Modul Matematika TKF 201 02

Kode Modul
MAT. TKF 201- 02

Fakultas Teknik UNY
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif

DIFERENSIASI FUNGSI

V

h

r
wV
wr

= 2Srh

dan

wV

wh

= S r2

Penyusun :
Martubi, M.Pd., M.T.

Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)

Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
2005

KATA PENGANTAR

Modul dengan judul Diferensiasi Fungsi ini digunakan sebagai
panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu subkompetensi, yaitu: “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar
dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“.

Modul ini dapat

digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada
Program Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas
Negeri Yogyakarta.
Pada modul ini disajikan konsep dasar Diferensiasi Fungsi dan
permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang
teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat
kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang:

Diferensiasi

Fungsi Aljabar. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Diferensiasi
Fungsi-fungsi Transenden.

Kegiatan belajar 3 membahas tentang:

Diferensiasi Logaritmik, Persamaan Parametrik dan Diferensial Parsial.
Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Aplikasi Diferensiasi Fungsi
Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa
diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang
konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep

tentang Fungsi Aljabar dan Fungsi-fungsi Transenden dan Geometri.
Yogyakarta,

Oktober 2005

Penyusun

Martubi, M.Pd., M.T.
2

DAFTAR ISI MODUL

Halaman
HALAMAN SAMPUL ............................................................................ 1
KATA PENGANTAR ............................................................................. 2
DAFTAR ISI .......................................................................................... 3
PERISTILAHAN / GLOSSARY .............................................................. 5
I . PENDAHULUAN................................................................................. 7
A. Deskripsi ......................................................................................... 7
B. Prasyarat ......................................................................................... 7

C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................... 8
1. Petunjuk bagi mahasiswa .......................................................... 8
2. Petunjuk bagi dosen ............ ...................................................... 8
D. Tujuan Akhir .................................................................................. 9
E. Kompetensi .................................................................................... 9
F. Cek Kemampuan ............................................................................ 11
II. PEMBELAJARAN .............................................................................. 12
A. Rencana Belajar Mahasiswa ......................................................... 12
B. Kegiatan Belajar ............................................................................. 12
1. Kegiatan Belajar 1 ..................................................................... 12
a. Tujuan kegiatan belajar 1 ...................................................... 12
b. Uraian materi .......................................................................... 13
c. Rangkuman 1 .......................................................................... 18
d. Tugas 1 ................................................................................... 19
e. Tes formatif 1 .......................................................................... 19
f. Kunci jawab tes formatif 1 ... .................................................... 20
3

Halaman
2. Kegiatan Belajar 2 ...................................................................... 20

a. Tujuan kegiatan belajar 2 ....................................................... 20
b. Uraian materi 2 ....................................................................... 21
c. Rangkuman 2 .......................................................................... 28
d. Tugas 2 ................................................................................... 30
e. Tes formatif 2 .......................................................................... 31
f. Kunci jawab tes formatif 2 ............... ........................................ 32
3. Kegiatan Belajar 3 .................................................................... 32
a. Tujuan kegiatan belajar 3 ....................................................... 32
b. Uraian materi 3 ....................................................................... 33
c. Rangkuman 3 ......................................................................... 39
d. Tugas 3 .................................................................................. 40
e. Tes formatif 3 ......................................................................... 41
f. Kunci jawab tes formatif 3 ............... ...................................... 41
4. Kegiatan Belajar 4 .................................................................... 42
a. Tujuan kegiatan belajar 4 ....................................................... 42
b. Uraian materi 4 ....................................................................... 43
c. Rangkuman 4 ......................................................................... 58
d. Tugas 4 .................................................................................. 60
e. Tes formatif 4 ......................................................................... 61
f. Kunci jawab tes formatif 4 ............... ...................................... 62

III. EVALUASI ...................................................................................... 63
A. Pertanyaan .................................................................................. 63
B. Kunci Jawaban ............................................................................. 64
C. Kriteria Kelulusan ........................................................................ 65
IV. PENUTUP ........................................................................................ 66
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 67
4

PERISTILAHAN / GLOSSARY

Diferensiasi / Derivative Fungsi : adalah

fungsi lain yang merupakan

turunan dari fungsi yang bersangkutan.
Diferensiasal Parsial : adalah

diferensial dari sebuah fungsi terhadap

salah satu variabelnya dengan menganggap variabel lainnya

konstan jika fungsi itu mempunyai dua variabel atau lebih.
Diferensiasi Logaritmik : adalah cara mendiferensialkan sebuah fungsi
berdasarkan sifat-sifat dan turunan fungsi logaritma.
Fungsi Aljabar

: adalah sebuah fungsi yang menunjukkan hubungan

secara aljabar dari dua buah variabel atau lebih secara terpisah.
Fungsi Eksponensial :

adalah sebuah fungsi yang merupakan

perpangkatan suatu bilangan dengan suatu variabel/fungsi lain
tertentu.
Fungsi Hiperbolik :

adalah sebuah fungsi yang mempunyai sasaran

sebuah variabel di dalam suatu hiperbola.
Fungsi Implisit

: adalah sebuah fungsi yang menunjukkan hubungan

secara implisit ( tersirat ) yang tidak dapat/tidak perlu dipisahkan
dalam ruas yang berbeda.
Fungsi Logaritma : adalah sebuah fungsi yang merupakan logaritma
dari sebuah fungsi eksponensial.

5

Fungsi Majemuk : adalah sebuah fungsi yang merupakan fungsi dari
fungsi lainnya.
Fungsi Trigonometri : adalah sebuah fungsi yang harganya ditentukan
oleh harga suatu sudut tertentu di dalam suatu lingkaran.
Gradien :

adalah sebuah istilah untuk menunjukkan kemiringan suatu

garis tertentu.
Persamaan Parametrik : adalah sebuah hubungan dua buah variabel

melalui variabel ketiga yang merupakan parameter/perantaranya.

6

BAB I
PENDAHULUAN

A. Deskripsi
Modul dengan judul Diferensiasi Fungsi ini membahas tentang
konsep dasar Diferensiasi Fungsi serta permasalahannya

yang

banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara
teoritis maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Diferensiasi
Fungsi Aljabar, Diferensiasi Fungsi-fungsi Transenden,

Diferensiasi

Logaritmik, Persamaan Parametrik dan Diferensiaal Parsial

serta

Aplikasi Diferensiasi Fungsi
Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1
membahas tentang: Diferensiasi Fungsi Aljabar. Kegiatan belajar 2
membahas tentang: Diferensiasi Fungsi-fungsi Transenden. Kegiatan
belajar 3 membahas tentang: Diferensiasi
Parametrik dan Diferensial Parsial.

Logaritmik, Persamaan

Kegiatan belajar 4 membahas

tentang: Aplikasi Diferensiasi Fungsi
Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal
dan

pembahasannya

beserta

latihan-latihan

seperlunya

untuk

membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.
Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan
mempunyai sub kompetensi

“Menggunakan

konsep, sifat, dan

manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“
B. Prasyarat
Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi
lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materimateri dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar
tentang : Fungsi Aljabar dan Fungsi-fungsi Transenden dan Geometri.
7

C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Petunjuk bagi Mahasisw a
Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam
menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu
diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian

konsep-konsep

teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula
penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal
beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi
yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para
mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu
kegiatan perkuliahan.
b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri,
hal

ini

dimaksudkan

untuk

mengetahui

seberapa

besar

pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap
materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.
c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi
pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan
mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah
kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang
bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan
pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat
yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.

2. Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan
peran untuk :
a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan
yang dijelaskan dalam tahab belajar.
8

c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan
menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.
d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang
diperlukan.
e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.
g. Mengadakan

evaluasi

terhadap

pencapaian

kompetensi

mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaannya pada setiap akhir kegiatan belajar.

D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul
ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“.

E. Kompetensi
Modul MAT. TKF 201-02 dengan judul Diferensiasi Fungsi ini
disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah
diferensiasi fungsi“.
Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus
dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya
melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai
berikut :

9

Sub

Kompetensi

Kriteria
Unjuk Kerja

Lingkup
Belajar

Mengguna- 1.Menjelaskan
1.Pengertian,
kan konsep,
pengertian/konnotasi dan
aturan dan
sep notasi dan
sifat-sifat
manipulasi
sifat-sifat difediferensiasi
aljabar
rensiasi fungsi .
fungsi .
dalam
2. Menyelesaikan 22. Diferensiasi
pemecahan
masalah diferenfungsi
masalah
siasi fungsi
aljabar.
diferensiasi
aljabar.
fungsi.
3. Menyelesaikan
3. Diferensiasi
masalah diferenfungsi
siasi fungsi
majemuk
majemuk
4. Menyelesaikan
4. Diferensiasi
masalah diferenfungsi
siasi fungsi
implisit.
implisit.
5. Menyelesaikan
5. Diferensiasi
masalah diferenfungsi trigosiasi fungsi trigonometri dan
nometri dan
inversnya
inversnya.
6. Menyelesaikan
6. Diferensiasi
masalah diferenfungsi hipersiasi fungsi
bolik dan
hiperbolik dan
inversnya
inversnya.
7. Menyelesaikan
7. Diferensiasi
masalah diferenfungsi ekssiasi fungsi
ponensial
eksponensial.
8. Menyelesaikan
8. Diferensiasi
masalah difefungsi
rensiasi fungsi
logaritma.
logaritma.
9. Menyelesaikan
9. Diferensiasi
masalah diferenlogaritmik
rensiasi logaritdan persamik dan persamaan paramaan parametrik
metrik
10.Menyelesaikan
10. Diferensial
masalah diferenparsial
siasial parsial.
11. Menerapkan
11. Penerapan
konsep diferen
konsep
siasi pada masa
diferensiasi
lah geometris
fungsi
dan masalah
maksimum/
minimum fungsi.
12. Menerapkan
12. Penerapan
konsep diferenkonsep
sial parsial untuk
diferensial
menghitung perparsial
ubahan suatu
fungsi.

10

Materi Pokok Pembelajaran
Sikap

Pengetahuan

Ketrampilan

Teliti dan 1.Pengertian,
cermat
notasi dan
dalam
sifat-sifat
menulis
diferensiasi
simbol
fungsi .
dan
22. Diferensiasi
melakufungsi
kan peraljabar.
hitungan
3. Diferensiasi
fungsi
majemuk

Menghitung
dengan
prosedur
dan hasil
yang benar

4. Diferensiasi
fungsi
implisit.
5. Diferensiasi
fungsi trigonometri dan
inversnya
6. Diferensiasi
fungsi hiperbolik dan
inversnya
7. Diferensiasi
fungsi eksponensial
8. Diferensiasi
fungsi
logaritma.
9. Diferensiasi
logaritmik
dan persamaan parametrik
10. Diferensial
parsial
11. Penerapan
konsep
diferensiasi
fungsi

12. Penerapan
konsep
diferensial
parsial

F. Cek Kemampuan
Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF 201 – 02 ini, isilah dengan
tanda cek ( — ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah
dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :
Sub
Kompetensi

Jaw aban

Pertanyaan

Ya

Tidak

Mengguna- 1. Saya mampu menjelaskan pengertian/
konsep notasi dan sifat-sifat diferenkan konsep,
siasi fungsi.
aturan dan
manipulasi
2. Saya dapat menyelesaikan permasaaljabar
lahan diferensiasi fungsi aljabar.
dalam
pemecahan
3. Saya dapat menyelesaikan permasamasalah
lahan diferensiasi fungsi majemuk .
diferensiasi
fungsi.
4. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi implisit.
5. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi trigonometri
dan inversnya.
6. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi hiperbolik dan
inversnya.

Bila Jawaban “Ya“
Kerjakan
Tes Formatif 1
Nomor : 1

Tes Formatif 1
Nomor : 2: a,b,c,e
Tes Formatif 1
Nomor : 2 : f
Tes Formatif 1
Nomor : 2 : d
Tes Formatif 2
No : 1,2,3,4,9,10
Tes Formatif 2
Nomor : 5,13

7. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi eksponensial.

Tes Formatif 2
Nomor : 6,11,12,14

8. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi logaritma.

Tes Formatif 2
Nomor : 7,8,15,16

9. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi logaritmik dan
persamaan parametrik.

Tes Formatif 3
Nomor : 1,2

10. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensial parsial

Tes Formatif 3
Nomor : 3

11. Saya dapat menerapkan konsep
diferensiasi fungsi pada masalah
geometris dan maksimum / minimum
fungsi.
12. Saya dapat menerapkan konsep
diferensial parsial dalam
menyelesaikan permasalahan yang
relevan.

Tes Formatif 4
Nomor : 1,2,3

Tes Formatif 4
Nomor : 4,5

Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini
sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.
11

BAB II
PEMBELAJ ARAN

A. Rencana Belajar Mahasisw a
Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah
ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.
Jenis Kegiatan

Tanggal

Waktu

Tempat
Belajar

Alasan
Perubahan

Paraf
Dosen

1. Pengertian, dan notasi
diferensiasi fungsi.
2. Diferensiasi fungsi aljabar.
3. Diferensiasi fungsi majemuk
4. Diferensiasi fungsi implisit
5. Diferensiasi fungsi trigonometri dan inversnya.

6. Diferensiasi fungsi hiperbolik
dan inversnya.
7. Diferensiasi fungsi eksponensial.

9. Diferensiasi fungsi logaritma.
10. Diferensisi logaritmik dan
persmaan parametrik

11. Diferensial parsial
12. Aplikasi diferensiasi fungsi
13. Aplikasi diferensial parsial

B. Kegiatan Belajar.
1. Kegiatan Belajar 1 : Diferensiasi Fungsi Aljabar
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi.

12

2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi aljabar.
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi majemuk.
4). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi implisit.
b. Uraian Materi 1 :
1). Pengertian, dan Notasi Diferensiasi Fungsi.
Deferensiasi ( Derivative / Turunan ) suatu fungsi f (X)
adalah fungsi lain f ‘ (X) ( baca : “ f aksen X ” ) yang nilainya
pada sembarang bilangan X adalah :
f’ (X) = limit
ho0
dengan catatan

f (X+h) – f (X)
h

-

harga limit tersebut memang ada. Jika limit

tersebut memang ada. Jika limit tersebut memang ada, maka
dikatakan bahwa f (X) terturunkan / terdeferensiasikan / terderivativekan di X.
Jika Y = f (X) , maka turunan pertama Y terhadap X dapat
dY
df
ditulis Y ‘ = f ' (X) atau dengan notasi Leibniz : ----- atau
dX
dX
Selanjutnya untuk turunan kedua dan seterusnya tinggal menyesuaikan, yaitu

d2Y
dX2

atau Y” dan seterusnya.

Contoh Penerapan Konsep Diferensiasi Fungsi .
Untuk memperjelas konsep diferensiasi fungsi sebagaimana telah di sebutkan di atas, maka berikut ini diberikan
beberapa contoh penerapanya.

13

a). Jika f(X) = 13X – 6 tentukanlah f ' (4)
Jaw ab : f (X) = 13X – 6
f '(X) = limit
ho0

f(X + h) – f (X)
h

f ' (4) = limit
ho0
= limit
ho0
= limit
ho0

f (4 + h) – f (4)
h

-

13 (4 + h) – 6 – 13 (4) + 6
h
13. h

-

= limit 13 = 13
ho0

h

b). Carilah f ' (C) jika diketahui f (X ) = 4X2 – 7X + 8
Jaw ab : f (X) = 4X2 – 7X + 8
f ' (X) = limit
ho0
f ' (C) = limit
ho0
= limit
ho0
= limit
ho0

f (X + h ) – f (X)
h

-

f ( C + h ) – f (C)
h

-

4( C + h )2 – 7 (C + h ) + 8 – (4C2 – 7C + 8 )
h
4C2 + 8Ch + 4h2 – 7C + 8 – 4C2 +7C – 8
h

= limit ( 8C – 7 + 4h ) = 8 C - 7
ho0
c). Tentukanlah f '(X) jika f(X) =

Jaw ab : f(X) =

1
X

-

14

1
X

-

-

-

f '(X) = limit
ho0

f(X+h) – f(X)
h
1

1

f '(X) = limit
ho0 h

X+h

-

–

1
X

1

X – (X+h )

ho0 h

X . (X+h )

= limit

-

-

–1

= limit
ho0 X2 + X h
–1

=

2

X

=

– X–2
====

Rumus – Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Berdasarkan konsep penurunan sebuah fungsi melalui cara
yang telah diuraikan diatas (menghitung limitnya), maka bila
diperhatikan ternyata berlaku rumus dasar sebagai berikut :
Jika Y = f (X) ; U = g (X) ; V = h (X) dan Y ' = f '(X)
C = konstanta ; n = bilangan riil
1. Y = C

Y' = 0

2. Y = CX

Y' = C

3. Y = X

n

4. Y = kX

Y' = n X
n

n-1

Y' = kn X

n-1

5. Y = U + V

Y' = U' + V'

6. Y = U – V

Y' = U' – V'

7. Y = U . V

Y' = U'V + UV'

8. Y =

U
V

Y' =
15

U'V – UV'
2
V

Contoh:
a). Jika Y = 5

maka Y ’ = 0

b). Jika Y = 6 X

maka Y ’ = 6

c). Jika Y = X7

maka Y ’ = 7X6

d). Jika Y = 8X4

maka Y ’ = 32X3

e). Jika Y = 6X3 + 7X2

maka Y ’ = 18X2 + 14 X

f). Jika Y = 5X4 –3X3

maka Y ’ = 20X3 – 9X2

g). Jika Y = ( 3X2 – 4X ) (5X + 6 )

maka

Y = ( 6X – 4 ) ( 5X + 6 ) + ( 3X2 – 4X ) (5)
’

= 30X2 + 16X – 24 + 15X2 – 20X
= 45 X2 – 4X – 24
h). Jika Y =

3X – 5
2

X +7

-

’

maka Y =

=

3 ( X2 + 7 ) – 2X ( 3X – 5 )
2

2

(X +7)

-

– 3X2 + 10X + 21
4
2
X + 14X + 49

Turunan Fungsi Majemuk ( Dalil Rantai Turunan )
Jika Y = f ( U ) dan U = g ( X ) maka turunan Y terhadap X :
dY

=

dX

dY
dU

.

dU
dX

atau Y ’ ( X ) = Y ’ ( U ) . U ’ ( X )

Prinsip ini berlaku untuk sembarang / berapapun tingkat
kemajemukan fungsi yang di turunkan.
Contoh:
a). Y = ( 3X

4 )10

Y’ = 10 ( 3X – 4 )9 . 3 = 30 ( 3X – 4 )9
b). Y = √ X2 + 4X
dY
dX

7 = ( X2 + 4X

= ( 2X + 4 ).½ ( X2 + 4X
16

½

7)

7 )--½ = ( X+2 ).( X2+4X – 7 )-- ½

Turunan ( Diferensiasi Fungsi ) Implisit
Jika Y = X2 + 5X + 6 ; Y terdefinisikan sepenuhnya oleh X,
maka Y disebut sebagai fungsi “eksplisit” dari X. Tetapi ada
kalanya kita tidak dapat (tidak perlu) memisahkan Y dengan X
dalam

rumus

yang

berbeda

misalnya

pada

bentuk :

X2 + 2XY + 3Y2 = 4. Dalam hal semacam ini dikatakan Y sebagai
fungsi implisit dari X, karena hubungan dalam bentuk Y = f (X)
tidak tampak secara langsung tetapi tersirat didalamnya.
dY

Contoh: Tentukanlah

dari fungsi-fungsi berikut ini.

dX

a). X2 + Y2 = 100
b). X2 + Y2

2X

6Y + 5 = 0

Jaw ab : a). X2 + Y2 = 100
dY

2X + 2Y

2Y
dY
dX

dY
dX
=

= 0

dX
=

2X

2X

=

2Y

X
Y

-

b). X2 + Y2 – 2X – 6X + 5 = 0
2X + 2Y

dY
dX

( 2Y – 6 )
dY
dX

=

–2 –6

dY
dX

dY

=0

dX

= 2 – 2X

2 – 2X
2Y – 6
17

=

1–X
Y–3

-

c. Rangkuman 1 :
1). Pengertian dan Notasi Diferensiasi Fungsi.
Deferensiasi ( Derivative / Turunan )

suatu

fungsi

f (X)

adalah fungsi lain f ‘ (X) ( baca : “ f aksen X ” ) yang nilainya
pada sembarang bilangan X adalah :

f’ (X) = limit
ho0

f(X+h) – f(X)
h

-

Jika Y = f (X) , maka turunan pertama Y terhadap X dapat
dY
df
ditulis Y ‘ = f ' (X) atau dengan notasi Leibniz: ----- atau
dX
dX
2). Diferensiasi Fungsi Aljabar
Jika Y = f (X) ; U = g (X) ; V = h (X) dan Y ' = f '(X) sedang
C = konstanta ; n = bilangan riil maka berlaku rumus dasar :
a). Y = C

Y' = 0

b). Y = CX

Y' = C

c). Y = X

n

d). Y = kX

Y' = n X
n

n-1

Y' = kn X

n-1

e). Y = U + V

Y' = U' + V'

f). Y = U – V

Y' = U' – V'

g). Y = U . V

Y' = U'V + UV'

h). Y =

U

Y' =

V
18

U'V – UV'
V2

3). Diferensiasi Fungsi Majemuk dan Fungsi Implisit
Jika Y = f ( U ) dan U = g ( X ) maka turunan Y terhadap X :
dY
dX

=

dY
dU

.

dU
dX

atau Y ’ ( X ) = Y ’ ( U ) . U ’ ( X )

Prinsip ini berlaku untuk sembarang tingkat kemajemukan.
Jika Y sebagai fungsi implisit dari X, karena hubungan
dalam bentuk Y = f (X) tidak tampak secara langsung tetapi
tersirat didalamnya maka turunan Y terhadap X dicari dengan
menurunkan semua suku persamaan tersebut terhadap X.
d. Tugas 1:
Tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi di bawah ini :
1). Y = X5 – 4X3 + 3X2 – 6X + 10
2). Y = — X +

3
X

– 3⅔ X

2

7). Y =

3X – 2
3 – 2X

-

3). Y = (3X + 4X – 3).(5X –7)

8). Y = 5 ( X2 – 3X + 2 )3

4). Y = ( 4 – 6X )7 + (–7X + 4 ) – 6

9). ( X2 + 2XY + 3Y2) = 4

5). ( X –Y )3 – 3 ( X + Y ) = 0

10). X3 + Y3 + 4XY2 = 5

6). X3 + Y3 – 4X2Y + 5X + 6Y = 8
e. Tes formatif 1 :
1). Jelaskan pengertian diferensiasi fungsi lengkap dengan
notasinya !
2). Tentukanlah

Y ‘ (turunan) dari fungsi–fungsi berikut ini !
5X + 6
a). Y = 2X4 – 6X3 + 7X2 – 9X+12
e). Y =
1 – 4X
7
b). Y = 4— X –
+ 5½ X – 8
f ).Y = 7(X2 +2X – 3)5
X

c). Y= (7X2 – 3X+5) (2X – 4)
d). 4X3 + 2Y3 + 5XY2 – 3X2Y – 7X – 6Y = 9
19

f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 1 :
1). Deferensiasi (Derivative/Turunan) suatu fungsi f (X) adalah
fungsi lain f ‘ (X) yang nilainya pada sembarang bilangan X
adalah :
f’ (X) = limit
ho0

f(X+h) – f(X)
h

-

Jika Y = f (X) , maka turunan pertama Y terhadap X dapat
dY
df
ditulis Y ‘ = f ' (X) atau dengan notasi Leibniz: ----- atau
dX
dX
2). Turunan pertama Y terhadap X adalah Y ‘
a). Y ‘= 8X3 – 18X2 +14X – 9
b). Y ‘= 4X–½ + 7X–2 + 5½
c). Y ‘= 42X2 – 68X+22
d). Y ‘=

e). Y ‘=

12 X2 – 6XY + 5Y2 – 7
3 X2 – 10XY – 6Y+ 6
29
2

( 1 – 4X )

-

-

f). Y ’ = (X2 + 2X – 3)4 (70X2 +70)

2. Kegiatan Belajar 2 : Diferensiasi Fungsi – fungsi Transenden
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi trigonometri dan inversnya.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi hiperbolik dan inversnya.

20

3). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi eksponensial.
4). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
fungsi logaritma.
5). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
logaritmik dan persamaan parametrik.
b. Uraian Materi 2 : Diferensiasi Fungsi – fungsi Transenden
Diferensiasi Fungsi Trigonometri
Sesuai dengan konsep dasar penentuan diferensiasi
(turunan)

sebuah

fungsi

sebagaimana

telah

diuraikan

sebelumnya , maka didalam trigonometri diperoleh rumus-rumus
dasar turunan fungsi trigonometri sebagai berikut :
1). Y = sin X

o

Y’ = cos X

2). Y = cos X

o

Y’ = sin X

3). Y = tg X

o

Y’ = sec2 X

4). Y = cotg X

o

Y’ = cosec2 X

5). Y = sec X

o

Y’ = sec X . tg X

6). Y = cosec X

o Y’ = cosec X . cotg X

Dari keenam rumus dasar tersebut, sebenarnya yang perlu
mendapat perhatian utama hanyalah rumus nomor 1 dan nomor
2 , sebab untuk nomor 3 dan seterusnya dapat diturunkan dari
nomor 1 dan 2, yaitu dengan mengingat hubungan antara
fungsi-fungsi tersebut , misalnya :
tg X =

sin X
cos X

; cotg X =

cos X
sin X

-; sec X =

21

1

1
;dan cosec X = ----- cos X
sin X

Selanjutnya untuk penyelesaian persoalan-persoalan yang
lebih kompleks yang melibatkan berbagai operasi aljabar
( penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan fungsi
majemuk ), maka rumus-rumus yang terdapat pada Bab II
( Diferensiasi Fungsi Aljabar ) tetap dapat digunakan
Contoh :
1). Jika Y
dY
dX

= cos X + 3 sin X  4 tg X , maka

- = Y ’ =  sin X + 3 cos X  4 sec2 X

= sin ( 5X3  3X2 + 4X  2 )

2). Y

Y’ =
3). Y =

( 15X2  6X + 4 ) . cos ( 5X3  3X2 + 4X + 2 )
sin5 X

= 5 sin4 X . cos X
4). Y = cos 3X . tg X
dY
dX

-= 3 sin 3X . tg 2X + cos 3X. 2sec2 2X
= – 3 sin 3X .tg 2X

5). Y =

Y‘=

=

sin 5X
4X + 1

+ 2 cos 3X. sec2 2X

-

5 cos 5X . ( 4X + 1 ) – 4 sin 5X
( 4X + 1 )2
( 20X + 5 ) .cos 5X  4 sin 5X
( 4X +1 )2

22

-

-

Diferensiasi Invers Fungsi Trigonometri
Invers dari fungsi trigonometri Y = sin X
sebagai Y = sin

 1

X

dapat ditulis

atau Y = arcus sin X yang biasa

disingkat Y = arc. sin X, selanjutnya invers dari
ditulis Y = cos

1

X

Y = cos X

Y = arc. cos X dan invers dari

atau

Y = tg. X ditulis Y = tg  1 X

atau Y = arc. tg X

Pada bentuk Y = sin X permasalahannya yaitu mencari
harga sinus dari suatu sudut yang telah diketahui besarnya,
sedangkan inversnya Y = arc sin X berarti menentukan besar
sudut yang telah diketahui harga sinusnya .
Adapun rumus untuk menentukan

1). Y = arc sin X

turunannya adalah :

dY

o

dX

2). Y = arc.cos X

o

3). Y = arc.tg X

o

dY

=

=

dX
dY
dX

1
— (1 – X2 )

-

–1
— (1 – X2 )

=

1
1 + X

2

-

-

Contoh :
1. Y = arc. sin 5X o

2. Y= arc.cos 3X o

3. Y= arc. tg 4X o

dY

=

dX
dY
dX
dY
dX

23

=

=

5. 1
2

— 1- (5X)
3.–1

— 1 – (3X)2
4
1 + (4X)2

=

=

=

5

-

2

—1 – 25X
–3

— 1 – 9X2
4
1 + 16X2

-

Diferensiasi Fungsi Hiperbolik
Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang memiliki sifat-sifat
serupa

dengan

sasaranya.

fungsi

Kalau

trigonometri,

fungsi

tetapi

trigonometri

berbeda

sasarannya

pada

sebuah

lingkaran, namun fungsi hiperbolik pada sebuah hiperbola.
Pada fungsi trigonometri dikenal adanya sinus, cosinus,
dan tangen, maka pada fungsi hiperbolik juga dikenal adanya
sinus-hiperbolik ( sinh ), cosinus-hiperbolik ( cosh ), dan tangenthiperbolik ( tgh ), yang didefinisikan sebagai :

sinh X =

eX – e–X
2

; cosh X =

eX + e–X
2

eX – e–X
dan tgh X =
X
–X
e +e

Dengan demikian diperolehlah rumus-rumus dasar turunan
fungsi hiperbolik sebagai berikut :

1). Jika Y = sinh X o

2). Jika Y = cosh X o

3). Jika Y = tgh X o

Contoh : Tentukanlah

dY
dX

dari :

1. Y = sinh 3X + 4 cosh X
2. Y = X2 sinh X
3. Y = 5 cosh (3X – 1)
24

dY
dX
dY
dX
dY
dX

= cosh X

= cosh X

= sech2 X

Jaw ab :
1). Y = sinh 3X + 4 cosh X
dY
dX

= 3 cosh 3X + 4 sinh X

2) Y = X2 . sinh X
dY
dX

= 2X sinh X + X2 cosh X

3). Y = 5 cosh (3X – 1)
dY
dX

= 5 . 3 sinh (3X – 1)
= 15 sinh (3X – 1)

Diferensiasi Invers Fungsi Hiperbolik
Seperti halnya pada fungsi trigonometri, fungsi hiperbolikpun
Jika Y = sinh X

juga mempunyai invers.
Y = sinh
inversnya

–1

X atau Y = arc sinh X,
Y = arc . cosh X

maka inversnya
Y = cosh X

dan

Y = cosh–1 X, dan

atau

seterusnya untuk bentuk lainnya.
Adapun rumus – rumus dasar turunannya adalah :

1). Y = arc sinh X

o

2). Y = arc.cosh X

o

3). Y = arc.tgh X

o

dY
dX
dY
dX

25

dY
dX

=

=

=

1
— ( X2 + 1 )
1

-

— (X2 – 1)
1
1 – X

2

-

Contoh : Tentukanlah turunan dari :
1). Y = arc . sinh ( 3X )
2). Y = arc . cosh ( 2X )
3). Y = arc . tgh ( 4X )
Jaw ab :
1). Y

= arc . sinh ( 3X )

dY

=

dX

3.1

=

— ( 3X )2 + 1

3

-

— 9X2 + 1

2). Y = arc . cosh ( 2X )
dY
dX

=

2. 1
— ( 2X )2 – 1

2

=

— 4X2 – 1

-

3). Y = arc . tgh ( 4X )
dY
dX

=

4. 1

=

— 1 – ( 4X )2

4
— 1 – 16X2

-

Diferensiasi Fungsi Eksponensial
Fungsi

Eksponensial

adalah

fungsi

yang

berupa

pemangkatan dari suatu bilangan tertentu dengan suatu variable
atau fungsi variable tersebut. Bentuk-bentuk fungsi eksponensial
meliputi : e X , e f (X) , a X atau a f (X) .
Adapun rumus diferensiasinya adalah :
1). Y = e X

o

Y’ = e X

2). Y = e f (X)

o

Y’ = f ‘ (X) . e f (X)

3). Y = a X

o

Y’ = aX . ln a

4). Y = a f (X)

o

Y’ = f ‘ (X) . a f

26

(X)

. ln a

Pada rumus di atas e dan a adalah bilangan tetap tertentu.
Contoh :
Tentukanlah

dY

atau Y ’ dari fungsi - fungsi di bawah ini :

dX

1). Y = e3X

3). Y = 104X

2). Y = esin 2x

4). Y = 5cos 3X

Jawab :
1). Y = e3X

o

Y ’ = 3e 3X

2). Y = esin2X

o

Y ’ = 2 cos 2X. esin 2X

3). Y = 104X

o

Y ’ = 4.104X . ln 10

o

Y ’ = – 3 sin 3X . 5cos 3X .ln 5

4). Y = 5cos

3X

Diferensiasi Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma

adalah suatu fungsi yang berbentuk

Y = log ef(X) atau Y = log af(X). Untuk menentukan diferensiasinya digunakan rumus-rumus dasar sebagai berikut :
dY

1). Y = log aX

dX
dY

2). Y = log a f (X)

dX
dY

3). Y = ln X

dX
dY

4). Y = ln f (X)

dX
27

=

=

=

=

1
X . ln a
f‘(X)
f (X) . ln a
1
X

-

f ‘ (X)
f (X)

Contoh :
1). Y = log 10X
dY
dX

- =

1
X. ln 10

2). Y = log 7
dY
dX

=

=

3). Y = ln 4X
dY
dX

-

sin 3X

4X

=

1
X

-

4). Y = X . ln ( sinh X )
dY

sin 3X. ln X

dX

ln 7

4

2

3 cos 3X

3 cotg 3X

=

2

= X.

cosh X
sinh X

+ 2X.ln (sinh X)

= X2 cotgh X + 2X ln (sinh X)

-

c. Rangkuman 2 :
1). Fungsi Transenden : adalah fungsi-fungsi selain fungsi
aljabar, yaitu : fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik
beserta

Inversnya,

Fungsi

Ekponensial

dan

Fungsi

Logaritma.
2). Rumus-rumus dasar Diferensiasi Fungsi tersebut adalah :
Diferensiasi Fungsi Trigonometri

a). Y = sin X

o

Y’ = cos X

b). Y = cos X

o

Y’ = sin X

c). Y = tg X

o

Y’ = sec2 X

d). Y = cotg X

o

Y’ = cosec2 X

e). Y = sec X

o

Y’ = sec X . tg X

f). Y = cosec X

o

Y’ = cosec X . cotg X

28

Diferensiasi Invers Fungsi Trigonometri

a). Y = arc sin X

o

b). Y = arc.cos X

c). Y = arc.tg X

dY
dX

o

o

=

dY

dX

— (1 – X2 )

-

–1

=

dX
dY

1

2

— (1 – X )
1

=

1 + X2

-

-

Diferensiasi Fungsi Hiperbolik

a). Y = sinh X

o

b). Y = cosh X

o

c). Y = tgh X

o

dY
dX
dY

= cosh X

dX
dY
dX

= cosh X

= sech2 X

Diferensiasi Invers Fungsi Hiperbolik

a). Y = arc sinh X

b). Y = arc.cosh X

c). Y = arc.tgh X

o

o

o

29

dY
dX
dY
dX
dY
dX

=

=

=

1
— ( X2 + 1 )
–1

-

— (X – 1)
2

1
1 – X2

-

Diferensiasi Fungsi Eksponensial

a). Y = e X

o

Y’ = e X

b). Y = e f (X)

o

Y’ = f ‘ (X) . e f (X)

c). Y = a X

o

Y’ = aX . ln a

d). Y = a f (X)

o

Y’ = f ‘ (X) . a f

(X)

. ln a

Diferensiasi Fungsi Logaritma
dY

a). Y = log aX

o

b). Y = log a f (X)

o

c). Y = ln X

o

d). Y = ln f (X)

o

dX
dY

=

=

dX
dY
dX
dY
dX

=

=

1
X . ln a
f‘(X)
f (X) . ln a
1
X

-

f ‘ (X)
f (X)

d. Tugas 2 :
Tentukan turunan dari fungsi –fungsi di bawah ini
1). Y = 3X3 .cos 5X

5). Y = sec 7X – cotg 5X

2). Y = – cos ( 3X2 – 4X +5 )

6). Y = 3 sin 2X .cosec 2X

3). Y =

4 sin X

1 + cos X

7). Y =

30

4 tg 7X
3 X5

-

4). Y = arc. cos ( X2 )

8). Y = arc. cos ( sec X )

9). Y = X2 tg –1 ( ½ X )

21). Y =

4 tg 7X
3 X5

-

10). Y = arc.tg — ( X2 – 1 )

22). Y = ( 5X – 2 ).arc sin 6 X

11). Y = X3 cosh 2X

23). Y = sinh (cos X)

12). Y = tgh 3X

24). Y = cosh3 X

13). Y = sinh –1 — X2 – 1

25). Y = 3 cosh –1 4X

14). Y = arc. cosh 3X

26). Y = ( 1 – X2 ) . tgh –1 X

15). Y = 2X

27). Y = X4 . e3X

3–X

28). Y =

16). Y = e

17). Y = log 6 sin 2X
18). Y = 6X – 7

29). Y =

19). Y = e2X. log 10X

30). Y =

20). Y = ln (3 – 8 cos X)

tg 2X
e 4X

-

2 3X
3 e2X
ln X
e 4X

-

-

e. Tes Formatif 2 :
1). Y = X2 .sin 2X

9). Y = 3 sin4 5X

2). Y = 3 tg ( 5 X + 6 )
3). Y = sin
4). Y =

-

–1

10). Y = arc. tg ( sin X )
11). Y = 3X2 . 34X

( 3X + 2 )

4 sin X

1 + cos X

12). Y =

e2X
43X

-

5). Y = sinh –1 ( tg X )

13). Y = ( 1 – X2 ) . tgh–1 X

6). Y = e5X. (3X + 1)

14). Y = 5 2 – X. eX – 2

7). Y = 3. log 5X

15). Y = log 3 sin

8). Y = 4 ln tg 7X

16). Y = ln ( cos 4X )
31

5X

f. Kunci Jawab Tes Formatif 2 :
1). Y’ = 2X sin 2X + 2 X2 cos 2X
2). Y’ = 15 sec 2 (5X+ 6)

10). Y’ =

3

3). Y’ =
2
—{1 – (9X +12X + 4)}
4

4). Y’ =

5). Y’ =

1 + cos X

2

— ( tg X + 1)

sin X
2

1 + sin X

.

11). Y’ = 34X.(6X+12X2.ln3)
e2X ( 2 – 3 ln 4 )
12). Y’ =
3X
4

-

sec2 X

9). Y’ = 60 sin3 5X .cos 5X

13). Y’ = – 2 tgh –1 X + 1

.

14). Y’= 52 – X.eX – 2 (1 – ln 5)

6). Y’ = (15 X + 8 ) e 5X
7). Y ‘ =

1

X ln 5

15). Y =

28 sec2 7X
8). Y =
tg 7X

5 cotg 5X
ln 3

16). Y ‘ = – 4 tg 4X

3. Kegiatan Belajar 3 : Diferensiasi Logaritmik, Persamaan
Parametrik dan Diferensial Parsial
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
logaritmik.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi
persamaan parametrik.
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensial
parsial.

32

b. Uraian Materi 3 : Diferensiasi Logaritmik, Persamaan
Parametrik dan Diferensial Parsial
Diferensiasi Logaritmik
Pada kegiatan belajar sebelumnya telah diberikan kaidah
untuk mendiferensiasikan perkalian / pembagian dua buah faktor.
Jika terdapat lebih dari dua buah faktor dengan berbagai variasi
susunan perkalian/pembagian, maka kaidah tersebut tidak lagi
dapat dipakai ( terlalu rumit ), untuk itu dikembangkan cara
pendiferensiasian yang disebut diferensiasi logaritmik, yaitu suatu
cara yang mendasarkan pada hasil penurunan fungsi logaritma,
dan juga sifat-sifat logaritma.
Adapun kaidah umum diferensiasi logaritmik adalah sebagai
berikut :
Misalnya Y =

U.V

( U, V, W dan Z semuanya fungsi X )
W .Z
Maka diferensiasinya terhadap X dapat dicari dengan rumus :
1 dY
Y dX

dY
dX

=

=

1 dU
U dX

+

1 dV

1

dW

1 dZ

V dX

W dX

Z dX

U.V

1

dU

W.Z

U

dX

+

1

dV

1 dW

1 dZ

V dX

W dX

Z dX

Ingat bahwa jika Y = ln X

Y' =

log A.B = log A + log B
log

A
B

-

= log A -- log B

33

1
X

-

-

Contoh :
Tentukanlah diferensiasi ( turunan ) dari :
1). Y =

X3 sin X
cos 2X

3). Y =

2). Y = X4 . e3X . cos 4X

e5X
X2 sinh 2X

-

Jawab :

X3 . sin X
1). Y =
cos 2X
dY
dX

=

=

X3 sin X

1

cos 2X

1

3X +
cos X 
( 2 sin 2X)
sin X
cos 2X
X3

cos 2X
X3 sin X

1

2

(

3
X

+ cotg X + 2 tg 2X )

2). Y = X4 e3X cos 4X
dY
dX

= X4 e3X cos 4X (

1
X4

= X4. e3X . cos 4X (

3). Y =
dY
dX

=

=

e5X
X2 sinh 2X
e5X
X2 sinh 2X
e5X
X2 sinh 2X

.4X3 +

4

1

1
. 3e3X +
- .– 4 sin 4X )
e3X
cos 4X

+ 3 – 4 tg 4X )

X

-

(

5 e5X
e5X

(5

2
X

34



2X
X2



2 cosh 2X
sinh 2X

 2 cotgh 2X )

)

Diferensiasi Persamaan Parametrik
Dalam beberapa permasalahan tertentu, sering lebih
mudah mengungkapkan suatu fungsi dengan menyatakan dalam
sebuah variabel bebas ketiga atau biasa disebut parameter.
Misalnya X = sin T ; Y = cos 2T.

Bentuk yang demikian

dinamakan persamaan parametrik, karena hubungan X dan Y
tidak dinyatakan secara langsung, tetapi melalui sebuah
parameter, yaitu T.
Selanjutnya

untuk

menentukan

turunan

dari

suatu

persamaan parametrik, digunakan kaidah sebagai berikut :
dY
dX

dY

=

dT

.

Contoh: Tentukan

dT

dX
dY

dX

( Y dan X = fungsi T )

dari persamaan parametrik berikut ini !

1). Y = cos 2t ; X = sin t
2). Y = 3 sin T – sin3 T ; X = cos3 T
4 + 5t

3). Y =

2 + 3t

; X =

2 – 3t
2 + 3t

-

Jaw ab :
1). Y = cos 2t
dY
dt
dY
dX

=

;

= – 2 sin 2t
dY
dt

.

dt
dX

X = sin t
dX
dt

= – 2 sin 2t .

= – 4 sint
35

= cos t Ÿ
1

cos t

dt
dX

=

1
cos t

= – 2. 2 sin t . cos t

1
cos t

-

2). Y = 3 sin θ – sin3 θ
dY
dθ
dY
dX

dt

dX

2

= 3 cos θ – 3 sin θ cos θ
3 cos 3θ

=

3). Y =
dY

X = cos3 θ

;

– 3 cos 2θ sin θ

dY
dX

– cos θ

2 – 3t

X =

2 + 3t
5 (2 + 3t) – 3 (4 +5t)
(2 + 3t)2

dX

;

dt

–2

2 + 3t

=

=

(2 + 3t )2
=

= – cotg θ

sin θ

4 + 5t

=-

=

=

dθ

–2
2

( 2 + 3t )

.

( 2 + 3t )2
– 12

- =

= –3 cos2 θ sin θ

-

–3 (2 + 3t) – 3 (2 – 3t)
(2 + 3t)2
– 12
(2 + 3t)2
1
6

-

-

-

Diferensial Parsial
Jika diketahui suatu fungsi dengan dua variabel bebas atau
lebih, maka diferensiasi fungsi tersebut terhadap salah satu
variabelnya dengan menganggap variabel lainnya tetap, maka
diferensiasi

tersebut

dinamakan

diferensial

parsial

dan

dilambangkan dengan w (delta).
Misalnya: Z = f ( X,Y ) maka diferensial parsial Z terhadap X dengan Y konstan ditulis dengan lambang

wZ

,

wX
demikian juga difetrensial parsial Z terhadap Y dengan meng-

anggap X konstan ditulis dengan

36

wZ
wY

.

Disamping harga-harga koefisien diferansial

wZ
wX

dan

wZ

wY

dapat juga dicari koefisien diferensial parsial lainnya baik
koefisien diferensial parsial pertama maupun kedua, yaitu :
w2Z
wX
w2Z
2

wX

w2Z
wY2

2

w2Z

,

=

wY

2

w2Z

,

wX.wY

w

wZ

wX

wX

=

,

wZ

wY

wY

masing-masing berarti :

wY.wX
w2Z

;

w

w2Z

wX.wY
w2Z

;

wY.wX

=

=

w

wZ

wX

wY

w

wZ

wY

wX

-

-

Contoh Soal :
1). Jika

diketahui fungsi

semua

koefisien

Z = X2 . Y3 maka tentukanlah

diferensial

parsialnya,

maupun kedua.
Jaw ab : Z = X2 Y3

a).

b).

c).

wZ
wX
wZ
wY
w2Z
wX2

= 2XY3

======

= X2.3Y2 = 3X2Y2

=======

=

w
wX

(

wZ
wX

) =
37

w
wX

( 2XY3 ) = 2Y3

=====

baik pertama

d).

e).

f).

w2Z
wY2
w2Z

w2Z
wY wX

Catatan :

wZ

(

wY

(

wX
w

=

) =

wY

w

=

wX.wY

.

w

=

wZ
wY

wY

wY

) =

wZ

(

w

w
wX
w

) =

wX

( 3X2Y2 ) = 6X2Y

wY

======

( 3X2Y2 ) = 6XY2

======

( 2XY3 ) = 6XY2
======

Jika diperhatikan dua hasil terakhir ternyata :
w2Z

=

wX.wY

w2Z
wY.wX

-

Sifat ini berlaku umum untuk semua bentuk atau semua fungsi.
2). Jika diketahui V = ln ( X2 + Y2 ) buktikanlah bahwa :
w2V
2

wX

+

w2V

= 0

2

wY

Jaw ab : V = ln (X2 + Y2)
wV
wX

w2V
2

wX

2X

=

X2 + Y2

=

=
wV
wY

=

-

2(X2 + Y2) – 2X . 2X
2

2

(X + Y )
2X2 + 2Y2 – 4X2
(X2 + Y2)2
2Y
X2 + Y2

-

38

=

2Y2 – 2X2
(X2 + Y2)2

-

w2V 2(X2 + Y2) – 2Y . 2Y
2X2 – 2Y2
---- = -------------------------- = -----------(X2 + Y2)
(X2 + Y2)2
wY2
w2V

+

wX2

w2V
wY2

=

2Y2 – 2X2
(X2 + Y2)2

+

2X2 – 2Y2
(X2 + Y2)2

-

2Y2 + 2X2 – 2Y2 – 2X2
=
(X2 + Y2)2
= 0
Jadi terbukti bahw a

w2V
wX

2

+

w2V
wY

2

= 0

c. Rangkuman 3 :
Diferensiasi Logaritmik
Misalnya Y =

U.V

( U, V, W dan Z semuanya fungsi X )

W .Z

Maka diferensiasi Y terhadap X dapat dicari dengan kaidah
diferensiasi logaritmik sebagai berikut :
dY
dX

=

U.V

1

dU

W.Z

U

dX

+

1

dV

1 dW

1 dZ

V dX

W dX

Z dX

-

Diferensiasi Persamaan Parametrik
Untuk menentukan turunan dari suatu persamaan parametrik,
digunakan kaidah sebagai berikut :
dY
dX

=

dY
dT

.

dT
dX

Dalam rumus ini :
Y dan X = fungsi T
T = parameter

-

39

Diferensial Parsial
Misalnya: Z = f ( X,Y ) maka diferensial parsial pertama
Z terhadap X dengan Y konstan ditulis dengan lambang

wZ

wX
Demikian juga difetrensial parsial pertama Z terhadap Y
dengan menganggap X konstan ditulis dengan

wZ
wY

,

.

Selanjutnya koefisien diferensial parsial keduanya, ditulis :
w2Z
wX

2

w2Z
wX2
w2Z
2

wY

w2Z

,

wY
=

=

2

w

w2Z

,

wX.wY

wZ

wX wX
w

wZ

wY

wY

,

;

;

w2Z
wY.wX
w2Z
wX.wY
w2Z
wY.wX

masing-masing berarti :

=

=

w

wZ

wX

wY

-

w

wZ

wY

wX

-

d. Tugas 3 :
1). Tentukan diferensiasi logaritmik dari :
a). Y = 3X6. cos 6X. sin 3X

b). Y =

c). Y =

e4X . sin X
X cos 2X

d). Y =

e3X ln X
3
(X – 1)
34X
3X

4

. ln 2X

2). Tentukan turunan persamaan parametrik berikut ini !
a). Y = tg θ

; X = ln tg ½θ

b). Y = 4 sin3 θ ; X = 4 cos3 θ
40

c). Y =

4 – 2r
1+r

; X=

2 – 4r
1+r

-

3). Tentukanlah semua koefisien difetrensial parsial pertama
maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut ini.
a). Z = 3X . sin 2Y
b). Z = (X+Y).ln (XY)
c). Z = tg (3X+2Y)
d). Z =

2X+3Y
2X–3Y

e. Tes formatif 3 :
1). Tentukan diferensiasi logaritmik dari :
2X

a). Y = ( 3X + 1 ). cos 2X . e

b). Y =

X. sin X
1 + cos X

-

2). Tentukan turunan persamaan parametrik berikut ini !
a). Y = sinh 3θ ;

X = cosh 3θ

b). Y = 4 ( θ – sin θ ) ;

X = 4 ( 1 – cos θ )

3). Tentukanlah semua koefisien difetrensial parsial pertama
maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut ini.
a). V =

S
4

2

d h

3X – Y

b). Z =

X + 2Y

-

f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 3 :
1). a).

b).

2). a).

dY
dX
dY
dX
dY
dX

= ( 3X + 1 ).cos 2X.e2X (

=

X. sin X
1 + cos X

(

1
X

= cotgh 3 θ

3X + 1

+ cotg X +

b).

41

3

dY
dX

– 2 tg 2X + 2 )
sin X
1 + cos X

)

= cosec θ – cotg θ

3) a).

wV
wd

S

=

w2V

2

wd

w2V
wh. wd

b).

wZ
wX
w2Z
wX2

S

=

2

2

=

=

w2Z
wY. wX

2

w2V
wh

w2V
wd.wh

7Y

S

wY

2

w2Z

(X + 2Y) 4

wY2

7X2 – 28Y2

w2Z

(X + 2Y) 4

wX.wY

d

– 7X

=

– 14XY – 28Y2

=

d2

4

=

wZ
2

S

= 0

2

.d

(X + 2Y)

=

wh

.h
S

=

wV

d.h

(X + 2Y)

= -

=

-

2

28X2 + 56 XY
(X + 2Y) 4
7X2 – 28Y2
(X + 2Y) 4

-

-

4. Kegiatan Belajar 4 : Aplikasi Diferensial Fungsi
a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensiasi fungsi dalam tafsiran geometris.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensiasi fungsi dalam masalah maksimum dan minimum fungsi.
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensial
parsial dalam menentukan nilai perubahan fungsi.

42

4). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensial
parsial dalam menentukan kecepatan perubahan fungsi.
b. Uraian Materi 4 : Aplikasi Diferensiasi Fungsi
Arti Diferensiasi Fungsi Secara Geometris
Untuk mendapatkan pengertian arti diferensiasi fungsi
secara geometris dapat diperhatikan Gambar 1 di bawah ini :
Y= f ( X )
Y
K

f (X+h )

H

f (X )

Q(X+h, f (X+h) )

P

M
0

X

h

R

P (X, f(X) )

N

X

X+h

Gambar 1
Dari gambar diatas tampak bahwa :
f ( X + h ) – f (X)
h

=

HK
MN

=

QR
PR

= gradien tali busur PQ

Sehingga dideferensiasi fungsi yang dahulu dirumuskan sebagai
limit
h o0

f ( X + h ) – f (X)

Jika diambil

h
h

=

limit ( gradien PQ )
h o0

sangat kecil ( mendekati nol ) maka titik Q

mendekati P atau bahkan berimpit dengan P.

43

f (X+h) – f (X)
= gradien garis singgung
Sehingga : limit
ho0
h
kurva di P
Karena titik P(X, f (X)) berarti bahwa diferensiasi fungsi Y = f (X):

f ‘ (X) = limit
ho0

f (X+h) – f (X)
h

= gradien garis singgung di titik
(X,Y) pada kurva Y = f (X)

Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jika diketahui kurva Y = f (X)
maka arti geometris dari f ‘ (X) atau

f ‘ (X) =

dY
dX

dY
dX

adalah :

= gradien garis singgung di (X,Y)
pada kurva Y = f (X)

Catatan : Istilah lain untuk gradien = kemiringan atau “slope”
dan dilambangkan : m
Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal
Kemiringan

kurva

Y = f (X)

di sebuah titik P pada

kurva tersebut ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya
dititik P juga. Karena kemiringan ini berharga
maka

besarnya dapat dihitung

dY

dititik P,
dX
jika persamaan kurvanya

diketahui. Dengan demikian persamaan garis singgungnya juga
dapat dicari, yaitu berdasarkan persamaan umum sebuah garis
lurus dengan gradien m dan melalui sebuah titik (X1, Y1) , yaitu:
Y – Y1 = m (X – X1 )
Selanjutnya jika diperlukan juga dapat ditentukan persamaan
garis normalnya, yaitu garis lurus yang melalui P dan tegak lurus

44

terhadap garis singgung di titik P juga. Secara umum diperoleh
hubungan gradien kedua garis tersebut, yaitu:
–1

Gradien Garis Singgung

Gradien Garis Normal =

Contoh:
1). Carilah persamaan garis singgung dan garis normal pada
parabola Y = 3X2 + 4X – 5 dititik ( 1, 2 )
Jawab: Pertama dihitung dulu gradien garis singgungnya (

dY
dX

)

Y = 3X2 + 4X – 5
dY
dX

= 6X + 4

Untuk X = 1 o

m

=

dY
dX

= 6.1 + 4 = 10

Jadi persamaan garis singgung di ( 1, 2 )
Y – 2 = 10 ( X – 1 )
Y = 10X – 10 +2
atau

Y = 10X – 8

Selanjutnya persamaan garis normalnya dapat dicari dengan
terlebih dulu menghitung gradien / kemiringannya, yaitu =
sehingga persamaan garis normal di titik ( 1, 2 ) adalah :
Y–2=

Y =

–1
10

–1
10

(X–1)

10 Y = – X + 21

(X +1)
45

–1
10

-

2). Garis singgung di titik P pada kurva yang persamaannya
4Y = X2 + 4X – 16 sejajar garis 6 X – 2 Y = 5 . Tentukanlah
koordinat titik P, persamaan garis singgung dan garis normal di
titik P tersebut !
Jaw ab: 4Y = X2 + 4X – 16
Y = ¼ X2 + X – 4
dY
dX

= ½X+1

Garis 6 X – 2 Y = 5
Y = 3X – 2 ½ o m =

dY

= 3

dX

Karena garis singgung di P sejajar garis 6X – 2Y = 5
berarti gradiennya sama, yaitu m = 3, sehingga :
½ X + 1 = 3  ½ X = 2 dan diperoleh X = 4 dan Y = 4.
Jadi koordinat titip P adalah P ( 4, 4 ).
Persamaan garis singgung di P : Y – 4 = 3 ( X – 4 )
Y=3X–8
Gradien garis normalnya m = – 1/3
Persamaan garis normalnya :
Y – 4 = –1/3 ( X – 4 )
Y = – 1/3 X + 4/3 + 4

o

3 Y = – X + 16

Kadang-kadang persamaan kurva dinyatakan dalam
bentuk fungsi implisit atau dapat juga berbentuk pasangan
persamaan parametrik. Tetapi tidak perlu khawatir karena pada
kegiatan belajar

terdahulu telah dijelaskan bagaimana cara

mencari diferensiasinya.

46

Contoh :
3). Carilah persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 3)
pada kurva X2 + Y2 – 5 XY + 17 = 0
Jaw ab : X2 + Y2 – 5 XY + 17 = 0
2X + 2 Y

dY
dX

( 2Y – 5X )

dY

– 5 Y – 5X

dY
dX

dX

=0

dY

= 5 Y – 2X o

Di titik ( 2, 3 ) harga

dY
dX
=

dX

=

5.3–2.2

=

2.3–5.2

– 11
4

5Y – 2X
2Y – 5X
-

-

Persamaan singgung di titik ( 2, 3 )
Y-3=

Y=

– 11
4

– 11
4

(X–2)

X+

11
2

+3

Y = – 2 ¾ X + 8 ½-

atau

4Y = – 11 X + 34

Persamaan garis normalnya :
Gradien garis normal =

–1
–11 / 4

=

4
11

-

Persamaan garis normal di titik ( 2, 3 ) :
Y–3 =

4
11

(X–2)

47

-

4

Y=

11

X+2

3

atau

11

=============

11 Y = 4 X + 25
============

4). Tulislah persamaan garis singgung dan garis normal di θ =
jika diketahui persamaan Y = cos 2θ

dan

X = sin θ .

S
6

-

Jaw ab :
Y
dY
dθ

= cos 2 θ

X
dX

= – 2 sin 2θ

dθ

= sin θ
= cos θ o

dθ
dX

=

1
cos θ

-

= – 4 sin θ cos θ
dY
dX

=

dY
dθ

dθ

.

dX
S

Untuk θ =

6

=

– 4 sin θ. cos θ
cos θ
dY

o

= – 4 sin θ

= – 4 sin

dX

S
6

= –4. ½ = –2

Jadi kemiringan garis singgung yang melalui (X, Y) adalah –2,
sehingga persamaan garis singgung tersebut dapat dicari
dengan terlebih dahulu menghitung harga X dan Y untuk
yang telah diketahui.
S
Untuk θ =

6

S
o

X = sin

Y = cos

6
S
6

= ½

= ½

? Persamaan garis singgung dapat ditulis :
Y – ½ = – 2 (X – ½ )

48

θ

Y = – 2X + 1 ½

atau

Kemiringan garis normal =

2Y = 4X + 3
–1
–2

= ½

Jadi persamaan garis normalnya :
Y–½ = ½ (X–½)
Y=½X + ¼
=============

atau

4Y = 2X + 1
==========

Maksimum dan Minimum suatu Fungsi
Dalam kehidupan, termasuk juga di bidang teknik otomotif
sering kali dihadapkan pada masalah penentuan cara terbaik
untuk melakukan sesuatu. Cara terbaik tersebut kadang-kadang
menyangkut masalah memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi pada himpunan tertentu. Masalah-masalah tersebut
ternyata dapat dipecahkan dengan bantuan diferensiasi fungsi,
baik diferensiasi pertama ataupun diferensiasi kedua.
Untuk memahami masalah maksimum dan minimumnya
suatu fungsi, perhatikanlah grafik yang menunjukkan hubungan
antara suatu fungsi dengan dan diferensiasinya sebagaimana
tampak pada Gambar 2 di bawah ini :
Dari grafik-grafik tersebut terlihat hal-hal sebagai berikut :
1). Dari kurva Y = f ( X ) tampak bahwa :
a). Pada titk A dicapai harga Y maksimum, karena dititik A ini
harga Y lebih

besar dibandingkan harga Y yang lain di

dekatnya.
b). Pada titik B harga Y minimum, karena lebih kecil dari
pada harga Y yang lain di dekatnya.
c). Pada titik C kurva mendatar atau didapat harga Y
setengah maksimum dan setengah minimum, kurva tidak
terus membalik ke bawah tetapi membelok keatas
49

dengan gradien positif yang terus bertambah. Titik ini
disebut titik belok.
Titik A, B dan C disebut titik balik atau harga stasioner Y.
2). Dari kurva turunan pertama tampak bahwa:
Untuk

Y

dY
dX

setiap titik balik berlaku

dY
dX

A

Y=f(X)
C

B

0

dY
dX

= 0

X1

X2

X3

X

-

0

Y=f’(X)

X1

X2

X3

d2Y
dX2

0

X

Y=f “(X)

X1

X2
50
Gambar 2

X3

X

3). Dari grafik (kurva) turunan kedua terlihat bahwa :
a). Jika

b). Jika

c). Jika

d2Y
dX2
d2Y
dX2
d2Y
dX2

> 0 maka Y berharga minimum

< 0 maka Y berharga maksimum

= 0 maka terjadi titik belok

Selanjutnya jika suatu fungsi didefinisikan pada suatu
interval tertutup, maka nilai maksimum atau minimumnya
dapat terjadi kecuali pada nilai-nilai stasionernya mungkin
juga dapat terjadi pada ujung-ujung intervalnya.
Contoh Soal :
1). Akan dibuat sebuah kotak siku (berbentuk balok ) dari
selembar plat seng yang panjangnya 24 cm dan lebarnya 9 cm.
Lembaran seng tersebut dipotong persegi identik pada
keempat pojoknya, kemudian dilipat ke atas sisinya sehingga
terbentuk kotak ( lihat gambar 3 ).
Tentukanlah ukuran kotak agar v