9503 12571 1 PB

MATHunesa (Volume 3 No 3)

2014

INTEGRAL ��

Hilmi Nur Ardian
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
e-mail: master.ardian@yahoo.co.id

Manuharawati
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
e-mail: manuhara1@yahoo.co.id

Abstrak
E.H Moore dan H.L Smith mendefinisikan integral Riemann dengan menggunakan Moore-Smith limit.
Integral Riemann dan integral Riemann dengan Moore-Smith limit memiliki ekuivalensi. Kemudian Ralph
Henstock dan Jaroslav Kurzweil memperluas integral Riemann dengan menggunakan partisi tag -fine
yang dikenal dengan integral Henstock. Dalam skripsi ini akan dijelaskan integral Henstock dengan
Moore-Smith limit yang dikenal Integral 1 , sifat-sifat integral 1 seperti: sifat perkalian dengan skalar,
sifat kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, Teorema Fundamental Kalkulus, dan bagaimana keterkaitan

antara integral Henstock dan integral 1 .
Kata Kunci: Moore-Smith limit, Integral Riemann dengan Moore-Smith limit, Integral Henstock, Integral
1.

Abstract
E.H Moore and H.L Smith define Riemann integral using Moore-Smith limit. Riemann integral and
Riemann integral using Moore-Smith limit are equivalence. Ralph Henstock and Jaroslav Kurzweil
generalize the Riemann integral using -fine tag partition and call itthe Henstock integral. This paper
willbe explained that the Henstock integral can also be defined by Moore-Smith limit. The resulting
integral is the so-called 1 integral. Some properties of 1 integral are as follows: Scalar multiplication,
Linearity, Cauchy criteria, Additivity of 1 integral, Fundamental Calculus Theorem, and the relation
between Henstock integral and 1 integral.
Keywords:Moore-Smith limit, Riemann integral using Moore-Smith limit, Henstock integral, 1 integral.

1. PENDAHULUAN

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah
skripsi adalah apakah sifatperkalian dengan skalar, sifat
kelinearan, kriteria Cauchy, sifat additif, dan Teorema

Fundamental Kalkulus berlaku pada integral 1 dan
bagaimana keterkaitan antara integral 1 dan integral
Henstock.

1.1 Latar Belakang
Integral merupakan salah satu dari bagian matematika
yang aplikasinya sangat luas. Konsep integral pertama
kali dikenalkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm
Leibniz, kemudian definisinya dipertajam oleh Benhard
Riemann pada tahun 1850. Selain itu pada tahun 1952
E.H. Moore dan H.L. Smith mendefinisikan integral
Riemann dengan Moore-Smith limit.
Selanjutnya Ralph Henstock dan Jaroslav Kurzweil
mengembangkan suatu teori pengintegralan yang
merupakan generalisasi dari konsep integral Riemann dan
mampu menyelesaikan persoalan yang tidak dapat
diselesaikan oleh integral Riemann, yakni Integral
Henstock.
Garces, Lee dan Zhao memperkenalkan suatu integral
Henstock dengan Moore-Smith limit, yakni Integral 1 .

Pada skripsi ini akan dikaji sifat-sifat integral 1 seperti:
sifat perkalian dengan skalar, sifat kelinearan, kriteria
Cauchy, sifat additif, Teorema Fundamental Kalkulus.
Selain itu akan dibahas keterkaitan antara integral 1 dan
integral Henstock.

1.3 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan
skripsi adalah mendeskripsikan sifat-sifat dari integral 1
dan keterkaitannya dengan integral Henstock.
1.4 Manfaat Hasil Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini antara lain:
1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan
wawasan mengenai definisi dan sifat-sifat
integral 1 serta keterkaitannya dengan integral
Henstock.
2. Bagi pengguna matematika, sebagai tambahan
pengetahuan bidang matematika, khususnya bidang
pengintegralan.

129

2014

MATHunesa (Volume 3 No 3)

1.5 Batasan Masalah
Pada skripsi ini yang akan dibahas adalah sifat-sifat
dari integral 1 dan keterkaitannya dengan integral
Henstock. Fungsi yang digunakan adalah fungsi bernilai
real pada [ , ].
1.6 Metode Penulisan
Metode yang digunakan di sini adalah metode kajian
pustaka. Adapun langkah-langkah dalam penulisan ini
adalah :
a. Mengumpulkan informasi yang berhubungan dengan
materi terkait serta membaca, memahami dan
menelaah beberapa buku dan referensi lain, seperti
jurnal ilmiah, hasil penelitian terdahulu, dan lain-lain.
b. Menuliskannya ke dalam bentuk paper.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas definisi integral 1 dan
sifat-sifatnya beserta keterkaitannya dengan integral
Henstock.

b.

2.1 INTEGRAL ��
Definisi 2.1
Diberikan gauge : , →
dan
[ , ] adalah
himpunan semua partisi tag -fine dari [ , ].
[ , ] dengan
Untuk 1 , 2
,
,
=
,
−1 ,

1
−1
=1 dan 2 =
=1
1 ⊒ 2 disebut
1 menghaluskan (finer)
memenuhi
a.
1 ≽ 2
b. i. Ketika 1 ≠ 2
,
:
,
:
−1 ,
2 ⊂
−1 ,
ii. Ketika 1 = 2
:
,

:
−1 ,
2 =
−1 ,
.
1

2

3.

jika
a.

1

,

Teorema 2.1
Diberikan gauge : , →

dan
[ , ] adalah
himpunan semua partisi tag -fine dari [ , ] maka
( [ , ], ⊒) adalah himpunan berarah.

Bukti : Diberikan gauge : , → dan [ , ] adalah
himpunan semua partisi tag -fine dari [ , ].
1. Akan dibuktikan memenuhi sifat refleskif.
Diberikan
[ , ]
dengan
1
maka
⊒
karena
,
=
,
1
1

1
−1
=1
,
=
untuk
=
1,
…
,
dan
=
,
,
−1
−1
,

:
,

,
:
,
1 .
1
−1
−1
2. Diberikan 1 , 2 , 3
[ , ] dengan
,
,
,
=
,
,
−1 ,
2 =
−1
1
=1

=1
,
dan 3 =
−1 ,
=1 .
Akan dibuktikan jika 1 ⊒ 2 dan
1 ⊒ 3
a. Pertama akan dibuktikan 1 ≽ 3
1 ⊒ 2 maka 1 ≽ 2

2

⊒

3

Kasus 1
Ketika
≠ −1 ,
berarti untuk setiap
−1 ,
terdapat
,
,
1
−1 ,
2
−1 ,
⊂ −1 ,
sehingga −1 ,
Kasus 2
= −1 ,
memenuhi = .
Ketika −1 ,
2 ⊒ 3 maka 2 ≽ 3 .
Kasus 1
berarti untuk setiap
Ketika
≠
−1 ,
−1 ,
,
,
,
terdapat
3
−1
2
−1 ,
sehingga −1 ,
⊂
−1 ,
Kasus 2
memenuhi = .
Ketika −1 ,
=
−1 ,
⊂
,
dan
⊂
Karena
,
−1
−1 ,
−1
.
Ketika
⊂
maka
−1 ,
−1 ,
−1 ,
memenuhi
= −1 ,
=
−1 ,
−1 ,
= = .
Selanjutnya akan dibuktikan
,
:
,
:
1
3 
−1 ,
−1 ,
1 ⊒ 2 dan 2 ⊒ 3 diperoleh
,
:
,
:
1
−1 ,
2 
−1 ,
dan
:
,
,
:
3 
−1 ,
2
−1 ,
sehingga
,
:
,
:
1
−1 ,
3 
−1 ,
Diberikan 1 , 2
[ , ] dengan
dan
,
1 =
−1 ,
=1
=
,
,
2
−1
=1

Akan dibuktikan jika 1 ⊒ 2 dan 2 ⊒ 1 maka
1 = 2
1 ⊒ 2 maka 1 ≽ 2
Kasus 1
≠ −1 ,
berarti untuk setiap
Ketika
−1 ,
terdapat
,
,
,
1
−1 ,
2
−1
⊂ −1 ,
sehingga −1 ,
Kasus 2
= −1 ,
memenuhi = .
Ketika −1 ,
⊒
maka
≽
2
1
2
1
Kasus 1
≠ −1 ,
berarti untuk setiap
Ketika
−1 ,
,
,
terdapat
1
−1 ,
2
−1 ,
sehingga −1 ,
⊂ −1 ,
Kasus 2
= −1 ,
memenuhi = .
Ketika −1 ,
⊆
Dari beberapa kasus di atas diperoleh −1 ,
sehingga
,
dan
,
⊂
,
−1
−1
−1
−1 ,

Jadi

4.

maka

130

=

:

−1 ,

−1 ,

1 .
Diberikan 1 , 2
,
1 =
−1 ,
=
,
,
2
−1

dan memenuhi

,

2

=

:

=

−1 ,

.

,

[ , ] dengan
=1
=1

dan

2014

MATHunesa (Volume 3 No 3)
Akan dikonstruksi

3

=

max ⁡
{ , }

,

, =1

Dibentuk

dengan

. Jika terdapat
≠ ∅ dan = −1 ,
−1 ,
irisan yang sama maka hanya ditulis satu kali.
Kasus 1 yaitu ketika ,
.


=

Jika



Jika
=

1

maka dibentuk

≠

1

Dibentuk

2

Dibentuk

=

,

3

=

,

, =1

.

2

.

Dalam
4

max ⁡
{ , }

,

kasus

ini

=
,1

Pilih

sedemikian hingga
=
=1
adalah interval tertutup dan
, =1

pilih

3

=

max ⁡
{ , }

,

, =1

1

,

2

+

Untuk

1

kasus

sehingga

2

⊆

4,

3

,

2

4

kasus

ini

1

,

2

+

sedemikian hingga

adalah interval tertutup dan
max ⁡
{ , }

,

, =1

pilih

Untuk

1

+

=

3

kasus

.

,

max ⁡
{ , }
, =1

⊆

4,

sehingga

2

=

−

merupakan partisi tag

3

■

-fine

Definisi2.2
Fungsi : , → dikatakan terintegral 1 pada [ , ]
jika ada
dan terdapat gauge ( ) pada [ , ]
sedemikian hingga untuk setiap > 0 terdapat partisi tag
-fine sehingga
� ; − <
untuk setiap partisi tag -fine ⊒ .
disebut nilai integral 1 fungsi pada selang [ , ] dan
ditulis dengan lambang :

=

dan untuk
. Karena
= −1 ,
−1 ,
setiap tag ,
maka
3 ⊒ 1 dan
3 ⊒ 2 .
Berdasarkan kasus 1-3 terlihat bahwa 3 adalah partisi
-fine.

<

=

. Pilih

−

=

,1

. Misal

-fine.

1

<

=1

tag

,

=1

tag

−

. Misal
⊆
. Pilih

.

.

dan untuk
. Karena
= −1 ,
−1 ,
setiap tag ,
maka
3 ⊒ 1 dan
3 ⊒ 2 .
Berdasarkan kasus 1-3 terlihat bahwa 3 adalah partisi

diberikan
.

=

4

,

1

+

Dalam

,

setiap
,

.

.

diberikan

=

⊆

.

max ⁡
{ , }

, =1

. Pilih
=1

, =1

Kasus 4 yaitu ketika

4

1

.

,

=

3

2

max ⁡
{ , }

,

max ⁡
{ , }

, =1

Untuk setiap

, =1

Kasus 3 yaitu ketika

2

, =1

2

,

max ⁡
{ , }

Kasus 4 yaitu ketika

[ , ], min⁡{ , } ,

Kasus 2 yaitu ketika

1

Dibentuk

= ( + ) sehingga

max ⁡
{ , }

,

Kasus 3 yaitu ketika

max ⁡
{ , }

,

1

maka dibentuk

[ , ], max⁡{ , }

Untuk

=

=

2

−

merupakan partisi tag

=

1

-fine.■
Himpunan semua fungsi yang terintegral
[ , ]dinotasikan 1 [ , ].

Teorema 2.2
Diberikan gauge , ′ : , → . Jika 1 adalah partisi
tag -fine dan 2 partisi tag ′-fine maka terdapat partisi
� -fine 3 dengan � = min{ , ′} sedemikian hingga
3 ⊒ 1 dan 3 ⊒ 2 .
Bukti : 1 =
dan 2 =

−1 ,

−1 ,

,

,

Akan dikonstruksi

Contoh 2.1
Diberikan fungsi : 0,1 →
=

adalah partisi tag -fine
partisi tag ′-fine
=1

=1

Karena � = min{ , ′} maka untuk setiap partisi �-fine
maka 3 partisi tag -fine dan partisi tag ′-fine.
3

=

max ⁡
{ , }

,

, =1

Akan dibuktikan

Jika
1 =

=
≠

maka dibentuk

1

maka dibentuk

=

,
1

max ⁡
{ , }

Kasus 2 yaitu ketika

dengan

1

0,1 =
= 0,1 .

pada [0,1].
1, 2, …

dan

=

Pilih gauge pada [0,1]
1
= 2

max ⁡
{ , }

+1

, =

1,

, =1

Diberikan sebarang
> 0 . Berdasarkan Akibat
Archimedes (Manuharawati, 2013: 44) terdapat
ℕ
1
sehingga
<
maka pilih partisi
-fine
=

= ( + ) sehingga
2

0,

, =1

,

terintegral

Bukti : Misal =
[0,1] sehingga

[ , ], min⁡
{ , } ,
[ , ], max⁡
{ , }

1,
0,

3

. Jika terdapat
≠ ∅ dan
= −1 ,
−1 ,
irisan yang sama maka hanya ditulis satu kali.
Kasus 1 yaitu ketika ,
.
Jika

1 pada

.

131

1

,

1

,

0,

2

,

2

,…,

−1

,1 ,

dengan

2014

MATHunesa (Volume 3 No 3)
, = 1,2, … , dan
partisi tag -fine dengan
−

=1

−1

−

=
=1

< sehingga untuk setiap
⊒
berlaku

−1

−

+
=1

rasional irrasional
−

=1

Jadi

−1

terintegral

1

<

∞

2

Teorema 2.5
a. Jika
−1
∞

( )=

=1

=1

pada [0,1] dengan

2.2 SIFAT-SIFAT INTEGRAL ��
Pada subbab ini akan dijelaskan tentang sifat-sifat dari
fungsi terintegral 1 .

(

(

=

= 0.

1

1)

Bukti:
a. Untuk

−�

+ �

;

(
b.

2

′′

<

1

[ , ] maka

1[

,

dan

1)

.

=0
0

=0=0

.

1

, ] dan

− ′ <

;

1)

�

;

=

⊒ ′

− ′ <

| |
[
,
]
dan
1

1

=

.

Diberikan ′ dan ′′ berturut-turut nilai integral
dan pada [ , ].
maka terdapat gauge ′( )
Karena
1 ,
sehingga jika diberikan > 0 terdapat partisi
tag ′ -fine ′ sedemikian hingga untuk setiap
2

partisi tag ′-fine
�

⊒

2

′ berlaku

− ′ < .
2
maka
Demikian pula, karena
1 ,
terdapat gauge ′′( ) sehingga jika diberikan
> 0 terdapat partisi tag
′′ -fine
′′

Teorema 2.4

Jika

1

+(

Akibatnya terbukti bahwa

⊒
diperoleh
+ � ; − ′′|
−

+

1)

=

+ =
2 2
Berdasarkan Akibat 1.2 (Manuharawati, 2013: 22) maka
′
= ′′.
■
;

.

| |
sehingga untuk setiap partisi tag -fine
diperoleh
� ;
− = � ; − ′

Pilih gauge
= min ′ , ′′
,∀
[ , ] .
Berdasarkan Teorema 2.2 maka dapat dilih partisi tag fine sedemikian hingga
⊒ ′ dan
⊒ ′′ sehingga
′

=(

�

2

2

, ] maka

1)

≠ 0 . Misal = ( 1 )
. Karena
, maka terdapat gauge ( ) pada [ , ]
sehingga jika diberikan > 0 terdapat partisi tag fine ′ sedemikian hingga untuk setiap partisi tag fine ⊒ ′ berlaku

2

untuk setiap partisi tag -fine
′
− ′′ = | ′ − � ;

(

, ] dan

1

hingga untuk setiap partisi tag ′-fine ⊒
berlaku
� ; − ′ < .
2
Terdapat gauge ′′( ) sehingga jika diberikan
, >0
terdapat
partisi
tag
′′ fine sedemikian hingga untuk setiap partisi tag ′fine ⊒ ′′ berlaku � ; − ′′ < .
2

=

+

1[

maka

Untuk

Bukti : Misalkan ′ dan ′′ adalah nilai integral dari
pada [ , ]. Berdasarkan definisi 2.2 diperoleh
i.
Terdapat gauge ′( ) sehingga jika diberikan
, > 0 terdapat partisi tag ′-fine ′ sedemikian
ii.

dan

1[

1

Teorema 2.3
Jika
1 [ , ] maka nilai integralnya tunggal.

,

1)

Jika ,

b.
2

1

=

.

;

2

Bukti : Misal =
. Diberikan
, > 0.
Karena
[ , ] dengan nilai integral maka terdapat
sehinga jika
adalah partisi tag dari [ , ] dengan
<
maka � ; − < .Pilih gauge
=
1
2

,∀

[ , ].Pilih partisi tag -fine

<

dengan

Jika adalah partisi tag -fine
⊒
maka
2
=
<
sehingga diperoleh �
< .

;
■

sedemikian hingga untuk setiap partisi tag ′′fine ⊒ ′′ berlaku
2

.

−

�

− ′′ < .
2
Pilih
( ) = min ′( ), ′′( ) , ∀
[ , ]
.
Diberikan sebarang > 0, berdasarkan Teorema 2.2
maka dapat dipilih partisi tag -fine sedemikian
hingga ⊒ ′dan ⊒ ′′
2

;

2

Untuk setiap partisi tag -fine ⊒
diperoleh
� ; +
− ( ′ + ′′)
= � ; + � ; − ( ′ + ′′)
■
� ; − ′ + � ; − ′′ < .
132

2014

MATHunesa (Volume 3 No 3)

Teorema 2.6
Diberikan fungsi
dan
1[ , ]
sedemikian hingga

:

,

→

1[

=

[ , ] ∋ untuk setiap > 0 terdapat partisi tag -fine
sedemikian hingga untuk setiap partisi tag -fine , ⊒
berlaku
, ]

�

dan
[ , ] . Jika
maka
1[ , ]

+

2

�

⊒

.

2

⊒

-fine

2

2

2

�

2

2

�

;

−�

;

⊒

−�

;

;

,

= �

⊒

�

<

2

2

< .
2

maka

− +

;

−�

;

− |+| −�

;

;

+ = .
2 2
Terdapat gauge ( ) pada [ , ].
Diberikan
ℕ. Karena > 0 maka terdapat partisi tag
-fine sedemikian hingga untuk setiap partisi tag fine
⊒ , ⊒
berlaku
1
�
; −� ;
<

Asumsikan
adalah barisan monoton naik. Diberikan
, > 0, berdasarkan Teorema 2.2 maka terdapat
1
ℕ
sehingga < . Untuk >
0
0 diperoleh

2

,

�

, dan
adalah
′′-fine
⊒

⊒

,
0

;

2

0

⊒

−�

Sehingga �

0

dan

;

1

<

< .......(3.1)
2

0

;

adalah barisan Cauchy berdasarkan

Teorema 2.4 maka ada
dan pilih

sehingga

ℕ sehingga
�

;

1

< dan
2

−

−
■

Teorema 2.8
Diberikan fungsi :
1 [ , ] maka

,

�

;

=

<

2
untuk setiap
.
Diberikan
partisi tag -fine dengan
�
; −
�
; −�
;
< .

Teorema 2.7 (Kriteria Cauchy)
Fungsi : , → terintegral 1 pada [ , ] jika dan
hanya jika terdapat gauge ( ) pada [ , ] sehingga untuk
setiap > 0 terdapat partisi tag -fine
sedemikian
hingga jika
dan adalah partisi tag -fine
⊒
, ⊒
berlaku
�

−

;

2

2

− ′′ < .
2
Didefinisikan gauge pada [ , ]
1
min ′ ,
−
,
[ , )
2
′
=
min(
, ′′( )) ,
=
1
min{ ′′ , ( − )} ,
( , ]
2
Misalkan
adalah partisi -fine dari [ , ] dengan tag
adalah partisi -fine dari [ , ]
kurang dari dan
⊒ ′′.
dengan tag lebih dari dengan
⊒ ′ dan

2;

< dan �

partisi tag -fine

;

2

−

;

⊒ ′

′ ,

Karena
terintegral 1 pada [ , ] maka dipilih
gauge
= � ,∀
[ , ]dan pilih partisi tag -fine
= ′ sedemikian hingga jika diberikan sebarang

′ berlaku

Pilih
=
−1 ,
−1 , −1 , −1
.
,
,
, 1 ,
1
1 2
Jika 1 =
−1 ,
−1 , −1 , −1
maka
,
,
,
=
,
1
1
1 2
2
1
partisi ′-fine dari [ , ] dan 2 adalah partisi
dari [ , ]. Untuk setiap partisi -fine
=
diperoleh
� ; = � 1; + � 2;
dan
� ; − ′ + ′′
� 1; − ′ + �
′′
< + = .

⊒

maka

′′ berlaku
�

< .

diberikan sebarang partisi tag � -fine

− ′ < .
2
maka terdapat
Demikian pula, karena
1 ,
gauge ′′( ) sehingga jika diberikan > 0 terdapat partisi
tag ′′-fine ′′ sedemikian hingga untuk setiap partisi tag
;

;

Misalkan terdapat gauge �( ) pada [ , ] . Diberikan
sebarang
, > 0 maka terdapat
′ sehingga

Bukti : Diberikan ′ dan ′′ berturut-turut nilai integral
maka terdapat
pada [ , ] dan [ , ]. Karena
1 ,
gauge ′( ) sehingga jika diberikan > 0 terdapat partisi
′
= ( , , ) =1 sedemikian hingga
tag
-fine

untuk setiap partisi tag ′-fine

−�

;

⊒
+ �

diperoleh
; −
■

→ dan [ , ] ⊆ [ , ] . Jika
, ].

1[

Bukti : Fungsi
terintegral 1 pada [ , ] sehingga
berdasarkan Teorema 2.6 maka terdapat gauge pada
[ , ] sehingga jika diberikan sebarang
, >
0 terdapat partisi tag -fine sedemikian hingga jika
dan adalah partisi tag -fine
⊒ , ⊒
berlaku
�
; −� ;
< .

< .

Bukti:
Fungsi
terintegral 1 pada [ , ] dengan nilai
integral . Akan dibuktikan terdapat gauge ( ) pada

133

MATHunesa (Volume 3 No 3)
Berdasarkan Teorema 2.5 maka terdapat partisi tag -fine
berturutdan
dari [ , ] dan [ , ] . Misalkan
berturut adalah partisi tag -fine dari [ , ] dan [ , ]
dengan
⊂ ,
⊂ .
Diberikan 1 ⊂
dan 2 ⊂
adalah partisi tag -fine
dari [ , ].
Jika
=
=
1 dan
2 maka
⊒ , ⊒
sehingga
� 1; − � 2;
= �

1;

= �
= �

;

+�
−�

+�
−�

;
;

1;

− �

+�

−�

;

+�

2;

;

;
;

−�

+�

;

;

< .

+�

<

( )(
ℕ
ℕ

−

ℕ

terintegral

1

ℕ

ℕ

2

+1

−

−1

−

−1

= .

pada [ , ] dan (

1)

= 0.■

Teorema 2.10
Jika ,
= ( ) hampir
1 [ , ] dan jika
dimana-mana pada [ , ] maka ( 1 )
=

2;

(

1)

.

Bukti :
Diberikan ,
=
hampir dimana1 [ , ] dan
mana pada [ , ]maka berdasarkan Teorema 2.9 maka
−
dan
( 1) ( − ) = 0
.
1[ , ]
Berdasarkan Teorema 3.4 maka fungsi = + ( − )
terintegral
pada [ , ] dan
=
1
1

;
■

+(

1

1)

−

=(

1)

■

.

Teorema 2.11
Diberikan : , → terintegral 1 maka ada
dan terdapat gauge ( ) pada [ , ] sehingga untuk setiap
> 0 terdapat partisi tag -fine berlaku
� ′; − <
untuk setiap partisi tag -fine ′ ⊒ .
-fine
= { −1 , , } =1 adalah partisi tag
Jika
berlaku
sehingga untuk setiap partisi tag -fine ⊒
� ; − < maka
2

−

=0

−1

−

<

untuk setiap partisi tag -fine = { −1 , , } =1 ⊆
dari [ , ] dengan
adalah nilai integral pada selang
[ −1 , ].

Bukti : Diberikan > 0 dan partisi tag –fine ⊒ .
Misal
⊆
dengan
= { −1 , , } =1 maka
,
⊂
[
,
]
.
Pilih
interval-interval non−1
=1
,
…
,[ , ]
sehingga
,
,
overlapping
,
2 2
1 1
] . Untuk setiap
, − =1( −1 , ) =
=1 [ ,
{1,2, … , } berdasarkan Teorema 2.8 maka
]. Karena
] maka ada
dan
1[ ,
1[ ,
terdapat gauge ( ) pada [ , ] sehingga untuk setiap
> 0 terdapat partisi tag
-fine
sedemikian
hingga untuk setiap
<

−1 )

−

<

<

Jadi

Bukti :
= 0 hampir dimana-mana pada [ , ] maka
berdasarkan definisi 2.16 terdapat
⊆ [ , ] dan
= 0, ∀
, − .
Misal
=
, :
≠ 0 dan untuk setiap
ℕ ={
: −1<
}
maka
∗
=
dan
= 0, ∀
ℕ . Diberikan
ℕ
, > 0 karena ∗
= 0 berdasarkan definisi
2.15 maka terdapat koleksi terbilang interval-interval
buka
{ :
ℕ}
sehingga
⊆
dan
ℕ
pilih interval
ℕ ( ) < 2 +2 . Untuk setiap
terbuka
{ :
ℕ} sehingga
.
Didefinisikan gauge pada ,
1,
, −
1
=
,
2 +2
Dan pilih partisi -fine dengan
< .
Diberikan partisi
= {( −1 , , )} =1 , dengan
⊒ .
Misal
={ :
} dan = { :
}. Himpunan
} adalah koleksi interval-interval
, :
{
−1 ,
non-overlapping dan karena untuk setiap interval
panjangnya kurang dari ( ) sehingga
−1 ,
=
.
( −1 − ) <
ℕ2
ℕ2
Diperoleh
;

−1

2

Teorema 2.9
Diberikan : , → . Jika ( ) = 0 hampir dimanamana pada [ , ] maka ( ) terintegral 1 pada [ , ]
dan ( 1 )
= 0.

�

−

ℕ

2014

2

.

⊒

Pilih gauge ( ) = min{ ( ),
fine
dari [ , ] sehingga
−1

partisi tag -fine
.

134

′

sehingga

berlaku �

;

−

}. Pilih partisi tag ⊂
. Pilih
=1
′

⊒

dan

′

⊒

2014

MATHunesa (Volume 3 No 3)
Misal
partisi tag -fine dari [ , ] dengan
⊂
′ . Jika =
maka merupakan partisi tag
=1
sehingga
-fine dari [ , ] dan ⊒
� ; = � ; + =1 �
;
dan
=
+ =1
=1
diperoleh
−

=0

−1

;

−

−

+

−

;

−

�

=1

= (
[

=1

=1

�

−

;

Definisi 2.3
Diberikan fungsi , : , −
primitif dari pada [ , ] jika
( ) untuk setiap
[ , ]. [9]

< + =
2

−

[ , ]⊆

+

1
2

−

−

−
−

−

, +

−

=

−

1
2

−

2 +2

diperoleh
untuk = 1,2, … , .

, +

−

−

−1

1
2

−1

− �( ; )
−

−1

−

−

−

−

−1

−1

−

<

+

−
2 +2

−1

−

+
+

+0=

.
2 +1

−

.

−
−

−1

−1

−1

■

2.3 KETERKAITAN INTEGRAL�� DAN
INTEGRAL HENSTOCK
Teorema 2.13
Jika
1 [ , ] maka
∗

−

.

∗

[ , ] dan

1

=

Bukti : Misal = 1
. Karena : , →
terintegral 1 pada [ , ] maka terdapat gauge ( )
pada , ∋ jika diberikan
, > 0 terdapat partisi
tag -fine ,diberikan sebarang partisi tag -fine ⊒
berlaku
� ; − <
Pilih gauge � = min
, ( )
,
[ , ] maka
�( )gauge pada [ , ].

.

maka
1
− .
−
−
−
2
Akan ditunjukkan bahwa terintegral 1 pada [ , ] dan
( 1)
=
− ( ) . Pilih gauge
= −
,∀
,
dan pilih partisi tag -fine
dengan
Jadi, jika

−

-fine

Untuk ≠ ∅.
= 0, ∀
Misal
= { 1 , 2 , … } . Asumsikan
{1,2, … }.
Diberikan
, > 0 dan
, − . Karena
terdeferensial di
, − maka terdapat
>0
sehingga jika ,
, − yang memenuhi −
+ maka
1
− .
−
−
−
2
Berdasarkan kekontinuan fungsi di
maka terdapat
untuk
( ) sedemikian hingga
− ( )
2 +2
setiap
[ , ] yang memenuhi
( ).
−
1
,
2 +2
Pilih gauge
=
dan pilih partisi 1,
, −
fine
dengan 2
=
. Diberikan
=
adalah partisi tag -fine dengan
( −1 , , ) ⊒
⊒ . Jika
maka seperti pada kasus = ∅. Jika
adalah tag dari [ −1 , ] maka

2

1

−

−

=1

−
−
−
< | − | dimana
2
[ , ] . Diberikan
,
[ , ]
− , +
dengan < yang memenuhi
[ , ]⊆ − , +
. Jika −
0 dan −
0 maka

1
2

]⊆

=1

.
dikatakan fungsi
′( ) ada dan ′
=

Jadi

−
+

−1 ,

, ) ⊒

;

Bukti:
Kasus = ∅.
Diketahui kontinu pada [ , ] dan ′
= ( ) untuk
semua
[ , ] .. Misalkan
[ , ] , karena ′
=
( ) ada maka terdapat
> 0 sedemikian hingga jika
[ , ] memenuhi 0 < − < , maka
− ( )
− ( ) <
2
−

−

−1 ,

Akibatnya diperoleh

Teorema 2.12 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Misalkan himpunan countable dalam [ , ] dan fungsi
, : , → yang memenuhi:
a. F kontinu pada [ , ]
′
b.
= ( ) untuk semua
, −
maka
terintegral 1 pada [ , ] dan ( 1 )
=
− ( ).

−

sehingga untuk setiap partisi

−

2

=1

�

=

�
.■

−

<

135

MATHunesa (Volume 3 No 3)
Diberikan sebarang partisi tag � -fine
maka
merupakan partisi tag -fine. Asumsikan untuk setiap
partisi tag � -fine
⊒
sehingga berlaku
� ; − <
Terbukti bahwa terintegral Henstock pada , . ■

2014

Bartle, Robert G. 2001. A Modern Theory of Integral.
United State of America: Amer. Math. Society.
Providence.

3. PENUTUP

Simpulan
1. Jika suatu fungsi terintegral Riemann pada [ , ]
maka fungsi tersebut juga terintegral 1 pada [ , ]
dan nilai integralnya sama tapi tidak berlaku
sebaliknya.
2. Sifat-sifat yang berlaku pada integral 1 adalah sifat
perkalian skalar, sifat kelinearan, kriteria Cauchy,
sifat additif, dan Teorema Fundamental Kalkulus.
3. Jika suatu fungsi terintegral 1 pada [ , ] maka
fungsi tersebut juga terintegral Henstock pada [ , ]
dan nilai integralnya sama.
Saran
Dalam skripsi ini dibahas tentang sifat-sifat integral 1
dan keterkaitannya dengan integral Henstock. Pada
Teorema 3.13, jika suatu fungsi terintegral 1 pada [ , ]
maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock pada
[ , ] dan nilai integralnya sama, tetapi dalam skripsi ini
belum dibahas apakah jika suatu fungsi terintegral 1
pada [ , ] maka terintegral Henstock pada [ , ]. Oleh
karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca
yang tertarik pada permasalahan ini untuk mempelajari
lebih lanjut tentang keterkaitan integral 1 dan integral
Henstock.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction
To real Analysis. Third Edition. United State of
America: John Wiley and Sons Inc.
Manuharawati. 2013. Analisis Real 1. Sidoarjo: Zifatama
Publisher.
Beardon, Alan. 1997. A Limit Approach to Real Analysis.
New York: Springer.
Regina, S. B. dan Iusem A. Set-Valued Mappings and
Enlargements of Monotone Operators. New York:
Springer.
J. L. Garces, P. Y. Lee and D. Zhao. 1999. “Moore–
Smith limits and the Henstock integral”. Real
Analysis Exchange. Vol. 24(1): pp 447-456.
Gupta. (1986). Lebesgue Measure and Integration. New
Delhi: Willey Eastern Limited.
Lebl, Jiˇrí. Basic Analysis. California: University of
Pittsburgh
Royden, H. L. dan P. M. Fitzpatrick. 2010. Real Analysis.
China: Pearson Education Inc.

136