PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS(1)
PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS
DAN TEKNOLOGI SBMPTN 2013 KODE 431
1.
Persamaan lingkaran dengan pusat (−1,1) dan menyinggung garis 3� − 4� +
12 = 0 adalah …
Sebelum menentukan persamaan lingkarannya, kita tentukan jari-jari
lingkaran tersebut. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan jarak antara titik
pusat (−1,1) dengan garis 3� − 4� + 12 = 0.
Jarak antara titik (�1 , �1 ) dengan garis yang memiliki persamaan �� + �� +
� = 0 adalah,
|��1 + ��1 + �|
�=
√�2 + � 2
Sehingga,
|3(−1) − 4(1) + 12|
=
�
�32 + (−4)2
=
=
=
|−3 − 4 + 12|
√9 + 16
|5|
√25
5
=1
5
Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di (�1 , �1 ) dan berjari-jari �
dapat ditentukan dengan rumus,
(� − �1 )2 + (� − �1 )2 = � 2
Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di (−1,1) dan memiliki jari-jari
1, dapat ditentukan sebagai berikut.
(� − �1 )2 + (� − �1 )2 = � 2
⟺
⟺
⟺
Jawaban A.
2
2
�� − (−1)� + (� − 1)2 = 1
� 2 + 2� + 1 + � 2 − 2� + 1 = 1
� 2 + � 2 + 2� − 2� + 1 = 0
2.
cot 105° tan 15° = ⋯
Untuk menentukan hasil dari operasi hitung tersebut, kita dapat
menggunakan sifat-sifat berikut:
cos �
cot � =
sin �
sin �
tan � =
cos �
2 sin � cos � = sin(� + �) + sin(� − �)
2 cos � cos � = sin(� + �) − sin(� − �)
Sehingga,
cos 105° sin 15°
×
cot 105° tan 15° =
sin 105° cos 15°
1
(2 cos 105° sin 15°)
=2
1
(2 sin 105° cos 15°)
2
=
=
Jawaban A.
sin(105 + 15)° − sin(105 − 15)°
sin(105 + 15)° + sin(105 − 15)°
sin 120° − sin 90°
sin 120° + sin 90°
1
√3 − 1
=2
1
3+1
2√
1
1
3−1
√
√3 − 1
=2
×2
1
1
3+1
3−1
2√
2√
3
− √3 + 1
=4
3
−1
4
7
− √3
=4
= −7 + 4√3
1
−
4
3.
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3
perempuan duduk berdampingan adalah …
Untuk memahami permasalahan ini, perhatikan gambar berikut!
Karena 3 perempuan harus duduk berdampingan, kita dapat menganalogikan
aturan ini sebagai pengelompokan, seperti tampak pada gambar di atas.
Sehingga yang perlu kita acak hanyalah L1, L2, P, dan L3 dan diperoleh �44
kemungkinan. Akan tetapi pada kelompok tersebut terdapat 3 perempuan,
sehingga apabila kita acak kita mempeoleh �33 kemungkinan.
Sehingga peluangnya dapat ditentukan sebagai berikut:
�(�)
�44 ∙ �33
=
�66
4!
3!
∙
(4 − 4)! (3 − 3)!
=
6!
(6 − 6)!
=
=
=
4.
4! ∙ 3!
6!
4∙3∙2∙1∙3∙2∙1
6∙5∙4∙3∙2∙1
144 1
=
720 5
Jawaban E.
Diketahui balok ����. ���� dengan �� = 4, �� = �� = 2. Titik � tengahtengah ��, � titik tengah ��, � titik tengah ��. Jarak � ke �� adalah …
Perhatikan gambar berikut!
Sebelum menentukan jarak antara � ke ��, kita tentukan dulu ��, ��, dan
��
����
Menentukan Panjang ��
Untuk menentukan ��, kita tentukan �� terlebih dahulu. ����
�� merupakan sisi
miring dari segitiga siku-siku ���. Sehingga,
�� = ���2 + ��2
= � 42 + 12
= √16 + 1
= √17
����
�� merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ���, sehingga
�� = ���2 + ��2
2
= �√17 + 12
= √17 + 1
= √18 = 3√2
Diperoleh �� = 3√2.
Menentukan Panjang ����
��
Sebelum menentukan ��, kita tentukan �� terlebih dahulu. Perhatikan
���� merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ���, sehingga
bahwa ��
�� = ��� 2 + ��2
= � 22 + 22
= √4 + 4
= √8 = 2√2
���� merupakan sisi miring dari segitiga sikuSetelah itu, kita tentukan ��. ��
siku ���. Oleh karena itu,
�� = ���2 + ��2
= �12 + �2√2�
2
= √1 + 8
= √9 = 3
Sehingga diperoleh �� = 3.
Menentukan Panjang ����
��
���� merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ���. Sehingga sebelum
��
���� dapat
menentukan ��, kita tentukan terlebih dahulu ��. Panjang ��
ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku
���.
�� = ��� 2 + �� 2
= � 12 + 22
= √1 + 4
= √5
Selanjutnya kita tentukan �� dengan menggunakan segitiga siku-siku ���.
�� = ��� 2 + ��2
2
= �√5 + 22
= √5 + 4
= √9 = 3
Diperoleh �� = 3
Menentukan Jarak � dengan ����
��
����
Untuk menentukan jarak � ke ��, perhatikan segitiga ���. Sebelumnya kita
memperoleh �� = 3√2, �� = 3, dan �� = 3. Sehingga segitiga tersebut
merupakan segitiga sama kaki. Perhatikan gambar segitiga ��� berikut.
Karena ��� segitiga sama kaki, maka garis yang melewati � dan tegak lurus
�� menjadi 2 bagian yang sama. Sehingga,
dengan ����
�� membagi ����
� = ���2 − �� 2
2
3
2
�
= 3 − � √2�
2
= �9 −
9
2
9
3
3
=� =
= √2
2 √2 2
5.
Jadi, jarak titik � ke ruas garis �� adalah 3�2 √2.
Jawaban D.
Jika �(�) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu � dan parabola � =
2�� − � 2 , 0 < � < 1, maka peluang nilai � sehingga �(�) ≤ 9�16 adalah …
Perhatikan bahwa: � = 2�� − � 2 = �(2� − �). Sehingga grafik fungsi kuadrat
tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu � di � = 0 dan � = 2�, yang
terletak di antara � = 0 dan � = 2.
Sehingga luas yang dibatasi oleh parabola tersebut dengan sumbu � adalah,
2�
�(�)
≤ � 2�� − � 2 ��
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
0
9
1 3 2�
2
16 ≤ ��� − 3 � �0
1
1
9
≤ ��(2�)2 − (2�)3 � − ��(0)2 − (0)3 �
3
3
16
8
9
≤ 4�3 − �3
3
16
4
9
≤ �3
3
16
0
4
9
≤ �3 −
3
16
0 ≤ 64�3 − 27
Untuk menentukan nilai �, kita selesaikan persamaan 64�3 − 27 = 0 terlebih
dahulu.
64�3 − 27 = 0
⟺
⟺
⟺
(4�)3 − 33 = 0
(4� − 3)((4�)2 + 4� ∙ 3 + 32 ) = 0
(4� − 3)(16�2 + 12� + 9) = 0
Sehingga, selesaian dari persamaan tersebut adalah � = 3�4. Selanjutnya kita
lakukan uji titik untuk menentukan tanda dari �(�).
1 3
1
� = ⟹ �(�) = 64 � � − 27 = −26 < 0
4
4
5 3
5
1
≥0
� = ⟹ �(�) = 64 � � − 27 = 10
6
6
27
Sehingga tanda dari �(�) dapat digambarkan sebagai berikut.
6.
Jadi peluang �(�) ≥ 0 adalah
3
1−
4=1
�(�) =
1−0 4
Jawaban E.
�����⃗ ke
Diketahui �(3, 0, 0), �(0, −3, 0), dan �(0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi ��
�����⃗ adalah …
vektor ��
Misalkan vektor proyeksi �����⃗
�� ke vektor �����⃗
�� adalah �, panjang � dapat
ditentukan dengan rumus:
�����⃗
�����⃗
�� ∙ ��
�=
�����⃗ �
���
�����⃗, dan ���
�����⃗� terlebih dahulu.
Untuk itu, kita tentukan �����⃗
�� , ��
�����⃗
�� = (0 − 3, 0 − 0, 6 − 0) = (−3, 0, 6)
�����⃗
�� = (0 − 3, −3 − 0, 0 − 0) = (−3, −3, 0)
7.
�����⃗ � = �(−3)2 + (−3)2 + 02 = √9 + 9 = √18 = 3√2
���
Sehingga,
(−3 ∙ −3) + (0 ∙ −3) + (6 ∙ 0)
9
3√2
=
=
�=
2
3√2
3√2
Jawaban C
Jika sin � + sin � = √2� dan cos � + cos � = √2�, maka cos(� − �) = ⋯
Perhatikan bahwa,
(sin � + sin �)2 = sin2 � + 2 sin � sin � + sin2 �
(cos � + cos �)2 = cos 2 � + 2 cos � cos � + cos2 �
Karena sin2 � + cos 2 � = 1, sin2 � + cos 2 � = 1, dan
2 sin � sin � + 2 cos � cos � = 2(sin � sin � + cos � cos �) = 2 cos(� − �)
Maka,
(sin � + sin �)2 + (cos � + cos �)2 = 1 + 2 cos(� − �) + 1
⟺
2
√2� + √2�
2
= 2 + 2 cos(� − �)
⟺
2� + 2� = 2 + 2 cos(� − �)
⟺
8.
9.
2 cos(� − �) = 2� + 2� − 2
⟺
cos(� − �) = � + � − 1
Jawaban A.
Transformasi � merupakan pencerminan terhadap garis � = 4� dilanjutkan
pencerminan terhadap garis � = − ��4. Matriks penyajian � adalah …
Transformasi sembarang titik oleh tranformasi � sama dengan pencerminan
titik tersebut terhadap titik (0, 0), karena � = 4� dan � = − ��4 saling tegak
lurus dan berpotongan di (0, 0).
Sehingga,
−1 0
�=�
�
0 −1
Jawaban E.
Diketahui �(�) = �� 3 − 3(1 + �)� 2 − 3�. Jika �′′(�) habis dibagi � − 1, maka
kurva � = �(�) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika …
Diketahui bahwa �′′(�) habis dibagi � − 1. Sekarang kita tentukan turunan
kedua fungsi � tersebut.
� ′ (�) = 3�� 2 − 6(1 + �)� − 3
� ′′ (�) = 6�� − 6(1 + �)
�′′(�) habis dibagi � − 1 artinya � ′′ (1) = 0. Sehingga,
� ′′ (1) = 0
⟺
⟺
⟺
⟺
6� ∙ 1 − 6(1 + �) = 0
6� − 6 − 6� = 0
6� = 6� − 6
� =�−1
Dengan mensubstitusi � = � − 1 ke persamaan fungsi, diperoleh
�(�) = �� 3 − 3�� 2 − 3�
Kurva � = �(�) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika turunan pertamanya
hanya memiliki paling banyak 1 akar.
�′(�) = 0
⟺
3�� 2 − 6�� − 3 = 0
Sehingga akar dari turunan pertama � paling banyak 1, maka � ≤ 0.
� ≤0
⟺
(−6�)2 − 4 ∙ 3� ∙ (−3) ≤ 0
⟺
�2 + � ≤ 0
⟺
⟺
10.
36� 2 + 36� ≤ 0
�(� + 1) ≤ 0
Sehingga, −1 ≤ � ≤ 0.
Jawaban B.
Banyak bilangan ratusan dengan bilangan pertama dan terakhir mempunyai
selisih 3 dan tidak ada angka yang sama adalah …
Bilangan-bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 0 dan 3, 1 dan 4, 2 dan 5, 3
dan 6, 4 dan 7, 5 dan 8, 6 dan 9, serta kebalikannya kecuali 0 dan 3. Sehingga
banyaknya bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 13.
Bilangan ratusan terdiri dari 3 bilangan, maka banyaknya kemungkinan
bilangan kedua adalah 10 – 2 = 8. Sehingga, banyaknya kemungkinan
bilangan ratusan yang memenuhi syarat tersebut adalah 13 × 8 = 104.
11.
Jawaban –
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva � = 2 − � 2 dan � = |�| adalah …
Perhatikan bahwa,
Fungsi � = |�| dapat juga didefinisikan sebagai berikut:
−�, � < 0
�=�
�, � ≥ 0
Sehingga kita tentukan terlebih dahulu titik perpotongan antara grafik fungsi
� = 2 − � 2 dan � = |�|.
Titik potong pertama, untuk � < �
Titik potongnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan � di
kedua fungsi tersebut.
2 − � 2 = −�
⟺
�2 − � − 2 = 0
⟺
(� − 2)(� + 1) = 0
⟺
�2 + � − 2 = 0
Diperoleh � = 2 atau � = −1. Karena � < 0, kita pilih � = −1
Titik potong kedua, untuk � ≥ �
Sama seperti sebelumnya, titik potongnya dapat ditentukan dengan
mensubstitusikan persamaan � di kedua fungsi tersebut.
2 − �2 = �
⟺
(� + 2)(� − 1) = 0
Diperoleh � = −2 atau � = 1. Karena � ≥ 0, kita pilih � = 1
Menentukan luas
Selanjutnya kita tentukan luasnya.
0
2
1
2
� = � 2 − � − (−�) �� + � 2 − � − � ��
−1
⟺
12.
0
= 2 � −� 2 + � + 2 ��
−1
Jawaban A.
∫ 4 sin2 � cos2 � �� = ⋯
0
Perhatikan bahwa 2 sin � cos � = sin 2�, maka
2
� 4 sin2 � cos2 � �� = �(2 sin � cos �) ��
= � sin2 2� ��
=�
1
1
= � − sin 4� + �
2
8
Jawaban B
13.
1 − cos 4�
��
2
Diketahui �(�) = 1�3 � 3 + � 2 − 3� + 13. Jika �(�) = �(1 − �), maka kurva �
naik pada selang …
Pertama, kita tentukan fungsi �.
�(�) = �(1 − �)
= 1�3 (1 − �)3 + (1 − �)2 − 3(1 − �) + 13
= 1�3 (1 − 3� + 3� 2 − � 3 ) + 1 − 2� + � 2 − 3 + 3� + 13
1
34
= − � 3 + 2� 2 +
3
3
Kurva naik ketika turunan pertamanya lebih dari atau sama dengan 0.
�′(�) ≥ 0
⟺
⟺
14.
−� 2 + 4� ≥ 0
�(4 − �) ≥ 0
Sehingga, 0 ≤ � ≤ 4.
Jawaban D.
lim
� tan �
�→0 � sin �−cos �+1
=⋯
Limit dari soal tersebut dapat ditentukan sebagai berikut
� tan �
�2
� tan �
= lim
lim
cos � − 1
�→� � sin �
�→0 � sin � − cos � + 1
−�
�
�2
�2
tan �
�
= lim
cos � − 1
�→� sin �
−�
�
�
�2
tan �
�
= lim
1
�→�
−2 sin2 �
sin �
2 �
−�
�
�2
= lim
1
1 1
1
1
∙ ∙ 2 sin � sin �
2
2
2
2
1+
1 1
�∙ �
2 2
1
=
1 1
1+ ∙
2 2
1
=
1
1+
4
1
2
=
=
3�
3
2
�→�
15.
Jawaban D.
Jika � 4 + (� − 10)� 3 + �� 2 + 24� − 15 = �(�)(� − 1) dengan �(�) habis
dibagi � − 1, maka nilai � adalah …
Diketahui � 4 + (� − 10)� 3 + �� 2 + 24� − 15 = �(�)(� − 1) dan �(�) habis
dibagi � − 1, artinya � 4 + (� − 10)� 3 + �� 2 + 24� − 15 habis dibagi
(� − 1)(� − 1).
Dengan menggunakan cara Horner kita dapat memperoleh,
Sehingga,
� + � = 0 ⟺ � = −�
… (1)
3� + 2� − 2 = 0
…(2)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), kita peroleh
3� − 2� − 2 = 0
⟺
⟺
Jawaban D.
�−2 =0
� =2
### Semoga bermanfaat, yos3prens ###
DAN TEKNOLOGI SBMPTN 2013 KODE 431
1.
Persamaan lingkaran dengan pusat (−1,1) dan menyinggung garis 3� − 4� +
12 = 0 adalah …
Sebelum menentukan persamaan lingkarannya, kita tentukan jari-jari
lingkaran tersebut. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan jarak antara titik
pusat (−1,1) dengan garis 3� − 4� + 12 = 0.
Jarak antara titik (�1 , �1 ) dengan garis yang memiliki persamaan �� + �� +
� = 0 adalah,
|��1 + ��1 + �|
�=
√�2 + � 2
Sehingga,
|3(−1) − 4(1) + 12|
=
�
�32 + (−4)2
=
=
=
|−3 − 4 + 12|
√9 + 16
|5|
√25
5
=1
5
Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di (�1 , �1 ) dan berjari-jari �
dapat ditentukan dengan rumus,
(� − �1 )2 + (� − �1 )2 = � 2
Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di (−1,1) dan memiliki jari-jari
1, dapat ditentukan sebagai berikut.
(� − �1 )2 + (� − �1 )2 = � 2
⟺
⟺
⟺
Jawaban A.
2
2
�� − (−1)� + (� − 1)2 = 1
� 2 + 2� + 1 + � 2 − 2� + 1 = 1
� 2 + � 2 + 2� − 2� + 1 = 0
2.
cot 105° tan 15° = ⋯
Untuk menentukan hasil dari operasi hitung tersebut, kita dapat
menggunakan sifat-sifat berikut:
cos �
cot � =
sin �
sin �
tan � =
cos �
2 sin � cos � = sin(� + �) + sin(� − �)
2 cos � cos � = sin(� + �) − sin(� − �)
Sehingga,
cos 105° sin 15°
×
cot 105° tan 15° =
sin 105° cos 15°
1
(2 cos 105° sin 15°)
=2
1
(2 sin 105° cos 15°)
2
=
=
Jawaban A.
sin(105 + 15)° − sin(105 − 15)°
sin(105 + 15)° + sin(105 − 15)°
sin 120° − sin 90°
sin 120° + sin 90°
1
√3 − 1
=2
1
3+1
2√
1
1
3−1
√
√3 − 1
=2
×2
1
1
3+1
3−1
2√
2√
3
− √3 + 1
=4
3
−1
4
7
− √3
=4
= −7 + 4√3
1
−
4
3.
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3
perempuan duduk berdampingan adalah …
Untuk memahami permasalahan ini, perhatikan gambar berikut!
Karena 3 perempuan harus duduk berdampingan, kita dapat menganalogikan
aturan ini sebagai pengelompokan, seperti tampak pada gambar di atas.
Sehingga yang perlu kita acak hanyalah L1, L2, P, dan L3 dan diperoleh �44
kemungkinan. Akan tetapi pada kelompok tersebut terdapat 3 perempuan,
sehingga apabila kita acak kita mempeoleh �33 kemungkinan.
Sehingga peluangnya dapat ditentukan sebagai berikut:
�(�)
�44 ∙ �33
=
�66
4!
3!
∙
(4 − 4)! (3 − 3)!
=
6!
(6 − 6)!
=
=
=
4.
4! ∙ 3!
6!
4∙3∙2∙1∙3∙2∙1
6∙5∙4∙3∙2∙1
144 1
=
720 5
Jawaban E.
Diketahui balok ����. ���� dengan �� = 4, �� = �� = 2. Titik � tengahtengah ��, � titik tengah ��, � titik tengah ��. Jarak � ke �� adalah …
Perhatikan gambar berikut!
Sebelum menentukan jarak antara � ke ��, kita tentukan dulu ��, ��, dan
��
����
Menentukan Panjang ��
Untuk menentukan ��, kita tentukan �� terlebih dahulu. ����
�� merupakan sisi
miring dari segitiga siku-siku ���. Sehingga,
�� = ���2 + ��2
= � 42 + 12
= √16 + 1
= √17
����
�� merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ���, sehingga
�� = ���2 + ��2
2
= �√17 + 12
= √17 + 1
= √18 = 3√2
Diperoleh �� = 3√2.
Menentukan Panjang ����
��
Sebelum menentukan ��, kita tentukan �� terlebih dahulu. Perhatikan
���� merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ���, sehingga
bahwa ��
�� = ��� 2 + ��2
= � 22 + 22
= √4 + 4
= √8 = 2√2
���� merupakan sisi miring dari segitiga sikuSetelah itu, kita tentukan ��. ��
siku ���. Oleh karena itu,
�� = ���2 + ��2
= �12 + �2√2�
2
= √1 + 8
= √9 = 3
Sehingga diperoleh �� = 3.
Menentukan Panjang ����
��
���� merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ���. Sehingga sebelum
��
���� dapat
menentukan ��, kita tentukan terlebih dahulu ��. Panjang ��
ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku
���.
�� = ��� 2 + �� 2
= � 12 + 22
= √1 + 4
= √5
Selanjutnya kita tentukan �� dengan menggunakan segitiga siku-siku ���.
�� = ��� 2 + ��2
2
= �√5 + 22
= √5 + 4
= √9 = 3
Diperoleh �� = 3
Menentukan Jarak � dengan ����
��
����
Untuk menentukan jarak � ke ��, perhatikan segitiga ���. Sebelumnya kita
memperoleh �� = 3√2, �� = 3, dan �� = 3. Sehingga segitiga tersebut
merupakan segitiga sama kaki. Perhatikan gambar segitiga ��� berikut.
Karena ��� segitiga sama kaki, maka garis yang melewati � dan tegak lurus
�� menjadi 2 bagian yang sama. Sehingga,
dengan ����
�� membagi ����
� = ���2 − �� 2
2
3
2
�
= 3 − � √2�
2
= �9 −
9
2
9
3
3
=� =
= √2
2 √2 2
5.
Jadi, jarak titik � ke ruas garis �� adalah 3�2 √2.
Jawaban D.
Jika �(�) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu � dan parabola � =
2�� − � 2 , 0 < � < 1, maka peluang nilai � sehingga �(�) ≤ 9�16 adalah …
Perhatikan bahwa: � = 2�� − � 2 = �(2� − �). Sehingga grafik fungsi kuadrat
tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu � di � = 0 dan � = 2�, yang
terletak di antara � = 0 dan � = 2.
Sehingga luas yang dibatasi oleh parabola tersebut dengan sumbu � adalah,
2�
�(�)
≤ � 2�� − � 2 ��
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
0
9
1 3 2�
2
16 ≤ ��� − 3 � �0
1
1
9
≤ ��(2�)2 − (2�)3 � − ��(0)2 − (0)3 �
3
3
16
8
9
≤ 4�3 − �3
3
16
4
9
≤ �3
3
16
0
4
9
≤ �3 −
3
16
0 ≤ 64�3 − 27
Untuk menentukan nilai �, kita selesaikan persamaan 64�3 − 27 = 0 terlebih
dahulu.
64�3 − 27 = 0
⟺
⟺
⟺
(4�)3 − 33 = 0
(4� − 3)((4�)2 + 4� ∙ 3 + 32 ) = 0
(4� − 3)(16�2 + 12� + 9) = 0
Sehingga, selesaian dari persamaan tersebut adalah � = 3�4. Selanjutnya kita
lakukan uji titik untuk menentukan tanda dari �(�).
1 3
1
� = ⟹ �(�) = 64 � � − 27 = −26 < 0
4
4
5 3
5
1
≥0
� = ⟹ �(�) = 64 � � − 27 = 10
6
6
27
Sehingga tanda dari �(�) dapat digambarkan sebagai berikut.
6.
Jadi peluang �(�) ≥ 0 adalah
3
1−
4=1
�(�) =
1−0 4
Jawaban E.
�����⃗ ke
Diketahui �(3, 0, 0), �(0, −3, 0), dan �(0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi ��
�����⃗ adalah …
vektor ��
Misalkan vektor proyeksi �����⃗
�� ke vektor �����⃗
�� adalah �, panjang � dapat
ditentukan dengan rumus:
�����⃗
�����⃗
�� ∙ ��
�=
�����⃗ �
���
�����⃗, dan ���
�����⃗� terlebih dahulu.
Untuk itu, kita tentukan �����⃗
�� , ��
�����⃗
�� = (0 − 3, 0 − 0, 6 − 0) = (−3, 0, 6)
�����⃗
�� = (0 − 3, −3 − 0, 0 − 0) = (−3, −3, 0)
7.
�����⃗ � = �(−3)2 + (−3)2 + 02 = √9 + 9 = √18 = 3√2
���
Sehingga,
(−3 ∙ −3) + (0 ∙ −3) + (6 ∙ 0)
9
3√2
=
=
�=
2
3√2
3√2
Jawaban C
Jika sin � + sin � = √2� dan cos � + cos � = √2�, maka cos(� − �) = ⋯
Perhatikan bahwa,
(sin � + sin �)2 = sin2 � + 2 sin � sin � + sin2 �
(cos � + cos �)2 = cos 2 � + 2 cos � cos � + cos2 �
Karena sin2 � + cos 2 � = 1, sin2 � + cos 2 � = 1, dan
2 sin � sin � + 2 cos � cos � = 2(sin � sin � + cos � cos �) = 2 cos(� − �)
Maka,
(sin � + sin �)2 + (cos � + cos �)2 = 1 + 2 cos(� − �) + 1
⟺
2
√2� + √2�
2
= 2 + 2 cos(� − �)
⟺
2� + 2� = 2 + 2 cos(� − �)
⟺
8.
9.
2 cos(� − �) = 2� + 2� − 2
⟺
cos(� − �) = � + � − 1
Jawaban A.
Transformasi � merupakan pencerminan terhadap garis � = 4� dilanjutkan
pencerminan terhadap garis � = − ��4. Matriks penyajian � adalah …
Transformasi sembarang titik oleh tranformasi � sama dengan pencerminan
titik tersebut terhadap titik (0, 0), karena � = 4� dan � = − ��4 saling tegak
lurus dan berpotongan di (0, 0).
Sehingga,
−1 0
�=�
�
0 −1
Jawaban E.
Diketahui �(�) = �� 3 − 3(1 + �)� 2 − 3�. Jika �′′(�) habis dibagi � − 1, maka
kurva � = �(�) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika …
Diketahui bahwa �′′(�) habis dibagi � − 1. Sekarang kita tentukan turunan
kedua fungsi � tersebut.
� ′ (�) = 3�� 2 − 6(1 + �)� − 3
� ′′ (�) = 6�� − 6(1 + �)
�′′(�) habis dibagi � − 1 artinya � ′′ (1) = 0. Sehingga,
� ′′ (1) = 0
⟺
⟺
⟺
⟺
6� ∙ 1 − 6(1 + �) = 0
6� − 6 − 6� = 0
6� = 6� − 6
� =�−1
Dengan mensubstitusi � = � − 1 ke persamaan fungsi, diperoleh
�(�) = �� 3 − 3�� 2 − 3�
Kurva � = �(�) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika turunan pertamanya
hanya memiliki paling banyak 1 akar.
�′(�) = 0
⟺
3�� 2 − 6�� − 3 = 0
Sehingga akar dari turunan pertama � paling banyak 1, maka � ≤ 0.
� ≤0
⟺
(−6�)2 − 4 ∙ 3� ∙ (−3) ≤ 0
⟺
�2 + � ≤ 0
⟺
⟺
10.
36� 2 + 36� ≤ 0
�(� + 1) ≤ 0
Sehingga, −1 ≤ � ≤ 0.
Jawaban B.
Banyak bilangan ratusan dengan bilangan pertama dan terakhir mempunyai
selisih 3 dan tidak ada angka yang sama adalah …
Bilangan-bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 0 dan 3, 1 dan 4, 2 dan 5, 3
dan 6, 4 dan 7, 5 dan 8, 6 dan 9, serta kebalikannya kecuali 0 dan 3. Sehingga
banyaknya bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 13.
Bilangan ratusan terdiri dari 3 bilangan, maka banyaknya kemungkinan
bilangan kedua adalah 10 – 2 = 8. Sehingga, banyaknya kemungkinan
bilangan ratusan yang memenuhi syarat tersebut adalah 13 × 8 = 104.
11.
Jawaban –
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva � = 2 − � 2 dan � = |�| adalah …
Perhatikan bahwa,
Fungsi � = |�| dapat juga didefinisikan sebagai berikut:
−�, � < 0
�=�
�, � ≥ 0
Sehingga kita tentukan terlebih dahulu titik perpotongan antara grafik fungsi
� = 2 − � 2 dan � = |�|.
Titik potong pertama, untuk � < �
Titik potongnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan � di
kedua fungsi tersebut.
2 − � 2 = −�
⟺
�2 − � − 2 = 0
⟺
(� − 2)(� + 1) = 0
⟺
�2 + � − 2 = 0
Diperoleh � = 2 atau � = −1. Karena � < 0, kita pilih � = −1
Titik potong kedua, untuk � ≥ �
Sama seperti sebelumnya, titik potongnya dapat ditentukan dengan
mensubstitusikan persamaan � di kedua fungsi tersebut.
2 − �2 = �
⟺
(� + 2)(� − 1) = 0
Diperoleh � = −2 atau � = 1. Karena � ≥ 0, kita pilih � = 1
Menentukan luas
Selanjutnya kita tentukan luasnya.
0
2
1
2
� = � 2 − � − (−�) �� + � 2 − � − � ��
−1
⟺
12.
0
= 2 � −� 2 + � + 2 ��
−1
Jawaban A.
∫ 4 sin2 � cos2 � �� = ⋯
0
Perhatikan bahwa 2 sin � cos � = sin 2�, maka
2
� 4 sin2 � cos2 � �� = �(2 sin � cos �) ��
= � sin2 2� ��
=�
1
1
= � − sin 4� + �
2
8
Jawaban B
13.
1 − cos 4�
��
2
Diketahui �(�) = 1�3 � 3 + � 2 − 3� + 13. Jika �(�) = �(1 − �), maka kurva �
naik pada selang …
Pertama, kita tentukan fungsi �.
�(�) = �(1 − �)
= 1�3 (1 − �)3 + (1 − �)2 − 3(1 − �) + 13
= 1�3 (1 − 3� + 3� 2 − � 3 ) + 1 − 2� + � 2 − 3 + 3� + 13
1
34
= − � 3 + 2� 2 +
3
3
Kurva naik ketika turunan pertamanya lebih dari atau sama dengan 0.
�′(�) ≥ 0
⟺
⟺
14.
−� 2 + 4� ≥ 0
�(4 − �) ≥ 0
Sehingga, 0 ≤ � ≤ 4.
Jawaban D.
lim
� tan �
�→0 � sin �−cos �+1
=⋯
Limit dari soal tersebut dapat ditentukan sebagai berikut
� tan �
�2
� tan �
= lim
lim
cos � − 1
�→� � sin �
�→0 � sin � − cos � + 1
−�
�
�2
�2
tan �
�
= lim
cos � − 1
�→� sin �
−�
�
�
�2
tan �
�
= lim
1
�→�
−2 sin2 �
sin �
2 �
−�
�
�2
= lim
1
1 1
1
1
∙ ∙ 2 sin � sin �
2
2
2
2
1+
1 1
�∙ �
2 2
1
=
1 1
1+ ∙
2 2
1
=
1
1+
4
1
2
=
=
3�
3
2
�→�
15.
Jawaban D.
Jika � 4 + (� − 10)� 3 + �� 2 + 24� − 15 = �(�)(� − 1) dengan �(�) habis
dibagi � − 1, maka nilai � adalah …
Diketahui � 4 + (� − 10)� 3 + �� 2 + 24� − 15 = �(�)(� − 1) dan �(�) habis
dibagi � − 1, artinya � 4 + (� − 10)� 3 + �� 2 + 24� − 15 habis dibagi
(� − 1)(� − 1).
Dengan menggunakan cara Horner kita dapat memperoleh,
Sehingga,
� + � = 0 ⟺ � = −�
… (1)
3� + 2� − 2 = 0
…(2)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), kita peroleh
3� − 2� − 2 = 0
⟺
⟺
Jawaban D.
�−2 =0
� =2
### Semoga bermanfaat, yos3prens ###