CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak Pendukungnya
CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya
Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si
T ELKOM U
NIVERSITY J ALAN T ELEKOMUNIKASI 1, B ANDUNG , I NDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian EUBAH CAK P A
P A ( . ) Fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan real
UANG AMPEL
R S Himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Anggota dari ruang sampel adalah kejadian elementer Ani dan Sepatunya
S = {(d, b); d, b = 0, 1, 2, 3, 4, d + b = 4} Peluang Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, P (A) = lim
n→∞
n (A) n = n (A) n
(S) Aksioma Peluang
1 2 ≤ P(A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A
P 3 (S) = 1 Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P 4 (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P
(AB) = P(A) P(B) Teorema Peluang
1 P (A c
) = 1 − P(A) 2 Jika A ⊂ B, maka P(A) ≤ P(B) Peluang Bersyarat
Jika A dan B dua kejadian, dengan P (A) > 0, peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan P (A ∩ B)
P (B|A) =
P (A) Teorema Bayes
, A , A , ..., A Jika kejadian - kejadian A
1
2 3 k adalah partisi dari ruang
sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P (B) > 0, berlaku, P
(A i ∩ B) P (A i |B) =
P (B) P (B|A )P(A )
i i
= P k
P (B|A i )P(A i )
i=1 Latihan
’Pak Mad’ mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya laki-laki, diberikan bahwa ’Pak Mad’ tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki?
S = {(p, p); (p, l); (l, p); (l, l)}
B : kejadian memiliki 2 anak laki-laki A : kejadian paling tidak memiliki 1 anak laki-laki
P (A ∩ B) P
(B|A) = P (A)
{(ll)} ∩ {(ll), (lp), (pl)} =
{(ll), (lp), (pl)} Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Jika Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat ’A’
1
adalah . Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia
3
1
mendapat ’A’ adalah . Ayu memutuskan untuk melemparkan koin
2
dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat ’A’ di kursus Matematika?
C : kejadian Ayu mengambil kursus Matematika A : kejadian Ayu mendapat ’A’
P (A ∩ C) = ... Peubah Acak
1 Peubah Acak Diskrit
p.a X dikatakan p.a diskrit jika semua nilai dari X merupakan 2 bilangan cacah Peubah Acak Kontinu p.a X dikatakan p.a kontinu jika semua nilai dari X merupakan bilangan bilangan real Fungsi Kepadatan Peluang 1 Peubah Acak Diskrit
Fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function (pmf) 2 p (x) = P(X = x) Peubah Acak Kontinu Fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pmf), ditulis f (x)
Z b P f
(a ≤ X ≤ b) = (x)dx
a Fungsi Distribusi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari p.a X, F (x) = P(X ≤ x), −∞ < x < ∞ 1 Peubah Acak Diskrit
F (x) = P(X ≤ x) = Σ
t≤x
p (t) 2 Peubah Acak Kontinu F (x) = P(X ≤ x) =
Z x
−∞
f (t)dt Catatan
Peubah Acak Diskrit 1 P (a < X ≤ b) = F(b) − F(a) 2 P (X ≤ b) 6= P(X < b)
Peubah Acak Kontinu 1 P (a < X ≤ b) =
R b
a
f (t)dt 2 P (X = a) = 0
Ekspektasi 1 Peubah Acak Diskrit
X E (X) = xp (x) 2 x Peubah Acak Kontinu
Z ∞ E (X) = xf (x)dx
−∞ ARIANSI
V
2
2 Var (X) = E(X ) − [E(X)] Fungsi Pembangkit Momen 1 Peubah Acak Diskrit
M
X (t) = E(e tx
) =
X
x
e
tx
p (x) 2 Peubah Acak Kontinu M
X Distribusi p.a Diskrit
(t) = E(e
tx
) = Z ∞
−∞
e
tx
f (x)dx
Sumber: Sheldon M. Ross, 2010 Distribusi p.a Kontinu
Sumber: Sheldon M. Ross, 2010 Latihan
Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Latihan
Tentukan fungsi distribusi kumultif (cdf) dari distribusi Exponensial? Latihan
Jika X, Y Peubah acak saling bebas dan masing-masing berdistribusi Poisson dengan mean λ dan λ . Tunjukkan bahwa Peubah acak
1