Aturan Cramer and Eliminasi Gauss Ongg
Aturan Cramer dan Eliminasi Gauss
Soal
Tentukan solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) di bawah ini
}
Yaitu tentukan nilai dari
dan
.
Jawab
1. Cara Aturan Cramer
Bentuk SPL di atas menjadi persamaan matriks
[
][ ]
]
[
a. Tentukan masing-masing nilai determinan dari matriks
yaitu | | | | | | dan | |.
= matriks yang kolom ke-1-nya diganti dengan .
= matriks yang kolom ke-2-nya diganti dengan .
= matriks yang kolom ke-3-nya diganti dengan .
[
Ingat bahwa jika matriks
oleh
| |
|
dan
], maka determinan dari
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
diberikan
|
Sehingga
| |
|
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
Halaman 1 dari 6
|
|
|
|
|
|
|
b. Tentukan nilai
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dengan cara
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Sehingga solusi dari SPL di atas adalah
|
|
|
|
dan
dan
.
2. Cara Eliminasi Gauss
Bentuk SPL di atas menjadi persamaan matriks
[
][ ]
[
]
a. Eliminasi Gauss menggunakan 3 operasi baris elementer pada matriks,
yaitu:
1. Menukar dua buah baris
2. Mengalikan/membagi sebuah baris dengan konstanta selain 0
3. Menjumlahkan/mengurangi sebuah baris dengan kelipatan baris lain
b. Dengan eliminasi Gauss, ubah matriks
seukuran dengan , yaitu
[
]
menjadi matriks identitas ( ) yang
[
]
dengan cara melakukan satu per satu langkah-langkah pada salah satu
dari 3 operasi baris elementer pada bagian a. Mulai!
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
Halaman 2 dari 6
c. Gabungkan matriks
matriks .
dengan matriks
(
[
sebelum mengubah
|
|
]
menjadi
)
Langkah 1
Ubah 4 (pada baris pertama ) menjadi 1 (baris pertama ) dengan cara
mengurangi baris pertama dengan baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 2
Ubah 3 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
mengurangi baris kedua dengan 3 × baris pertama (operasi no.3). Yaitu
|
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
|
)
|
Langkah 3
Ubah 2 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
mengurangi baris kedua dengan 2 × baris pertama (operasi no.3). Yaitu
|
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
|
|
)
Halaman 3 dari 6
Langkah 4
Ubah 5 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris ketiga ) dengan cara
membagi baris kedua dengan 5 (operasi no.2). Yaitu
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 5
Ubah 5 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris ketiga ) dengan cara
membagi baris kedua dengan 5 (operasi no.2). Yaitu
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 6
Tukar baris kedua dengan baris ketiga
pada baris ketiga .
Sehingga matriks menjadi
(
(operasi no.2) agar didapatkan 1
)
|
Langkah 7
Ubah 7 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris kedua ) dengan cara
mengurangi baris kedua dengan 7 × baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
|
|
|
)
Halaman 4 dari 6
Langkah 8
Ubah -25 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris kedua ) dengan cara
membagi baris kedua dengan -25 (operasi no.2). Yaitu
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 9
Ubah 7 (pada baris ketiga ) menjadi 0 (baris ketiga ) dengan cara
mengurangi baris ketiga dengan 7 × baris kedua (operasi no.3). Yaitu
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
|
|
)
|
Langkah 10
Ubah -8 (pada baris pertama ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
menambah baris pertama dengan 8 × baris kedua (operasi no.3). Yaitu
|
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
|
)
|
Langkah 11
Ubah -1 (pada baris pertama ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
menambah baris pertama dengan baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
Sehingga matriks menjadi
|
|
(
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
| )
Halaman 5 dari 6
Terlihat bahwa matriks telah menjadi matriks Identitas , dengan
demikian proses selesai.
Solusi dari SPL tersebut ditunjukkan pada bagian matriks yang telah
termodifikasi yaitu (lihat sisi kanan matriks terakhir)
Artinya
dan
.
( )
Selesai.
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
Halaman 6 dari 6
Soal
Tentukan solusi dari Sistem Persamaan Linear (SPL) di bawah ini
}
Yaitu tentukan nilai dari
dan
.
Jawab
1. Cara Aturan Cramer
Bentuk SPL di atas menjadi persamaan matriks
[
][ ]
]
[
a. Tentukan masing-masing nilai determinan dari matriks
yaitu | | | | | | dan | |.
= matriks yang kolom ke-1-nya diganti dengan .
= matriks yang kolom ke-2-nya diganti dengan .
= matriks yang kolom ke-3-nya diganti dengan .
[
Ingat bahwa jika matriks
oleh
| |
|
dan
], maka determinan dari
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
diberikan
|
Sehingga
| |
|
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
Halaman 1 dari 6
|
|
|
|
|
|
|
b. Tentukan nilai
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dengan cara
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Sehingga solusi dari SPL di atas adalah
|
|
|
|
dan
dan
.
2. Cara Eliminasi Gauss
Bentuk SPL di atas menjadi persamaan matriks
[
][ ]
[
]
a. Eliminasi Gauss menggunakan 3 operasi baris elementer pada matriks,
yaitu:
1. Menukar dua buah baris
2. Mengalikan/membagi sebuah baris dengan konstanta selain 0
3. Menjumlahkan/mengurangi sebuah baris dengan kelipatan baris lain
b. Dengan eliminasi Gauss, ubah matriks
seukuran dengan , yaitu
[
]
menjadi matriks identitas ( ) yang
[
]
dengan cara melakukan satu per satu langkah-langkah pada salah satu
dari 3 operasi baris elementer pada bagian a. Mulai!
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
Halaman 2 dari 6
c. Gabungkan matriks
matriks .
dengan matriks
(
[
sebelum mengubah
|
|
]
menjadi
)
Langkah 1
Ubah 4 (pada baris pertama ) menjadi 1 (baris pertama ) dengan cara
mengurangi baris pertama dengan baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 2
Ubah 3 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
mengurangi baris kedua dengan 3 × baris pertama (operasi no.3). Yaitu
|
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
|
)
|
Langkah 3
Ubah 2 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
mengurangi baris kedua dengan 2 × baris pertama (operasi no.3). Yaitu
|
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
|
|
)
Halaman 3 dari 6
Langkah 4
Ubah 5 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris ketiga ) dengan cara
membagi baris kedua dengan 5 (operasi no.2). Yaitu
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 5
Ubah 5 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris ketiga ) dengan cara
membagi baris kedua dengan 5 (operasi no.2). Yaitu
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 6
Tukar baris kedua dengan baris ketiga
pada baris ketiga .
Sehingga matriks menjadi
(
(operasi no.2) agar didapatkan 1
)
|
Langkah 7
Ubah 7 (pada baris kedua ) menjadi 0 (baris kedua ) dengan cara
mengurangi baris kedua dengan 7 × baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
|
|
|
)
Halaman 4 dari 6
Langkah 8
Ubah -25 (pada baris kedua ) menjadi 1 (baris kedua ) dengan cara
membagi baris kedua dengan -25 (operasi no.2). Yaitu
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
)
|
Langkah 9
Ubah 7 (pada baris ketiga ) menjadi 0 (baris ketiga ) dengan cara
mengurangi baris ketiga dengan 7 × baris kedua (operasi no.3). Yaitu
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
|
|
)
|
Langkah 10
Ubah -8 (pada baris pertama ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
menambah baris pertama dengan 8 × baris kedua (operasi no.3). Yaitu
|
|
|
Sehingga matriks menjadi
(
|
|
)
|
Langkah 11
Ubah -1 (pada baris pertama ) menjadi 0 (baris pertama ) dengan cara
menambah baris pertama dengan baris ketiga (operasi no.3). Yaitu
Sehingga matriks menjadi
|
|
(
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
|
| )
Halaman 5 dari 6
Terlihat bahwa matriks telah menjadi matriks Identitas , dengan
demikian proses selesai.
Solusi dari SPL tersebut ditunjukkan pada bagian matriks yang telah
termodifikasi yaitu (lihat sisi kanan matriks terakhir)
Artinya
dan
.
( )
Selesai.
Aturan Cramer & Eliminasi Gauss – Onggo Wiryawan
Halaman 6 dari 6