Latihan Materi Aljabar (1) Selesaikan persamaan
Latihan Materi Aljabar
x2
1. Selesaikan persamaan x2 +
Solusi :
x2
x 2+
=3
( x +1 )2
( x+1 )
2
= 3.
x2 (x + 1)2 + x2 = 3(x + 1)2
x4 + 2x3 + x2 + x2 = 3x2 + 6x + 3
x4 + 2x3 x2 6x 3 = 0
(x2 x 1) (x2 + 3x + 3) = 0
x2 + 3x + 3 = 0 atau x2 x 1 = 0
Untuk x2 + 3x + 3 = 0
Disk = 32 4(1)(3) = 3 < 0
Tidak ada akar real yang memenuhi
Untuk x2 x 1 = 0
1 ± √ 12 −4 ( 1 ) (−1 )
x 1,2=
2
1 1
1 1
x= + √ 5 atau x= − √5
2 2
2 2
Maka nilai x yang memenuhi persamaan
1 1
x= + √ 5
2 2
x2
x+
=3
( x +1 )2
2
adalah
1 1
x= − √5
2 2
atau
2. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x4 4x3 + 5x2 4x +
1=0
Solusi :
x4 4x3 + 5x2 4x + 1 = 0
(x4 4x3 + 6x2 4x + 1) x2 = 0
((x 1)2)2 x2 = 0
Mengingat a2 b2 = (a b)(a + b) maka :
(x2 2x + 1 x)(x2 2x + 1 + x) = 0
(x2 3x + 1)(x2 x + 1) = 0
Karena (1)2 4(1)(1) < 0 maka tidak ada x real yang memenuhi x 2 x + 1 = 0.
3± √ 32−4 ( 1 ) (1 )
x 1,2=
2
Untuk x2 3x + 1 = 0 dipenuhi oleh
x 1,2=
sehingga
3± √ 5
2
Maka nilai x real yang memenuhi adalah
3
3
3. Jika x=√ 4 + √ 2+1 , maka nilai dari
Solusi :
Misalkan
y=√3 2 maka x = y2 + y + 1
3
1
1
1+ = 1+ 2
x
y + y +1
( ) (
3
)
x=
3+ √ 5
2
( 1+ X1 )
atau
3
adalah
x=
3−√ 5
.
2
Mengingat (y 1)(y2 + y + 1) = y3 1 dengan y 1 0 maka
3
1
y−1
1+ = 1+ 3
x
y −1
( ) (
3
)
Karena y3 1 = 2 1 = 1 maka
3
1
3
= y =2
x
1 3
1+ =2 .
x
( )
1+
( )
4. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku
tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk suatu barisan geometri
dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu adalah
Solusi :
Misalkan ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika tersebut adalah a b, a
dan a + b.
a b, a 5 dan a + b merupakan barisan geometri dengan rasio 2.
(a 5)2 = (a b)(a + b)
a2 10a + 25 = a2 b2
10a = b2 + 25 (1)
Karena rasio barisan geometri tersebut sama dengan 2 maka
a 5 = 2(a b)
a = 2b 5 (2)
20b 50 = b2 + 25
(b 5)(b 15) = 0
b = 5 atau b = 15
Jika b = 5 maka a = 5 sehingga barisan tersebut adalah 0, 0, 10 yang tidak
memenuhi.
Jika b = 15 maka a = 25 sehingga barisan tersebut adalah 10, 25, 40 yang
memenuhi.
Jadi, jumlah ketiga barisan tersebut adalah 10 + 25 + 40 = 75
5. Diketahui 0 < a < b < c < d adalah bilangan bulat yang memenuhi a,
b, c membentuk barisan aritmatika sedangkan b, c, d membentuk
barisan geometri. Jika d a = 30 maka tentukan nilai dari a + b + c +
d.
Solusi :
Karena a, b, c membentuk barisan aritmatika maka b = a + k dan c = a + 2k untuk
suatu nilai k.
Karena 0 < a < b < c < d serta a, b, c, d N maka k N.
Karena b, c, d membentuk barisan geometri dan b = a + k serta c = a + 2k maka d =
cr =
( a+2 k )2
.
a+k
d a = 30
( a+2 k )2
a+k
a = 30
(a + 2k)2 a(a + k) = 30(a + k)
4k2 = 30a + 30k 3ak
2k(2k 15) = 3a(10 k)
Karena a dan k positif maka haruslah 2k 15 < 0 dan 10 k < 0 atau 2k 15 > 0 dan
10 k > 0
Jika 2k 15 < 0 dan 10 k < 0 maka k <
terpenuhi.
Jika 2k 15 > 0 dan 10 k > 0 maka
15
2
15
2
dan k > 10 yang tidak mungkin
< k < 10 (1)
Karena 4k2 = 30a + 30k 3ak maka 4k2 = 3(10a + 10k ak)
Karena k bulat maka haruslah k merupakan bilangan kelipatan 3 (2)
Dari (1) dan (2) didapat nilai k yang mungkin hanyalah k = 9 sehingga a = 18.
Jadi, a = 18, b = 27, c = 36 dan d = 48.
Maka a + b + c + d = 129
6. Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(49) =
Solusi :
f(xy) = f(x + y)
Jika x = n dan y = 1 maka f(n) = f(n + 1)
Maka f(49 ) = f(48) = f(47) = f(46) = = f(7)
Karena f(7) = 7 maka
f(49) = 7
7. Misalkan f adalah fungsi untuk semua bilangan bulat x dan y yang
memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x). Nilai dari
f(3) sama dengan
Solusi :
f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x) untuk x dan y bulat.
Jika x = y = 0 maka f(0) = f(0) + f(0) + 1 sehingga f(0) = 1
Jika x = 3 dan y = 3 maka f(0) = f(3) + f(3) 54 + 1
Karena f(3) = f(3) maka
1 = 2f(3) 53
f(3) = 26
8.
Suku banyak f(x) dibagi
sisanya 7. Sedangkan suku
bersisa 3 dan jika dibagi (x
g(x). Jika h(x) dibagi x2 2x
Solusi :
(x + 1) sisanya 2 dan dibagi (x 3)
banyak g(x) jika dibagi (x + 1) akan
3) akan bersisa 2. Diketahui h(x) = f(x)
3, maka sisanya adalah
f(1) = 2 dan f(3) = 7.
g(1) = 3 dan g(3) = 2
h(x) = f(x) g(x)
h(1) = (2)(3) = 6 dan h(3) = (7)(2) = 14.
h(x) = (x + 1)(x 3) k(x) + ax + b
Untuk x = 1 maka h(1) = a + b = 6 (1)
Untuk x = 3 maka h() = 3a + b = 14 (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat a = 5 dan b = 1
Jadi, sisa jika h(x) dibagi x2 2x 3 adalah 5x 1
9.
Tentukan semua nilai m sehingga persamaan x 4 (3m + 2)x2 + m2
= 0 memiliki 4 akar real yang membentuk barisan aritmatika.
Solusi :
Misalkan keempat akar x4 (3m + 2)x2 + m2 = 0 adalah a b, a, a + b dan a + 2b
(a b) + (a) + (a + b) + (a + 2b) = 0
b = 2a maka keempat akar tersebut adalah 3a, a, a dan 3a.
m2 = (3a)(a)(a)(3a) = 9a4
Jadi, m = ± 3a2
(3a)(a) + (3a)(a) + (3a)(3a) + (a)(a) + (a)(3a) + (a)(3a) = (3m + 2)
(3 3 9 1 3 + 3)a2 = 3m 2
10a2 = 3m 2
30a2 = 9m + 6
±10m = 9m + 6
m=
−6
19
atau
m=6
10. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 2 dan rasionya
β
m
adalah r = α = m untuk nilai m > 0 dan , akar-akar x2 (3m +
2)x + (4m + 12) = 0, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut
adalah
Solusi :
x2 (3m + 2) + (4m + 12) = 0 memiliki akar-akar dan maka
+ = 3m + 2
= 4m + 12
m β
=
α m
m2 =
m2 = 4m + 12
(m 6)(m + 2) = 0
Maka m = 6.
Persamaan kuadrat tersebut adalah x 2 20x + 36 = 0 yang memiliki akar-akar 2 dan
18.
Karena syarat barisan tak hingga adalah 1 < r < 1 maka = 18 dan = 2.
Jadi,
r=
6 1
=
18 3
2
Karena a = 2 maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah
1−
1
3
= 3.
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3
11.
Diberikan persamaan
2
2
3 x −3 x +2 +3 x −3 x =10 . Jika x1 dan x2 adalah
x1+ x2
=⋯⋯
penyelesaiannya, maka 3
Solusi :
3 x −3 x+2+ 3x −3 x =10 memiliki penyelesaian x1 dan x2.
Misalkan y = 3 x −3 x maka
2
2
2
9y + y = 10 sehingga y = 1
Maka x2 3x = 0 sehingga nilai x yang memenuhi adalah 0 dan 3.
3
x 1+ x 2
= 33 = 27.
12. Jika x+ x + y = 10 dan x + y y = 12, maka x + y =
Solusi :
x + x + y = 10 dan x + y y = 12
Jika x dan y di kuadran I maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x = 12 sehingga y = 14 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran I)
Jika x dan y di kuadran II maka x = x dan y = y
y = 10 dan x = 12 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran II)
Jika x dan y di kuadran III maka x = x dan y = y
y = 10 dan x 2y = 12 sehingga x = 32 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran III)
Jika x dan y di kuadran IV maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x 2y = 12
*
*
*
*
IV)
Nilai (x, y) yang memenuhi adalah (
32
5
x+y=
14
5
=
32
5
14
−5
,
)
(memenuhi (x, y) di kuadran
18
5
13. Tentukan bilangan bulat terbesar n sehingga terdapat bilangan bulat
unik k yang memenuhi
Solusi :
8
n
7
<
<
15 n+k 13
8
n
15
< n+k
8n + 8k < 15n sehingga k <
n
n+k
7n
8
7
13
<
13n < 7n + 7k sehingga k >
Maka
8
15
6n
7
x2
1. Selesaikan persamaan x2 +
Solusi :
x2
x 2+
=3
( x +1 )2
( x+1 )
2
= 3.
x2 (x + 1)2 + x2 = 3(x + 1)2
x4 + 2x3 + x2 + x2 = 3x2 + 6x + 3
x4 + 2x3 x2 6x 3 = 0
(x2 x 1) (x2 + 3x + 3) = 0
x2 + 3x + 3 = 0 atau x2 x 1 = 0
Untuk x2 + 3x + 3 = 0
Disk = 32 4(1)(3) = 3 < 0
Tidak ada akar real yang memenuhi
Untuk x2 x 1 = 0
1 ± √ 12 −4 ( 1 ) (−1 )
x 1,2=
2
1 1
1 1
x= + √ 5 atau x= − √5
2 2
2 2
Maka nilai x yang memenuhi persamaan
1 1
x= + √ 5
2 2
x2
x+
=3
( x +1 )2
2
adalah
1 1
x= − √5
2 2
atau
2. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x4 4x3 + 5x2 4x +
1=0
Solusi :
x4 4x3 + 5x2 4x + 1 = 0
(x4 4x3 + 6x2 4x + 1) x2 = 0
((x 1)2)2 x2 = 0
Mengingat a2 b2 = (a b)(a + b) maka :
(x2 2x + 1 x)(x2 2x + 1 + x) = 0
(x2 3x + 1)(x2 x + 1) = 0
Karena (1)2 4(1)(1) < 0 maka tidak ada x real yang memenuhi x 2 x + 1 = 0.
3± √ 32−4 ( 1 ) (1 )
x 1,2=
2
Untuk x2 3x + 1 = 0 dipenuhi oleh
x 1,2=
sehingga
3± √ 5
2
Maka nilai x real yang memenuhi adalah
3
3
3. Jika x=√ 4 + √ 2+1 , maka nilai dari
Solusi :
Misalkan
y=√3 2 maka x = y2 + y + 1
3
1
1
1+ = 1+ 2
x
y + y +1
( ) (
3
)
x=
3+ √ 5
2
( 1+ X1 )
atau
3
adalah
x=
3−√ 5
.
2
Mengingat (y 1)(y2 + y + 1) = y3 1 dengan y 1 0 maka
3
1
y−1
1+ = 1+ 3
x
y −1
( ) (
3
)
Karena y3 1 = 2 1 = 1 maka
3
1
3
= y =2
x
1 3
1+ =2 .
x
( )
1+
( )
4. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku
tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk suatu barisan geometri
dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu adalah
Solusi :
Misalkan ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika tersebut adalah a b, a
dan a + b.
a b, a 5 dan a + b merupakan barisan geometri dengan rasio 2.
(a 5)2 = (a b)(a + b)
a2 10a + 25 = a2 b2
10a = b2 + 25 (1)
Karena rasio barisan geometri tersebut sama dengan 2 maka
a 5 = 2(a b)
a = 2b 5 (2)
20b 50 = b2 + 25
(b 5)(b 15) = 0
b = 5 atau b = 15
Jika b = 5 maka a = 5 sehingga barisan tersebut adalah 0, 0, 10 yang tidak
memenuhi.
Jika b = 15 maka a = 25 sehingga barisan tersebut adalah 10, 25, 40 yang
memenuhi.
Jadi, jumlah ketiga barisan tersebut adalah 10 + 25 + 40 = 75
5. Diketahui 0 < a < b < c < d adalah bilangan bulat yang memenuhi a,
b, c membentuk barisan aritmatika sedangkan b, c, d membentuk
barisan geometri. Jika d a = 30 maka tentukan nilai dari a + b + c +
d.
Solusi :
Karena a, b, c membentuk barisan aritmatika maka b = a + k dan c = a + 2k untuk
suatu nilai k.
Karena 0 < a < b < c < d serta a, b, c, d N maka k N.
Karena b, c, d membentuk barisan geometri dan b = a + k serta c = a + 2k maka d =
cr =
( a+2 k )2
.
a+k
d a = 30
( a+2 k )2
a+k
a = 30
(a + 2k)2 a(a + k) = 30(a + k)
4k2 = 30a + 30k 3ak
2k(2k 15) = 3a(10 k)
Karena a dan k positif maka haruslah 2k 15 < 0 dan 10 k < 0 atau 2k 15 > 0 dan
10 k > 0
Jika 2k 15 < 0 dan 10 k < 0 maka k <
terpenuhi.
Jika 2k 15 > 0 dan 10 k > 0 maka
15
2
15
2
dan k > 10 yang tidak mungkin
< k < 10 (1)
Karena 4k2 = 30a + 30k 3ak maka 4k2 = 3(10a + 10k ak)
Karena k bulat maka haruslah k merupakan bilangan kelipatan 3 (2)
Dari (1) dan (2) didapat nilai k yang mungkin hanyalah k = 9 sehingga a = 18.
Jadi, a = 18, b = 27, c = 36 dan d = 48.
Maka a + b + c + d = 129
6. Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(49) =
Solusi :
f(xy) = f(x + y)
Jika x = n dan y = 1 maka f(n) = f(n + 1)
Maka f(49 ) = f(48) = f(47) = f(46) = = f(7)
Karena f(7) = 7 maka
f(49) = 7
7. Misalkan f adalah fungsi untuk semua bilangan bulat x dan y yang
memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x). Nilai dari
f(3) sama dengan
Solusi :
f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x) untuk x dan y bulat.
Jika x = y = 0 maka f(0) = f(0) + f(0) + 1 sehingga f(0) = 1
Jika x = 3 dan y = 3 maka f(0) = f(3) + f(3) 54 + 1
Karena f(3) = f(3) maka
1 = 2f(3) 53
f(3) = 26
8.
Suku banyak f(x) dibagi
sisanya 7. Sedangkan suku
bersisa 3 dan jika dibagi (x
g(x). Jika h(x) dibagi x2 2x
Solusi :
(x + 1) sisanya 2 dan dibagi (x 3)
banyak g(x) jika dibagi (x + 1) akan
3) akan bersisa 2. Diketahui h(x) = f(x)
3, maka sisanya adalah
f(1) = 2 dan f(3) = 7.
g(1) = 3 dan g(3) = 2
h(x) = f(x) g(x)
h(1) = (2)(3) = 6 dan h(3) = (7)(2) = 14.
h(x) = (x + 1)(x 3) k(x) + ax + b
Untuk x = 1 maka h(1) = a + b = 6 (1)
Untuk x = 3 maka h() = 3a + b = 14 (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat a = 5 dan b = 1
Jadi, sisa jika h(x) dibagi x2 2x 3 adalah 5x 1
9.
Tentukan semua nilai m sehingga persamaan x 4 (3m + 2)x2 + m2
= 0 memiliki 4 akar real yang membentuk barisan aritmatika.
Solusi :
Misalkan keempat akar x4 (3m + 2)x2 + m2 = 0 adalah a b, a, a + b dan a + 2b
(a b) + (a) + (a + b) + (a + 2b) = 0
b = 2a maka keempat akar tersebut adalah 3a, a, a dan 3a.
m2 = (3a)(a)(a)(3a) = 9a4
Jadi, m = ± 3a2
(3a)(a) + (3a)(a) + (3a)(3a) + (a)(a) + (a)(3a) + (a)(3a) = (3m + 2)
(3 3 9 1 3 + 3)a2 = 3m 2
10a2 = 3m 2
30a2 = 9m + 6
±10m = 9m + 6
m=
−6
19
atau
m=6
10. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 2 dan rasionya
β
m
adalah r = α = m untuk nilai m > 0 dan , akar-akar x2 (3m +
2)x + (4m + 12) = 0, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut
adalah
Solusi :
x2 (3m + 2) + (4m + 12) = 0 memiliki akar-akar dan maka
+ = 3m + 2
= 4m + 12
m β
=
α m
m2 =
m2 = 4m + 12
(m 6)(m + 2) = 0
Maka m = 6.
Persamaan kuadrat tersebut adalah x 2 20x + 36 = 0 yang memiliki akar-akar 2 dan
18.
Karena syarat barisan tak hingga adalah 1 < r < 1 maka = 18 dan = 2.
Jadi,
r=
6 1
=
18 3
2
Karena a = 2 maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah
1−
1
3
= 3.
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3
11.
Diberikan persamaan
2
2
3 x −3 x +2 +3 x −3 x =10 . Jika x1 dan x2 adalah
x1+ x2
=⋯⋯
penyelesaiannya, maka 3
Solusi :
3 x −3 x+2+ 3x −3 x =10 memiliki penyelesaian x1 dan x2.
Misalkan y = 3 x −3 x maka
2
2
2
9y + y = 10 sehingga y = 1
Maka x2 3x = 0 sehingga nilai x yang memenuhi adalah 0 dan 3.
3
x 1+ x 2
= 33 = 27.
12. Jika x+ x + y = 10 dan x + y y = 12, maka x + y =
Solusi :
x + x + y = 10 dan x + y y = 12
Jika x dan y di kuadran I maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x = 12 sehingga y = 14 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran I)
Jika x dan y di kuadran II maka x = x dan y = y
y = 10 dan x = 12 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran II)
Jika x dan y di kuadran III maka x = x dan y = y
y = 10 dan x 2y = 12 sehingga x = 32 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran III)
Jika x dan y di kuadran IV maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x 2y = 12
*
*
*
*
IV)
Nilai (x, y) yang memenuhi adalah (
32
5
x+y=
14
5
=
32
5
14
−5
,
)
(memenuhi (x, y) di kuadran
18
5
13. Tentukan bilangan bulat terbesar n sehingga terdapat bilangan bulat
unik k yang memenuhi
Solusi :
8
n
7
<
<
15 n+k 13
8
n
15
< n+k
8n + 8k < 15n sehingga k <
n
n+k
7n
8
7
13
<
13n < 7n + 7k sehingga k >
Maka
8
15
6n
7