Logika, Himpunan, dan Pembuktian Dalam Matematika

  

MATERI MATRIKULISI

PROGRAM PASCA SARJANA

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS

FAKULTAS PERTANIAN UNJA

Oleh R. SIHOTANG

  Ruang Lingkup: Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks.

   Sasaran:

Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang

diterima pada Program Pascasarjana

Fakultas pertanian Univ. Jambi

• Tujuan : Mahasiswa diharapkan mampu memahami

  konsep-kosep Matematika dalam penerap-

  annya pada persoalan ekonomi.
• Kompetensi:
• Mampu menyelesaikan persoalan

  Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis

  Matematika.
• Literatur

  • Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods

  of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York • Johannes, H dan Handoko, BS. 1994.

  Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta

• Materi:
• Pegertian Matematika • Himpunan • Sistem Bilangan • Fungsi • Fungsi Linear • Fungsi non Linear • Diferensial Fungsi Sederhana • Diferensial Fungsi Majemuk • Aljabar Matriks

ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis.

  B

  erpikir matematis:

  Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

  MATEMATIKA Berpikir matematis:

Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar

menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika.

  

Matematika, merupakan sarana = pendekatan

untuk suatu analisa.

  Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat. Ekonomi dan Matematika Ekonomi Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:

  a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.

  b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif- kan logika dengan asumsi-asumsinya.

  c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng- gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel) Mis Q = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs _d Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi

  Kelemahannya pendekatan matematis:

  a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran.

  Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.

  b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis

  (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.

  Kesimpulan dari bahasa adalah:

  1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi.

  2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)

  Matematika Ekonomi dan Ekonometrika

  Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi.

  Data

  Ekonometrika Matematika

  Ekonomi

• Deduksi
• Induksi - Model
• Mengolah data
• Mengambil kesimpulan

  Teori Ekonomi Fakta deduktif

  Model atau Hipotesis Data Ekonomi Satu Persamaan Metode Teori Statistika Ekonometrika Simultan induktif

  Teori Teori Teori Diterima Ditolak Disempurnakan Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut “Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel).

  

HIMPUNAN = GUGUS

Silabus:

• • Definisi, pencatatan dan himpunan khas
• Himpunan Bagian • Pengolahan (operasi) himpunan
• Hubungan

  Himpunan adalah kumpulan dari obyek- obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini

menjadi penciri yg membuat obyek/unsur

itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan.

  Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambang- kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, …

Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete-

rusnya.

Dua cara pencatatan suatu himpunan

  a. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus

tanda kurawal buka dan kurawal tutup

“ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.

  

b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri Cara pendefinisian sifat yang lain: J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur

  Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5

Himpunan khas:

  a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil

  b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø” Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3 € P

  4 € P.

  Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat

  5 € P 6 € P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”. Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

  Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup

  Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }

  Himpunan bagiannya: a.Memilih semua unsur:

  X ₄ = { 1, 2, 3, 4 } b.Memilih tiga unsur

  X ₃₁ = { 1, 2, 3 }

  X ₃₂ = { 1, 2, 4 }

  X ₃₃ = { 1, 3, 4 }

  X ₃₄ = { 2, 3, 4 }

  c. Memilih dua unsur X ₂₁ = { 1, 2 }; X ₂₂ = { 1, 3 }

  X ₂₃ = { 1, 4 }; X ₂₄ = { 2, 3 }

  X ₂₅ = { 2, 4 }; X ₂₆ = { 3, 4 } d. Memilih 1 unsur: X = { 1 }; X = { 2 } _{11 12} X = { 3 }; X = { 4 } _{13 14}

  e. Tanpa memilih X = { } _n Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2 1 elemen: 1  2 himp bag 2 elemen: 1 2 1  4 himp bag 3 elemen: 1 3 3 1  8 himp bag 4 elemen: 1 4 6 4 1  16 himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1  32 himp bag Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton

• Latihan:

Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen.

  Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B.

  Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }

  Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir

  S A B

  Sifat-sifat gabungan

  a. A U B = B U A  Hukum komutasi

  b. A (A U B) dan B (A U B)

  Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:

  s A B Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)

  b. (A ∩

  B) A dan (A ∩ B) B

  Operasi selisih

  Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut:

  S

  

B A Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”.

  Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus

  Komplemen

  A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)

  S

  A

  A’

  A Sifat: a. A U A’ = S

  b. A ∩ A’ = ø

  c. (A’)’ = A

  Latihan 1

  Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan- himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan :

  a). A – B b). B – A c) A ∩ B

  d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’

  g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’

  Latihan 2

  Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’ € € € € € € € €

Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius

  Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).

  Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.

  Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:

  Y X 1 2 3 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),

  (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut:

  Y 3 • • • • 2 • • • • 1 • • • • 0 1 2 3 4 X

  Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah H ₁ H ₂ H ₃ H ₄ PR = {1, 2} malas

  PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar

  Terdapat 4 himp bag H ₁ = {malas ttp pintar}

  H ₂ = {malas dan krg mengerti} H ₃ = {rajin ttp krg ngerti}

  H = {rajin dan pintar}

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan

• Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan
• D = {1, 2, 3, 4}

  h

Himpunan unsur-unsur kedua pasangan

urut, disebut dengan Wilayah hubungan:

• W = {1, 2, 3}

  h Kesimpulan:

• Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X

  dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.

• X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }
• Daerah hubungan D

  h = { x / x € X}

• Daerah hubungan: W

  h = { y / y € Y}

SISTEM BILANGAN

  1. Pembagian bilangan Bilangan

  2; -2;

  Nyata Khayal

  1,1; -1,1

• dan -

  Akar negatip

  Rasional Irrasional

  √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil

  Hasil bagi dua bil bulat, bulat, pecahan pecahan desimal tak desimal atau berulang desimal berulang 0,14925253993999… π, ℮ 0,1492525

  1; 4; 8;

  Bulat Pecahan

  ½; 2/7 dsb termasuk

  2. Tanda pertidaksamaan

• Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
• Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
• Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”

• • Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”

  3. Sifat

• Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
• Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
• Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
• Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

Fungsi

  Silabus:

  a. Pengertian

  b. Macam-macam fungsi

  c. Fungsi Linear

  d. Fungsi non Linear

Pengertian

  Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y) Dengan denah Venn sbb:

  X Y ◦ • ◦

• ◦ •

  Hubungan 1 - 1

  Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau Perhatikan juga contoh berikut:

• y = f(x)
• x
1<
• x
2<
• y _n
• x _n
• y
₁

  x ₁ x ₂ X Y y ₁

  X Y Gambar di atas, nilai x ₁ dan x ₂ dalam X, dihubung- kan dengan nilai y ₁ dalam Y, dengan bentuk y = f(x)

  Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di

  Transformasi mengandung pengertian yang luas:

  a. x menentukan besarnya nilai y

  b. x mempengaruhi nilai y c. Dll.

  Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x  y

  ditransformasi aturan

  simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y

  Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan

  matematis yang menyatakan hubungan ketergan- tungan (hub fungsional antara satu variabel Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat)

  Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (D ) dan nilai y disebut _f dengan Range atau Wilayah fungsi (R = W ). _{f f} D = { x / x ε X } _f W = { y / y ε Y } _f Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya?

  Jawaban: D = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } _f

Macam-macam fungsi

  Bentuk umumnya :

  Polinomial _{2 n}

  y = a + bx + cx + . . . + px

  y y Slope = a ₁ case c &lt; 0 a a x x

  Konstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1 Kuadratik, jika n = 2 y = a y = a + bx ² Y = c + bx + ax

  x y Titik belok Titik maksimum

  Fungsi kubik y = d + cx + bx ² + ax ³ Titik maksimum Titik minimum x y

  Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx ² + bx ³ + ax ⁴ b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola.

  y

Hiperbola:

y = (a/x), a &gt; 0

x

  c. Fungsi eksponensial dan logaritma

  y y Logaritma Eksponensial _x y = log x _b y = b , b&gt;1

Fungsi linear

• Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi
• Fungsi linear merupakan hubungan sebab- akibat dalam analisa ekonomi – misalnya:
• antara permintaan dan harga
• invests dan tingkat bunga
• konsumsi dan pendapatan nasional, dll
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1.
• Bentuk umum
• Diturunkan dari fungsi polinom: _{2 n}

  y = a + a x + a x + . . . + a x _{1 2 n}

• Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu

  y = a + bx  bentuk umum

  Contoh: y = 4 + 2x  a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis. y

  a = penggal garis

  

a

bx a + a y =

  y = ax + b,

  a

  pada sumbu y

  a

  yaitu nilai y

  ∆y = a

  saat x = 0

  ∆x b x

  1

  2

  3

  4

  5

  a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a

• Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan.
• Latihan-1 y = 4 + 2x

  Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis :

  x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a

  1

  2

  3

  4 Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0 Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x

  x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a

• 3

  Mendapatkan

• 2

  penggal garis pada sumbu x

• 1

  ketika y = 0

  1

  2

  3

  4

Kurva (grafik) fungsi

• Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama.
• Misalkan y = 36 – 4x maka a = -4  (∆y/∆x) b = 36
• Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y
• Hubungkan kedua titik penggal tersebut
• Titik penggal pada sb x,  y = .., x = … atau titik

  (…, …) Titik penggal pada sb y,  x = .., y = … atau titik (…, …) Grafik: y

  36 (0,36) •

  18 y = 36 – 4x (9,0) x

• 9

  Grafik dengan lereng negatip

• Gambarkan grafik fungsi:
• y = 2 + 4x
• Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0)

  Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2)

• Gambarkan :

  y y = 2 + 4x x

  

Grafik dengan lereng positip

Fungsi non linear (kuadratik)

• Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi
• Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom deraja
• Bentuk umum
• Diturunkan dari fungsi polinom:

  y = a + a

  1 x + a

  2 x

  2 + . . . + a n x n

• Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a

  2 ± 0, yaitu y = a + a

  1 x + a

  2 x

  2 atau sering ditulis: y = ax

  2 + bx + c

• Contoh - 2:
• Contoh - 1:
₂ 2<
• y = 2x + 4x + 6 a
• y = 8 – 2x – x a

  = 2  a &gt; 0) = -1 (a &lt; 0) b = 4 b = -2 c = 2 c = 8 

  Menggambar kurva non linear kuadratik

  a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 _{2 2} 0 = 8 – 2x – x atau 8 – 2x – x = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara:

  1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-

  ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x) (2 - x)(4 + x) = 0 (2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)

  2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) ₂

• b ± √ b – 4ac x = --------------------

  2c

  2

• (-2) ± √ (-2) – 4(-1)(8) x = -------------------------------

  2(-1)

  2 ± √ 4 + 32 2 ± 6 x = ---------------- = ---------

• 2 -2 x = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0)
₁ x = (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0) ₂ Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.

  b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0

  2

  , untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)

  y = 8 – 2x – x

  c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari.

• Mencari titik maks atau min
• Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim.

  Titik maks jika a &lt; 0 dan min jika a &gt; 0

  ₂

• b b – 4ac x =
• , dan y = ----------- 2a
• 4a

  c. Kurvanya simetri pada titik x _maks/min

  2 y = 8 – 2x – x , a &lt; 0  berarti maks x = -(-2)/(2)(-1) = -1 maks

  2 y = [(-2) – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 maks = 9.  titik maks (-1, 9).

• Gambarkan kurvanya:

  x y

• Latihan:

  Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: ₂ y = 2x + 4x + 6 Lanjutan:

• Hubungan dua garis

  Dua buah garis dengan fungsi linier dapat:

  a. berimpit

  y ¹ = a ¹ x + b ¹ y ² = a ² x + b ² Berimpit: Jika dan hanya jika a ₁ = a ₂ b ₁ = b ₂

  b. Sejajar

  y ¹ = a ¹ x + b ¹ y ² = a ² x + b ² Sejajar: Jika dan hanya jika a ₁ = a ₂ b ₁ ± b ₂ c. Berpotongan

  Berpotongan: jika dan y hanya jika Ttk pot

₁

₁ x + b a ± a _{1 2}

  = a y ¹

• y
₂ b ± b _{1 2}

  = a ₂ x + b ₂ x

  Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan.

  y Ttk pot ₁ Ttk pot ₁ x + b = a y ¹ a&lt;0 • ₂ • a&gt;0 y = ax + bx + c ₂ x

• Mencari titik potong dua

  garis/persamaan

• Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut
• Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong
• Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3 x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3  y = (1/3)x + 1
• (1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1
• (1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10
• Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10

  Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)

• Mencari titik potong dua garis/persamaan

  (1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut.

• Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)

  (1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4y = 23  4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x

  Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4) Latihan

  

Penggunaan Fungsi dalam ekonomi

Analisa keseimbangan pasar

  Keseimbangan pasar – Model linear Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Q – Q = 0) _{d s}

  Asumsi-2: Q = jumlah permintaan adalah fungsi _d linear P (harga). Jika harga naik, maka Q _d turun.

  Asumsi-3: Q = jumlah penawaran adalah fungsi _s linear P. Jika harga naik, maka Q juga _s naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol.

  Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat: Q = Q _{d s}

  Q = a - bP, slope (-) (1) _d Q = -c + dP, slope (+) (2) _s Gambarnya sbb:

  Q , Q _{d s} Q = -c + dP _s a

  Q = a -bP _d keseimbangan

  Q P P P ₁

• c
Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb: ₂ Q = 4 – p dan Q = 4P – 1 _{s d} Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}

  4 Q = 4p - 1

_S

1,3 keseimbangan

  3

  2 Q = 4 - p _D

  2

  1

• Latihan • Temukan keseimbangan dari Q dan Q

  d s tersebut

  Keseimbangan pasar (lanjutan)

  Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika: ₂ Q = 16 – P , (Permintaan) _{d 2} Q = 2p – 4p (penawaran) _S

  Gambarkan grafiknya Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Penjelasan Pada saat keseimbangan maka Q = Q _{2 2 d s} 16 – p = 2p – 4p ₂

  3p – 4p – 16 = 0 Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 ₂ dengan bentuk umum: ax + bx + c

  Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16

  2 1/2 ^1/2

  p = (-b) ± (b – 4ac) = 4 ± (16 + 192) = 3.1 (+)

  6 2a _{2 2} Q = 16 – p = 16 - (3.1) = 6.4 _d

  Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1) Grafik: ₂ Fungsi Permintaan: Q = 16 – p _d

  a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0) ₂

  b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p = 0 (p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4) c.Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0 ₂ p = (b – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16)

  Grafik: Fungsi penawaran ₂ Q = 2p – 4p _s

  a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0) ₂

  b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p – 4p = 0 Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)

  (p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)

  c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 _{2 2} p = (b – 4ac)/(-4a) = (-4) – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2) Grafik:

  Q _s p

  4

  _d

  6.4

  16 Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5

  Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, Penjelasan ekses suplai dan ekses demand

  Q _s Q _d

  Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun.

DERIFATIF

  1.1. Pengantar Kalkulus Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang

  a. Fungsi

  b. Derivatif atau fungsi turunan

  c. Derivatif parsial dan

  d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife- rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan

  2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal

  6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte- gral.

  Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.

  1.2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: ₂

  2x + x - 3 h(x) = ------------- x - 1

  Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per- hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu) Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak- tornya, sehingga:

  2

  (x-1)(2x +3) 2x + x - 3 h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 3 x - 1 x - 1

  2

  x - 4 Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x - 2 tentu, untuk x = 2

  Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x – 2)(x + 2) g(x) = ------------------- = x + 2. x - 2 Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefi- nisi di titik x = 1. Un- tuk x ± 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga

  y

  untuk x mendekati

  5 ◦

  1, h(x) akan mende-

  y = h(x)

  4

  kati 5. Dikatakan

  3

  limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5.

  2

  1

  1 x Keadaan di atas, dicatat sebagai:

  2 2x + x - 3

  lim h(x) = lim ------------- = 5

  x1 x1 x - 1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1

  Demikian juga dengan g(x) di atas

  2

  x - 4 lim g(x) = lim --------- = 4. x - 2

  x  2 x  2

  1.3. Pengertian Derivatif Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka:

lim f(x) = f(x )

x -&gt; x

  Y Y = f(x) diskontinu pada x = x

  Y = f(x) Y=f(x) y ◦ ₁ y y

  Y = f(x) kontinu

  pada x = x x x Sehingga f(x) – f(x )

• =
• x – x

  f(x) – f(x ) disebut dengan derivatif

  Maka lim

• x-&gt;x x – x fungsi f dititik x = x .

  

Dengan mensubstitusi Δx = x – x , atau x =

x + Δx, untuk x-&gt; x berarti Δx -&gt;0 atau:

  f(x + Δx) – f(x )

• merupakan derivatif lim

  Δx atau turunan fungsi.

  Δx-&gt; 0 Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + Δy = f(x + Δx)

  Y = f(x) y ₁ Δy y

  ◦ Δx x x ₁ Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x).

  Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)

• Δx
lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)
• Δx-&gt;0

  Δx adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx ₂ Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x + 1, dititik x = 5.

  Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. ₂ y + Δy = (x + Δx) + 1 ₂ y = x + 1 (-)

  

Dengan pengurangan:

  2

  2 Δy = (x + Δx) + 1 – x – 1

  2

  2

  2

= x + 2xΔx + (Δx) + 1 – x – 1

  2 = 2xΔx + (Δx)

  2 Δy/Δx = 2x Δx + (Δx) Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx

  Δx -&gt;0 Δx -&gt;0 Δx -&gt;0 dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. n Fungsi pangkat (power function) y = x

n

y + Δy = (x + Δx)

n

  Δy = (x + Δx) – y n n

  Δy = (x + Δx) – x Ingat kembali bil. Binom Newton

  2

  2

  2 (a + b) = a + 2ab + b

  4

  4

  3

  2

  2

  3

  4 (a + b) = a + 4a b + 6a b + 4ab + b

  4

  3 = C(0, 4)a + C(1, 4)a b +

  2

  2

  3

  3 C(2, 4)a b + C(3, 4)ab +C(4,4)b C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n unsur.

  C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya.

  

C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4

unsur.

  n !

  C(i, n) = ------------

  i ! – (n – i)! n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1 _{n n} Sekarang: Δy = (x + Δx) – x _{n n-1}

  = C(0, n)x + C(1, n)x Δx + _{n-2 2} C(2, n)x + Δx C(3, n)x Δx ^{n-3 3} +

  C(4, n)x Δx ^{n-4 4} + ………… + _{n-1 n} C(n-1, n)xΔx - x

  n! n.n-1.n-2.n-3. … C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1 0!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 … n! n.n-1.n-2.n-3. … C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n

  1.n-1.n-2.n-3. … 1!(n-1)! n.n-1.n-2.n-3. … n.n-1 n! C(2, n) = ---------- = ---------------------- = -----

  2!(n-2)! 2 2.1.n-2.n-3. …

  n n

  Δy = (x + Δx) – x _{n n-1 n-2 2} = x + nx Δx + n(n-1)x Δx +

  C(3, n)x Δx ^{n-3 3} +

  2 _{n-4 4} C(4, n)x Δx +

  …… + _{n-1 n} C(n-1, n)xΔx - x = nx Δx + n(n-1)x Δx ^{n-1 n-2 2} _{n-3 3}

• C(3, n)x + Δx

  C(4, n)x Δx ^{n-4 4} + …… + _n-1 C(n-1, n)xΔx n-1 n-2

  Δy = nx + n(n-1)x Δx + _{n-3 2}

  2

  Δx

• C(3, n)x Δx C(4, n)x Δx ^n-4
³ + …… + _n-2 C(n-1, n)xΔx

  Δy _{n-1 n-1} Lim ---- = lim nx atau dy/dx = nx

  Δx

  Δx-&gt;0 Δx-&gt;0

  dy/dx = 5x ₃ Mis C = total cost, q = output C = q ₂ derivatif C thdp q = 3q .

  Rule 2: Multiplication by a constant.

  2

y = f(x)= cx , c adalah konstanta, dy/dx?

  

2

y + Δy = c(x + Δx)

  2

  2

  2 Δy = cx + c2xΔx + c(Δx) – cx

  2 = c2xΔx + c(Δx)

  Δy

• = c2x + c(Δx)

  Δx Δy

  

lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x

  Δx Δx-&gt;0 Δx-&gt;0

  2 Contoh: y =f(x) = 5x 2-1 f’(x) = 5(2)x = 10x

Rule 3: Derivative of a sum

  f(x) = g(x) + h(x)

Dengan pembuktian yang sama spt

rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x)

  Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)

  Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x).

  Contoh:

  4

  3 Cari derivatif f(x) = 7x + 2x – 3x + 37

  

4

  3 g(x) = 7x ; g’(x) = 28x

  

3

  2 h(x) = 2x ; h’(x) = 6x k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0

  3

  2 jadi f’(x) = 28x + 6x – 3.

  Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x)

  2 Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x ) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2

  2 h(x) = 3x ; h’(x) = 6x Jadi:

  2 f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x )(2)

  

2

  2 = 12x + 18x + 6x

  

2

= 18x + 18x.

  Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x)

  2 [h(x)] Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3)

  2 (x + 1) = 2x + 2 – 2x + 3 = 5

  2

  2 (x + 1) (x + 1)

  Rule 6: Chain rule

Fungsi berantai bentuknya sbb:

  y = f(u) y = f(z) u = g(x) z = g(u) u = h(x)

  Dicari derivatif y ter- hadap x atau dy/dx.

  Dari u = g(x) didpt Dengan cara yang sama du/dx. dy du dz dy

  Dari y = f(u) didpt dy/ = du dz dx dx du, Maka dy du

  = dy . Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2x

  Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15y

  Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa- lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu dy/dx = 2

  Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah- an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.

  3 Contoh: Jika y = uv, dimana u = s dan s = 1 – x. _{2 2} v = t dan t = 1 + x _{3 2}

  2

  v = t ,  dv/dt = 2t u = s ,  du/ds = 3s ₂ t = 1 + x  dt/dx = 2x s = 1 – x  ds/dx = -1 y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) _{3 2 2}

  = s (2t)(2x) + t (3s )(-1) _{3 2 2 2} = 4s tx -3t s = s t(4sx – 3t) _{2 2 2} Substitusi, dy/dx = (1-x) (1+x )[4(1-x)(x) – 3(1+x )]

  2 ³ Contoh: Jika y = (1 + x ) , dapatkan dy/dx.

  Dengan memakai derivatif fungsi berantai: _{2 3} Mis u = 1 + x , dan oleh karena itu y = u _{2 2 2} dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u )(2x) = 6x(1 + x ) .

  1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: _{2 2} d y/dx atau f”(x) atau y”

  Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. _{3 2} Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x – 3x + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2.

  3

  2 f(x) = x – 3x + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0

  2 f’(x) = 3x – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6 f”’(x) = 6 f”’(2) = 6.

  1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Q = f(h, h , s , i,) _{d kl K} dimana h = harga komoditi itu sendiri h = harga komoditi lain _kl s = selera konsumen _K i = income

  Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung.

  Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau f _x

  Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau f _y

  Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y)

  Δx-&gt;0 Δx-&gt;0

  Δx Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai: ∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y)

  Δy-&gt;0 Δy-&gt;0

  Δy

  2 ²

  Contoh: Jika z = 3x + 2xy – 5y ,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: _{2 2 3} Contoh: z = (x + y ) _{2 2 2 2 2}

  ∂z/∂x = f = 3(x2 + y ) (2x) = 6x(x + y ) _{X 2 2 2 2 2 2} ∂z/∂y = f = 3(x + y ) (2y) = 6y(x + y ) _{2 2 y 2 2 2 2 2}

  ∂ z/∂x = f = 12x(x + y )(2x) = 24x (x + y ) _{2 2 XX 2 2 2 2 2} ∂ z/∂y = f = 12y(x + y )(2y) = 24y (x + y ) _{2 yy 2 2}

  ∂ z/ ∂y∂x = f = 12x(x + y )(2y) = derivatif ∂z/∂x _yx thd y _{2 2} 24xy(x + y ). _{2 2 2 2 2} ∂ z/∂x∂y = f = 12y(x + y )(2x) = 24xy(x + y ) _xy