BAB VII. TRIGONOMETRI - 7. Trigonometri

BAB VII. TRIGONOMETRI

• −

  2

  2 A

  A

  −

  Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian

  Æ jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)

  Jumlah/selisih Æ perkalian 1.

  Sin A + sin B = 2 sin

  2

  1 (A + B) cos

  2

  1 (A –B)

  2. Sin A - sin B = 2 cos

  www.belajar-matematika.com - 1

  1 tan

  2

  1 (A –B)

  3. cos A + cos B = 2 cos

  2

  1 (A + B) cos

  2

  1 (A –B)

  4. cos A - cos B = - 2 sin

  2

  1 (A + B) sin

  2

  1 (A –B)

  1 (A + B) sin

  3. tan 2A = ₂ ) (tan

  Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

  1 4. cosec α =

  Sin α =

  r y

  r y Cos

  α =

  r x

  α x Tan α =

  x y Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. ² sin

  α + ² cos α = 1

  2. tan α = α

  α cos sin

  3. sec α = α cos

  α sin 1 5 . cotan α =

  1 tan tan

  α α sin cos 6. ² tan

  α + 1 = ² sec α 7. ² cot an α + 1 = ² cos ec α

  Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :

  1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B 2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B

  3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

  5. tan (A + B) =

  B A B A

  . tan tan

  1 tan tan −

  6. tan (A - B) =

  B A B A

  . tan tan

  Rumus-rumus Sudut Rangkap : 1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = ² cos A - ² sin A

7. SOAL-SOAL TRIGONOMETRI

  CD adalah tinggi ∆ ABC

  1

  1 Luas . alas . tinggi = . AB . CD ∆ ABC =

  2

  2 EBTANAS1993

  5

  1. Bila 0 < a < 90 dan tan a = , maka sin a Lihat aturan sinus & cosinus :

  11

  1

  1

  5

  25

  1

  5

  1 Luas ab sin γ = ac sin β ∆ ABC = A.

  B.

  C.

11 D.

  E.

  11

  2

  2

  6

  36

  6

  36

  36

  1 = bc sin α

  2 Jawab: Diketahui:

  Gunakan pengertian sinus,cosinus dan tangen b = AC = 4cm; c = AB = 3cm;

  α = 60 Maka : r y 5

  1

  1 . AB . CD = bc sin α

  2

  2 x

  1

  1 α =

  Luas bc sin . 4.3 . sin 60 ∆ ABC =

  11

  2

  2

  y

  5

  1

  = =

  Tan a = 6. . 3 = 3

  3

  x

  11

  2

  1 . AB . CD = 3 3 ^{2 2}

  x y

• r =

  2

  = = = 6

  11

• 1

  25

  36 . 3. CD = 3 3

  2

  1 . CD = 3

  5

  y

  sin a = =

  2

  r

  6 CD = 2. 3 jawabannya adalah A Jawabannya adalah E

  EBTANAS2002

  2. Diketahui ∆ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC

  EBTANAS1999 = 4 cm dan . CD adalah tinggi ∠CAB = 60 ∆ ABC.

  3. Nilai dari sin 1020 = ….. Panjang CD = …

  1

  1

  1

  1 A. -1 B. -

  3 C. - D.

  E.

  3

  2

  2

  2

  2

  2 A. 3 cm C. 2 cm E. 2 3 cm

  3 jawab :

  3 B. 3 cm D. 3 cm

  2 α , maka α + k. sin x = sin x = 360 ₁ Jawab: C α + 2. sin 1020 = sin ( 360 ) = sin 300

  4cm lihat hubungan nilai perbandingan sudut:

  60 3cm sin 300 = sin ( 360 - 60 )

  A D B

  1 = - sin 60 = -

  3

  2 jawabannya adalah B UMPTN1990 UAN 2002 sin 270 . cos 135 tan 135

  − 4. =…

  8

  12 sin 150 . cos 225

  5. Diketahui sin A = dan tan B= , A sudut

  17

  5 tumpul dan B sudut lancip. Nilai sin (A-B)=…

  1

  1 A. -2 B. - C.

  D. E. 2

  2

  2 140 21 220

  A. - C.

  E. 221 221 221 jawab: 21 171

  (1) sin 270 = sin (180 + 90 ) = - sin 90

  B. - D.

  221 221 = -1

  Jawab: (2) cos 135 = cos (180 - 45 ) = - cos 45 sin (A-B)= sin A cos B - cos A Sin B

  1 = -

  2

  diketahui:

  2 8 y sin A = =

  17 r sin 135 (3) tan135 =

  x

  cos 135 cos A = ;

  r

  1 cos 135 = -

  2

• r = x y
^{2 2}

  2

  1 sin 135 = sin 45 =

  2 _{2 2 2}

  r = x + y

  2 sehingga tan135 = - 1 _{2 2 2} x = r - y (4) sin150 = sin (180 - 30 ) = sin30 _{2 2}

  1 x = r − y

  =

  2 ^{2 2} =

  17 − 8 = 289 −

  64 = 225 = 15 (5) cos 225 = cos (180 + 45 ) = - cos 45

  1

  15 = -

  2

  sehingga cos A =

  2

  17

  12

  y

  masukkan ke dalam persamaan: tan B= = 5 x sin 270 . cos 135 tan 135

  − _{2 2 2 2} = r = x y =

  12 + + 5 = 169 = 13

  sin 150 . cos 225

  1 ( − 1 ).( − 2 ) − ( − 1 )

  y

  12 x

  5

  2 sehingga : sin B = = dan cos B= =

  1

  1

  r

  13 r

  13 .( − 2 )

  2

  2 maka : sin (A-B) = sin A cos B - cos A Sin B

  1

  2

  2 + .

  1

  2

• 2

  1

  8

  5

  15

  12

• 1

  2

  4 2 = . - .

  2 = = = . (- )

  17

  13

  17

  13

  1

  2

  2

  2

  2 −

  −

  4

  4

  40 180 140 = = - -

• 1

  2 221 221 221

  = - 4 = - 2 (1+

  2 )

  2 tidak ada jawaban yang tepat jawabannya adalah A

  α ) (-cos x - 3 sin x) diubah menjadi bentuk k cos (x -

  UAN2006 6. Nilai dari cos 465 - cos 165 adalah….

  A.

2 C. 3 E. 6 B.

  2

  1

  α ) k = ^{2 2}

• b a
• =

  2

  2

  a b

  = 2 tan α =

  4

  1

  3

  diketahui a = -1 ; b= - 3 k =

  1 3 D.

  B.- 2 cos ( x +

  1 π ) jawab: ingat rumus : a cos x + b sin x = k cos (x -

  3

  C. 2 cos ( x +

  7 π )

  6

  4 π ) E. . 2 cos ( x -

  = 3 lihat di tabel sudut-sudut istimewa: α = 60 lihat soal di atas : (-cos x - 3 sin x) : cos x bernilai -, dan sin x bernilai -, maka x berada di kuadran III : sehingga

  α = 180

• 60 = 240 =
• 2 sin 315 sin 150 = -2 . (-

  3

  B. y = sin (2x -

  )

  2 π

  C. y = 2 sin (x +

  ) E. . y = 2 sin (2x + π )

  2 π

  )

  4 π sehingga bentuk (-cos x - 3 sin x) dapat diubah menjadi = 2 cos (x -

  2 π

  ) D. y = sin (2x +

  2 π

  A. y = 2 sin (x -

  UAN2003 8. Persamaan grafik di bawah adalah =….

  4 π ) jawabannya adalah A

  3

  3

  7 π )

  1

  1 (465 +165 ) sin

  2

  1 (630 ) sin

  2

  = -2 sin

  1 (465 –165 )

  2

  2

  = - 2 sin 315 sin 150 sin 315 = sin (360 - 45 ) = - sin 45 = -

  = - 2 sin

  1 (A –B) cos 465 - cos 165

  2

  1 (A + B) sin

  2

  6 jawab : cos A - cos B = - 2 sin

  1 (300 )

  2

  6

  1 =

  4 π ) D. .- 2 cos ( x -

  3

  jawabannya dalah A UAN2005

  2

  1

  2

  2

  1

  1 2 ) .

  2

  1

  2

  sin 150 = sin (180 - 30 ) = sin 30 =

  2

  7. Bentuk (-cos x - 3 sin x) dapat diubah dalam bentuk: A. 2 cos ( x -

• 3 = sin x Æ tidak ada yang memenuhi sehingga didapat x = 30 , maka cos x = cos 30 =

  A. {15 , 255 }

  2

  1

  2

  1 = sin x ; x = 30 atau x = 150 (150 tidak masuk range soal) y = -3

  2

  1

  3 jawabannya adalah E UAN2006

  10. Himpunan penyelesaian persamaan

  2

  cos x +

  2

  sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah

  B. {30 , 255 }

  C. {60 , 180 }

  D. {75 , 315 }

  E. {105 , 345 } Jawab: rumus umum : a cos x + b sin x = k cos (x - α ) a =

  2 ; b =

  2

  k = ^{2 2}

• b a = 4 = 2

  tan α =

  a b

  =

  2

  2 = 1

  α = 45 k cos (x - α ) = 2 cos (x - 45 ) = 1 cos (x - 45 ) =

  2

  1 atau y= -3 y = sin x y =

  (2y -1) (y +3) = 0 y =

  2

  2

  jawab: Fungsi grafik adalah fungsi sinus, fungsi umumnya adalah: y = A sin (

  T

  π

  2 x + θ ) A = amplitude = ½ (nilai maksimum-nilai minimum) = ½ (2 –(-2) ) = 2 T = 2

  π (perioda sinus dan cosinus) y = 2 sin ( π π

  2

  2 x + θ ) = 2 sin (x + θ ) untuk cari θ , chek nilai : (0 , 2) Æ 2 = 2 sin (0 +

  θ ) 1 = sin θ

  θ = 90 Jadi persamaan grafiknya adalah y = 2 sin (x +

  2 π

  ) jawabannya adalah C UAN2005

  9. Diketahui persamaan 2 sin ² x + 5 sin x – 3 = 0 Dan -

  2 π π < < x , nilai cos x adalah….

  jawab: misal : y = sin x, maka persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi : 2y ² + 5 y – 3 = 0

  A. -

  2

  1 3 C.

  2

  1 E.

  2

  1

  3 B. -

  2

  1 D.

  2

  1

  2

  1 x - 45 = 60 atau x - 45 = (360 - 60 ) x = 105 x = 300 + 45 = 345

  (ingat cos + di kuadran I ( 0 - 90 ) dan di kuadran IV (270 - 360 ) ) Jadi himpunan penyelesaiannya : { 105 , 345 } Jawabannya adalah E.

  3

  1 3 1 Cos 1

  2

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  2

  c Aturan cosinus 1. ² a = ² b + ² c - 2bc cos α

  2

  1

  2

  1

  α

  30

  45

  60

1 Tan 0

  = γ sin

  2

  θ ) = -cos θ tan (180 + θ ) = tan θ

  II I Sin + Semua +

  III IV Tan + Cos +

  Kuadrant II

  α

  Kuadrant I

  3 ~

  1 3 1

  Kuadrant IV : Sin (360 -

  b

  θ ) = -sin θ Cos (360 - θ ) = cos θ tan (360 - θ ) = -tan θ

  Aturan sinus dan cosinus

  C b γ a α β

  A c B

  aturan sinus

  α sin

  a

  = β sin

  90 Sin 0

• α Kuadrant III
• α Kuadrant IV

• - α

  1 bc sin α

  2. ²

  Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

  360

  180

  180

  Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:

  Kuadrant I Sin (90 -

  θ ) = cos θ Cos (90 -

  θ ) = sin θ tan (90 - θ ) = cotan θ Kuadratn II : Sin (180 - θ ) = sin θ Cos (180 - θ ) = -cos θ tan (180 -

  θ ) = -tan θ Kuadrant III : Sin (180 + θ ) = -sin θ Cos (180 +

  b = ² a + ² c - 2ac cos β

  2

  3. ²

  c = ² a + ² b - 2ab cos

  γ

  Luas Segitiga

  Luas segitiga =

  2

  1 ab sin γ =

  2

  1 ac sin β Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub : Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri

  www.belajar-matematika.com - 2 Sudut-sudut istimewa : Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

  =

  1. Persamaan

  P(x,y) Æ koordinat cartesius

   Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri

  P(r, α )Æ koordinat kutub

   adalah :

  a. sin x = sin α , maka x = α + k. 360 y ₁

  x = ( 180 - α ) + k. 360 ₂

  α x b. cos x = cos α , maka x = ± α + k. 360 _{1 , 2} P (x,y) → P (r, α ) c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 ^{2 2}

• r = x y

  y

  α didapat dari tan α =

   Persamaan umum trigonometri adalah : x

  a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α ) ^{2 2}

  P (x,y) dengan k = a b : x = r cos α ; y = r sin α persamaan lengkapnya: jadi , p (x,y) = p(r cos α , r sin α ) a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c

• P (r, α ) →

  Nilai Maksimum dan Minimum b

  α didapat dari tan α =

  a

  1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka

  Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai

  a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1 jawaban adalah : sehingga (x + n π )= 0 _{2 2 2}

  b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1 c + b

  ≤ a π )= π sehingga (x + n

  2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka

2. Pertidaksamaan

  a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1 π Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti

  π )= sehingga (x + n sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat

  2 diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1 umum pertidaksamaan seperti :

  3 π sehingga (x + n π )=

• Diagram garis bilangan

  2

• Grafik fungsi trigonometri

  www.belajar-matematika.com - 3

  Fungsi Trigonometri:

  1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x .

   Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x

  a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

  b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1

  c. Memiliki Periode sebesar 2 π

  d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat

  2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x

  a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1

  b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1

  c. Memiliki Periode sebesar 2 π

  d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat

  www.belajar-matematika.com - 4

  2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :

  a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga)

  b. Mempunyai perioda sebesar π

  c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat

  www.belajar-matematika.com - 5