KONVERGENSI MODIFIKASI METODE NEWTON GANDA DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA
KONVERGENSI MODIFIKASI METODE NEWTON GANDA
DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA
1) 2) 3) 1),2)Yuslenita Muda , Wartono , Novi Maulana
Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika 3) Program Studi S1, Jurusan Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi Email:
ABSTRAK
Metode Newton Ganda adalah salah satu metode iterasi yang digunakan untuk menentukan akar-akar
persamaan nonlinier dengan konvergensi orde empat. Banyaknya iterasi yang digunakan oleh sebuah metode
iterasi bergantung kepada orde konvergensinya. Semakin tinggi orde konvergensinya, semakin sedikit iterasi
yang dilakukan. Oleh karena itu, pada kajian ini penulis memodifikasi metode Newton Ganda dengan
menggunakan kelengkungan kurva untuk meningkatkan orde konvergensi. Berdasarkan hasil penelitian,
diperoleh bahwa modifikasi metode Newton Ganda dengan menggunakan kelengkungan kurva menghasilkan
sebuah metode iterasi baru dengan konvergensi orde delapan.Katakunci: Kelengkungan Kurva, Metode Newton Ganda, Orde Konvergensi.
ABSTRACT
The Double Newton’s method is an iterative methods for solving nonlinear equations with fourth-order
convergence. The number of iterations used by an iteration method depends on the order of convergence. The
higher order of convergence, the fewer iterations are performed. The main aim of this paper is to modify the
Double Newton’s method by using curvature to increase the order of convergence. Based on this research,
showed that the modification of Double Newton’s method by using curvature produces a new iteretive
method with eighth-order convergence.Keywords: Curvature, Double Newton’s method, Order of convergence.
PENDAHULUAN f ( x ) n x x , n , n 1 n 1 , 2 , 3 ,... (1)
Penentuan akar-akar persamaan
f ' ( x ) n
merupakan salah satu persoalan yang Belakangan ini, beberapa peneliti telah terdapat dalam persamaan nonlinear. Untuk melakukan berbagai macam pendekatan menentukan akar-akar persamaan suatu untuk meningkatkan orde konvergensi suatu persamaan nonlinear yang cukup rumit metode iterasi. Salah satunya adalah Metode digunakan metode iterasi sebagai pendekatan Newton Ganda yang memiliki orde hasil numerik. Salah satu metode iterasi yang konvergensi tingkat empat. Bentuk umum sering digunakan yaitu metode Newton dari metode Newton Ganda (Traub, 1964) dengan orde konvergensi berbentuk adalah kuadratik. Oleh karena konvergensinya
f ( y )
berorde dua, maka metode Newton cukup n
z y n n
cepat menghampiri akar-akar persamaan
f ' ( y ) n
(2) nonlinier. Bentuk umum metode Newton adalah: dengan
) ( ' ) ( n n n n x f x f
x y
Selanjutnya, persamaan (2) dimodifikasi dengan melakukan beberapa pendekatan untuk meningkatkan orde konvergensi sehingga menghasilkan akar- akar untuk menghampiri nilai eksak dengan error yang kecil. Sanjay K. Khattri dan Ravi
P. Agarwal (2010) telah memodifikasi metode Newton Ganda dengan Kuadratur yang menghasilkan orde konvergensi delapan. Selain itu, Sanjay K. Khattri dan Ioannis K. Argyros (2010) juga telah memodifikasi metode Newton Ganda dengan ekspansi Taylor yang menghasilkan orde konvergensi tujuh.
Selain teknik pendekatan kuadratur dan ekspansi Taylor, terdapat sebuah teknik yang juga dapat meningkatkan orde konvergensi suatu metode iterasi yang disebut kelengkungan kurva. Yong-Il Kim dan Changbun Chun (2010) telah memodifikasi metode Jarratt dengan menggunakan Kelengkungan Kurva yang menghasilkan orde konvergensi dua belas.
Oleh karena itu, pada makalah ini penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan memodifikasi metode Newton Ganda dengan menggunakan Kelengkungan Kurva untuk menghasilkan orde konvergensi yang tinggi.
BAHAN DAN METODE
) ( ' ) ( n n n n y f y f y z
) ) ( ' ( 1 )( '
x terhadap sumbu x ,
sehingga diperoleh
) ( " ) ) ( '
1 ( ) ( " ) ( '
1 ) ( ' ) ( " ) ( '
( 1 ) ' 2 3 2 2 2 2 2 1
n n n n n n n n n n z f z f
z f
z f z f z f z f z f z x(6) Apabila manipulasi aljabar dilakukan terhadap persamaan (6) di atas, maka didapat
) ( " ) ( '
1 ) ( ( 2 ) ) ( "
2 2 2 1 2 2 1
z f z f z f
z f
z f y z f z f z f z x
n n n n n n n n n n n z f z f z f z f z x z f z f z f z x
(7) Kemudian, persamaan (7) difaktorisasi terhadap n n
z x 1
sehingga persamaan (7) menjadi
) ( " ) ( '
1 ) ( ( 2 ) ) ( "
) ) ( ' ( 1 )( '
2 2 2 2 1 1 n n n n n n n n n n n z f z f z f z f z f z f z f z x z x
(8)
(5) Persamaan (5) di atas selanjutnya diaproksimasi pada titik , 1 n
n n n n n n n n n
(3) dengan
) ( ' ) ( n n n n x f x f
x y
dan kelengkungan kurva di )) ( , ( n n
x f x
adalah sebagai berikut:
2 3 2 2 2 2 2 ) ( " ) ) ( '
1 ( ) ( " ) ( '
1
) ( ) ( " ) ( '( 1 ) n n n n n n n n n x f x f x f x f x f y x f x f x f x x
(4) Sehingga untuk kelengkungan kurva yang berada pada
) ( ' , n n
z f z dapat dirumuskan kembali
menjadi
) ( " ) ) ( ' 1 (
) ( " ) ( '
1 ) ( '
) ( " ) ( '
( 1 ) ' 2 3 2 2 2 2 2
Pandang persamaan metode Newton Ganda sebagai berikut:
Selanjutnya, dengan melakukan manipulasi aljabar terhadap persamaan (8) didapat
) ( " ) ( ) ) ( ' ) 1 ( ( ' 2 ) ) ( '
( 1 )( ' ) ( ( 2 ) ) ( " ) ( ' 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n n n z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z x
n n n n n n n n n n n n n n n n n z w z f w f z f z f z f z f z f z f z f z w z f w f z f z
)) ( ' ) ( ' ( ) ( ) ) ( ' ) 1 ( ( '
2 ) ) ( ' ( 1 )( ' ) (
( 2 )
)) ( ' ) ( ' ( ) ( ' 2 2 22
(12) Oleh karena
) ( ' ) ( n n n n z f z f
z w , maka persamaan (12) menjadi n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n z z f z f z z f w f z f z f z f z f z f z f z f z z f z f z z f w f z f z x
z w
) ( ) ( '
)] ( ' ) ( ' [ ) ( ) ) ( '
) 1 ( ( '
2 ) ) ( '
( 1 )( ' ) ( ( 2 )
) ( ) ( '
)] ( ' ) ( ' [ ) ( ' 2 2 2 2 1
(13) Selanjutnya, persamaan (13) dapat disederhanakan sehingga diperoleh
) ( ' ) ( ' ( 2 ) '
) ( ' ) ( ' ) ( '
3 ( 2 ) 3 2 1 n n n n n n n n n w f z f z f w f z f z f z f z x
(11) Sedemikian sehingga diperoleh
) ( ' ) ( n n n n z f z f
) ( " ) ) ( '
( 1 )( '
2 ) ( "
) ( '
1 ) (
( 2 ) 2 1 2 2 1 n n n n n n n n n n n
z f z f z f z x z f z f z f z f z x
Variabel 1
n x yang terletak disebelah kanan persamaan (8) di atas disubstitusikan dengan
(10) dengan
) ( " ) ) ( ' ( 1 )( '
2 ) ( ' ) ( ) ( "
) ( '
1 ) ( ( 2 ) 2
2
2 1n
n n n n n n n n n n n n z f z f z f z z f z f z z f z f z f z f z x) ( " ) ( ) ) ( ' ) 1 ( ( ' 2 ) ) ( '
( 1 )( ' ) ( ( 2 ) ) ( " ) ( ' 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z
(9) Pada persamaan (9) dibutuhkan evaluasi turunan kedua. Untuk itu, turunan kedua pada persamaan (9) di atas diaproksimasikan pada n n n n n
z w z f w f z f
) ( ' ) ( '
) ( "
(14)
2 Cara berbeda dapat diturunkan dengan memanipulasi persamaan (7). Variabel
( x z ) n 1 n
diganti dengan iterasi Newton yang menghasilkan 2 2 2 f ( z ) f ' ( z )( n n n n 1 f ' ( z ) ) 2 1 f ' ( z ) 2 x z f ( z )
2 f ( z ) (15) n 1 n n n
f ' ( z ) f " ( z ) f " ( z ) n n n
Kemudian, manipulasi aljabar dapat dilakukan pada persamaan (15) sehingga diperoleh 2 2
f ( z ) f " ( z ) n n n n 2 f ( z ) f ' ( z ) x z n n 1 n 3
(16) Selanjutnya, dengan menggunakan aproksimasi persamaan (10) terhadap persamaan (16) di atas, maka didapatkan
f ' ( w ) f ( z ) 1 n n x z n 1 n
3
(17)
2 f ' ( z ) f ' ( z ) n n f ( z ) f ( y ) f ( x ) n n n dengan w z , z y dan y x . n n n n n n f ' ( z ) f ' ( y ) f ' ( x ) n n n
Persamaan (17) di atas merupakan terbuka. Jika maka
x menghampiri
metode iterasi baru yang diperoleh dari persamaan (17) di atas mempunyai orde modifikasi metode Newton Ganda konvergensi delapan dengan persamaan menggunakan kelengkungan kurva. galat
Aproksimasi nilai suatu fungsi f dengan 7 8 9
4 ( ) e c e O e n 1 2 n n
menggunakan persamaan (17) untuk setiap (18) iterasi dilakukan dengan enam evaluasi ( k )
1 f ( )
fungsi, yaitu tiga evaluasi fungsi f dan tiga dengan e x dan C , k n n k
k ! f ' ( ) f ' , dan terdiri dari empat tahap yaitu
= 1, 2, 3, ... mencari y , z , w dan x . n n n n 1 Bukti: Misalkan adalah akar dari f (x ) ,
HASIL DAN PEMBAHASAN
maka f ( ) . Asumsikan f ' ( x ) dan Pada bagian ini akan dibahas mengenai
analisa konvergensi persamaan (17) di atas x e , dan dengan menggunakan n n untuk mengetahui orde konvergensi dari rumus ekspansi Taylor untuk persamaan (17) itu. Berikut ini teorema yang mengaproksimasi fungsi f di sekitar x , n memberikan persamaan tingkat kesalahan diperoleh dari persamaan (4.21) yang menunjukkan
f ( x ) f ( e ) n n orde konvergensinya.
Teorema 3.1 Diberikan adalah f (x )
fungsi bernilai rill yang mempunyai turunan di f :
I R R , untuk I interval
1 2
1 3 4
(19)
f ( ) f ' ( ) e f " ( ) e f ' '' ( ) e O ( e ) n n n n 2 ! 3 !
Oleh karena f( )=0, maka dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan (19) diperoleh 2 3 4
1 f " ( ) e
n n n
1 f ' '' ( ) e O ( e ) f ( x ) f ' ( ) e n n 2 ! f ' ( ) 3 ! f ' ( ) f ' ( ) 2 3 4
f ' ( ) e C e C e O ( e ) (20)
n 2 n 3 n n Jika untuk ) ( ' n
x f
O e e c e c z f z f
) ( ( 8 ) ' ) ( 9 8 7 2 n n n
(31) Sedemikian sehingga
8 9 8 7 2 n n O e e c
z w ) (
) ( ' ) ( n n n n z f z f
(30) Kemudian substitusikan persamaan (27) dan (30) ke dalam persamaan (11) sehingga didapatkan
2 ) ( ' ) ( 9 8 7 2 4 3 2 n n n n n
(32) dan
8
) (
(29) Sehingga
4 ( 1 ) ' ) ( ' 5 4 4 2 n n O e e c f z f
) (
(28)
) ( ( 2 ) ' ) ( 5 4 3 2 n n O e e c f z f
O e e c f w f
) (
2 5 4 3 2 n n O e e c
Simulasi Numerik
1
) (
n
ii. e x f
1
e x x n n
Pada bagian ini akan diberikan simulasi numerik menggunakan software Matlab versi 7.0.4 dengan digit error e=10 -16 dan kriteria penghentian program komputer: i.
4 9 8 7 2 1 n n n O e e c e
16 ( 1 ) ' ) ( ' 9 8 8 2 n n n O e e c f w f
) (
(34) Sehingga persamaan (17) diperoleh persamaan galatnya sebagai berikut:
O e e c z f w f
1 ) ( ' ) ( ' 5 4 4 2 n n n
4
) (
(33) Selanjutnya, dengan cara yang sama maka diperoleh
maka
) (
dilakukan ekspansi Taylor di sekitar x maka,
) (
2 ' n n n n n n O e e c c e c e x f x f
4 3 3 2 2 2 2
(21) Apabila persamaan (20) dibagi dengan persamaan (21) diperoleh
O e e C e C f
2 ( 1 ) ' 3 2 3 2 n n n
3
) ( ' ) ( n n n n x f x f
f O e f e f f e f f x f n n n n
1 ) ( ' ) ( " ( 1 ) ' ) ( ' 3
2
2
!
) ( ' ) ( ) ( ' ) ( '' '
(22) sehingga,
x y
43
3 2 2 2 2(27)
5 4 3 2 3 3 2 2 2 2
) ( ' ) ( n n n n y f y f y z
(26) Sehingga diperoleh
O e e c e c c e c y f y f
2 ) ( ' ) ( n n n n n n
2
(25) Selanjutnya, dengan cara yang sama maka diperoleh
2 n n n
2 ( 1 ) ' ' n n n n O e e c c c e c f y f
4
4
3
3 2 2 2 2 2 2(24) dan
( 2 ) ' n n n n O e e c c e c f y f
4 3 3 2 2 2 2
(23) dengan demikian, maka
O e e c c e c
yang bertujuan untuk membandingkan jumlah iterasi beberapa metode iteratif dalam menghampiri akar persamaan dari fungsi-fungsi berikut:
NW dinotasikan sebagai metode Newton
f ( x ) 1 2 x cos x x
3
dengan orde kovergensi dua, NG dinotasikan
3 . 5322516915 364759 sebagai metode Newton Ganda dengan orde
1
konvergensi empat, JMC dinotasikan sebagai
f ( x ) x 2
3 x
metode Jarrat yang dimodifikasi
9 . 6335955628 326951 menggunakan kelengkungan kurva dengan x orde konvergensi dua belas oleh Young Il-
f ( x ) e x 3
20 Kim (2010), OM dinotasikan sebagai
2 . 8424389537 844470 modifikasi metode Ostrowski dengan orde
f ( x ) x 4 4 x
10 konvergensi delapan oleh Guofeng Zhang (2009) dan NGC dinotasikan sebagai
1 . 3652300134 140968 x persamaan (17) dengan orde konvergensi
f ( x ) ( x 5 2 ) e
1 delapan. Berikut ini adalah tabel
. 4428544010 023885
perbandingan jumlah iterasi dari metode tersebut. Berdasarkan hasil perhitungan komputasi atau simulasi numerik diperoleh jumlah iterasi dari berbagai metode seperti:
Tabel 1. Perbandingan Jumlah Iterasi Jumlah Iterasi f (x ) x
NW NG JMC OM NGC
- 4.8
6
3
2
3
3 f ( x ) 1
15.5
4
3
2
2
2 f ( x ) 2
( )
0.0
12
6
3
10
4 f x 3
( )
1.6
4
3
2
2
2 f x 4
2.0
8
4
3
3
5 f ( x ) 5 Selanjutnya untuk menegaskan tingkat diaproksimasikan dengan menggunakan
orde konvergensi suatu metode iterasi, perlu rumus dilakukan perbandingan terhadap hampiran
ln ( x ) /( x ) n 1 n
akar-akar dari sebuah fungsi f. Salah satu
ln ( ) /( ) x x n n 1
metode yang digunakan untuk penegasan itu dikenal dengan istilah Computational Order Atau
of Convergence (COC). Berikut ini diberikan ln ( e ) /( e ) n 1 n
definisi tentang COC.
ln ( e ) /( e ) n n 1 Definisi Computational Order of
Perhitungan COC melibatkan hasil
Convergence (Weerakoon, 2000). Diberikan
pemograman pada tabel 1 dan menggunakan
f (x ) adalah akar dari , dan x , x dan n 1 n
software Maple versi 9.5. Berikut ini adalah
berturut-turut alalah iterasi yang dekat
x n 1
COC dari berbagai dengan , maka Computational Order of tabel perbandingan
Convergence (COC) dapat metode tersebut diatas.
- 4.8
JR, Frank Ayres & Elliot Mendelson, 2004,
3.92 KESIMPULAN
Pada makalah ini diberikan sebuah metode iterasi baru yang diperoleh dengan cara memodifikasi metode Newton Ganda dengan menggunakan kelengkungan kurva seperti terdapat pada persamaan (17). Aproksimasi nilai suatu fungsi f dengan menggunakan persamaan (17) untuk setiap iterasi dilakukan dengan enam evaluasi fungsi, yaitu tiga evaluasi fungsi f dan tiga
' f , dan terdiri dari empat tahap yaitu
mencari n
y , n z , n w dan 1
n x . Berdasarkan
hasil simulasi numerik pada Tabel 1 dan Tabel 2, NGC secara umum memiliki iterasi yang lebih sedikit dan nilai COC yang lebih tinggi dibandingkan metode iterasi Newton dan Newton Ganda. Sehingga, metode ini lebih efektif dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dibandingkan metode lainnya yang memiliki orde konvergensi yang lebih rendah.
Chapra, Steven C., Raymond P. Canale, 2006, Numerical Methods for Engineers,
fifth edition , MC Graw Hill, Singapura.
F, Traub J., 1964, Iterative Method for The
Solution of Equations , Prentice Hall, New York.
Kalkulus Edisi Keempat , Erlangga, Jakarta,
9.59
Khattri, Sanjai K. & Ioannis K. Argyros, 2010, How to Develop Fourth and Seventh Order Iterative Methods?, Novi Sad J. Math, Vol. 40, No. 2.
Kim, Yong-Il & Changbun Chun, 2010, New
Twelfth- Order Modifications of Jarratt’s Method for Solving Nonlinear Equations ,
Studies in Nonlinear Sciences 1,(1): 14-18. Kim, Yong-Il, Changbun Chun, Weonbae Kim, 2010, Some Third-Order Curvature
Based Methods for solving Nonlinear Equations , Studies in Nonlinear Sciences
1,(3):72-76. Purcell, Edwin J., Dale Varberg., Steven E. Rigdon, 2004, Kalkulus Edisi Kedelapan. Jilid 2, Erlangga, Jakarta.
Smith, Robert T. & Roland B. Minton, 2002,
Calculus Second Edition , MC Graw Hill,
New York. Weerakon, S. & Fernando, T.G.I., 2000, A
Variant of Newton’s Method With Accelerated Third-Order Convergence.
Applied Mathematics Letters. 13:87-93.
5.56
3.29
Tabel 2. Perbandingan Nilai COC
x f
) (x
f x COC NW NG JMC OM NGC
) ( 1 x f
1.99
3.90 Ttd
3.96
6.03 ) ( 2 x f
15.5
2.00
3.74 Ttd Ttd Ttd
) ( 3
0.0
1.50
2.00
3.97
10.83
2.01
6.09 ) ( 4 x f
1.6
2.02
3.99 Ttd Ttd Ttd
) ( 5
x f
2.0