IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si
T ELKOM U NIVERSITY J ALAN T ELEKOMUNIKASI
1, B
ANDUNG , I
NDONESIA Proses Menghitung
Proses stokastik N (t), t ≥ 0 dikatakan proses menghitung (counting process ) jika N (t) atau N menyatakan banyaknya peristiwa yang
t terjadi selama waktu t. Contoh
M P M ? Banyaknya bayi yang lahir saat t.
Banyaknya orang yang datang ke ’Carepour’ dalam waktu [0, t] Proses Menghitung
Proses menghitung N (t), t ≥ 0 memenuhi sifat: N (t) ≥ 0 N
(t) adalah bilangan bulat Jika s < t, maka N (s) ≤ N(t) Untuk s < t, N
(t) − N(s) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu (s, t] Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increment) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu t (yaitu N
(t))bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara t dan t + s (yaitu N(t + s) − N(t)).
Contoh
Bayi yang lahir sampai waktu t, ’ii’ kah? Bagaimana dengan ’banyaknya gol yang diciptakan pemain sepak bola’?
Proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationary increment) jika banyaknya kejadian pada interval waktu (t + s, t + s] (yaitu N(t + s) − N(t + s)) mempunyai distribusi
1
2
2
1
yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu , t (t
1 2 ]
(yaitu N (t ) − N(t )), untuk semua t < t , s > 0
2
1
1
2 Contoh
Banyaknya gol pemain sepak bola sampai waktu ke t, ’si’kah? Little o f (h)
Fungsi f (h) dikatakan o(h) jika lim h→ = 0
h
C ONTOH Untuk interval waktu yang kecil (h > 0) −λ ∞ (−λh) n h e = Σ
n =0
n !
2
3
(−λh) (−λh) = 1 − λh + − + ...
2
3 −λ !
h
e = 1 − λh + o(h) (tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil), sehingga peluang ada kejadian pada interval waktu yang kecil, −λ
h
1 − e = λh + o(h) Proses Poisson
Suatu proses menghitung N (t), t ≥ 0 dikatakan Proses Poisson dengan laju (parameter) λ > 0 jika memenuhi N
(0) = 0 Proses mempunyai kenaikan bebas dan kenaikan stasioner P
(N(h) = 1) = λh + o(h), untuk h interval waktu yang pendek P (N(h) ≥ 2) = o(h) Catatan
Maka untuk t ≥ 0 berlaku
n
(λt) −λ
t P (t) = P(N(t + s) − N(s) = n) = e , k = 0, 1, 2, ... n
n ! adalah peluang bawa ada n kejadian yang terjadi pada interval t. Catatan
N (t + s) − N(s) ∼ POI(λt)
E (N(t)) = λt dan Var(N(t)) = λt Laju dari proses (rate) atau mean kejadian per satuan waktu t
E (N(t)) λ
= t Proses Poisson stasioner, maka P (N(s + t) − N(s) = n) = P (N(t) = n|N(0) = 0) = P t (t) untuk sebarang s ≥ 0, t ≥ 0.
LatihanPelanggan tiba di toko ’Indomar’ mengikuti PP dengan laju 2 orang per jam. Jam kerja toko pukul 10.00 − 18.00.
Tentukan peluang 2 pelanggan datang pada pukul 13.00 − 15.00
Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja Panggilan telepon suatu kedai delivery order 14045 mengikuti PP dengan laju 8/jam. Tentukan peluang terdapat 2 panggilan telepon pada setengah jam pertama, diketahui terdapat 5 panggilan telepon pada setengah jam kedua?
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time) Berdasarkan proses menghitung N (t), t ≥ 0
Perhatikan bahwa kejadian - kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval. Panjang interval ini disebut dengan waktu antar kedatangan. Distribusi Waktu Antar Kedatangan
Waktu antar kedatangan X , n = 1, 2, ... dari suatu PP adalah saling
n
bebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ X , X , X , ...X ∼ EXP(λ)
1
2 3 n
dengan,
1
1 E (X n ) = ; Var(X n ) =
2
λ λ Karakteristik: Memory less properties Waktu Tunggu (Waiting Time)
Waktu menunggu sampai kejadian ke-n, t
1 + (t 2 − t 1 ) + (t 3 − t 2 ) + ... + (t n − t n− 1 )
Jika S
n
adalah waktu sampai kejadian ke-n, maka S n = X
1 + X 2 + ... + X n
, n = 1, 2, ... Distribusi Waktu Tunggu
P P N (t) ∼ POI(λt) dan X(n) ∼ EXP(λ)
W T
n
S (n) = Σ X , S = 0
n k =1
Untuk X n , n = 1, 2, ... saling bebas dan X(n) ∼ EXP(λ), maka S (n) ∼ GAM(λ) Z t n− −λ
1 t
λ(λt) e P (S n ≤ t) = dt
(n − 1)! Latihan
1 Segerombolan imigran datang ke suatu wilayah dengan rate λ = hari
mengikuti proses Poisson.
Hitung ekspektasi waktu sampai imigran ke-10 tiba? Berapa peluang waktu tunggu antara kedatangan ke-10 dan ke-11 lebih dari 2 hari? The time required to repair a machine is an exponentially distributed
1
random variable with mean (hours)
2
1 What is the probability that a repair time exceeds hour
2
1 What is the probability that a repair takes at least 12 hours
2
given that its duration exceeds 12 hours Misalkan Andi tiba di suatu ’Bank or Bang’ dengan satu ’Teler’. Dia melihat lima orang di bank, satu sedang dilayani oleh ’Teler’ dan sisanya sedang antri. Andi bergabung dalam antrian. Jika waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan rate µ. Berapa expected of time Andi akan menghabiskan waktu di ’Bank or Bang’?
Hubungan S n dan N tS
n
≤ t ⇔ N(t) ≥ n Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan
Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan pertama X , diberikan
1
ada kejadian pada waktu [0, t], untuk s ≤ t P
(X
1 ≤ s, N(t) = 1)
P (X
1 ≤ s|N(t) = 1) =
P (N(t) = 1)
P (N(s) = 1)P(N(t) − N(s) = 0) =
P (N(t) = 1) P (N(s) = 1)P(N(t − s) = 0)
= −λ −λ P (N(t) = 1)
s (t−s)
λse e s = = −λ
t
λte t Superposisi Proses Poisson
Misalkan proses N
1 (t), t ≥ 0 juga merupakan proses Poisson dengan
laju λ dan µ, maka {N (t) + N (t), t ≥ 0} juga merupakan Proses
1 Definisi
Proses menghitung N (t), t ≥ 0 dikatakan PP Non Homogen atau non
1
stasioner dengan fungsi intensitas λ (t) jika memenuhi, N
(0) = 0 Proses mempunyai kenaikan bebas P
(N(t + h) − N(t) = 1) = λ(t)h + o(h) P (N(t + h) − N(t) ≥ 2) = o(h) Proses Poisson homogen mempunyai parameter λ. Proses Poisson non homogen mempunyai parameter λ (t), λ(t) disebut fungsi intensitas Z t m (t) = λ (x)dx sehingga,
P k (t) = P(N(t) = k|N(0) = 0) −
k m (t)
[m(t)] e = k
! sehingga, E
[N(t)] = m(t)
Latihan
’McE’ a chicken stand stand that opens at 8 AM. From 8 until 11 AM customers seem to arrive, on the average, at steadily increasing rate that starts with an initial rate of 5 customers per hour 8 AM and reaches a maximum of 20 customers per hours at 11 AM. From 11 AM until 1 PM the average rate seems to remain constant at 20 customers per hours. However, the average arrival rate then drops steadily from 1 PM until closing time at 5 PM at which time it has the value of 12 customers per hours. If we assume that the numbers of customers arriving at McE’s stand during disjoint time periods are independent, then what is a good probability model for the preceding? What is the probability that no customers arrive between 8.30 AM and 9.30 AM morning?
Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti PP dengan laju 3 orang perjam Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 08.00 - 10.00 di suatu pagi. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam
Penjualan tiket pertunjukan ’Ini Wayang’ mengikuti tiga PP sebagai berikut Penjualan harga sebenarnya dengan laju 2/jam Penjualan tiket harga diskon dengan laju 4/jam Penjuaalan tiket VIP dengan laju 0.3/jam
1 2 Waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya 3 Waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya
Peluang bahwa penjualan setelah tiket harga sebenarnya adalah 4 tiket harga sebenarnya yang lain 5 Peluang bahwa tiket VIP akan djual pada 30 menit kedepan Peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya adalah tiket diskon
λ = λ TS + λ TD + λ TV = 6.3, E(T) = ... E (T ) = ... λ TS
V λ = ...
1 P (T < ) = ...
V
2 Misalkan N banyaknya tiket harga diskon yang terjual, sehingga λ TD
N ∼ B(3, ) λ P (N ≥ 2) = ...
Supermarket buka dari pukul 10.00 - 20.00 Pelanggan datang mengikuti PP non homogen dengan fungsi intensitas: Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja pada pukul 16.00 - 18.00
Misalkan T menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk
k
klaim - klaim asuransi diproses. T menyatakan waktu yang
1
dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T , T , ... saling
1
2
bebas dan berdistribusi −
0.1t
f (t) = 0.1e , t > 0 t dalam setengah jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaim akan diproses 5 jam kedepan? Berapa peluang setidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam?
P (T ≤ 10) = ... P (N 10 ≥ 3) = ...