PROYEK UAS PRAKTIKUM ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2018

  

PROYEK UAS PRAKTIKUM

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

2018

  Ketentuan :

• • Buat kelompok terdiri dari 6-7 orang (terdiri atas laki-laki dan perempuan serta gabungan dari

  kelas praktikum A, B, dan C).

• • Nama-nama anggota kelompok 1-16 dikumpulkan oleh pewakilan angkatan, kemudian kirim ke

  OA Astlab paling lambat Kamis, 6 Desember 2018 pukul 20.00, dalam bentuk tabel kelompok.
• Masing-masing kelompok diharuskan mengerjakan soal sesuai nomor yang telah ditentukan.

  No. Kelompok No Soal

  No. Kelompok No Soal

  No. Kelompok No Soal

  No. Kelompok No Soal

  1 1,17,20 5 5,18,23 9 9,23,32 13 13,26,32 2 2,19,32 6 6,24,28 10 10,20,27 14 14,28,30 3 3,22,25 7 7,25,30 11 11,18,31 15 15,19,28 4 4,30,31 8 8,19,29 12 12,22,24 16 16,18,21 Catatan : Boleh mengerjakan 2 dari 3 soal yang di tentukan. Dan untuk yang mengerjakan 3 dari

  3 soal akan mendapatkan nilai tambah.

• Soal dikerjakan di Maple, Ms. Word dan Ms. PowerPoint.
• PROYEK UAS paling lambat dikumpulkan pada hari Jum’at, 14 Desember 2018 pukul 20.00

  WIB ke web Astlab, dengan lampiran : laporan dalam docx/doc dan file presentasi, serta file

  Maple. Disatukan dalam zip/rar.

  Format upload file : No Kelompok_NPM Ketua_Nama Ketua • Presentasi PROYEK UAS dilaksanakan pada Selasa, 18 Desember 2018.

• 2

  23

  ,

  13

  , …

  1

  ,

  21

  22

  ,

  , … ,

  ,

  2

  , … , ≠ 0, berapakah Rank dari A? Berikan contoh!

  b) Jika salah satu dari elemen segitiga matriks adalah 0, berapakah Rank dari A?

  Apakah jawaban sama dengan pertanyaan (a)? Bagaimana hal tersebut terjadi? Berikan contoh! 3.

  Misal, adalah ruang vektor. Didefinisikan pemetaan ∶ → , dengan ( ( )) = 2 ( ) − (− )

  4 , ( ) ∈

  a) Apakah merupakan pemetaan linear?

  b) Jika merupakan pemetaan linear, tentukan kernel dari ! Jika bukan pemetaan linear, konstruksi pemetaan lain sehingga menjadi pemetaan linear, kemudian tentukan kernel dari

  12

  11

  Soal : 1.

  1

  Suatu himpunan dikatakan konveks jika seluruh segmen garis dari setiap titik di berada di . Dengan kata lain, misal terdapat titik dan di dalam , maka,

  ̅̅̅̅ ada di dalam .

  a) Berikan satu contoh himpunan konveks, kemudian buktikan dan gambarkan (jika memungkinkan)! b)

  Misal adalah paralelogram yang memuat seluruh kombinasi linear

  1

  1

  2

  dengan 0 ≤

  ≤ 1 , 1 ≤

  a) Jika

  2

  ≤ 2 Apakah konveks? Buktikan!

  2. Misal adalah matriks segitiga atas dengan baris dan kolom, dibentuk sebagai = [

  11

  ⋯

  1

  ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

  ]

  !

  2 4.

  . Didefinisikan Misal, ruang vektor yang dibangun oleh

  ( ) = 1, ( ) = , ( ) =

  

1

  2

  3

  pemetaan : → dengan ( ( )) = ′( ).

  a) Ubah pemetaan ke dalam persamaan matriks yang bersesuaian dengan pemetaan , kemudian berikan contoh! b)

  Misal, ( ( )) = ∫ ( ) , konstruksi persamaan matriks yang baru dan beri contoh! Apakah ada hubungan antara pemetaan yang pertama dengan pemetaan yang kedua?

  

2

5.

  Misal, : → pemetaan linear dengan = . Didefinisikan = −

  2018

  a) ke dalam bentuk yang paling sederhana! Ubah

  b) Apakah ( ) = ( ) ? Buktikan!

  3

  3

  6. adalah pemetaan linear dengan Misal, : ℝ → ℝ ( , , ) = ( + , 2 − 2 , 3 + 3 ) a)

  Apakah invertible? Buktikan!

  b) Gambarkan grafik pemetaan untuk −2 ≤ , , ≤ 2 , kemudian proyeksikan setiap grafik ke dalam bidang

  , , dan ! 7. Misal ruang vektor. Didefinisikan : → dengan ( , , , … ) =

  1

  2

  3

  (0, , , , … )

  1

  2

  3

  a) Tentukan ( )

  b) Konstruksi pemetaan linear : → sehingga ∘ ( , , , … ) = , kemudian

  1

  2

  3

  buat contoh salah satu pemetaannya! 8. Didefinisikan || || = √< , > dengan < , > = ∫ ×

  a) pada interval

  Berapakah nilai dari || || dengan ( ) = [0, ]

  2

  b) , dengan ( ) = cos ( ) , ≥ 0 dan ( ) = sin( ),

  Jika < , > = ∫ × ≥ 1 berapakah nilai dari ||

  || dan || || ?

  9. Misal, merupakan pemetaan berupa rotasi dengan arah terbalik dari jarum jam.

  Didefinisikan matriks rotasi terbalik dengan jarum jam sebagai berikut : ( )

  = [cos ( ) − sin sin ( ) cos ( ) ] a)

  Cari matriks yang bersesuaian untuk rotasi searah jarum jam, tentukan hubungannya dengan matriks !

  b) Diketahui transformasi geometri lain, yaitu : translasi, dilatasi, dan refleksi. Tentukan transformasi mana yang berhubungan dengan

  , jelaskan hubungannya dan berikan contohnya! c)

  Apakah pemetaan linear? Jelaskan!

  4 10. adalah ruang vektor.

  Misal, ℝ

  4

  a) Cari basis orthonormal untuk subruang dari ℝ yang dibangun oleh

  (1,1,2,1), (1, −1,1,2), (−1,0,1,2)

  2

  3

  4

  b) dan merupakan subruang dari ? Dapatkah kita mencari basis Apakah ℝ, ℝ ℝ ℝ

  2

  3

  4

  orthonormal dalam atau dengan ruang ? Berikan pendapat! ℝ, ℝ ℝ ℝ

  3 11.

  . Misal, adalah subruang dari fungsi yang dibangun oleh ( ) = dan ( ) =

  Carilah basis orthonormal untuk ! 12.

  Tentukan persamaan garis yang melalui (2, −4,5) dan sejajar bidang 3 + − 2 = 5

• 8 −5 +2

  serta tegak lurus = =

  2

  3

  6 13.

  Misal, ruang vektor yang dibangun oleh ( ) = sin( ) , ( ) = cos( ) , ( ) =

  1

  2

  3

  cos (2 ). Didefinisikan pemetaan : → dengan ( ( )) = ′( )

  a) Konstruksi matriks yang merepresentasikan pemetaan !

  b) Jika mungkin, carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks yang telah dikonstruksi!

  14. Misal, dan adalah matriks. adalah left inverse matrix dari jika = dan adalah right inverse matrix dari jika =

  a) Berikan satu buah matriks yang memiliki left inverse matrix, tetapi tidak memiliki

  right inverse matrix . Berikan juga contoh yang sebaliknya!

  b) Apa yang terjadi jika sebuah matriks memiliki left inverse matrix dan right inverse

  matrix ? Apa yang terjadi jika sebuah matriks tidak memiliki left inverse matrix dan right inverse matrix ? Berikan contohnya!

  c) Apakah sebuah matriks dapat memiliki lebih dari satu right inverse matrix atau left

  inverse matrix ? Berikan contohnya! 15.

  Matriks permutasi adalah matriks persegi yang memiliki satu elemen bernilai 1 untuk tiap baris dan kolomnya dengan elemen lain bernilai nol.

  a) Buat satu contoh matriks permutasi dengan ukuran 10 × 10

  b) Apakah matriks permutasi merupakan matriks identitas? Apakah matriks identitas merupakan matriks permutasi? Jelaskan!

  1 2 3 3 2 1 −9

  4 21 1 0 0

  c) Misal, = [ ] , = [ ] , = [ ] , = [ ] , 4 5 6 11 7 4 14 −10 33 0 0 1

  7 8 9 −2 3 4

  2 41 0 1 0 0 1 0 = [ ] 0 0 1

  1 0 0

  −1

  Carilah nilai dari . Kesimpulan apa yang bisa didapatkan dari pengerjaan ( ) soal tersebut?

  16. Diberikan himpunan = {( ) | − + 2 + = 0}, = {( ) | = 0, − = 0}

  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

  Carilah himpunan dan , di mana dan merupakan himpunan yang orthogonal dengan himpunan yang bersesuaian.

  17. Diketahui matriks-matriks dibawah ini

  2

  1

  9 = [ ] 0 −1 −2

  6

  3

  12 = [ ]

  −7 10

  1 6 −6 −7

  1

  4

  2 = [ ] 0 −5 −8

  2 8 −5 a. Buatlah matriks di bawah ini dengan mengambil baris dan/atau kolom dari matriks diatas

  1

  1

  9 = [ 0 −1 −2 ] 2 −6 −7

  −1 b.

  Carilah det( + ) , det( ), dan det ( ) c. Carilah solusi jika diketahui matriks nya adalah dan vector hasilnya adalah =

  [1 2 3] (gunakan metode AMS atau Stackmatriks) d. Bandingkan hasilnya dengan cara cepat.

  2 22 20 18. Carilah nilai eigen, dan vector eigen dari matriks = [ ]! 18 2

  4

  6

  8 19.

  Perhatikan matriks-matriks berikut, 1 2 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 = [ ] , = [ ] , = [ ] , = [ ] 2 5 7 3 5 6 7 2 0 3 5 6

  2 3 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 Hitunglah determinan dari matriks 5 , 4 , , ( + ) jika penjumlahan dilakukan pada baris kedua! 20.

  Plot fungsi berikut dengan domain (−∞, 3] dan kodomain [−10,20]

  1 ( ) = ln|2 | −

• sin ( 3 ) Carilah nilai numerik dari

  (6,45)! 21. Carilah nilai yang menyebabkan matriks-matriks berikut ini menjadi matriks singular 1 2 4

  1 a. = [ ] dan = [ − 3 3 1 6

  2 − 2] 3 2 b.

  Carilah semua minor dari matriks dan !

  1 22.

  Diketahui titik ⃗ = (2, −1,3), = ( , 0, −1) dan ⃗⃗ = (−2,3,5)

  2 a.

  Tentukan norm 2 ⃗ − + 6 ⃗⃗ ! b.

  Tentukan nilai ⃗ . dan . ⃗⃗ ! c. Tentukan ( ⃗ × ⃗⃗ ) × ! d.

  Gambarkan titik ⃗ , dan ⃗⃗ , lalu hubungkan ketiganya! 23. Diketahui vector-vektor dibawah ini

  ≔ 7 + 5 − 3 , ≔ 5 + 2 + 3 a. Carilah Panjang dari dimana = − ! b.

  Hitunglah hasil dari ∙ dan × ! 24. Ubah matriks berikut ke dalam bentuk esilon tereduksi dengan menggunakan stackmatrix, lalu bandingkan dengan menggunakan cara cepat!

  1

  2

  1

  4

  2

  4

  3

  1 = [ ] 3 −4 −1

  2 −4 −8 −6 −2 25.

  Selesaikan SPL berikut.

  4 + 8 + 11 + 6 = 4761 7 + 9 + 5 + 6 = 5933 3 + + 3 + 4 = 1907 2 + 2 + 2 + 2 = 1380

• 9 + 8 = 3921 Menggunakan cara manual, stackmatrix, AMS, rumus, dan cara cepat!

  −3 1 −1 26. Carilah nilai eigen, dan vector eigen dari matriks = [ −7 5 −1 ]!

  −6 6 −2

  27. Selesaikan SPL berikut.

• 3 + 3 = 0
• 2 + 4 + 3 + = −22 3 + 5 + − 2 + 2 = 2 4 + 3 − 3 − + = −11 2 + 6 + 6 = 55

  Menggunakan cara manual, stackmatrix, AMS, rumus, dan cara cepat! 3 1 1

  28. Carilah nilai eigen, dan vector eigen dari matriks = [ 2 4 2 ]! 1 1 3

  29. Selesaikan SPL berikut −3 + 5 + 3 + = 25 5 + 4 + 7 + 8 = 30

  − + + 2 + 3 = 18 −3 + 4 + 5 − + 9 = 29 3 + + 7 − 3 = 32

  Menggunakan cara manual, stackmatrix, AMS, rumus, dan cara cepat! 30. Ditentukan (4,7,0), (6,10, −6), dan (1,9,0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor ⃗ dan

  . Tentukan : a. Besar sudut antara dan b.

  ( ⃗ × ) ∙ ⃗ dan ∙ ( ⃗ × ) c. Panjang ( ⃗ × ) ∙ ⃗ dan ∙ ( ⃗ × ) d.

  Gambarkan vektor ⃗ dan

  3

  2 31.

  Diketahui vektor ⃗ = ( , 3,4 ) dan = (2, −7 , 9) dengan 0 < < 8. Tentukan : a.

  Nilai maksimum ⃗ ∙ b.

  (5 ⃗ − 3 ) + ( ⃗ ∙ )( ⃗ + ) c. ⃗ ×

  32. Diketahui matriks-matriks dibawah ini = [ 5 −1 3

  0 −1 2

  1

  2

  1 ]

  = [ −3

  1

  2

  3 −1

  ] Tentukan : a.

  3 − 5 + ( ) b.

  Cari seluruh submatriks dari matriks A agar matriks B dapat dikalikan dengan submatriks A, kemudian kalikan!