakan (inter-rater agreement) bagi
mendapatkan kebolehpercayaan. Mackinnon, A. (2000) menyatakan bahawa pemeriksaan antara
dua pemeriksa sesuai digunakan bagi mengelakkan berat sebelah dan kelaziman (bias and
prevalence). Setelah beberapa kali perbincangan, akhirnya mendapat persetujuan bersama sebanyak
95%.
5.4 Sampel
Sampel kajian ini terdiri daripada 83 orang pelajar semester 4 Program Dua Tahun (PDT) berumur 18
dan 19 tahun, di sebuah kolej matrikulasi di pantai timur yang terdiri daripada 26 (31.33%) orang
lelaki dan 57 (68.67%) orang perempuan. Mereka merupakan pelajar pelbagai aliran yang terdiri
daripada 46 orang pelajar aliran modul I, 23 orang pelajar aliran modul II dan 14 orang pelajar aliran
modul III. Semua pelajar diwajibkan mengikuti mata pelajaran Matematik dan Kimia. Terdapat mata
pelajaran pilihan iaitu pelajar modul I adalah pelajar yang mengambil mata pelajaran Biologi dan
Fizik, modul II pula mengambil mata pelajaran Fizik dan Sains Komputer dan modul III mengambil
mata pelajaran Biologi dan Sains Komputer.
5.5 Kaedah Pengumpulan Data
Semasa kajian ini dijalankan, pelajar telah habis sesi pengajaran dan pembelajaran Matematik di
semester 4 yang meliputi pelbagai tajuk termasuk Pilih Atur dan Gabungan. Tempoh pengajaran
secara kuliah bagi tajuk ini adalah 12 jam iaitu selama 3 minggu manakala sesi tutorial juga telah
diadakan selama 3 minggu. Kaedah pentadbiran secara langsung telah dipilih bagi mengumpul data
bagi kajian tinjauan ini mendapatkan maklum balas yang sesuai (Noraini Kaprawi, 2013).
6. Dapatan dan Perbincangan
Kesilapan pelajar diklasifikasikan berdasarkan kesilapan masalah Kombinatorik oleh Carmen
Batanero (1997b) yang terdiri daripada kesilapan mentafsir soalan (STATEMENT), ralat tertib iaitu
keliru dalam membezakan ciri-ciri Susunan, Pilih Atur dan Gabungan (ORDER), kesilapan
pengulangan (REPETITION), kesilapan dalam mengenal pasti jenis objek yang digunakan sama ada
serupa atau berbeza terutamanya kes abjad, nombor, benda bukan hidup dan orang (OBJECTS),
membuat penyelesaian menggunakan operasi aritmetik yang salah (OPERATIONS), penggunaan
formula yang salah (FORMULA), tidak mengingat pengertian nilai-nilai bagi parameter di dalam
formula Kombinatorik (PARAMETERS) dan memberi jawapan salah tanpa membawa sebarang
maksud (INTANSWER).
Secara keseluruhan daripada analisis yang dibuat terhadap kesilapan yang dilakukan oleh pelajar
menunjukkan tahap pencapaian tajuk Pilih Atur dan Gabungan adalah lemah. Ini dapat dilihat
berdasarkan peratusan yang menjawab betul adalah berbeza bagi setiap soalan yang mana terdapat
jurang yang besar bagi peratusan maksimum ialah 86.65% dan minimum pula 3.61%. Dapatan ini
selari dengan kajian oleh Godino et al. (2009) .
Soalan (a) adalah soalan Pilih Atur di mana pelajar perlu mencari bilangan cara susunan dalam
menyusun 4 huruf daripada 10 huruf yang berbeza. Seramai 86.75% pelajar dapat menjawab soalan
ini dengan betul dan 13.25% adalah salah. Kesilapan pelajar telah dianalisis seperti jadual 2.
Kesilapan tertinggi adalah memberi jawapan salah atau tidak memberi sebarang petunjuk yang
boleh menjawab soalan seperti tidak memilih bilangan objek yang diperlukan. Kesilapan seperti ini
boleh dikatakan kaedah cuba jaya (English, 2005). Walau bagaimanapun bagi masalah Pilih Atur
tanpa pengulangan ini boleh dikatakan dikuasai oleh pelajar kerana lebih 80% pelajar dapat
menjawab dengan cemerlang.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
5
Jadual 2: Jenis kesilapan daripada jawapan (a).
Jenis kesilapan
Contoh jawapan pelajar
ORDER
Menggunakan rumus Gabungan
Bil
2
%
2.41
REPEATED
Mencari Pilih Atur menggunakan operasi
pengulangan
2
2.41
PARAMETER
Mengambil nilai r yang salah
1
1.20
INTANSWER
Menyusun keseluruhan objek
6
7.23
Jadual 3 menyatakan jenis kesilapan yang dilakukan oleh pelajar semasa menjawab soalan (b).
Soalan (b) meminta pelajar mencari bilangan cara susunan dalam menyusun keseluruhan objek yang
berbeza dengan mengambil kira syarat tertentu. Hanya 30.12% sahaja pelajar yang dapat menjawab
soalan ini dengan betul, manakala 69.88% adalah salah. Bagi masalah seperti ini pelajar perlu
mengambil kira syarat yang diperlukan. Kesilapan tertinggi dalam soalan ini adalah tidak mengingat
pengertian nilai-nilai bagi parameter seperti huruf konsonan (PARAMETER) atau salah faham istilah
(Norasiah, 2002) iaitu sebanyak 27.71%.
Jadual 3: Jenis kesilapan daripada jawapan (b)
Jenis
Contoh jawapan pelajar
kesilapan
OBJECTS
Menggunakan operasi bahagi di mana operasi ini hanya digunakan
jika terdapat huruf yang sama
Bil
%
10
12.05
ORDER
Menggunakan rumus Gabungan dan Pilih Atur
3
3.61
PARAMETER
Tidak mengambil kira susunan bagi huruf konsonan
23
27.71
OPERATIONS
Tidak perlu menggunakan operasi penambahan
4
4.82
INTANSWER
Tidak memilih bilangan huruf konsonan yang diperlukan
13
15.66
5
6.02
Tiada jawapan
Soalan (c) adalah soalan Gabungan di mana pelajar hanya perlu memilih 4 huruf daripada 10 huruf
yang berbeza. Seramai 50.6% pelajar dapat menjawab soalan ini dengan betul dan 49.4% adalah
salah. Kesilapan pelajar telah dianalisis seperti jadual 4. Ini bermakna pelajar masih tidak dapat
membezakan antara Pilih Atur dan Gabungan iaitu seramai 37.35%. Ia selaras dengan kajian
Batanero et al. (1997b) yang menyatakan pelajar perlu menguasai konsep Pilih Atur dan Gabungan di
mana kedua-duanya mempunyai maksud yang berbeza.
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
6
Jadual 4: Jenis kesilapan daripada jawapan (c)
Jenis kesilapan
Contoh jawapan pelajar
ORDER
Menggunakan rumus Pilih Atur
Bil
31
%
37.35
PARAMETER
Mengambil nilai r yang salah
9
10.84
REPEATED
Menggunakan operasi pengulangan
1
1.2
Bagi soalan (d) dan (e), pelajar perlu menyelesaikan masalah berkaitan kedua-dua subtajuk Pilih Atur
dan Gabungan. Masalah yang diberi perlu dianalisis dengan sebaik mungkin kerana pelajar harus
membezakan kaedah susunan yang didahulukan atau memilih dahulu baru disusun kemudian.
Soalan bentuk seperti ini agak mengelirukan dan pelajar selalu bermasalah menyelesaikannya. Ini
terbukti apabila hanya 6.02% dan 3.61% sahaja pelajar dapat menyelesaikan dengan betul bagi
soalan (d) dan (e). Bagi soalan (d) seramai 93.98% pelajar tidak dapat menjawab dengan tepat,
manakala soalan (e) seramai 96.39%. Jadual 5 adalah analisis kesilapan bagi soalan (d) diikuti analisis
soalan (e) dalam jadual 6.
Jadual 5: Jenis kesilapan daripada jawapan (d)
Jenis
Contoh jawapan pelajar
kesilapan
OPERATIONS
Menggunakan operasi penambahan sahaja tanpa operasi
pendaraban
ORDER
REPEATED
INTANSWER
Bil
%
11
13.25
51
61.45
1
1.2
11
13.25
4
4.82
tidak memilih dan menyusun huruf vokal dan konsonan seperti
yang diperlukan
Menggunakan operasi pengulangan
Tidak membuat pemilihan yang betul
Tiada jawapan
Jadual 6: Jenis kesilapan daripada jawapan (e)
Jenis
Contoh jawapan pelajar
kesilapan
ORDER
Hanya menggunakan rumus Gabungan dan tidak menyusun
huruf-huruf yang telah dipilih
Bil
%
45
54.22
2.41
OPERATIONS
Menggunakan operasi penambahan sahaja tanpa operasi
pendaraban
2
PARAMETER
Hanya menjawab sebahagian soalan sahaja
20
24.10
INTANSWER
Hanya memilih sebahagian huruf sahaja dan tidak disusun
3
3.61
10
12.05
Tiada jawapan
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
7
Secara keseluruhan, jenis kesilapan utama yang dilakukan oleh pelajar matrikulasi adalah keliru
dalam membezakan ciri-ciri Pilih Atur dan Gabungan (ORDER) iaitu sebanyak 132 (53.01%) daripada
keseluruhan jumlah kesilapan. Ini bermakna separuh daripada pelajar masih lagi lemah dalam
membezakan setiap subtajuk atau tidak memahami konsep dalam Pilih Atur dan Gabungan. Dapatan
ini selari dengan kajian Batanero et al. (1997b) Manakala tidak mengingat pengertian nilai-nilai bagi
parameter di dalam formula (PARAMETER) pula sebanyak 53 (21.29%). Pelajar selalu menghafal
formula dan menggunakannya tanpa memahami maksud sebenar formula tersebut (Kavousian,
2008). Kedua-dua dapatan kajian ini menunjukkan keputusan yang sama dengan kajian Batanero et
al. (1997b) di mana kesilapan-kesilapan tersebut adalah kesilapan yang paling kerap dilakukan oleh
pelajar.
Selain itu jenis kesilapan lain yang telah dilakukan oleh pelajar adalah seperti memberi jawapan
salah tanpa membawa sebarang maksud (INTANSWER) sebanyak 33 (13.25%). Kebanyakan pelajar
yang melakukan kesilapan jenis ini hanyalah menggunakan kaedah cuba jaya (trial and error)(English,
2005). Membuat penyelesaian menggunakan operasi aritmetik yang salah (OPERATIONS) seperti
penggunaan hasil pendaraban dan penambahan pula sebanyak 17 (6.83%) kesilapan. Dapatan ini
selari dengan kajian Lockwood, Swinyard, & Caughman (2014) di mana pelajar perlu menguasai asas
pengiraan bagi memudahkan pelajar menguasai tajuk ini.
Kesilapan dalam mengenal pasti jenis objek yang digunakan sama ada secaman (identical) atau
berbeza terutamanya kes abjad, nombor, benda bukan hidup dan orang (OBJECTS) pula sebanyak 10
(4.02%). Abjad, nombor dan benda bukan hidup adalah kategori objek secaman di mana jika
terdapat objek-objek yang sama dalam kumpulan tersebut, maka pelajar haruslah melakukan
operasi pembahagian. Ini disebabkan oleh, objek-objek tersebut tidak boleh dikenal pasti sama yang
mana telah atau belum dipilih dan disusun. Kesilapan yang terakhir adalah kesilapan dalam
membuat pengulangan (REPETITION) sebanyak 4 (1.6%). Hasil dapatan ini berbeza dengan hasil
kajian Batanero et al. (1997b), di mana kesilapan jenis ini agak kurang dilakukan oleh pelajar
mungkin disebabkan item-item yang diberi tidak mempunyai soalan yang berkaitan dengan kes
pengulangan.
7. Kesimpulan dan Cadangan
Perancangan pengajaran dan pembelajaran berpandukan kesilapan dan kelemahan yang sering
dilakukan oleh pelajar dapat membantu pensyarah matrikulasi khususnya dalam membantu pelajar
mengatasi kelemahan mereka. Selain itu, pensyarah juga boleh memberi tumpuan yang lebih
terhadap mana-mana jenis kesilapan dan kelemahan yang kurang dikuasai oleh pelajar seperti
konsep asas Pilih Atur dan Gabungan. Konsep asas ini perlu di ajar sebaik mungkin kerana pelajar
perlu dapat membezakan kedua-duanya bagi membolehkan mereka menjawab soalan-soalan Pilih
Atur dan Gabungan dengan cemerlang (Batanero et al., 1997b). Di peringkat pengajian tinggi,
masalah Kombinatorik bukan sahaja sekadar boleh membezakan Pilih Atur dan Gabungan, tetapi
mengaplikasikannya dalam mata pelajaran yang lain dan lebih luas (English, 2005; Godino et al.,
2009; Kapur, 1970). Kajian ini di harap dapat dijadikan sebagai garis panduan kepada guru dan
pensyarah matrikulasi khususnya dalam membaiki dan meningkatkan tahap penguasaan pelajar
dalam tajuk Pilih Atur dan Gabungan. Selain itu, di harap pada masa hadapan banyak lagi kajian yang
akan dijalankan dalam tajuk ini kerana ianya berkait rapat dengan tajuk lain seperti kebarangkalian
(Batanero et al., 1997b; English, 2007).
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
8
Rujukan
Ahmad Hozi H. A. Rahman (2009). Menguji dan menaksir kefahaman pelajar. In Noraini Idris & Shukri
Osman (Eds.), Pengajaran dan pembelajaran (pp. 189-230). Malaysia: The McGraw-Hill Companies.
Bahagian Matrikulasi Kementerian Pendidikan Malaysia. (2010). Huraian Sukatan Pelajaran
Matematik Program Dua Tahun.
Barnes, H. (2006). Effectively using new paradigms in the teaching and learning of mathematics:
Action research in a multicultural South African classroom. Retrieved on December, 15, 2010.
Batanero, C., Navarro-pelayo, V., & Godino, J. D. (1997a). Combinatorial Reasoning and its
Assessment, 1997, 239–252.
Batanero, C., Navarro-Pelayo, V., & Godino, J. D. (1997b). Effect of the implicit combinatorial model
on combinatorial reasoning in secondary school pupils. Educational Studies in Mathematics, 32(2),
181-199.
Biggs, N. . (1979). The roots of combinatorics. Historia Mathematica, 6(2), 109–136.
doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0
English, L. D. (2005). Combinatorics and the development of children's combinatorial reasoning. In
Exploring Probability in School (pp. 121-141). Springer US.
Fesakis, G., & Kafoussi, S. (2009, July). Kindergarten children capabilities in combinatorial problems
using computer microworlds and manipulatives. In the Proceedings of the 33rd Conference of the
IGPME (PME33), Thessaloniki, Greece (Vol. 3, pp. 41-48).
Godino, J. D., Batanero, C., & Roa, R. (2009). An Onto-Semiotic Analysis of Combinatorial Problems
and the Solving Processes by University Students. Educational Studies in Mathematics (Vol. 60).
Springer. doi:10.1007/sl0649-005-5893-3
Hadar, N., & Hadass, R. (1981). The Road to Solving a Combinatorial Problem Is Strewn with Pitfalls.
Educational Studies in Mathematics , Vol . 12 , No . 4 ( Nov ., 1981 ), Pp . 435-443, 12(4), 435–443.
Kailani, I. (2010). Diagnosis Penguasaan Dan Kesalahan Lazim Dalam Tajuk Pembezaan Di Kalangan
Pelajar Sekolah Menengah Di Daerah Johor Bahru. 1-9. Retrieved January 10, 2015, from
http://eprints.utm.my/10677/
Kapur, J. N. (1970). Combinatorial analysis and school mathematics. Educational Studies in
Mathematics, 3(1), 111-127.
Kavousian, S. (2008). Enquiries into undergraduate students' understanding of combinatorial
structures (Doctoral dissertation, Faculty of Education-Simon Fraser University).
Kementerian Pendidikan Malaysia. (2012). Spesifikasi Kurikulum Matematik Tambahan Tingkatan 5.
Knobloch, E. (1974). The mathematical studies of G.W. Leibniz on combinatorics. Historia
Mathematica, 1(4), 409–430. doi:10.1016/0315-0860(74)90032-9
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
9
Lockwood, E. N. (2011). Student Approaches to Combinatorial Enumeration: The Role of Set-Oriented
Thinking (Doctoral dissertation, Portland State University).
Lockwood, E. (2014). A Set-Oriented Perspective on Solving Counting Problems, 2, 31–37.
Lockwood, E., & Gibson, B. (2014, February). Effects of systematic listing in solving counting
problems. In 17th Special Interest Group of the MAA on Research on Undergraduate Mathematics
Education.
Lo k ood, E., S i ard, C., & Caugh a , J. S.
Through Reinvention of Basic Counting Formulas.
4 . E a i g Stude t’s Combinatorial Thinging
Mackinnon, A. (2000). A spreadsheet for the calculation of comprehensive statistics for the
assessment of diagnostic tests and inter-rater agreement. Computers in biology and medicine, 30 (3),
127-134.
Mat Rofa Ismail. (2010). Menerokai Etnomatematik Melayu-Isla : Teori Ko
dalam, 32(1), 75–92.
i atorik al-Khatib
Noraini Kaprawi. (2013). Kajian Tinjauan. In Noraini Idris (Eds.), Penyelidikan dalam pendidikan (pp.
201-222). Malaysia: The McGraw-Hill Companie
Salleh, Z., Saad, N. M., Arshad, M. N., Yunus, H., & Zakaria, E. (2013). Analisis jenis kesilapan dalam
operasi penambahan dan penolakan pecahan. Jurnal Pendidikan Matematik, 1(1), 1–10.
Shong, T. S., Chan, K. S., Sengodan, V., & Jailani, N. (2013). Error Analysis of Students in the Learning
of Coordinate Geometry. Jurnal Pendidikan Matematik, 1(1), 19–30.
Watson, I. (1980). Investigating errors of beginning mathematicians. Educational Studies in
Mathematics, 11(3), 319–329. doi:10.1007/BF00697743
White, A. L.
9 . A Re aluatio of Ne
a ’s Error A al sis. MAV Annual Conference 2009, 3 (Year
7), 249–257. Retrieved February 3, 2015 from
http://www.mav.vic.edu.au/files/conferences/2009/08White.pdf
Proceeding of the Social Sciences Research ICSSR 2015 (e-ISBN 978-967-0792-X-X). 8 & 9 June 2015,
Meliá Hotel Kuala Lumpur, Malaysia. Organized by http://WorldConferences.net
10