KOMBINASI METODE NEWTON DENGAN METODE ITERASI YANG DITURUNKAN BERDASARKAN KOMBINASI LINEAR BEBERAPA KUADRATUR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

  

KOMBINASI METODE NEWTON DENGAN METODE ITERASI

YANG DITURUNKAN BERDASARKAN KOMBINASI LINEAR BEBERAPA

KUADRATUR UNTUK MENYELESAIKAN

PERSAMAAN NONLINEAR

_{1) 1) 2)}

Supriadi Putra , Agusni , Yudi Prima Restu

  1)

  Laboratorium Matematika Terapan Jurusan Matematika

  2)

  Alumni Program Studi S1 Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

  Kampus Binawidya Pekanbaru (28293) Email:

  

ABSTRAK

Kita akan mendiskusikan kombinasi metode Newton dengan metode yang diturunkan berdasarkan

kombinasi beberapa kuadratur untuk menyelesaikan persamaan non linear satu variabel. Tulisan yang sama

telah dilakukan sebelumnya oleh Dehghan M. dan Hajarian M. International Journal Computational

Mathematics. 85 (1).1-6 (2008). Disini kita akan menggunakan metode yang diajukan oleh Dehghan M. dan

Hajarian M. kemudian akan memperbaiki pembuktian orde kekonvergenan metode sebagai koreksi atas apa

yang telah dilakukan oleh Dehghan M. dan Hajarian M. Perbandingan antara metode yang dibahas juga akan

dilihat dari segi cost komputasinya.

  Kata Kunci: Aturan Titik Tengah, Aturan Trapezium, Metode Newton, Rata-rata Harmonik.

  

ABSTRACT

We discuss a combination of Newton’s method and a method derived by a linear combination of some

quadraturs to solve a nonlinear equation of one variable. The same work has been done by Dehghan M.

and Hajarian M. International Journal Computational Mathematics. 85 (1).1-6 (2008). Here we redrive a

formula proposed by Dehghan M. and Hajarian M then we prove the order of convergence of the method for

correcting the work done by Dehghan M. and Hajarian M. Comparison among the discussed methods is

also given by considering computational costs.

  Key Words: Midpoint rule, Trapezoidal rule, Newton’s method, Harmonic mean.

  

PENDAHULUAN penerapannya memerlukan satu tebakan

  Menentukan akar dari suatu persamaan awal, katakan x , dan iterasinya dinyatakan nonlinear satu variabel, oleh

  

  f ( x ) , (1) f ( x ) _n

  

  adalah masalah yang sering muncul dari x  x  , n  , _{n n} 1 , 2 , (2)

  

  1 f ' ( x ) _n

  penerapan matematika dalam menyelesaikan masalah teknik dan sains. Banyak metode Metode ini mensyaratkan bahwa f ( x )  , _n dikembangkan untuk menyelesaikan masalah agar metode dapat diterapkan dan konvergen ini, dengan cara memodifikasi metode yang secara kuadratik. Metode lain yang juga ada [3,5,6,13] atau mengemukakan metode populer adalah metode Halley [10,11] yang baru yang mempunyai karakteristik yang iterasinya diberikan oleh sama dengan metode yang sudah ada [1].

  Diantara metode yang tersedia, metode Newton adalah metode favorit yang

    , ) ( ) ( '' ) ( '

METODOLOGI PENELITIAN

  ) ( ' ) ( '

    

    

   

  (8) Sekarang integral di ruas kanan persamaan (5) ditaksir dengan kombinasi linear dari persamaan (6), persamaan (7) dan persamaan (8) diperoleh

  

     

     

  2 ) ( ' _{n n} ^{n x} _x x x x f x f x f x f ds s f _n 

  maka apabila rata-rata aritmatik ini ditaksir dengan rata-rata harmonik [9], maka diperoleh

    , ) ( ' ) ( '

   

  

  2 ) ( ' ) ( ' x f x f _n

  Selanjutnya bila dipandang

  (7) Dapat diturunkan metode Newton sebagaimana ditunjukkan oleh Ozban [8].

  

     

     

  2 ' ) ( ' _n ^{n x} _x x x x x f ds s f _n 

    

    

  (6) yang digunakan Weerakoon and Fernando [12] untuk mendapatkan metode Newton berdasarkan aturan Trapezium. Bila ditaksir integral diruas kanan (5) dengan aturan titik tengah, yaitu,

  ) ( ' ) ( '

  maka setelah diseder- hanakan diperoleh

  x f

  , ) ( 

  (9) dengan A,B, C adalah bilangan real yang tidak sama dengan nol. Apabila persamaan (9) disubstitusikan ke persamaan (5) dengan mengingat

  B x f x f x f x f A x x ds s f n ^{n n n n x x n}

  x f x f C x x f

  1 ) ( '

  2

  1 ) ( ' ) ( '

    

  2 '

  1

  2 ) ( ' ) ( '

  

    

    

    

     

   

    ,

  2 ) ( ) ( ' ) ( '

  2 ) ( ' ) (

  Asumsikan bahwa suatu barisan

  1

  | | | | lim

  | | | | lim

   p maka ,

   1 , n . Jika terdapat dua buah konstanta  A dan

  untuk , 2 ,

  x e

     _{n n}

  { } _n x konvergen ke  dan misalkan

  Definisi 1

    

  Pada penelitian ini dilakukan terlebih dahulu kajian ulang terhadap hasil yang telah dilakukan oleh Dehghan and Hajarian [2] yakni dengan memeriksa kebenaran penurunan formula dan membuktikan analisis error dari metode tersebut. Selanjutnya dilakukan uji komputasi dengan membandingkan metode iterasi yang dimaksud dengan metode Newton dan Halley.

  Metode Halley konvergen kubik untuk akar sederhana dan memerlukan turunan kedua dari fungsi f yang terkadang memerlukan cost yang besar untuk memperolehnya.

  n (3)

  

  , , 2 , 1 , 

     

  1 _{n n n} ^{n n n n} x f x f x f x f x f x x

  2

  2

  e e x x _{p n n n p n n n}

  

  

       

     

     

    _n ^{n n x} _x x x x f x f ds s f _n 

  Metode Newton diperoleh dengan mengaproksimasi integral di ruas kanan (5) dengan menggunakan jumlah Reimann kiri pada satu interval. Integral di ruas kanan (5) juga dapat ditaksir dengan aturan Trapezium yang diberikan oleh

  ds s f x f x f (5)

    ^x _{x n n}

  

  . ) ( ' ) ( ) (

1 A

   f sekitar ⁿ x [7]

  M x x x f x f x    (4)

  maka dengan menggunakan integral sebagian, model linear ini dapat dipandang sebagai identitas berikut [4],

  linear dari

  1  ⁿ x sebagai akar dari model

  Bila dipandang

  HASIL DAN PEMBAHSAN Metode Iterasi Berdasarkan Kombinasi Linear Beberapa Kuadratur

  Setelah analisa kekonvergenan dilakukan secara analitis, selanjutnya melalui uji komputasi (menggunakan software Matlab versi 7.8) akan dibandingkan hasil yang diberikan oleh masing-masing metode iterasi. Jumlah iterasi pada setiap contoh persamaan nonlinear yang digunakan akan dijadikan acuan pembanding.

  barisan { } _n x dan A disebut asimtot error.

  p merupakan orde kekonvergenan dari

   

  ), )( ( ' ) ( ) ( _{n n n}

  f ( x )  f ' ( x )  f ( x )  _{n n} f '' ( )

  

  2 x  x  A _{n } f ( x )  f (  )  f ' (  ) e  e

  1 n ^{n n n}

  2 f ' ( x ) f ( x ) _n

  2 !

  (14)

  ( 4 ) f f f ( x ) ' '' (  ) (  ) _n

  3

  4

  5  e  e   ( e )

   B (10) n n n

  2 

  3 ! 4 ! Dengan x    e . _{n n} f x

  f '  ( x  x ) / _n

  2 ( ) _n  C

  Karena   dan   maka

  f ( ) f ' ( ) f ' ( x )  f ( x ) _n

  setelah disederhanakan persamaan (14) Selanjutnya apabila nilai x diruas kanan menjadi ditaksir dengan metode Newton, maka dapat

   f

  

  '' ( )

  2

  diusulkan metode iterasi lain dengan bentuk

  f x  f  e  e

  ( ) ' ( ) _{n n n} 

  f  f ( x ) _n

  2 ! ' ( ) 

• 

  x  x  , n  _{x n} , 1 , 2 , (11) 

  1 5 (

  4 ) f ' ( x ) _n

  

  f f  e

  ' '' (  ) (  ) ( )

  3 4 n

   e  e  ^{n n} 

• f ( x ) f ' ( x )  f ( x ) _{n n n }

  f  f   f  1 

  3 ! ' ( ) 4 ! ' ( ) ' ( ) 

  x  x  A _{n } 1 n

  2 f ' ( x ) f ( x ) atau _n

  2

  3

  4 f ( x )  f ' (  ) e  C e  C e  C e _{n  n n n n} f ( x ) _n

  2

  3

  4

  (15)

   B (12)

• 5

  f x x ' (  ) /

2   ( e )

   n n

1  n 

 _j ( )

  2 f ( x ) f _{n (  )}  C dengan C  . Dengan cara yang _j

• f x  f x j f

  ' ( ) ( ) ! ' (  ) _{n n }

  1

  sama diperoleh ekspansi Taylor dari Perhatikan bahwa metode iterasi yang diusulkan ini tidak memerlukan turunan

  f ' ( x ) disekitar x   adalah _{n n}

  kedua dari f. Selanjutnya akan ditunjukkan

  2 f ' ( x )  f ' (  ) _{n  n n} 1 

  2 C e 

  3 C e

  bahwa metode iterasi yang di usulkan ini (16)

  3

  4

  5

  memiliki kekonvergenan orde 4 untuk nilai

  

  4 C e  _{n n n }

  5 C e   ( e )

  4

  5 A, B, dan C tertentu sebagaimana diberikan

  Penyederhanaan hasil bagi persamaan (15) Teorema berikut. dan persamaan (16) dengan menggunakan deret geometri adalah

  Analisa Kekonvergenan f x

  ( ) _n

  2

  2

  3 Teorema 1  e  C e  ( _{n n n}

  2 C 

  2 C ) e

  2

  2

  3 f ' ( x )

   D n (17)

  Misalkan  adalah akar sederhana dari

  3

  4

  5

  fungsi terdiferensialkan

   (

  4 C 

  7 C C 

  3 C ) e   ( e )

  2

  2

  3 4 n n

  secukupnya f D  R  R untuk interval :

  Dengan mensubstitusikan persamaan (17) buka D. Jika x cukup dekat ke  maka kepersamaan (11) dan mengingat metode pada persamaan (11) dan (12)

  x    e akan diperoleh _{n n}

  memiliki kekonvergenan orde empat

  2

  2

  3

• x C e C C e
_{n } (

      

  2 2 )

  1 2 n

  3 2 n

  2

  2

  apabila  B dan C   yang

  A

  1 ,  , (18)

  3

  3

  3

  4

  5

   C  C C  C e   e (

  4

  7 3 ) ( ) _{n n}

  2

  2

  3

  4

  memenuhi per-samaan error sebagai berikut

• 4

  3 x  x _{n n}

  

  1 f

  '' (  )  

5 Kemudian, dihitung dengan

  e  e   ( e ), (13) _{n } 1 n n

  3 2 8 f ' (  )

   

  menggunakan (18), dan setelah

  Bukti:

  penyederhanaan diperoleh Misalkan  adalah akar sederhana

• x  _{n n}

  x

  1

  2

  2

  1

  3 

    dari f ( x ) , maka f (  ) dan

     C e  ( _{n n}

  2 C 

  2 C ) e 

  2

  3

  2

  (19)

  2

  2

  

  f ' (  ) . Ekspansi Taylor dari f ( x ) _n

  3

  4

  5  (

  4 C 

  7 C C 

  3 C ) e   ( e )

  2

  2

  3 4 n  n

  disekitar x   adalah _n Selanjutnya dengan mengikuti langkah menemukan ekspansi Taylor Taylor dari

  f ( x ) f ' ( x ) disekitar x   , diperoleh _{n n n}

  2

  3

  1 e C C e

     _n  

  3

  2 ⁿ

• 4 _{n n }
• 1

  f ' (( x  x ) /

  2 ) (26)

  ekspansi Taylor dari f ' ( x ) disekitar _{n }

  1

  3

  4

  5

  15

  1

• C C C  C ) e   ( e )

   ( 3    setelah memperhatikan persamaan

  2

  2

  3 4 n n x , _{n }

  4

  2

1 Serta dengan dengan menggunakan

  (18) sebagai berikut

  2

  2 3 *

  3

  persamaan (15) dan (22) diperoleh

  f ' ( x )  f ' (  )

  1 

  2 C e  (

  4 C C 

  4 C ) e _{n } 

  1

  2

  2

  2

  3 2 n

  (20) 2 f ( x ) _n

  2

  3

  4

  2

  4

  5

  1

   e   C  C e

   

  

  6 C C 

  8 C 

  11 C C ) e   ( e ) n n

  

  2

  2

  3

  2

  4

  2

  2

  3 * n n f ' ( x ) f ( x ) _{n n }  (27)

  1 Dengan cara yang sama ekspansi Taylor dari

  3

  4

  5 _{* *}

  3

   (

  3 C  C C  C ) e   ( e ) _{n n}

  2

  2

  2

  3

  4

   x x   _{n n }  x x _{1 n n  1} disekitar  ,

  f ' 

    Akhirnya hasil yang diperoleh pada

  2

  2

    persamaan (25), (26) dan (27) apabila adalah disubstitusikan ke persamaan (12) akan

• x x 

   _{n n}

   

  1 diperoleh nilai f

  '

  2

  2

   

  A B C

   1 ,  , dan   ,

  2

  3

  3

   

  2 2 yang memenuhi persamaan error

  3 

   f ' ( ) 1 

  2 C e  ( C  C ) e

   n n

  2

  4

  3

  2

  3 f

  '' (  )  

  4

  5

  3

  3

  7

  1 e  e   ( e ). ■

  (21)  C C 

  2 C  C e n 

  1 n n   n

  3

  2

  2

  3

  2

  2

  4 8 f ' (  )

   

  4

  2

  2

  9

  37

   C C 

  4 C 

  3 C  C C

  

  2

  2

  4

  2

  3

  4

  2

  3

  4

  5

  10 Contoh Komputasi

   C e   ( e )

   n  n

  5

  29 Pada bagian ini, akan dilakukan uji

  Selanjutnya menggunakan persamaan (16) komputasi untuk membandingkan jumlah dan (20) dapat dihitung iterasi pada metode Newton (NM), metode

• f ' ( x )  f ' ( x ) _{n n }

1 Halley (HM), dan metode iterasi berdasarkan

  2

  2

  kombinasi beberapa kuadratur (CCM),

  f C e C C e

   ' (  ) 2  2  ( 3  2 )

   n n

  2

  3

  2

  2

   dengan nilai A 1 , B  , dan

  3

  3

  3

  (22)

  4 C

  4 C C

  4 C e   

    n

  4

  2

  3

  2

  2 C   , seperti ditunjukkan pada Teorema

  4

  2

  4

  3

  

  6 C C 

  8 C 

  11 C C 

  5 C e

     _n

  2

  4

  2

  2

  3

  5

  1. Dalam melakukan perbandingan

  5

    ( e ) _{n komputasi dilakukan dengan menggunakan} dan MATLAB versi 7.6. Berikut ini adalah dua

• 1

  2

  buah persamaan nonlinier [2] yang

  f ' ( x ) f ' ( x )  f ' (  ) _{n n  n} 1 

  2 C e

  

  2

  digunakan dalam membandingkan metode-

  2

  2

  3

  (23)  (

  3 C 

  2 C ) e  

  4 C 

  4 C C  e

  3 2 n

  4

  2 3 n metode yang dimaksud.

  2

  4

5 C C C C C e e

   3  6  5   ( )

    

  2

  3

  2

  4 5 n n _x

  2

  1. f x x xe x dengan ( )  cos( )  

  Kemudian dengan menggunakan persamaan

  1

  (15) dan (22), diperoleh pula

    0.63915409 633201.

• 3

  2 f ( x ) f ' ( x )  _{n  n n  } f ' ( x )

  1

  2. f ( x )  x  4 x  10 dengan

  2

  2

  2

  2

  3

  (24)  f ' (  )  2 e 

  4 C e 

  5 C 

  4 C e _n     1.36523001 341410.

  2 n

  3 2 n

  2

  4

5 Dalam menentukan solusi numerik,

   

  2 C 

  9 C C 

  6 C e   ( e )

    

  2

  2

  3 4 n n

  kriteria pemberhentian jalannya program Selanjutnya dengan menggunakan persamaan komputasi yang digunakan adalah sama (23) dan (24) diperoleh bentuk penyeder- untuk semua metode, yaitu hanaan sebagai berikut. _n

  x  x

• 1 n 

  f x f x f x

  ( ) ' ( )  ' ( ) _{n n n}   

  1

  3 1  toleransi dan f ( x )  eps _n 

  1

   e  C e _{n n}

  2

  2 _n x

• 

  1 f x f x (25)

  2 ' ( ) ( ) _{n n} 

  1 14 

  3

  4

  5

  3

  dengan toleransi sebesar 1 10  dan jumlah

  C C C C e e

   (    )   ( ) _{n n}

  2

  2

  3

  4

  2 iterasi (n) maksimum sebanyak 100 iterasi.

  Demikian juga dengan menggunakan Sedangkan nilai eps yang diberikan oleh persamaan (15) dan (21) juga diperoleh

• 16

  Matlab adalah 2.22 ×10

  . Hasil komputasi dari metode yang dibandingkan disajikan Tabel 1 berikut.

DAFTAR PUSTAKA [1].

  ) ( 1  ⁿ x f _n ^{n n} x

  17 , 677-682.

  G. 2002. A new modification of Newton’s Method. Application of Mathematics in

  Engineering and Economics , Heron Press, Sofia, 278 –286.

  [6].

  Kanwar, V. Sharma, J. R. and Mamta.

  2005. A new family of Secant-like method with superlinear convergence.

  Applied Mathematics and Computation .

  171:104 – 107. [7]. Kelley, C. T. 1995.Iterative Methods for

  Linear and Nonlinear Equations . Frontier

  in Applied Mathematics 16. SIAM, Philadelphia. [8].

  Ozban A.Y. (2004) Some New Variants of Newton Methods . Appl. Math. Lett.

  [9].

  McGraw-Hill Inc. New York. Republished by Dover, New York. [5].

  Spiegel, M.R. 1968. Mathematical

  Handbook of Formulas and Tables.

  Mcgraw-Hill Book Company. New York. [10].

  Traub, J.F. (1964) Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice

  Hall , New York.

  [11].

  Wait, R. (1979) The numerical solution of algebraic equations. John Wiley & Sons, Chichester. [12]. Weerakoon, S. & Fernando, T. G. I.

  2000. A variant of Newton’s Method

  With Accelerated Third-Order Convergence. Applied Mathematics

  Letters . 13: 87 –93.

  Hasanov, V.I., Ivanov, I. G. and Nedjibov,

  [3]. Gerlach, J. 1994. Accelerate Convergence in Newton’s Method. Siam Review. 36(2): 272 –276. [4]. Hamming, R. H. 1973. Numerical Method for Scientists and Engineers .

   x x 1 1.

  2

  NM -0.5 7 1.11022e-016 2.20775e-013 HM -0.5 5 1.11022e-016 2.47262e-009 CCM -0.5 4 1.11022e-016 1.62238e-013 2. NM

  1.0 5 0.00000e+000 1.55797e-011 HM 1.0 3 0.00000e+000 2.70918e-007 CCM 1.0 3 0.00000e+000 1.28769e-010

  KESIMPULAN

  Pada persamaan nonlinier ) cos(

  2

     x xe x ^x dengan tebakan awal

   5 .  x secara

  keseluruhan metode Iterasi berdasarkan kuadratur lebih unggul dibandingkan metode Newton karena jumlah iterasi metode iterasi baru lebih sedikit. Sedangkan pada persamaan nonlinier

  10

  4

  3

  International Journal Computational Mathematics.85 (1). 1-6.

     x

  x dengan tebakan awal . 1  x secara

  keseluruhan metode iterasi berdasarkan kombinasi beberapa kuadratur juga masih unggul dibandingkan metode Newton. Sedangkan metode berdasarkan kuadratur jika dibandingkan dengan metode Halley secara keseluruhan samabaiknya dengan metode berdasarkan kuadratur, hanya saja pada metode Halley diperlukan turunan kedua dari f. Dari Tabel 1 juga terlihat bahwa semua iterasi dari metode yang dibandingkan berhenti disebabkan kondisi

   eps x f _n 

  ) (

  1 terpenuhi.

  Penelitian ini terselenggara dengan biaya yang berasal dari Dana DIPA Universtas Riau melalui Hibah Penelitian Laboratorium dengan kontrak Nomor: 71/UN.19.2/PL/2011 tanggal 1 April 2011.

  Abu-Alshaikh, I. 2005. A New Iterative Method for Solving Nonlinear Equations.

  Enformatika . 5:190 –193.

  [2].

  Tabel 1. Perbandingan Hasil Komputasi Beberapa Metode Iterasi f i Metode x n

  Dehghan M. danHajarian M. (2008) New iterative method for solving nonlinear equations with fourth-order convergence.