Modul Matematika TKF 201 01
Kode Modul
MAT.TKF 201- 01
Fakultas Teknik UNY
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
LIMIT DAN KONTINYUITAS FUNGSI
f (X)
f (X) = X
C
C
lim X = X
XC
Penyusun :
Martubi, M.Pd., M.T.
Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
2005
KATA PENGANTAR
Modul dengan judul Limit dan Kontinyuitas Sebuah Fungsi ini
digunakan sebagai panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk
salah satu sub-kompetensi, yaitu: “Menggunakan
konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah limit fungsi“.
Modul ini
dapat digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di semester I
pada Program Studi Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri
Yogyakarta.
Pada modul ini disajikan konsep dasar Limit dan Kontinyuitas
Sebuah Fungsi dan permasalahannya
penerapannya di bidang teknik,
yang banyak dijumpai dalam
baik secara teoritis maupun praktis.
Modul ini terdiri atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas
tentang: Limit Fungsi Aljabar. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Limit
Fungsi Trigonometri. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Kontinyuitas
Sebuah Fungsi.
Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa
diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang
konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep
tentang Fungsi Aljabar dan Fungsi Trigonometri.
Yogyakarta,
Oktober 2005
Penyusun
Martubi, M.Pd., M.T.
2
DAFTAR ISI MODUL
Halaman
HALAMAN SAMPUL ............................................................................ 1
KATA PENGANTAR ............................................................................. 2
DAFTAR ISI .......................................................................................... 3
PERISTILAHAN / GLOSSARY .............................................................. 5
I . PENDAHULUAN................................................................................. 6
A. Deskripsi ......................................................................................... 6
B. Prasyarat ......................................................................................... 6
C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................... 7
1. Petunjuk bagi mahasiswa .......................................................... 7
2. Petunjuk bagi dosen ............ ...................................................... 7
D. Tujuan Akhir .................................................................................. 8
E. Kompetensi .................................................................................... 8
F. Cek Kemampuan ............................................................................ 9
II. PEMBELAJARAN .............................................................................. 10
A. Rencana Belajar Mahasiswa ......................................................... 10
B. Kegiatan Belajar ............................................................................. 10
1. Kegiatan Belajar 1 ..................................................................... 10
a. Tujuan kegiatan belajar 1 ...................................................... 10
b. Uraian materi .......................................................................... 10
c. Rangkuman 1 .......................................................................... 18
d. Tugas 1 ................................................................................... 20
e. Tes formatif 1 .......................................................................... 20
f. Kunci jawab tes formatif 1 ... .................................................... 20
3
Halaman
2. Kegiatan Belajar 2 ..................................................................... 21
a. Tujuan kegiatan belajar 2 ....................................................... 21
b. Uraian materi 2 ....................................................................... 21
c. Rangkuman 2 .......................................................................... 22
d. Tugas 2 ................................................................................... 23
e. Tes formatif 2 .......................................................................... 23
f. Kunci jawab tes formatif 2 ............... ........................................ 24
3. Kegiatan Belajar 3 .................................................................... 24
a. Tujuan kegiatan belajar 3 ....................................................... 24
b. Uraian materi 3 ....................................................................... 24
c. Rangkuman 3 ......................................................................... 25
d. Tugas 3 .................................................................................. 26
e. Tes formatif 3 ......................................................................... 26
f. Kunci jawab tes formatif 3 ............... ...................................... 27
III. EVALUASI ...................................................................................... 28
A. Pertanyaan .................................................................................. 28
B. Kunci Jawaban ............................................................................. 29
C. Kriteria Kelulusan ........................................................................ 29
IV. PENUTUP ......................................................................................... 30
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 31
4
PERISTILAHAN / GLOSSARY
Fungsi Diskontinyu : adalah sebuah fungsi yang tidak selalu atau tidak
terus menerus mempunyai harga di setiap titik atau sebuah fungsi
yang pernah mengalami tidak mempunyai harga pada titik atau
interval tertentu.
Fungsi Kontinyu : adalah sebuah fungsi yang selalu atau terus menerus
mempunyai harga di setiap titik.
Fungsi Trigonometri
: adalah adalah sebuah fungsi yang harganya
ditentukan oleh harga suatu sudut tertentu.
Limit Fungsi : adalah harga atau nilai batas yang didekati sebuah fungsi
jika variabel fungsi itu diganti dengan bilangan yang mendekati nilai
tertentu.
Terdefinisi : adalah sebuah istilah untuk menyatakan bahwa suatu
bilangan mempunyai harga tertentu.
5
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul dengan judul Limit dan
Kontinyuitas Fungsi ini
membahas tentang konsep dasar Limit dan Kontinyuitas Fungsi serta
permasalahannya
bidang teknik,
yang banyak dijumpai dalam penerapannya di
baik secara teoritis maupun praktis.
Materi yang
dipelajari mencakup : Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri
dan Kontinyuitas Sebuah Fungsi.
Modul ini terdiri atas dua kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1
membahas
tentang:
Limit
Fungsi Aljabar,
Kegiatan
belajar
2
membahas tentang: Limit Fungsi Trigonometri. Kegiatan belajar 3
membahas tentang: Kontinyuitas Sebuah Fungsi.
kegiatan
belajar
selalu
dilengkapi
dengan
Pada setiap
contoh
soal
dan
pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk membantu
mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.
Setelah selesai mempelajari modul ini secara keseluruhan
mahasiswa diharapkan mempunyai sub kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah limit
fungsi“
B. Prasyarat
Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi
lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materimateri dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar
tentang : Fungsi Aljabar dan Fungsi Trigonometri.
6
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Petunjuk bagi Mahasisw a
Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam
menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu
diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian
konsep-konsep
teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula
penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal
beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi
yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para
mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu
kegiatan perkuliahan.
b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri,
hal
ini
dimaksudkan
untuk
mengetahui
seberapa
besar
pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap
materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.
c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi
pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan
mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah
kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang
bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan
pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat
yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.
2. Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan
peran untuk :
a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan
yang dijelaskan dalam tahab belajar.
7
c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan
menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.
d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang
diperlukan.
e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.
g. Mengadakan
evaluasi
terhadap
pencapaian
kompetensi
mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaannya pada setiap akhir kegiatan belajar.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul
ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah limit fungsi“.
E. Kompetensi
Modul TKF 201-01 dengan judul Limit dan Kontinyuitas
Sebuah Fungsi
ini disusun dalam rangka membentuk sub-
kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar
dalam pemecahan masalah limit fungsi“.
Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus
dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya
melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai
berikut :
8
Sub
Kompetensi
Kriteria
Unjuk Kerja
Materi Pokok Pembelajaran
Lingkup
Belajar
Mengguna- 1. Menjelaskan
kan konsep,
pengertian,
sifat, dan
notasi dan
manipulasi
sifat-sifat limit
aljabar
fungsi .
dalam
2. Menyelesaipemecahan
kan permasamasalah
lahan limit
limit dan
fungsi aljabar
kontinyuits
3. Menyelesaifungsi.
kan permasalahan limit
fungsi
trigonometri
5. 4. Menjelaskan
kontinyuitas
sebuah
fungsi
Sikap
1. Pengertian,
notasi dan
sifat-sifat limit
fungsi .
2. Limit fungsi
aljabar .
Pengetahuan
Teliti dan
1. Pengertian,
cermat
notasi, dan
dalam
sifat-sifat limit
menulis
fungsi .
simbol
dan mela- 2. Limit fungsi
kukan peraljabar .
hitungan
3. Limit fungsi
Trigonometri
3. Limit fungsi
Trigonometri
4. Kontinyuitas
sebuah
fungsi
4. Kontinyuitas
sebuah
fungsi
Ketrampilan
Menghitung
dengan
prosedur
dan hasil
yang benar
F. Cek Kemampuan
Sebelum mempelajari Modul TKF 201 – 01 ini, isilah dengan tanda
cek ( ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah dimiliki
mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :
Sub
Kompetensi
Jaw aban
Pertanyaan
Ya
Tidak
Mengguna- 1. Saya mampu menjelaskan: pengertian,
notasi, dan sifat-sifat limit fungsi.
kan konsep,
sifat, dan
2. Saya dapat menyelesaikan permasamanipulasi
lahan limit fungsi aljabar.
aljabar
dalam
pemecahan 3. Saya dapat menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri.
masalah
limit dan
4. Saya dapat menyelesaikan permasakontinyuits
lahan kontinyuitas sebuah fungsi
fungsi.
Bila Jawaban “Ya“
Kerjakan
Tes Formatif 1
Nomor 1
Tes Formatif 1
Nomor 2
Tes Formatif 2
Tes Formatif 3
Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini
sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.
9
BAB II
PEMBELAJ ARAN
A. Rencana Belajar Mahasisw a
Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah
ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.
Jenis Kegiatan
Tanggal
Waktu
Tempat
Belajar
Alasan
Perubahan
Paraf
Dosen
1. Pengertian, notasi dan
sifat-sifat limit fungsi
2. Limit fungsi aljabar
3. Limit fungsi trigonometri.
4. Kontinyuitas sebuah
fungsi
B. Kegiatan Belajar.
1. Kegiatan Belajar 1 : Limit Fungsi Aljabar
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :
1). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifatsifat limit fungsi.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan limit fungsi
aljabar.
b. Uraian Materi 1 :
1). Pengertian, Notasi dan Sifat-sifat Limit Fungsi.
Untuk dapat memahami pengertian tentang limit fungsi
maka perhatikan nilai dari
dua buah fungsi X
berikut jika
masing-masing dicari harganya. Fungsi pertama adalah fungsi
yang berbanding lurus, sedang fungsi kedua adalah fungsi
yang berbanding terbalik.
10
a). Untuk fungsi berbanding lurus, misalnya :
f (X) =
X
f (X)
X
4
( dengan X = bilangan asli )
400 100
100 25
2
0,5
1
0,04 0,004
0,25 0,01 0,001
0,0004
0,0001
.......
.......
Dari daftar di atas tampak jelas bahwa jika X diberi harga
makin kecil maka harga f (X) juga makin kecil, sehingga
untuk X yang “sangat amat kecil sekali” ( dikatakan
mendekati nol ) maka harga f (X) juga akan “sangat amat
kecil sekali” ( mendekati nol ). Pernyataan ini ditulis secara
matematis dengan notasi :
limit
Xo0
X
4
= 0
atau sering disingkat
X
lim
Xo0 4
= 0
Selanjutnya juga dapat dibuktikan bahwa, jika X makin
besar maka harga f (X) akan semakin besar pula. Untuk X
yang “sangat amat besar sekali” ( dikatakan mendekati tak
terhingga ) maka harga
f (X ) juga akan “sangat amat
besar sekali” (tak terhingga). Pernyataan ini ditulis secara
matematis dengan notasi :
limit
Xof
X
4
= f
atau sering disingkat
X
lim
Xo f 4
= f
Akhirnya dapat disimpulkan secara umum bahwa untuk
semua fungsi berbanding lurus dapat berlaku :
limit f (X) = 0
Xo 0
dan
11
limit f (X) = f
Xo f
b). Untuk fungsi berbanding terbalik, misalnya :
f (X) =
4
( dengan X = bilangan asli )
X
X
f (X)
1
4
2
2
8
0,5
40
0,1
400 4.000 40.000 .......
0,01 0,001 0,0001 .......
Dari daftar di atas tampak jelas bahwa jika X diberi harga
makin besar maka harga f (X) makin kecil, sehingga untuk
X yang “sangat amat besar sekali” ( dikatakan mendekati
tak terhingga ) maka harga f (X) akan “sangat amat kecil
sekali” ( mendekati nol ).
Pernyataan ini ditulis secara
matematis dengan notasi :
4
limit
Xof X
= 0
atau sering disingkat
4
lim
Xo f X
Selanjutnya juga dapat dibuktikan bahwa,
= 0
jika X makin
kecil maka harga f (X) akan semakin besar. Untuk X yang
“sangat amat kecil sekali” ( dikatakan mendekati nol )
maka harga f (X) akan “sangat amat besar sekali” (tak
terhingga). Pernyataan ini ditulis secara matematis dengan
notasi :
limit
Xo0
4
X
= f
atau sering disingkat
4
lim
Xo0 X
= f
Akhirnya dapat disimpulkan secara umum bahwa untuk
semua fungsi berbanding terbalik dapat berlaku :
limit f (X) = 0
Xof
dan
12
limit f (X) = f
Xo0
Dari uraian tersebut dapat diambil sebuah pengertian
bahwa : Limit Fungsi adalah sebuah harga batas yang
didekati oleh fungsi tersebut jika variabelnya diganti suatu
harga yang mendekati harga tertentu. Untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh berikut :
l i mi t ( X + 4 ) = 2 + 4 = 6
Xo 2
Pada contoh tersebut angka 6 adalah limit atau harga
batas dari fungsi ( X + 4 )
mendekati 2, misalnya
jika X diganti angka yang
2,001 yang menghasilkan 6,001
atau 1,9999 yang menghasilkan 5,9999 kedua harga itu
ternyata mendekati angka 6. Jadi angka 6 bukanlah harga
eksak, tetapi hanya harga batas ( angka yang didekati ).
Dengan penalaran yang sama maka harga limit fungsi
dengan bentuk-bentuk lainnya dapat ditentukan, misalnya :
(1). limit ( 2X2 + 4X – 3 ) = 2. 12 + 4.1 – 3 = 3
Xo 1
(2). limit ( 3X2 + 4X + 5 ) = 3. f2 + 4.f + 5 = f + f + 5 = f
Xo f
(3). limit
Xo2
(4). limit
Xo6
6X
X 2
=
X 6
5X
2
(5). limit
Xof 5X + 4
(6). limit
Xof
2X + 3
5
6.2
2–2
=
=
=
13
6 6
5.6
2
5. f + 4
=
=
0
0
=
2
= 0
f
=
f
= 0
30
=
2.f + 3
5
12
f+3
5
=
f
5
= f
Sifat –sifat Limit Fungsi :
Dari penelusuran terhadap hasil-hasil perhitungan limit
fungsi dapat disebutkan bahwa limit fungsi mempunyai sifatsifat sebagai berikut :
(1). limit k = k
XoC
(2). limit X = C
XoC
(3). limit k . f (X) = k. limit f (X)
XoC
XoC
(4). limit [ f (X) + g (X) ] = limit f (X) + limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(5). limit [ f (X) . g (X) ] = limit f (X) . limit g (X)
Xo C
XoC
XoC
(6). limit [ f (X) : g (X) ] = limit f (X) : limit g (X)
XoC
Xo C
XoC
(7). limit [ f (X) ]
XoC
n
= [ limit f (X) ]
XoC
n
(8). limit f (X) ] = limit f (X)
XoC
XoC
Catatan : Untuk sifat nomor 6 asal harga limit g (X) = 0
XoC
Untuk sifat nomor 8 : limit f (X) > 0
XoC
14
2). Limit Fungsi Aljabar
Berdasarkan
prinsip limit
fungsi sebagaimana telah
diuraikan di atas, jika f (X) adalah fungsi aljabar maka
harganya dapat dihitung dengan pedoman sebagai berikut :
( C dan k adalah bilangan konstan dan riil )
a). limit f (X) = k
XoC
apabila f (C) = k
b). limit f (X) = f
XoC
apabila f (C) =
c). limit f (X) = 0
XoC
apabila f (C) =
d). limit f (X) = 0
Xof
apabila f (f) =
k
0
0
k
k
f
e). limit f (X) = tidak terdefinisi atau tidak tertentu apabila
XoC
f
0
harga f (c) adalah :
;
atau (f – f)
f
0
Jika ternyata hasil perhitungan limit sebuah fungsi berupa
salah satu di antara bentuk-bentuk tidak terdefinisi di atas
( bentuk e ) maka harus dilakukan perubahan cara pengerjaan,
misalnya dengan menyederhanakan bentuk soalnya dulu atau
menyatakan bentuk soal dengan bentuk lain yang setara
sehingga diperoleh hasil dalam bentuk tertentu ( terdefinisi ).
Adapun cara penyederhanaan bentuk soal tersebut misalnya
dengan memfaktorkan, mengalikan dengan bentuk sekawan
15
kemudian membaginya dengan
bentuk sekawan juga, dan
sebagainya tergantung bentuk soalnya.
Contoh Soal :
Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut ini !
e). limit ( 5X2 – 4X )
X of
a). limit ( 5X2 – 3X + 4 )
Xo2
b). limit
Xo5
c). limit
Xo1
3X
f). limit
Xof
X–5
X2 – 4X + 3
3X + X – 2
4
d). limit
Xof X + 5
4X2 + 3X – 2
X2 – 6X + 9
g). limit
Xo3
2
X2 + 2X + 3
X2 + X – 12
h). limit
X of
3X + 5
3X – 2
Jaw ab :
a). limit ( 5X2 – 3X + 4 ) =
Xo2
b). limit
Xo5
c). limit
Xo1
3X
X–5
=
3.5
3X2 + X – 2
=
=
5–5
X2 – 4X + 3
4
d). limit
Xof X + 5
5.22 – 3.2 + 4 = 18
15
= f
0
12 – 4.1 + 3
=
3.12 + 1 – 2
4
f +5
=
4
f
=
0
2
= 0
= 0
e). limit ( 5X2 – 4X ) = ( 5. f2 – 4. f ) = f – f
Xof
16
karena hasilnya bentuk tidak terdefinisi, maka harus diubah
dengan cara sebagai berikut :
( 5X2 + 4X )
limit ( 5X2 – 4X ) = limit ( 5X2 – 4X ) .
Xof
Xof
( 5X2 + 4X )
( 5X2 – 4X ).( 5X2 + 4X )
5X2 – 4X
= limit
= limit
2
Xof 5X2 + 4X
Xof
( 5X + 4X )
kalau
harga X disubstitusikan pada bentuk ini masih
didapat bentuk tak terdefinisi lagi, maka sebelumnya semua
suku dibagi X pangkat tertinggi ( yaitu: X2 atau X4 )
5X2 / X2 – 4X / X2
menjadi : = limit
Xof ( 5X2 / X4 + 4X / X4 )
5 – 4/X
= limit
=
2
3
X of 5 / X + 4 / X
=
5–0
0+0
X2 + 2X + 3
f). limit
=
Xof 4X2 + 3X – 2
5
=
0
=
5 – 4/f
5/ f2 + 4 / f3
f
f2 + 2.f + 3
4.f2 + 3.f – 2
=
f
f
(tak terdefinisi)
karena hasilnya bentuk tidak terdefinisi, maka harus diubah
yaitu dengan cara membagi semua suku dengan X2.
X2 + 2X + 3
X2 / X2 + 2X/ X2 + 3/X2
limit
= limit
Xof 4X2 + 3X – 2 Xof 4X2 / X2+ 3X/ X2 – 2/ X2
= limit
1 + 2/ X + 3/X2
17
=
1 + 2/ f + 3/f2
=
1+0+0
Xof 4 + 3/ X – 2/ X2
=
4 + 3/ f – 2/ f2
4+0–0
¼
X2 – 6X + 9
32 – 6.3 + 9
0
g). limit
=
=
32 + 3 – 12
0
Xo3 X2 + X – 12
( tak terdefinisi )
maka harus diubah, yaitu dengan cara memfaktorkannya :
X2 – 6X + 9
limit
Xo3 X2 + X –12
(X – 3 ) (X – 3)
X–3
= limit
= limit
Xo3 (X + 4) (X – 3) Xo3 X + 4
3–3
0
= limit
= ---- = 0
Xo3 3 + 4
7
3X + 5
h). limit
Xof 3X – 2
3X /3X + 5/3X
1 + 5/3X
= limit
= limit
Xof 3X /3X – 2/3X Xof 1 – 2/3X
=
1+0
1–0
= 1
c. Rangkuman 1 :
1). Pengertian, Notasi dan Sifat-sifat Limit Fungsi.
a). Limit Fungsi adalah sebuah harga batas yang didekati oleh
fungsi tersebut jika variabelnya diganti suatu harga yang
mendekati harga tertentu.
b). Limit fungsi X untuk X mendekati C ditulis dengan notasi :
limit f (X) = f (C)
XoC
c). Sifat-sifat limit fungsi : ( dengan
(1). limit k = k
XoC
(2). limit
X = C
18
k , C Real )
XoC
(3). limit k . f (X) = k. limit f (X)
XoC
XoC
(4). limit [ f (X) + g (X) ] = limit f (X) + limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(5). limit [ f (X) . g (X) ] = limit f (X) . limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(6). limit [ f (X) : g (X) ] = limit f (X) : limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(7). limit [ f (X) ]
XoC
n
= [ limit f (X) ]
XoC
n
(8). limit f (X) ] = limit f (X)
XoC
Xo C
Catatan : Untuk sifat nomor (6) asal harga limit g (X) = 0
XoC
Untuk sifat nomor (8) : limit f (X) > 0
XoC
2). Limit Fungsi Aljabar
Jika f (X) adalah sebuah fungsi aljabar, maka harga limit
dari f (X) dapat dicari dengan pedoman sebagai berikut :
a). limit f (X) = k
XoC
apabila f (C) = k
b). limit f (X) = f
XoC
apabila f (C) =
c). limit f (X) = 0
XoC
apabila f (C) =
d). limit f (X) = 0
Xof
apabila f (f) =
19
k
0
0
k
k
f
e). limit f (X) = tidak terdefinisi atau tidak tertentu apabila
Xo C
f
0
harga f (C) adalah :
;
atau (f – f)
f
0
d. Tugas 1:
Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut ini :
X2 – 4
X4 – 3X2 – X2
7). limit
Xo 0
X2
5 – 25 – X
2X+1 + 3
2). limit
Xo 2 X2 – 3X + 2
3). limit
Xo 0
8). limit
Xo f
X
4). limit ( X2 + 3X – X2 – X )
Xo f
X
2 – 1
-
9). limit (3X – 4 – 9X2 – 3)
Xo f
e. Tes formatif 1 :
1). Jelaskanlah : pengertian, notasi dan sifat-sifat limit fungsi !
2). Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut !
a). limit
Xo 5
X2 + 2X – 15
3
4
d). limit (
–
)
2
Xo 2 X – 4
X–2
X2 – 25
X2 – 4X + 3
X3 – 3X2 – X + 4
b). limit
Xo 3 X2 – X – 6
c). limit
Xo 0
e). limit
Xo f 2X2 + 3X3 – 7
3 – 9 – 2X
f). limit
Xo f
5X
5X +1 + 7
X
5 – 20
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 1 :
1). Limit Fungsi adalah sebuah harga batas yang didekati oleh
fungsi tersebut jika variabelnya diganti suatu bilangan yang
mendekati harga tertentu. Limit fungsi X untuk X mendekati C
ditulis dengan notasi : limit f (X) = f (C)
XoC
20
Limit fungsi mempunyai sifat-sifat seperti sifat-sifat operasi
aritmatik/aaljabar bilangan konstan.
2). a). f
b). 2/5
c). 1/15
e). 1/3
d). f
f). 5
2. Kegiatan Belajar 2 : Limit Fungsi Trigonometri
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :
Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan limit fungsi
trigonometri.
b. Uraian Materi 2 :
Limit Fungsi Trigonometri
Dengan ide dasar limit yang sama dengan limit Fungsi
Aljabar sebagaimana diuraikan sebelumnya, maka di dalam
Trigonometri didapat rumus-rumus dasar sebagai berikut :
1 . l i mi t
Xo 0
sin X
X
tg X
2 . l i mi t
Xo 0 X
= 1
atau
= 1
atau
X
l i mi t
= 1
Xo 0 sin X
X
l i mi t
Xo 0 tg X
= 1
Kedua rumus tersebut dapat di perluas menjadi sebagai berikut :
3 . l i mi t
Xo 0
4 . l i mi t
Xo 0
sin aX
aX
tg aX
aX
=1
atau
=1
sin n aX
atau
aX
l i mi t
= 1
Xo 0 sin aX
aX
limit
Xo0 tg aX
an Xn
21
= 1
5 . l i mi t
Xo 0
an Xn
tg n aX
6 . l i mi t
Xo 0
n
a X
n
=1
l i mi t
=1
Xo0 sin n aX
atau
=1
an Xn
limit
=1
n
Xo0 tg aX
atau
Contoh : Tentukan limit fungsi – fungsi di bawah ini :
sin 3X
1. limit ---------Xo 0
X
tg 6X
3. limit ---------Xo0 sin 7X
tg X
2. limit --------Xo 0 5X
sin2 3X
4. limit ---------Xo0 7X2
Jawab :
1. limit
Xo0
2. limit
Xo0
sin 3X
X
tg 4X
5X
sin 3X 3
= limit
.
Xo0 3X
1
= 1. 3
=3
tg 4X
4
4
4
= limit
= 1.
=
Xo 0 4X
5
5
5
tg 6X
7X
tg 6X
sin2 3X
sin2 3X
6
6
6
= limit
= 11 = 3. limit
Xo0 sin 7X
Xo0 sin 7X 6X
7
7 7
4. limit
Xo0
7X2
= limit
Xo0
=
1 .
9X2
9
7
=
9
.
9
7
7
-
-
c. Rangkuman 2 :
Limit Fungsi Trigonometri secara garis besar dapat dibedakan
menjadi dua rumus umum : ( jika a dan n adalah bilangan riil )
1 . l i mi t
sin n aX
=1
22
atau
l i mi t
an Xn
=1
Xo 0
2 . l i mi t
Xo 0
an Xn
tg n aX
n
a X
n
Xo0 sin n aX
=1
atau
an Xn
limit
=1
n
Xo0 tg aX
d. Tugas 2 :
Hitunglah limit fungsi – fungsi Trigonometri berikut ini :
tg X
1. limit --------X o0 sin 3X
1 + cos 2X
6. limit --------------X o0 cos X
tg 5X
2. limit ------Xo0 3X
sin X – cos X
7. limit -----------------X o 0 1 – sin 2X
sin 2 X + tg 2 X
3. limit -------------------2
X o0
1/2 X
1 – cos 2X
8. limit --------------Xo 0
X2
1 – cos X
4. limit ------------X o0
X2
9. limit (X – 5 ). cotg (X – 5 )
Xo 5
sin X . sin 3X
5. limit ----------------Xo0 1 – cos 4X
X . sin X
10. limit ----------------X o0 1 – cos 4X
e. Tes formatif 2 :
Hitunglah limit fungsi – fungsi Trigonometri berikut ini
sin 3X
1). limit --------Xo0 tg 8X
4). limit (X – 2) cosec (X – 2)
Xo2
tg3 2X
2). limit ------Xo0 5X3
sin 3X . sin 4X
5). limit -- ---------------Xo0 1 – cos 10X
sin 2 3X + tg 2 4X
3). limit -------- -----------X o0
5X2
1 – cos 7X
6). limit --------------Xo0
4X 2
23
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 2 :
1).
3/8
4). 1
2).
8/5
5). 6/25
3).
5
6). 6 1/8
3. Kegiatan Belajar 3 : Kontinyuitas Sebuah Fungsi
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 :
Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan kontinyuitas
sebuah fungsi.
b. Uraian Materi 3 :
Kontinyuitas Sebuah Fungsi
Sebuah fungsi f (X) dikatakan kontinyu di titik X = C apabila
memenuhi syarat-syarat di bawah ini :
a. f (C) terdefinisi, artinya harga f (C) ada.
b. limit f ( X ) juga ada
XoC
c. limit f ( X ) = f ( C )
XoC
Kalau salah satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak
dipenuhi, maka fungsi yang demikian dikatakan sebagai fungsi
yang diskontinyu (tidak kontinyu) di X = C. Selanjutnya fungsi yang
kontinyu di setiap titik disebut sebagai fungsi kontinyu.
Contoh :
a. Fungsi f (X) = X2 + 3 kontinyu di setiap titik, sebab untuk setiap
X = C selalu dipenuhi syarat-syarat kekontinyuan sebuah fungsi.
X
2
b. Fungsi f (X) = ------- diskontinyu di titik X = 2, sebab f (2) = --X–2
0
sehingga f (2) tidak terdefinisi.
24
X2 + 2
6
c. Fungsi f (X) = -------- diskontinyu di X = 2, sebab f ( 2 ) = X–2
0
yang berarti tidak tertentu meskipun limit f (X) untuk X o 2 ada.
Selanjutnya dengan memperhatikan persyaratan kontinyuitas
suatu fungsi, dapat juga ditentukan interval-interval di mana
sebuah fungsi tidak kontinyu.
Contoh: Pada interval manakah fungsi-fungsi berikut diskontinyu.
1).
4
2). f (X) = ------------- X² - 9
f (X) = X - 2
Jaw ab : 1). f (X) = X - 2
f (X) akan menjadi fungsi yang tidak kontinyu bila f (X)
tidak ada harganya (khayal), yaitu terjadi jika di bawah
akar berharga negatif, sehingga : X - 2 < 0 o X < 2
Jadi f (X) diskontinyu pada interval : { X | X < 2 }
4
2). f (X) = ------------ X²- 9
Fungsi ini akan diskontinyu jika X² - 9 ≤ 0
X² - 9 ≤ 0
( X - 3 ) . ( X+ 3 ) ≤ 0
-3≤X≤3
Jadi f (X) diskontinyu pada interval :
{ X ¨- 3 ≤ X ≤ 3 }
c. Rangkuman 3 :
Sebuah fungsi f (X) dikatakan kontinyu di titik X = C
apabila memenuhi syarat-syarat di bawah ini :
25
a. f (C) terdefinisi, artinya harga f (C) ada.
b. limit f ( X ) juga ada
Xo0
c. limit f ( X ) = f ( C )
Xo0
Kalau salah satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak
dipenuhi, maka fungsi yang demikian dikatakan sebagai fungsi
yang diskontinyu (tidak kontinyu) di X = C. Selanjutnya fungsi
yang kontinyu di setiap titik disebut sebagai fungsi kontinyu
d. Tugas 3 :
1). Manakah fungsi-fungsi berikut ini yang merupakan fungsi
kontinyu di setiap titik, dan tunjukkan buktinya ?.
a. f ( X ) = X + 2
X2 + 4
b. f ( X ) = ------ ----X – 2
X2 + 2X + 8
c. f ( X ) = ------ -----------X + 4
2). Pada titik atau interval manakah fungsi-fungsi berikut ini tidak
kontinyu ?
X
a). f ( X ) = -------X–2
X3 + 27
c. f ( X ) = - -------X–3
5X – 1
b). f (X ) = ---------- 3X – 2
X2 – 25
d. f ( X ) = - -- ----------X2 – 3X – 10
e. Tes formatif 3 :
1). Katakanlah fungsi-fungsi berikut ini kontinyu atau tidak, dan
tunjukkan buktinya ?.
26
d). f (X) = X2 + 6X – 7
a). f ( X ) = 3X – 4
X2 + 9
b). f ( X ) = ------ ----X – 3
4X
e). f (X) = X–2
c). f ( X ) = 4X2 + 6
2). Pada titik atau interval manakah fungsi-fungsi berikut ini tidak
kontinyu ?
5X
a). f ( X ) = -------X+4
X3 + 1
c. f ( X ) = - -------X–1
2X – 3
b). f (X ) = ----------X+6
X2 + 2X + 1
d. f ( X ) = - -- ----------X2 – 4
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 3 :
1). a). Kontinyu di setiap titik X = C, sebab selalu dipenuhi ketiga
persyaratan kontinyuitas fungsi
b). Tidak kontinyu di X = 3 sebab f (3) tidak terdefinisi.
c). Tidak kontinyu pada interval 4X2 < 6
atau X < 1,5
sebab untuk semua X < 1,5 f (X) tidak terdefinisi
d). Kontinyu di setiap titik X = C, sebab selalu dipenuhi ketiga
persyaratan kontinyuitas fungsi
e). Tidak kontinyu di X ≤ 2 sebab f (≤2) tidak terdefinisi.
2). a). Pada titik X = – 4
b). Pada interval : { X ¨ X ≤ – 6 }
c). Pada titik X = 1
d). Pada titik X = 2 dan X = – 2
27
BAB III
EVALUASI
A. Pertanyaan
1. Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut ! ( skore = 40 )
a. limit
Xo 1
b. limit
Xo 0
X2 + 4X – 5
X2 – 1
5X3 + 2X2 – 3X + 1
c. limit
Xo f
3X3 + 4X2 – 5
4 – 16 + 5X
3X –1 + 4
d. limit
X
Xo f 3 – 5
7X
2. Hitunglah limit fungsi – fungsi Trigonometri berikut ini ! ( skore = 40 )
sin4 2X
a. limit ------Xo0 3X4
sin X . sin 3X
c. limit -- ---------------Xo0 1 – cos 8X
sin3 2X + tg3 X
b. limit -------- -----------X o0
6X3
1 – cos 5X
d. limit --------------Xo0
2X 2
3. Katakanlah fungsi-fungsi berikut ini kontinyu atau tidak, dan jika
tidak, pada titik atau interval mana letaknya ? ( skore = 20 )
a. f ( X ) = 2X + 5
c. f (X) = 2X2 + 5X – 4
X2 + 16
b. f ( X ) = ------ ----X – 4
d. f (X) = -
28
3X
X–7
-
B. Kunci Jaw aban
1. a. 3
c. 1 ⅔
d. 1/3
b. – 5/56
2. a. 5 1/3
c. 3/32
b. 1 ½
3.
d. 6 ¼
a. Kontinyu di setiap titik X = C
b. Tidak kontinyu di titik X = 4
c. Kontinyu di setiap titik X = C
d. Tidak kontinyu pada interval { X | X ≤ 7 }
C. Kriteria Kelulusan
Kriteria
Kognitif ( soal nomor 1 sd. 3 )
Skor
Bobot
(1 – 10)
5
Ketelitian menulis notasi
1
Ketepatan prosedur
2
Ketepatan formula jawaban
1
Ketepatan waktu
1
NILAI AKHIR
29
Nilai
Keterangan
Syarat lulus
nilai minimal
56
BAB IV
PENUTUP
Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 01 dengan judul
Kontinyuitas Fungsi
Limit dan
ini telah selesai disusun dengan dilengkapi
beberapa latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci
jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa
dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka
telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada
tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum.
Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal
maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini
dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat
memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali
belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya
( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh
dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan
dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.
30
DAFTAR PUSTAK A
Frank Ayres, Jr., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua
(Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Kreyszig, E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan Buku 1 & 2 (Terjemahan).
Jakarta: PT. Gramedia.
Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta :
Erlangga
Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga
Stroud, K.A. 1986.
Erlangga.
Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta:
31
MAT.TKF 201- 01
Fakultas Teknik UNY
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
LIMIT DAN KONTINYUITAS FUNGSI
f (X)
f (X) = X
C
C
lim X = X
XC
Penyusun :
Martubi, M.Pd., M.T.
Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
2005
KATA PENGANTAR
Modul dengan judul Limit dan Kontinyuitas Sebuah Fungsi ini
digunakan sebagai panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk
salah satu sub-kompetensi, yaitu: “Menggunakan
konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah limit fungsi“.
Modul ini
dapat digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di semester I
pada Program Studi Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri
Yogyakarta.
Pada modul ini disajikan konsep dasar Limit dan Kontinyuitas
Sebuah Fungsi dan permasalahannya
penerapannya di bidang teknik,
yang banyak dijumpai dalam
baik secara teoritis maupun praktis.
Modul ini terdiri atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas
tentang: Limit Fungsi Aljabar. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Limit
Fungsi Trigonometri. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Kontinyuitas
Sebuah Fungsi.
Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa
diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang
konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep
tentang Fungsi Aljabar dan Fungsi Trigonometri.
Yogyakarta,
Oktober 2005
Penyusun
Martubi, M.Pd., M.T.
2
DAFTAR ISI MODUL
Halaman
HALAMAN SAMPUL ............................................................................ 1
KATA PENGANTAR ............................................................................. 2
DAFTAR ISI .......................................................................................... 3
PERISTILAHAN / GLOSSARY .............................................................. 5
I . PENDAHULUAN................................................................................. 6
A. Deskripsi ......................................................................................... 6
B. Prasyarat ......................................................................................... 6
C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................... 7
1. Petunjuk bagi mahasiswa .......................................................... 7
2. Petunjuk bagi dosen ............ ...................................................... 7
D. Tujuan Akhir .................................................................................. 8
E. Kompetensi .................................................................................... 8
F. Cek Kemampuan ............................................................................ 9
II. PEMBELAJARAN .............................................................................. 10
A. Rencana Belajar Mahasiswa ......................................................... 10
B. Kegiatan Belajar ............................................................................. 10
1. Kegiatan Belajar 1 ..................................................................... 10
a. Tujuan kegiatan belajar 1 ...................................................... 10
b. Uraian materi .......................................................................... 10
c. Rangkuman 1 .......................................................................... 18
d. Tugas 1 ................................................................................... 20
e. Tes formatif 1 .......................................................................... 20
f. Kunci jawab tes formatif 1 ... .................................................... 20
3
Halaman
2. Kegiatan Belajar 2 ..................................................................... 21
a. Tujuan kegiatan belajar 2 ....................................................... 21
b. Uraian materi 2 ....................................................................... 21
c. Rangkuman 2 .......................................................................... 22
d. Tugas 2 ................................................................................... 23
e. Tes formatif 2 .......................................................................... 23
f. Kunci jawab tes formatif 2 ............... ........................................ 24
3. Kegiatan Belajar 3 .................................................................... 24
a. Tujuan kegiatan belajar 3 ....................................................... 24
b. Uraian materi 3 ....................................................................... 24
c. Rangkuman 3 ......................................................................... 25
d. Tugas 3 .................................................................................. 26
e. Tes formatif 3 ......................................................................... 26
f. Kunci jawab tes formatif 3 ............... ...................................... 27
III. EVALUASI ...................................................................................... 28
A. Pertanyaan .................................................................................. 28
B. Kunci Jawaban ............................................................................. 29
C. Kriteria Kelulusan ........................................................................ 29
IV. PENUTUP ......................................................................................... 30
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 31
4
PERISTILAHAN / GLOSSARY
Fungsi Diskontinyu : adalah sebuah fungsi yang tidak selalu atau tidak
terus menerus mempunyai harga di setiap titik atau sebuah fungsi
yang pernah mengalami tidak mempunyai harga pada titik atau
interval tertentu.
Fungsi Kontinyu : adalah sebuah fungsi yang selalu atau terus menerus
mempunyai harga di setiap titik.
Fungsi Trigonometri
: adalah adalah sebuah fungsi yang harganya
ditentukan oleh harga suatu sudut tertentu.
Limit Fungsi : adalah harga atau nilai batas yang didekati sebuah fungsi
jika variabel fungsi itu diganti dengan bilangan yang mendekati nilai
tertentu.
Terdefinisi : adalah sebuah istilah untuk menyatakan bahwa suatu
bilangan mempunyai harga tertentu.
5
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul dengan judul Limit dan
Kontinyuitas Fungsi ini
membahas tentang konsep dasar Limit dan Kontinyuitas Fungsi serta
permasalahannya
bidang teknik,
yang banyak dijumpai dalam penerapannya di
baik secara teoritis maupun praktis.
Materi yang
dipelajari mencakup : Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri
dan Kontinyuitas Sebuah Fungsi.
Modul ini terdiri atas dua kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1
membahas
tentang:
Limit
Fungsi Aljabar,
Kegiatan
belajar
2
membahas tentang: Limit Fungsi Trigonometri. Kegiatan belajar 3
membahas tentang: Kontinyuitas Sebuah Fungsi.
kegiatan
belajar
selalu
dilengkapi
dengan
Pada setiap
contoh
soal
dan
pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk membantu
mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.
Setelah selesai mempelajari modul ini secara keseluruhan
mahasiswa diharapkan mempunyai sub kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah limit
fungsi“
B. Prasyarat
Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi
lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materimateri dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar
tentang : Fungsi Aljabar dan Fungsi Trigonometri.
6
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Petunjuk bagi Mahasisw a
Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam
menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu
diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian
konsep-konsep
teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula
penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal
beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi
yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para
mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu
kegiatan perkuliahan.
b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri,
hal
ini
dimaksudkan
untuk
mengetahui
seberapa
besar
pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap
materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.
c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi
pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan
mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah
kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang
bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan
pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat
yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.
2. Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan
peran untuk :
a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan
yang dijelaskan dalam tahab belajar.
7
c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan
menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.
d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang
diperlukan.
e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.
g. Mengadakan
evaluasi
terhadap
pencapaian
kompetensi
mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaannya pada setiap akhir kegiatan belajar.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul
ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah limit fungsi“.
E. Kompetensi
Modul TKF 201-01 dengan judul Limit dan Kontinyuitas
Sebuah Fungsi
ini disusun dalam rangka membentuk sub-
kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar
dalam pemecahan masalah limit fungsi“.
Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus
dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya
melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai
berikut :
8
Sub
Kompetensi
Kriteria
Unjuk Kerja
Materi Pokok Pembelajaran
Lingkup
Belajar
Mengguna- 1. Menjelaskan
kan konsep,
pengertian,
sifat, dan
notasi dan
manipulasi
sifat-sifat limit
aljabar
fungsi .
dalam
2. Menyelesaipemecahan
kan permasamasalah
lahan limit
limit dan
fungsi aljabar
kontinyuits
3. Menyelesaifungsi.
kan permasalahan limit
fungsi
trigonometri
5. 4. Menjelaskan
kontinyuitas
sebuah
fungsi
Sikap
1. Pengertian,
notasi dan
sifat-sifat limit
fungsi .
2. Limit fungsi
aljabar .
Pengetahuan
Teliti dan
1. Pengertian,
cermat
notasi, dan
dalam
sifat-sifat limit
menulis
fungsi .
simbol
dan mela- 2. Limit fungsi
kukan peraljabar .
hitungan
3. Limit fungsi
Trigonometri
3. Limit fungsi
Trigonometri
4. Kontinyuitas
sebuah
fungsi
4. Kontinyuitas
sebuah
fungsi
Ketrampilan
Menghitung
dengan
prosedur
dan hasil
yang benar
F. Cek Kemampuan
Sebelum mempelajari Modul TKF 201 – 01 ini, isilah dengan tanda
cek ( ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah dimiliki
mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :
Sub
Kompetensi
Jaw aban
Pertanyaan
Ya
Tidak
Mengguna- 1. Saya mampu menjelaskan: pengertian,
notasi, dan sifat-sifat limit fungsi.
kan konsep,
sifat, dan
2. Saya dapat menyelesaikan permasamanipulasi
lahan limit fungsi aljabar.
aljabar
dalam
pemecahan 3. Saya dapat menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri.
masalah
limit dan
4. Saya dapat menyelesaikan permasakontinyuits
lahan kontinyuitas sebuah fungsi
fungsi.
Bila Jawaban “Ya“
Kerjakan
Tes Formatif 1
Nomor 1
Tes Formatif 1
Nomor 2
Tes Formatif 2
Tes Formatif 3
Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini
sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.
9
BAB II
PEMBELAJ ARAN
A. Rencana Belajar Mahasisw a
Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah
ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.
Jenis Kegiatan
Tanggal
Waktu
Tempat
Belajar
Alasan
Perubahan
Paraf
Dosen
1. Pengertian, notasi dan
sifat-sifat limit fungsi
2. Limit fungsi aljabar
3. Limit fungsi trigonometri.
4. Kontinyuitas sebuah
fungsi
B. Kegiatan Belajar.
1. Kegiatan Belajar 1 : Limit Fungsi Aljabar
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :
1). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifatsifat limit fungsi.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan limit fungsi
aljabar.
b. Uraian Materi 1 :
1). Pengertian, Notasi dan Sifat-sifat Limit Fungsi.
Untuk dapat memahami pengertian tentang limit fungsi
maka perhatikan nilai dari
dua buah fungsi X
berikut jika
masing-masing dicari harganya. Fungsi pertama adalah fungsi
yang berbanding lurus, sedang fungsi kedua adalah fungsi
yang berbanding terbalik.
10
a). Untuk fungsi berbanding lurus, misalnya :
f (X) =
X
f (X)
X
4
( dengan X = bilangan asli )
400 100
100 25
2
0,5
1
0,04 0,004
0,25 0,01 0,001
0,0004
0,0001
.......
.......
Dari daftar di atas tampak jelas bahwa jika X diberi harga
makin kecil maka harga f (X) juga makin kecil, sehingga
untuk X yang “sangat amat kecil sekali” ( dikatakan
mendekati nol ) maka harga f (X) juga akan “sangat amat
kecil sekali” ( mendekati nol ). Pernyataan ini ditulis secara
matematis dengan notasi :
limit
Xo0
X
4
= 0
atau sering disingkat
X
lim
Xo0 4
= 0
Selanjutnya juga dapat dibuktikan bahwa, jika X makin
besar maka harga f (X) akan semakin besar pula. Untuk X
yang “sangat amat besar sekali” ( dikatakan mendekati tak
terhingga ) maka harga
f (X ) juga akan “sangat amat
besar sekali” (tak terhingga). Pernyataan ini ditulis secara
matematis dengan notasi :
limit
Xof
X
4
= f
atau sering disingkat
X
lim
Xo f 4
= f
Akhirnya dapat disimpulkan secara umum bahwa untuk
semua fungsi berbanding lurus dapat berlaku :
limit f (X) = 0
Xo 0
dan
11
limit f (X) = f
Xo f
b). Untuk fungsi berbanding terbalik, misalnya :
f (X) =
4
( dengan X = bilangan asli )
X
X
f (X)
1
4
2
2
8
0,5
40
0,1
400 4.000 40.000 .......
0,01 0,001 0,0001 .......
Dari daftar di atas tampak jelas bahwa jika X diberi harga
makin besar maka harga f (X) makin kecil, sehingga untuk
X yang “sangat amat besar sekali” ( dikatakan mendekati
tak terhingga ) maka harga f (X) akan “sangat amat kecil
sekali” ( mendekati nol ).
Pernyataan ini ditulis secara
matematis dengan notasi :
4
limit
Xof X
= 0
atau sering disingkat
4
lim
Xo f X
Selanjutnya juga dapat dibuktikan bahwa,
= 0
jika X makin
kecil maka harga f (X) akan semakin besar. Untuk X yang
“sangat amat kecil sekali” ( dikatakan mendekati nol )
maka harga f (X) akan “sangat amat besar sekali” (tak
terhingga). Pernyataan ini ditulis secara matematis dengan
notasi :
limit
Xo0
4
X
= f
atau sering disingkat
4
lim
Xo0 X
= f
Akhirnya dapat disimpulkan secara umum bahwa untuk
semua fungsi berbanding terbalik dapat berlaku :
limit f (X) = 0
Xof
dan
12
limit f (X) = f
Xo0
Dari uraian tersebut dapat diambil sebuah pengertian
bahwa : Limit Fungsi adalah sebuah harga batas yang
didekati oleh fungsi tersebut jika variabelnya diganti suatu
harga yang mendekati harga tertentu. Untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh berikut :
l i mi t ( X + 4 ) = 2 + 4 = 6
Xo 2
Pada contoh tersebut angka 6 adalah limit atau harga
batas dari fungsi ( X + 4 )
mendekati 2, misalnya
jika X diganti angka yang
2,001 yang menghasilkan 6,001
atau 1,9999 yang menghasilkan 5,9999 kedua harga itu
ternyata mendekati angka 6. Jadi angka 6 bukanlah harga
eksak, tetapi hanya harga batas ( angka yang didekati ).
Dengan penalaran yang sama maka harga limit fungsi
dengan bentuk-bentuk lainnya dapat ditentukan, misalnya :
(1). limit ( 2X2 + 4X – 3 ) = 2. 12 + 4.1 – 3 = 3
Xo 1
(2). limit ( 3X2 + 4X + 5 ) = 3. f2 + 4.f + 5 = f + f + 5 = f
Xo f
(3). limit
Xo2
(4). limit
Xo6
6X
X 2
=
X 6
5X
2
(5). limit
Xof 5X + 4
(6). limit
Xof
2X + 3
5
6.2
2–2
=
=
=
13
6 6
5.6
2
5. f + 4
=
=
0
0
=
2
= 0
f
=
f
= 0
30
=
2.f + 3
5
12
f+3
5
=
f
5
= f
Sifat –sifat Limit Fungsi :
Dari penelusuran terhadap hasil-hasil perhitungan limit
fungsi dapat disebutkan bahwa limit fungsi mempunyai sifatsifat sebagai berikut :
(1). limit k = k
XoC
(2). limit X = C
XoC
(3). limit k . f (X) = k. limit f (X)
XoC
XoC
(4). limit [ f (X) + g (X) ] = limit f (X) + limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(5). limit [ f (X) . g (X) ] = limit f (X) . limit g (X)
Xo C
XoC
XoC
(6). limit [ f (X) : g (X) ] = limit f (X) : limit g (X)
XoC
Xo C
XoC
(7). limit [ f (X) ]
XoC
n
= [ limit f (X) ]
XoC
n
(8). limit f (X) ] = limit f (X)
XoC
XoC
Catatan : Untuk sifat nomor 6 asal harga limit g (X) = 0
XoC
Untuk sifat nomor 8 : limit f (X) > 0
XoC
14
2). Limit Fungsi Aljabar
Berdasarkan
prinsip limit
fungsi sebagaimana telah
diuraikan di atas, jika f (X) adalah fungsi aljabar maka
harganya dapat dihitung dengan pedoman sebagai berikut :
( C dan k adalah bilangan konstan dan riil )
a). limit f (X) = k
XoC
apabila f (C) = k
b). limit f (X) = f
XoC
apabila f (C) =
c). limit f (X) = 0
XoC
apabila f (C) =
d). limit f (X) = 0
Xof
apabila f (f) =
k
0
0
k
k
f
e). limit f (X) = tidak terdefinisi atau tidak tertentu apabila
XoC
f
0
harga f (c) adalah :
;
atau (f – f)
f
0
Jika ternyata hasil perhitungan limit sebuah fungsi berupa
salah satu di antara bentuk-bentuk tidak terdefinisi di atas
( bentuk e ) maka harus dilakukan perubahan cara pengerjaan,
misalnya dengan menyederhanakan bentuk soalnya dulu atau
menyatakan bentuk soal dengan bentuk lain yang setara
sehingga diperoleh hasil dalam bentuk tertentu ( terdefinisi ).
Adapun cara penyederhanaan bentuk soal tersebut misalnya
dengan memfaktorkan, mengalikan dengan bentuk sekawan
15
kemudian membaginya dengan
bentuk sekawan juga, dan
sebagainya tergantung bentuk soalnya.
Contoh Soal :
Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut ini !
e). limit ( 5X2 – 4X )
X of
a). limit ( 5X2 – 3X + 4 )
Xo2
b). limit
Xo5
c). limit
Xo1
3X
f). limit
Xof
X–5
X2 – 4X + 3
3X + X – 2
4
d). limit
Xof X + 5
4X2 + 3X – 2
X2 – 6X + 9
g). limit
Xo3
2
X2 + 2X + 3
X2 + X – 12
h). limit
X of
3X + 5
3X – 2
Jaw ab :
a). limit ( 5X2 – 3X + 4 ) =
Xo2
b). limit
Xo5
c). limit
Xo1
3X
X–5
=
3.5
3X2 + X – 2
=
=
5–5
X2 – 4X + 3
4
d). limit
Xof X + 5
5.22 – 3.2 + 4 = 18
15
= f
0
12 – 4.1 + 3
=
3.12 + 1 – 2
4
f +5
=
4
f
=
0
2
= 0
= 0
e). limit ( 5X2 – 4X ) = ( 5. f2 – 4. f ) = f – f
Xof
16
karena hasilnya bentuk tidak terdefinisi, maka harus diubah
dengan cara sebagai berikut :
( 5X2 + 4X )
limit ( 5X2 – 4X ) = limit ( 5X2 – 4X ) .
Xof
Xof
( 5X2 + 4X )
( 5X2 – 4X ).( 5X2 + 4X )
5X2 – 4X
= limit
= limit
2
Xof 5X2 + 4X
Xof
( 5X + 4X )
kalau
harga X disubstitusikan pada bentuk ini masih
didapat bentuk tak terdefinisi lagi, maka sebelumnya semua
suku dibagi X pangkat tertinggi ( yaitu: X2 atau X4 )
5X2 / X2 – 4X / X2
menjadi : = limit
Xof ( 5X2 / X4 + 4X / X4 )
5 – 4/X
= limit
=
2
3
X of 5 / X + 4 / X
=
5–0
0+0
X2 + 2X + 3
f). limit
=
Xof 4X2 + 3X – 2
5
=
0
=
5 – 4/f
5/ f2 + 4 / f3
f
f2 + 2.f + 3
4.f2 + 3.f – 2
=
f
f
(tak terdefinisi)
karena hasilnya bentuk tidak terdefinisi, maka harus diubah
yaitu dengan cara membagi semua suku dengan X2.
X2 + 2X + 3
X2 / X2 + 2X/ X2 + 3/X2
limit
= limit
Xof 4X2 + 3X – 2 Xof 4X2 / X2+ 3X/ X2 – 2/ X2
= limit
1 + 2/ X + 3/X2
17
=
1 + 2/ f + 3/f2
=
1+0+0
Xof 4 + 3/ X – 2/ X2
=
4 + 3/ f – 2/ f2
4+0–0
¼
X2 – 6X + 9
32 – 6.3 + 9
0
g). limit
=
=
32 + 3 – 12
0
Xo3 X2 + X – 12
( tak terdefinisi )
maka harus diubah, yaitu dengan cara memfaktorkannya :
X2 – 6X + 9
limit
Xo3 X2 + X –12
(X – 3 ) (X – 3)
X–3
= limit
= limit
Xo3 (X + 4) (X – 3) Xo3 X + 4
3–3
0
= limit
= ---- = 0
Xo3 3 + 4
7
3X + 5
h). limit
Xof 3X – 2
3X /3X + 5/3X
1 + 5/3X
= limit
= limit
Xof 3X /3X – 2/3X Xof 1 – 2/3X
=
1+0
1–0
= 1
c. Rangkuman 1 :
1). Pengertian, Notasi dan Sifat-sifat Limit Fungsi.
a). Limit Fungsi adalah sebuah harga batas yang didekati oleh
fungsi tersebut jika variabelnya diganti suatu harga yang
mendekati harga tertentu.
b). Limit fungsi X untuk X mendekati C ditulis dengan notasi :
limit f (X) = f (C)
XoC
c). Sifat-sifat limit fungsi : ( dengan
(1). limit k = k
XoC
(2). limit
X = C
18
k , C Real )
XoC
(3). limit k . f (X) = k. limit f (X)
XoC
XoC
(4). limit [ f (X) + g (X) ] = limit f (X) + limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(5). limit [ f (X) . g (X) ] = limit f (X) . limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(6). limit [ f (X) : g (X) ] = limit f (X) : limit g (X)
XoC
XoC
XoC
(7). limit [ f (X) ]
XoC
n
= [ limit f (X) ]
XoC
n
(8). limit f (X) ] = limit f (X)
XoC
Xo C
Catatan : Untuk sifat nomor (6) asal harga limit g (X) = 0
XoC
Untuk sifat nomor (8) : limit f (X) > 0
XoC
2). Limit Fungsi Aljabar
Jika f (X) adalah sebuah fungsi aljabar, maka harga limit
dari f (X) dapat dicari dengan pedoman sebagai berikut :
a). limit f (X) = k
XoC
apabila f (C) = k
b). limit f (X) = f
XoC
apabila f (C) =
c). limit f (X) = 0
XoC
apabila f (C) =
d). limit f (X) = 0
Xof
apabila f (f) =
19
k
0
0
k
k
f
e). limit f (X) = tidak terdefinisi atau tidak tertentu apabila
Xo C
f
0
harga f (C) adalah :
;
atau (f – f)
f
0
d. Tugas 1:
Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut ini :
X2 – 4
X4 – 3X2 – X2
7). limit
Xo 0
X2
5 – 25 – X
2X+1 + 3
2). limit
Xo 2 X2 – 3X + 2
3). limit
Xo 0
8). limit
Xo f
X
4). limit ( X2 + 3X – X2 – X )
Xo f
X
2 – 1
-
9). limit (3X – 4 – 9X2 – 3)
Xo f
e. Tes formatif 1 :
1). Jelaskanlah : pengertian, notasi dan sifat-sifat limit fungsi !
2). Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut !
a). limit
Xo 5
X2 + 2X – 15
3
4
d). limit (
–
)
2
Xo 2 X – 4
X–2
X2 – 25
X2 – 4X + 3
X3 – 3X2 – X + 4
b). limit
Xo 3 X2 – X – 6
c). limit
Xo 0
e). limit
Xo f 2X2 + 3X3 – 7
3 – 9 – 2X
f). limit
Xo f
5X
5X +1 + 7
X
5 – 20
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 1 :
1). Limit Fungsi adalah sebuah harga batas yang didekati oleh
fungsi tersebut jika variabelnya diganti suatu bilangan yang
mendekati harga tertentu. Limit fungsi X untuk X mendekati C
ditulis dengan notasi : limit f (X) = f (C)
XoC
20
Limit fungsi mempunyai sifat-sifat seperti sifat-sifat operasi
aritmatik/aaljabar bilangan konstan.
2). a). f
b). 2/5
c). 1/15
e). 1/3
d). f
f). 5
2. Kegiatan Belajar 2 : Limit Fungsi Trigonometri
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :
Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan limit fungsi
trigonometri.
b. Uraian Materi 2 :
Limit Fungsi Trigonometri
Dengan ide dasar limit yang sama dengan limit Fungsi
Aljabar sebagaimana diuraikan sebelumnya, maka di dalam
Trigonometri didapat rumus-rumus dasar sebagai berikut :
1 . l i mi t
Xo 0
sin X
X
tg X
2 . l i mi t
Xo 0 X
= 1
atau
= 1
atau
X
l i mi t
= 1
Xo 0 sin X
X
l i mi t
Xo 0 tg X
= 1
Kedua rumus tersebut dapat di perluas menjadi sebagai berikut :
3 . l i mi t
Xo 0
4 . l i mi t
Xo 0
sin aX
aX
tg aX
aX
=1
atau
=1
sin n aX
atau
aX
l i mi t
= 1
Xo 0 sin aX
aX
limit
Xo0 tg aX
an Xn
21
= 1
5 . l i mi t
Xo 0
an Xn
tg n aX
6 . l i mi t
Xo 0
n
a X
n
=1
l i mi t
=1
Xo0 sin n aX
atau
=1
an Xn
limit
=1
n
Xo0 tg aX
atau
Contoh : Tentukan limit fungsi – fungsi di bawah ini :
sin 3X
1. limit ---------Xo 0
X
tg 6X
3. limit ---------Xo0 sin 7X
tg X
2. limit --------Xo 0 5X
sin2 3X
4. limit ---------Xo0 7X2
Jawab :
1. limit
Xo0
2. limit
Xo0
sin 3X
X
tg 4X
5X
sin 3X 3
= limit
.
Xo0 3X
1
= 1. 3
=3
tg 4X
4
4
4
= limit
= 1.
=
Xo 0 4X
5
5
5
tg 6X
7X
tg 6X
sin2 3X
sin2 3X
6
6
6
= limit
= 11 = 3. limit
Xo0 sin 7X
Xo0 sin 7X 6X
7
7 7
4. limit
Xo0
7X2
= limit
Xo0
=
1 .
9X2
9
7
=
9
.
9
7
7
-
-
c. Rangkuman 2 :
Limit Fungsi Trigonometri secara garis besar dapat dibedakan
menjadi dua rumus umum : ( jika a dan n adalah bilangan riil )
1 . l i mi t
sin n aX
=1
22
atau
l i mi t
an Xn
=1
Xo 0
2 . l i mi t
Xo 0
an Xn
tg n aX
n
a X
n
Xo0 sin n aX
=1
atau
an Xn
limit
=1
n
Xo0 tg aX
d. Tugas 2 :
Hitunglah limit fungsi – fungsi Trigonometri berikut ini :
tg X
1. limit --------X o0 sin 3X
1 + cos 2X
6. limit --------------X o0 cos X
tg 5X
2. limit ------Xo0 3X
sin X – cos X
7. limit -----------------X o 0 1 – sin 2X
sin 2 X + tg 2 X
3. limit -------------------2
X o0
1/2 X
1 – cos 2X
8. limit --------------Xo 0
X2
1 – cos X
4. limit ------------X o0
X2
9. limit (X – 5 ). cotg (X – 5 )
Xo 5
sin X . sin 3X
5. limit ----------------Xo0 1 – cos 4X
X . sin X
10. limit ----------------X o0 1 – cos 4X
e. Tes formatif 2 :
Hitunglah limit fungsi – fungsi Trigonometri berikut ini
sin 3X
1). limit --------Xo0 tg 8X
4). limit (X – 2) cosec (X – 2)
Xo2
tg3 2X
2). limit ------Xo0 5X3
sin 3X . sin 4X
5). limit -- ---------------Xo0 1 – cos 10X
sin 2 3X + tg 2 4X
3). limit -------- -----------X o0
5X2
1 – cos 7X
6). limit --------------Xo0
4X 2
23
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 2 :
1).
3/8
4). 1
2).
8/5
5). 6/25
3).
5
6). 6 1/8
3. Kegiatan Belajar 3 : Kontinyuitas Sebuah Fungsi
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 :
Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan kontinyuitas
sebuah fungsi.
b. Uraian Materi 3 :
Kontinyuitas Sebuah Fungsi
Sebuah fungsi f (X) dikatakan kontinyu di titik X = C apabila
memenuhi syarat-syarat di bawah ini :
a. f (C) terdefinisi, artinya harga f (C) ada.
b. limit f ( X ) juga ada
XoC
c. limit f ( X ) = f ( C )
XoC
Kalau salah satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak
dipenuhi, maka fungsi yang demikian dikatakan sebagai fungsi
yang diskontinyu (tidak kontinyu) di X = C. Selanjutnya fungsi yang
kontinyu di setiap titik disebut sebagai fungsi kontinyu.
Contoh :
a. Fungsi f (X) = X2 + 3 kontinyu di setiap titik, sebab untuk setiap
X = C selalu dipenuhi syarat-syarat kekontinyuan sebuah fungsi.
X
2
b. Fungsi f (X) = ------- diskontinyu di titik X = 2, sebab f (2) = --X–2
0
sehingga f (2) tidak terdefinisi.
24
X2 + 2
6
c. Fungsi f (X) = -------- diskontinyu di X = 2, sebab f ( 2 ) = X–2
0
yang berarti tidak tertentu meskipun limit f (X) untuk X o 2 ada.
Selanjutnya dengan memperhatikan persyaratan kontinyuitas
suatu fungsi, dapat juga ditentukan interval-interval di mana
sebuah fungsi tidak kontinyu.
Contoh: Pada interval manakah fungsi-fungsi berikut diskontinyu.
1).
4
2). f (X) = ------------- X² - 9
f (X) = X - 2
Jaw ab : 1). f (X) = X - 2
f (X) akan menjadi fungsi yang tidak kontinyu bila f (X)
tidak ada harganya (khayal), yaitu terjadi jika di bawah
akar berharga negatif, sehingga : X - 2 < 0 o X < 2
Jadi f (X) diskontinyu pada interval : { X | X < 2 }
4
2). f (X) = ------------ X²- 9
Fungsi ini akan diskontinyu jika X² - 9 ≤ 0
X² - 9 ≤ 0
( X - 3 ) . ( X+ 3 ) ≤ 0
-3≤X≤3
Jadi f (X) diskontinyu pada interval :
{ X ¨- 3 ≤ X ≤ 3 }
c. Rangkuman 3 :
Sebuah fungsi f (X) dikatakan kontinyu di titik X = C
apabila memenuhi syarat-syarat di bawah ini :
25
a. f (C) terdefinisi, artinya harga f (C) ada.
b. limit f ( X ) juga ada
Xo0
c. limit f ( X ) = f ( C )
Xo0
Kalau salah satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak
dipenuhi, maka fungsi yang demikian dikatakan sebagai fungsi
yang diskontinyu (tidak kontinyu) di X = C. Selanjutnya fungsi
yang kontinyu di setiap titik disebut sebagai fungsi kontinyu
d. Tugas 3 :
1). Manakah fungsi-fungsi berikut ini yang merupakan fungsi
kontinyu di setiap titik, dan tunjukkan buktinya ?.
a. f ( X ) = X + 2
X2 + 4
b. f ( X ) = ------ ----X – 2
X2 + 2X + 8
c. f ( X ) = ------ -----------X + 4
2). Pada titik atau interval manakah fungsi-fungsi berikut ini tidak
kontinyu ?
X
a). f ( X ) = -------X–2
X3 + 27
c. f ( X ) = - -------X–3
5X – 1
b). f (X ) = ---------- 3X – 2
X2 – 25
d. f ( X ) = - -- ----------X2 – 3X – 10
e. Tes formatif 3 :
1). Katakanlah fungsi-fungsi berikut ini kontinyu atau tidak, dan
tunjukkan buktinya ?.
26
d). f (X) = X2 + 6X – 7
a). f ( X ) = 3X – 4
X2 + 9
b). f ( X ) = ------ ----X – 3
4X
e). f (X) = X–2
c). f ( X ) = 4X2 + 6
2). Pada titik atau interval manakah fungsi-fungsi berikut ini tidak
kontinyu ?
5X
a). f ( X ) = -------X+4
X3 + 1
c. f ( X ) = - -------X–1
2X – 3
b). f (X ) = ----------X+6
X2 + 2X + 1
d. f ( X ) = - -- ----------X2 – 4
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 3 :
1). a). Kontinyu di setiap titik X = C, sebab selalu dipenuhi ketiga
persyaratan kontinyuitas fungsi
b). Tidak kontinyu di X = 3 sebab f (3) tidak terdefinisi.
c). Tidak kontinyu pada interval 4X2 < 6
atau X < 1,5
sebab untuk semua X < 1,5 f (X) tidak terdefinisi
d). Kontinyu di setiap titik X = C, sebab selalu dipenuhi ketiga
persyaratan kontinyuitas fungsi
e). Tidak kontinyu di X ≤ 2 sebab f (≤2) tidak terdefinisi.
2). a). Pada titik X = – 4
b). Pada interval : { X ¨ X ≤ – 6 }
c). Pada titik X = 1
d). Pada titik X = 2 dan X = – 2
27
BAB III
EVALUASI
A. Pertanyaan
1. Hitunglah limit fungsi-fungsi berikut ! ( skore = 40 )
a. limit
Xo 1
b. limit
Xo 0
X2 + 4X – 5
X2 – 1
5X3 + 2X2 – 3X + 1
c. limit
Xo f
3X3 + 4X2 – 5
4 – 16 + 5X
3X –1 + 4
d. limit
X
Xo f 3 – 5
7X
2. Hitunglah limit fungsi – fungsi Trigonometri berikut ini ! ( skore = 40 )
sin4 2X
a. limit ------Xo0 3X4
sin X . sin 3X
c. limit -- ---------------Xo0 1 – cos 8X
sin3 2X + tg3 X
b. limit -------- -----------X o0
6X3
1 – cos 5X
d. limit --------------Xo0
2X 2
3. Katakanlah fungsi-fungsi berikut ini kontinyu atau tidak, dan jika
tidak, pada titik atau interval mana letaknya ? ( skore = 20 )
a. f ( X ) = 2X + 5
c. f (X) = 2X2 + 5X – 4
X2 + 16
b. f ( X ) = ------ ----X – 4
d. f (X) = -
28
3X
X–7
-
B. Kunci Jaw aban
1. a. 3
c. 1 ⅔
d. 1/3
b. – 5/56
2. a. 5 1/3
c. 3/32
b. 1 ½
3.
d. 6 ¼
a. Kontinyu di setiap titik X = C
b. Tidak kontinyu di titik X = 4
c. Kontinyu di setiap titik X = C
d. Tidak kontinyu pada interval { X | X ≤ 7 }
C. Kriteria Kelulusan
Kriteria
Kognitif ( soal nomor 1 sd. 3 )
Skor
Bobot
(1 – 10)
5
Ketelitian menulis notasi
1
Ketepatan prosedur
2
Ketepatan formula jawaban
1
Ketepatan waktu
1
NILAI AKHIR
29
Nilai
Keterangan
Syarat lulus
nilai minimal
56
BAB IV
PENUTUP
Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 01 dengan judul
Kontinyuitas Fungsi
Limit dan
ini telah selesai disusun dengan dilengkapi
beberapa latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci
jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa
dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka
telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada
tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum.
Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal
maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini
dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat
memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali
belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya
( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh
dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan
dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.
30
DAFTAR PUSTAK A
Frank Ayres, Jr., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua
(Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Kreyszig, E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan Buku 1 & 2 (Terjemahan).
Jakarta: PT. Gramedia.
Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta :
Erlangga
Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga
Stroud, K.A. 1986.
Erlangga.
Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta:
31