STUDI DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAF LOBSTER.
STUDI DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAF LOBSTER
Oleh:
Silvia Deasy Saragih
4113230025
Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2015
iii
STUDI DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAF LOBSTER
Silvia Deasy Saragih (4113230025)
ABSTRAK
Misalkan
sebuah graf terhubung sederhana dengan titik dan sisi. Jika
adalah graf bagian terhubung dari G yang saling lepas dengan
maka
dikatakan sebuah dekomposisi
dari G. Dekomposisi (
dari G dikatakan dekomposisi linier (DL) atau
|
|
untuk setiap
dan
dekomposisi Aritmatika jika
. Jelas
. Jika
dan
, maka
Sehingga, Dekomposisi Linier merupakan sebuah Dekomposisi Monoton Kontinu
|
(DMK) berupa barisan segitiga. Jika
dan
maka |
Sehingga, banyak sisi dari (
adalah
|
Dekomposisi
barisan
bilangan ganjil pertama. Akibatnya, |
Bintang Linier graf Lobster akan menghasilkan suatu graf bagian baru yakni graf
bintang dengan beberapa teorema yang berdasarkan diameter graf lobster.
Kata kunci: Dekomposisi Graf, Dekomposisi Monoton Kontinu (DMK),
Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
i
Judul
: Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster
Nama Mahasiswa
: Silvia Deasy Saragih
NIM
: 4113230025
Program Studi
: Matematika
Jurusan
: Matematika
Menyetujui:
Pembimbing Skripsi
Mulyono, S.Si, M.Si
NIP. 19711731 199903 1 010
Mengetahui:
FMIPA UNIMED
Dekan,
Jurusan Matematika
Ketua,
Prof.Drs.Motlan,M.Sc,Ph.D
NIP.195908051986011001
Dr. Edy Surya, M.Si.
NIP.19671019 199203 1 003
Tanggal Ujian: 17 Juni 2015
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah mencurahkan
Kasih dan berkat-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi
ini berjudul “Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster”. Skripsi ini
disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih
kepada berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyelesaian
skripsi ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian sampai kepada penyusunan
skripsi antara lain kepada: Bapak Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor
Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr. Edy Surya, M.Si.,
selaku ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku
Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Ketua
Program Studi Matematika, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Pembimbing
Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini
dan Ibu Faiz Ahyaningsih,S.Si,M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah
banyak
membantu
penulis
dalam
perkuliahan.
Kepada
Ibu
Arnah
Ritonga,S.Si,M.Si, Bapak Drs. Zul Amry,M.Si,Ph.D, dan Bapak Drs. H.
Banjarnahor, M.Pd., selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan
masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih
kepada Kepala UPT Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah
memberikan izin untuk mengadakan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan
Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak
mengikuti perkuliahan.
Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan
hormat kepada Ayahanda terkasih M.Saragih dan Ibunda tercinta E.Pasaribu
untuk semua kasih sayang, doa, motivasi dan jerih payah sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi.
v
Serta kakak ku Kristin Juliana Saragih,S.S dan Evy Fradelina Saragih,
Amkg, dan adikku Jasman Saragih yang memberikan dukungan doa dan motivasi
kepada penulis. Kepada sahabat-sahabat terkasih Kristiani Aritonang, Nurainun,
Melisa Siregar, Hotmian Andre Simamora, Berkat Injil sihotang, dan semua
matematika nondik 2011 yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan
mendukung serta memberi motivasi kepada penulis, terima kasih penulis
sampaikan juga kepada teman seperjuangan Rosari Chrisdayanti hasugian,
Romiana Banjarnahor, Sri Rejeki Tambunan, Roslin Meisa Pasaribu, Simson
Hasudungan Panggabean dan teman-teman lainnya yang memberikan bantuan dan
motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima
kasih juga buat adik-adik se-kost, Mina, Kurnia Paris Nainggolan, Viktor
Simanungkalit, Debora, Happy Marbun, Rema Sembiring, dan lain-lain yang
banyak mendoakan penulis dalam meyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada
semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini
memberikan dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut
membantu penyelesaian skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita
semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Juni 2015
Penulis
Silvia Deasy Saragih
NIM. 4113230025
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Persetujuan
i
Riwayat Hidup
ii
Abstrak
iii
Kata pengantar
iv
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
viii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Batasan Masalah
3
1.4 Tujuan Penelitian
3
1.5 Manfaat Penelitian
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf
5
2.2 Terminologi Graf
6
2.3 Subgraf
7
2.4 Jenis-Jenis Graf
9
2.4.1 Jenis graf berdasarkan ada tidaknya gelang
9
2.4.2 Jenis graf berdasarkan jumlah simpulnya
9
2.4.3 Jenis graf berdasarkan arah pada sisi
10
2.5 Pohon/Tree
10
2.6 Jarak, Eksentrisitas, dan Diameter Graf
10
2.7 Dekomposisi Pohon (tree decomposition)
12
2.8 Dekomposisi Graf
13
2.9 Graf Khusus
16
2.9.1 Graf Carterpillar
16
2.9.2 Graf Lobster
17
2.9.3 Graf Lobster Teratur
18
2.9.4 Graf Bintang
19
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian
20
3.2 Jenis Penelitian
20
3.3 Prosedur Penelitian
20
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Dekomposisi Linier Graf
21
4.2 Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster
22
BAB V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
36
5.2 Saran
37
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.2.1 Graf G
6
Gambar 2.2.2 Graf H
7
Gambar 2.3.1 Graf G dengan H1 Subgrafnya dan H2 bukan
8
Gambar 2.3.2 Penghapusan titik pada sisi graf
9
Gambar 2.6.1 Graf dengan 7 sisi dan 7 titik
11
Gambar 2.7.1 Sisi dan pembagian sisi sesuai aturan
13
Gambar 2.7.1
14
pemisah antara
dan
Gambar 2.8.1 Graf G dengan H Partisi
15
Gambar 2.8.2 Dekomposisi Graf G
16
Gambar 2.8.3 Dekomposisi Monoton Kontinu G1,G2,G3 dari G
16
Gambar 2.9.1 Graf Carterpillar S4,3,2,3
18
Gambar 2.9.2 Graf Lobster L dengan diameter 6
18
Gambar 2.9.3 Graf Lobster
19
Gambar 2.9.4 Graf Bintang S8
20
Gambar 4.1.1 (a) DMK dari G atau DL dengan a=1 dan d=1
22
Gambar 4.1.1 (b) DL dari G dengan a=1 dan d=2
23
Gambar 4.2.1 Dekomposisi Bintang Linier dari G
24
Gambar 4.2.2 Graf G dengan N1 dan N2
24
Gambar 4.2.3 Graf Lobster L dengan diameter
Gambar 4.2.3.1 Graf lobster diameter
(
Gambar 4.2.3.2 Graf lobster diameter
Dengan
dan
dan
dengan
) titik pusat graf bintang
Gambar 4.2.4.1 Graf Lobster dengan diameter
26
dan
dan
Gambar 4.2.4 Graf Lobster dengan diameter
26
27
dan
29
dan
dengan
terletak di lintasan P
Gambar 4.2.5 Graf lobster dengan diameter
dan
30
. 31
Gambar 4.2.5.1 Graf lobster dengan diameter
dan
dengan
Gambar 4.2.5.2 Graf L dengan diameter
dengan dua titik yang berbeda yakni
32
dan
dan
di
33
Gambar 4.2.6 Graf lobster dengan diameter
dan
dan
36
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf adalah cabang ilmu matematika yang pertama sekali diperkenalkan oleh
matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, yaitu saat
penyelesaian masalah jembatan Konigsberg. Teori graf telah mengalami
perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak masalah yang berkaitan dengan
graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf.
Penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah
banyak diterapkan pada berbagai cabang ilmu lainnya yakni biologi, fisika, dan
kimia. Banyaknya permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf
seperti jaringan listrik, siklus suatu mahluk hidup dan berbagai permasalahan
lainnya. (Douglas B.West,2002).
Ada berbagai macam graf yang telah ditemukan salah satunya adalah graf
lobster. Jenis graf yang jarang dibahas adalah graf lobster. Istilah graf lobster
digunakan untuk salah satu particular polyamond atau sekelas graf pohon. Graf
lobster adalah sejenis graf pohon yang jika semua simpul berderajat 1 dihapus
akan menjadi graf caterpillar. Adapun graf caterpillar adalah graf yang diperoleh
dengan menambahkan sejumlah simpul luar berderajat satu pada simpul-simpul
dari graf lintasan.
Misalkan
sebuah graf terhubung dengan
adalah bagian terhubung dari
maka
titik dan
sisi. Jika
yang saling lepas, sisi
dengan
itu
diperoleh
dikatakan dekomposisi dari graf
Dekomposisi di bagi menjadi 3 jenis yaitu Dekomposisi Monoton Kontinu
(DMK), Dekomposisi Linier (DL) dan Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan dekomposisi
monoton kontinu (DMK) jika |
|
, untuk setiap
. Dengan
kata lain bahwa jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
hanya ada 1, jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
ada sebanyak 3, yakni berasal dari banyak sisi di
, sehingga
Dengan
diperoleh banyak sisi dari graf G dapat dinotasikan dengan
m adalah banyaknya sisi graf G.
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan Dekomposisi
Linear (DL) atau Dekomposisi Aritmatika jika |
setiap
dan
,
untuk
. Dengan aturan baris aritmatika bahwa
sebagai suku pertama dan
dinotasikan menjadi
|
sebagai beda maka jumlah titik untuk graf G dapat
[
] Dalam dekomposisi linier suatu graf
merupakan suatu graf bagian dari graf
yang pertama, konstanta
selisih atau beda dari graf bagian yang berurutan. Sedangkan
adalah banyak
sisi dari graf bagian . Sebuah dekomposisi linier
setiap
adalah
dimana
adalah sebuah graf bintang dikatakan Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) (Mulaikah,2014)
Jurnal
tentang
dekomposisi
pertama
sekali
dibahas
oleh
Jacobson,M.s.,Truszcynski,M. and Tuza, Zs., dalam jurnal yang berjudul
“Decompotisions of regular bipartite graphs”(1991) yang membahas tentang
dekomposisi isomorfik graf bipartit bisa menjadi pohon dan hutan dan
membuktikan bahwa sebuah graf beraturan-r didekomposisikan akan menjadikan
pohon dengan banyak sisi r. Setelah itu penelitian tentang dekomposisi pun terus
dilanjutkan untuk membuktikan berbagai hal yang menyangkut tentang graf.
Pada tahun 2014 jurnal tentang dekomposisi pada berbagai jenis graf
dikembangkan oleh Nur Rahmawati dengan judul “Dekomposisi Graf Sikel, Graf
Roda, Graf Gir, dan Graf Persahabatan” yang membahas tentang dekomposisi
pada berbagai jenis graf khusus, yang bisa menjadi berbagai jenis graf yakni
dekomposisi graf roda
merupakan
,
merupakan
-dekomposisi, graf gir
-dekomposisi dan graf persahabatan
merupakan
dekomposisi.
Sehingga setiap graf didekomposisikan akan menghasilkan graf baru dan
tidak semua graf dapat didekomposisi bintang linierkan oleh karena itu penulis
tertarik ingin mendekomposisikan graf lobster secara umum yang bertujuan untuk
mendapatkan dan mengetahui jenis graf lobster seperti apa yang dapat di
dekomposisi bintang linierkan.
Oleh karena perbedaan jenis graf yang dihasilkan maka penulis akan
menunjukkan jenis graf yang akan dihasilkan jika graf lobster didekomposisikan.
Sehingga penulis akan membahas Dekomposisi Bintang Linier (BDL) pada graf
lobster yang dalam tulisan ini berjudul Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf
Lobster.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini
adalah:
1. Bagaimana menentukan Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster
secara umum?
2. Graf Lobster seperti apakah yang dapat di dekomposisi bintang linierkan?
1.3 Batasan Masalah
Dalam tulisan ini ada beberapa batasan-batasan yang akan diteliti yakni:
1. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL).
2. Tulisan ini hanya membahas tentang graf lobster yang dibagi
berdasarkan diameternya.
3. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) pada graf lobster.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian dalam penulisan ini
adalah:
1. Untuk mendapatkan diameter graf Lobster yang dapat di Dekomposisi
Bintang Linierkan.
2. Untuk mendapatkan graf lobster seperti apa yang memenuhi Dekomposisi
Bintang Linier.
1.5 Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
a. Bagi penulis sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan
penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini. Khususnya
tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster.
b. Bagi pembaca sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah
yang berhubungan dengan materi ini.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf adalah cabang ilmu matematika yang pertama sekali diperkenalkan oleh
matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, yaitu saat
penyelesaian masalah jembatan Konigsberg. Teori graf telah mengalami
perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak masalah yang berkaitan dengan
graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf.
Penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah
banyak diterapkan pada berbagai cabang ilmu lainnya yakni biologi, fisika, dan
kimia. Banyaknya permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf
seperti jaringan listrik, siklus suatu mahluk hidup dan berbagai permasalahan
lainnya. (Douglas B.West,2002).
Ada berbagai macam graf yang telah ditemukan salah satunya adalah graf
lobster. Jenis graf yang jarang dibahas adalah graf lobster. Istilah graf lobster
digunakan untuk salah satu particular polyamond atau sekelas graf pohon. Graf
lobster adalah sejenis graf pohon yang jika semua simpul berderajat 1 dihapus
akan menjadi graf caterpillar. Adapun graf caterpillar adalah graf yang diperoleh
dengan menambahkan sejumlah simpul luar berderajat satu pada simpul-simpul
dari graf lintasan.
Misalkan
sebuah graf terhubung dengan
adalah bagian terhubung dari
maka
titik dan
sisi. Jika
yang saling lepas, sisi
dengan
itu
diperoleh
dikatakan dekomposisi dari graf
Dekomposisi di bagi menjadi 3 jenis yaitu Dekomposisi Monoton Kontinu
(DMK), Dekomposisi Linier (DL) dan Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan dekomposisi
monoton kontinu (DMK) jika |
|
, untuk setiap
. Dengan
kata lain bahwa jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
hanya ada 1, jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
ada sebanyak 3, yakni berasal dari banyak sisi di
, sehingga
Dengan
diperoleh banyak sisi dari graf G dapat dinotasikan dengan
m adalah banyaknya sisi graf G.
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan Dekomposisi
Linear (DL) atau Dekomposisi Aritmatika jika |
setiap
dan
,
untuk
. Dengan aturan baris aritmatika bahwa
sebagai suku pertama dan
dinotasikan menjadi
|
sebagai beda maka jumlah titik untuk graf G dapat
[
] Dalam dekomposisi linier suatu graf
merupakan suatu graf bagian dari graf
yang pertama, konstanta
selisih atau beda dari graf bagian yang berurutan. Sedangkan
adalah banyak
sisi dari graf bagian . Sebuah dekomposisi linier
setiap
adalah
dimana
adalah sebuah graf bintang dikatakan Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) (Mulaikah,2014)
Jurnal
tentang
dekomposisi
pertama
sekali
dibahas
oleh
Jacobson,M.s.,Truszcynski,M. and Tuza, Zs., dalam jurnal yang berjudul
“Decompotisions of regular bipartite graphs”(1991) yang membahas tentang
dekomposisi isomorfik graf bipartit bisa menjadi pohon dan hutan dan
membuktikan bahwa sebuah graf beraturan-r didekomposisikan akan menjadikan
pohon dengan banyak sisi r. Setelah itu penelitian tentang dekomposisi pun terus
dilanjutkan untuk membuktikan berbagai hal yang menyangkut tentang graf.
Pada tahun 2014 jurnal tentang dekomposisi pada berbagai jenis graf
dikembangkan oleh Nur Rahmawati dengan judul “Dekomposisi Graf Sikel, Graf
Roda, Graf Gir, dan Graf Persahabatan” yang membahas tentang dekomposisi
pada berbagai jenis graf khusus, yang bisa menjadi berbagai jenis graf yakni
dekomposisi graf roda
merupakan
,
merupakan
-dekomposisi, graf gir
-dekomposisi dan graf persahabatan
merupakan
dekomposisi.
Sehingga setiap graf didekomposisikan akan menghasilkan graf baru dan
tidak semua graf dapat didekomposisi bintang linierkan oleh karena itu penulis
tertarik ingin mendekomposisikan graf lobster secara umum yang bertujuan untuk
mendapatkan dan mengetahui jenis graf lobster seperti apa yang dapat di
dekomposisi bintang linierkan.
Oleh karena perbedaan jenis graf yang dihasilkan maka penulis akan
menunjukkan jenis graf yang akan dihasilkan jika graf lobster didekomposisikan.
Sehingga penulis akan membahas Dekomposisi Bintang Linier (BDL) pada graf
lobster yang dalam tulisan ini berjudul Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf
Lobster.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini
adalah:
1. Bagaimana menentukan Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster
secara umum?
2. Graf Lobster seperti apakah yang dapat di dekomposisi bintang linierkan?
1.3 Batasan Masalah
Dalam tulisan ini ada beberapa batasan-batasan yang akan diteliti yakni:
1. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL).
2. Tulisan ini hanya membahas tentang graf lobster yang dibagi
berdasarkan diameternya.
3. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) pada graf lobster.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian dalam penulisan ini
adalah:
1. Untuk mendapatkan diameter graf Lobster yang dapat di Dekomposisi
Bintang Linierkan.
2. Untuk mendapatkan graf lobster seperti apa yang memenuhi Dekomposisi
Bintang Linier.
1.5 Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
a. Bagi penulis sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan
penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini. Khususnya
tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster.
b. Bagi pembaca sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah
yang berhubungan dengan materi ini.
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab IV tersebut dapat ditarik kesimpulan
seperti dibawah ini:
1. Jika graf lobster L dapat didekomposisi bintang linier (DBL)
2.
(
) maka diameter L
Misalkan L graf lobster dengan diameter
adalah
dan banyak sisi
. Dapat di DBL jika hanya jika : L adalah graf carterpillar dan
terdapat sebanyak (
yang titik-titik support persimpangan langsung
yang tidak berhubungan langsung yang berderajat 3, 5, 7, …,
graf L, serta ada paling banya satu sisi persekitaran
di
titik-simpang
(junction-neighbor) di graf L.
3. Graf Lobster dengan diameter
Dapat di DBL (
carterpillar dan terdapat sebanyak
dan banyak sisi adalah
) jika hanya jika:
.
adalah graf
titik-titik simpang yang tidak
berhubungan langsung yang berderajat
dalam graf L.
serta tidak ada sisi persekitaran titik-simpang di graf lobster L.
4. Graf lobster L dengan diameter
memiliki sebanyak
banyak sisi adalah
,
support yang berbeda dengan tidak ada sisi
persekitaran titik simpang (junction-neighbor) dilintasan terpanjang P dari
graf L dan P
Graf L dapat di DBL jika hanya jika: tidak ada
titik dari tepat satu graf bintang
adalah titik yang berhubungan
terpanjang P dan semua titik
langsung dengan tepat satu titik
di lintasan
.
5.2 Saran
Dalam skripsi ini hanya difokuskan terhadap dekomposisi bintang linier suatu
graf lobster dengan berdasarkan diameter dari graf lobster tersebut. Jika pembaca
tertarik, skripsi ini dapat diperluas bahasannya dengan membahas tentang
pendekomposisian bintang linier graf lobster dengan syarat yang berbeda
sehingga dapat mengembangkan ilmu tentang graf.
38
DAFTAR PUSTAKA
Baca,Martin & Mirka Miller. 2008. Super Edge-Antimagic Graph. USA. Brown
Walker Press.
Diestel, Reinhard. 2005. Graph Theory,ed electronic. New York. Springer.
E.Ebin Raja Merly and N.Gnanadhas, (2011). Linier star Decomposition of
lobster, International Journal of Mathematics Research. Volume 7.
Number 6. (251-261).
Harary,Frank. 1969. Graph Theory. California. Addison-wesley publishing
company.
Harris,Jhon M., Jeffry L.,dkk. 2000. Combinatorics and Graph Theory. USA.
Springer.
Lipschutz,Seymour & Marc Lars Lipson, 1992. 2000 solved problems in Discrete
Mathematics.USA. McGraw-Hill.
Mulaikah dan Prof.I.Ketut Budayasa,Ph.D, Dekomposisi bintang linier graf
lobster, MATHunesa, Vol.3, No.3, (2014).
Munir,Rinaldi, 2001.Matematika Diskrit.ed.2.Bandung. Informatika Bandung.
Munir,Rinaldi. 2003. Matematika Diskrit ed.3. Bandung. Informatika Bandung.
N.Gnanadhas and J.Paulraj Joseph, Continous Monotonic Decomposition of
Graph, International Journal of Management system, Volume 16, No.3,
(2000).
Rachmawati,Syarifani. 2012. Pelabelan Total Busur Ajaib b-Busur Berurutan
pada Graf Lobster
dan
. Depok. Universitas
Indonesia.
Rahmawati, Nur dan Budi Rahajeng,S.Si,M.Si. ”Dekomposisi Graf Sikel, Graf
Roda, Graf GIR dan Graf Persahabatan”, MathUnesa,Vol.3, No.3,
(2014)
Siang, Jong jek, (2006), Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu
Komputer. Andi Yogyakarta. Yogyakarta.
West,B Douglas. 2002. Introduction to Graph Theory. New Delphi.Prentice-Hal
of India.
Wirnadian, Pahrin. 2010. ”Pelabelan Harmonis pada Kombinasi Gabungan Graf
Caterpillar dan Graf
Firecracker Teratur”. Depok.Universitas
Indonesia.
Oleh:
Silvia Deasy Saragih
4113230025
Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2015
iii
STUDI DEKOMPOSISI BINTANG LINIER GRAF LOBSTER
Silvia Deasy Saragih (4113230025)
ABSTRAK
Misalkan
sebuah graf terhubung sederhana dengan titik dan sisi. Jika
adalah graf bagian terhubung dari G yang saling lepas dengan
maka
dikatakan sebuah dekomposisi
dari G. Dekomposisi (
dari G dikatakan dekomposisi linier (DL) atau
|
|
untuk setiap
dan
dekomposisi Aritmatika jika
. Jelas
. Jika
dan
, maka
Sehingga, Dekomposisi Linier merupakan sebuah Dekomposisi Monoton Kontinu
|
(DMK) berupa barisan segitiga. Jika
dan
maka |
Sehingga, banyak sisi dari (
adalah
|
Dekomposisi
barisan
bilangan ganjil pertama. Akibatnya, |
Bintang Linier graf Lobster akan menghasilkan suatu graf bagian baru yakni graf
bintang dengan beberapa teorema yang berdasarkan diameter graf lobster.
Kata kunci: Dekomposisi Graf, Dekomposisi Monoton Kontinu (DMK),
Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
i
Judul
: Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster
Nama Mahasiswa
: Silvia Deasy Saragih
NIM
: 4113230025
Program Studi
: Matematika
Jurusan
: Matematika
Menyetujui:
Pembimbing Skripsi
Mulyono, S.Si, M.Si
NIP. 19711731 199903 1 010
Mengetahui:
FMIPA UNIMED
Dekan,
Jurusan Matematika
Ketua,
Prof.Drs.Motlan,M.Sc,Ph.D
NIP.195908051986011001
Dr. Edy Surya, M.Si.
NIP.19671019 199203 1 003
Tanggal Ujian: 17 Juni 2015
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah mencurahkan
Kasih dan berkat-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi
ini berjudul “Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster”. Skripsi ini
disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih
kepada berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyelesaian
skripsi ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian sampai kepada penyusunan
skripsi antara lain kepada: Bapak Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor
Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr. Edy Surya, M.Si.,
selaku ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku
Sekretaris Jurusan Matematika, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Ketua
Program Studi Matematika, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Pembimbing
Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini
dan Ibu Faiz Ahyaningsih,S.Si,M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah
banyak
membantu
penulis
dalam
perkuliahan.
Kepada
Ibu
Arnah
Ritonga,S.Si,M.Si, Bapak Drs. Zul Amry,M.Si,Ph.D, dan Bapak Drs. H.
Banjarnahor, M.Pd., selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan
masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih
kepada Kepala UPT Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah
memberikan izin untuk mengadakan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan
Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak
mengikuti perkuliahan.
Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan
hormat kepada Ayahanda terkasih M.Saragih dan Ibunda tercinta E.Pasaribu
untuk semua kasih sayang, doa, motivasi dan jerih payah sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi.
v
Serta kakak ku Kristin Juliana Saragih,S.S dan Evy Fradelina Saragih,
Amkg, dan adikku Jasman Saragih yang memberikan dukungan doa dan motivasi
kepada penulis. Kepada sahabat-sahabat terkasih Kristiani Aritonang, Nurainun,
Melisa Siregar, Hotmian Andre Simamora, Berkat Injil sihotang, dan semua
matematika nondik 2011 yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan
mendukung serta memberi motivasi kepada penulis, terima kasih penulis
sampaikan juga kepada teman seperjuangan Rosari Chrisdayanti hasugian,
Romiana Banjarnahor, Sri Rejeki Tambunan, Roslin Meisa Pasaribu, Simson
Hasudungan Panggabean dan teman-teman lainnya yang memberikan bantuan dan
motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima
kasih juga buat adik-adik se-kost, Mina, Kurnia Paris Nainggolan, Viktor
Simanungkalit, Debora, Happy Marbun, Rema Sembiring, dan lain-lain yang
banyak mendoakan penulis dalam meyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada
semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini
memberikan dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut
membantu penyelesaian skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita
semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Juni 2015
Penulis
Silvia Deasy Saragih
NIM. 4113230025
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Persetujuan
i
Riwayat Hidup
ii
Abstrak
iii
Kata pengantar
iv
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
viii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Batasan Masalah
3
1.4 Tujuan Penelitian
3
1.5 Manfaat Penelitian
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Graf
5
2.2 Terminologi Graf
6
2.3 Subgraf
7
2.4 Jenis-Jenis Graf
9
2.4.1 Jenis graf berdasarkan ada tidaknya gelang
9
2.4.2 Jenis graf berdasarkan jumlah simpulnya
9
2.4.3 Jenis graf berdasarkan arah pada sisi
10
2.5 Pohon/Tree
10
2.6 Jarak, Eksentrisitas, dan Diameter Graf
10
2.7 Dekomposisi Pohon (tree decomposition)
12
2.8 Dekomposisi Graf
13
2.9 Graf Khusus
16
2.9.1 Graf Carterpillar
16
2.9.2 Graf Lobster
17
2.9.3 Graf Lobster Teratur
18
2.9.4 Graf Bintang
19
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian
20
3.2 Jenis Penelitian
20
3.3 Prosedur Penelitian
20
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Dekomposisi Linier Graf
21
4.2 Dekomposisi Bintang Linier Graf Lobster
22
BAB V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
36
5.2 Saran
37
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.2.1 Graf G
6
Gambar 2.2.2 Graf H
7
Gambar 2.3.1 Graf G dengan H1 Subgrafnya dan H2 bukan
8
Gambar 2.3.2 Penghapusan titik pada sisi graf
9
Gambar 2.6.1 Graf dengan 7 sisi dan 7 titik
11
Gambar 2.7.1 Sisi dan pembagian sisi sesuai aturan
13
Gambar 2.7.1
14
pemisah antara
dan
Gambar 2.8.1 Graf G dengan H Partisi
15
Gambar 2.8.2 Dekomposisi Graf G
16
Gambar 2.8.3 Dekomposisi Monoton Kontinu G1,G2,G3 dari G
16
Gambar 2.9.1 Graf Carterpillar S4,3,2,3
18
Gambar 2.9.2 Graf Lobster L dengan diameter 6
18
Gambar 2.9.3 Graf Lobster
19
Gambar 2.9.4 Graf Bintang S8
20
Gambar 4.1.1 (a) DMK dari G atau DL dengan a=1 dan d=1
22
Gambar 4.1.1 (b) DL dari G dengan a=1 dan d=2
23
Gambar 4.2.1 Dekomposisi Bintang Linier dari G
24
Gambar 4.2.2 Graf G dengan N1 dan N2
24
Gambar 4.2.3 Graf Lobster L dengan diameter
Gambar 4.2.3.1 Graf lobster diameter
(
Gambar 4.2.3.2 Graf lobster diameter
Dengan
dan
dan
dengan
) titik pusat graf bintang
Gambar 4.2.4.1 Graf Lobster dengan diameter
26
dan
dan
Gambar 4.2.4 Graf Lobster dengan diameter
26
27
dan
29
dan
dengan
terletak di lintasan P
Gambar 4.2.5 Graf lobster dengan diameter
dan
30
. 31
Gambar 4.2.5.1 Graf lobster dengan diameter
dan
dengan
Gambar 4.2.5.2 Graf L dengan diameter
dengan dua titik yang berbeda yakni
32
dan
dan
di
33
Gambar 4.2.6 Graf lobster dengan diameter
dan
dan
36
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf adalah cabang ilmu matematika yang pertama sekali diperkenalkan oleh
matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, yaitu saat
penyelesaian masalah jembatan Konigsberg. Teori graf telah mengalami
perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak masalah yang berkaitan dengan
graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf.
Penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah
banyak diterapkan pada berbagai cabang ilmu lainnya yakni biologi, fisika, dan
kimia. Banyaknya permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf
seperti jaringan listrik, siklus suatu mahluk hidup dan berbagai permasalahan
lainnya. (Douglas B.West,2002).
Ada berbagai macam graf yang telah ditemukan salah satunya adalah graf
lobster. Jenis graf yang jarang dibahas adalah graf lobster. Istilah graf lobster
digunakan untuk salah satu particular polyamond atau sekelas graf pohon. Graf
lobster adalah sejenis graf pohon yang jika semua simpul berderajat 1 dihapus
akan menjadi graf caterpillar. Adapun graf caterpillar adalah graf yang diperoleh
dengan menambahkan sejumlah simpul luar berderajat satu pada simpul-simpul
dari graf lintasan.
Misalkan
sebuah graf terhubung dengan
adalah bagian terhubung dari
maka
titik dan
sisi. Jika
yang saling lepas, sisi
dengan
itu
diperoleh
dikatakan dekomposisi dari graf
Dekomposisi di bagi menjadi 3 jenis yaitu Dekomposisi Monoton Kontinu
(DMK), Dekomposisi Linier (DL) dan Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan dekomposisi
monoton kontinu (DMK) jika |
|
, untuk setiap
. Dengan
kata lain bahwa jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
hanya ada 1, jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
ada sebanyak 3, yakni berasal dari banyak sisi di
, sehingga
Dengan
diperoleh banyak sisi dari graf G dapat dinotasikan dengan
m adalah banyaknya sisi graf G.
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan Dekomposisi
Linear (DL) atau Dekomposisi Aritmatika jika |
setiap
dan
,
untuk
. Dengan aturan baris aritmatika bahwa
sebagai suku pertama dan
dinotasikan menjadi
|
sebagai beda maka jumlah titik untuk graf G dapat
[
] Dalam dekomposisi linier suatu graf
merupakan suatu graf bagian dari graf
yang pertama, konstanta
selisih atau beda dari graf bagian yang berurutan. Sedangkan
adalah banyak
sisi dari graf bagian . Sebuah dekomposisi linier
setiap
adalah
dimana
adalah sebuah graf bintang dikatakan Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) (Mulaikah,2014)
Jurnal
tentang
dekomposisi
pertama
sekali
dibahas
oleh
Jacobson,M.s.,Truszcynski,M. and Tuza, Zs., dalam jurnal yang berjudul
“Decompotisions of regular bipartite graphs”(1991) yang membahas tentang
dekomposisi isomorfik graf bipartit bisa menjadi pohon dan hutan dan
membuktikan bahwa sebuah graf beraturan-r didekomposisikan akan menjadikan
pohon dengan banyak sisi r. Setelah itu penelitian tentang dekomposisi pun terus
dilanjutkan untuk membuktikan berbagai hal yang menyangkut tentang graf.
Pada tahun 2014 jurnal tentang dekomposisi pada berbagai jenis graf
dikembangkan oleh Nur Rahmawati dengan judul “Dekomposisi Graf Sikel, Graf
Roda, Graf Gir, dan Graf Persahabatan” yang membahas tentang dekomposisi
pada berbagai jenis graf khusus, yang bisa menjadi berbagai jenis graf yakni
dekomposisi graf roda
merupakan
,
merupakan
-dekomposisi, graf gir
-dekomposisi dan graf persahabatan
merupakan
dekomposisi.
Sehingga setiap graf didekomposisikan akan menghasilkan graf baru dan
tidak semua graf dapat didekomposisi bintang linierkan oleh karena itu penulis
tertarik ingin mendekomposisikan graf lobster secara umum yang bertujuan untuk
mendapatkan dan mengetahui jenis graf lobster seperti apa yang dapat di
dekomposisi bintang linierkan.
Oleh karena perbedaan jenis graf yang dihasilkan maka penulis akan
menunjukkan jenis graf yang akan dihasilkan jika graf lobster didekomposisikan.
Sehingga penulis akan membahas Dekomposisi Bintang Linier (BDL) pada graf
lobster yang dalam tulisan ini berjudul Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf
Lobster.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini
adalah:
1. Bagaimana menentukan Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster
secara umum?
2. Graf Lobster seperti apakah yang dapat di dekomposisi bintang linierkan?
1.3 Batasan Masalah
Dalam tulisan ini ada beberapa batasan-batasan yang akan diteliti yakni:
1. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL).
2. Tulisan ini hanya membahas tentang graf lobster yang dibagi
berdasarkan diameternya.
3. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) pada graf lobster.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian dalam penulisan ini
adalah:
1. Untuk mendapatkan diameter graf Lobster yang dapat di Dekomposisi
Bintang Linierkan.
2. Untuk mendapatkan graf lobster seperti apa yang memenuhi Dekomposisi
Bintang Linier.
1.5 Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
a. Bagi penulis sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan
penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini. Khususnya
tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster.
b. Bagi pembaca sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah
yang berhubungan dengan materi ini.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf adalah cabang ilmu matematika yang pertama sekali diperkenalkan oleh
matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736, yaitu saat
penyelesaian masalah jembatan Konigsberg. Teori graf telah mengalami
perkembangan yang begitu bagus. Saat ini banyak masalah yang berkaitan dengan
graf yang telah dikaji. Salah satunya adalah dekomposisi graf.
Penerapan dekomposisi graf bukan hanya dalam matematika tetapi telah
banyak diterapkan pada berbagai cabang ilmu lainnya yakni biologi, fisika, dan
kimia. Banyaknya permasalahan yang menggunakan penerapan dekomposisi graf
seperti jaringan listrik, siklus suatu mahluk hidup dan berbagai permasalahan
lainnya. (Douglas B.West,2002).
Ada berbagai macam graf yang telah ditemukan salah satunya adalah graf
lobster. Jenis graf yang jarang dibahas adalah graf lobster. Istilah graf lobster
digunakan untuk salah satu particular polyamond atau sekelas graf pohon. Graf
lobster adalah sejenis graf pohon yang jika semua simpul berderajat 1 dihapus
akan menjadi graf caterpillar. Adapun graf caterpillar adalah graf yang diperoleh
dengan menambahkan sejumlah simpul luar berderajat satu pada simpul-simpul
dari graf lintasan.
Misalkan
sebuah graf terhubung dengan
adalah bagian terhubung dari
maka
titik dan
sisi. Jika
yang saling lepas, sisi
dengan
itu
diperoleh
dikatakan dekomposisi dari graf
Dekomposisi di bagi menjadi 3 jenis yaitu Dekomposisi Monoton Kontinu
(DMK), Dekomposisi Linier (DL) dan Dekomposisi Bintang Linier (DBL).
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan dekomposisi
monoton kontinu (DMK) jika |
|
, untuk setiap
. Dengan
kata lain bahwa jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
hanya ada 1, jika graf G memiliki dekomposisi
maka banyak sisi graf G
ada sebanyak 3, yakni berasal dari banyak sisi di
, sehingga
Dengan
diperoleh banyak sisi dari graf G dapat dinotasikan dengan
m adalah banyaknya sisi graf G.
Sebuah dekomposisi
dari G dikatakan Dekomposisi
Linear (DL) atau Dekomposisi Aritmatika jika |
setiap
dan
,
untuk
. Dengan aturan baris aritmatika bahwa
sebagai suku pertama dan
dinotasikan menjadi
|
sebagai beda maka jumlah titik untuk graf G dapat
[
] Dalam dekomposisi linier suatu graf
merupakan suatu graf bagian dari graf
yang pertama, konstanta
selisih atau beda dari graf bagian yang berurutan. Sedangkan
adalah banyak
sisi dari graf bagian . Sebuah dekomposisi linier
setiap
adalah
dimana
adalah sebuah graf bintang dikatakan Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) (Mulaikah,2014)
Jurnal
tentang
dekomposisi
pertama
sekali
dibahas
oleh
Jacobson,M.s.,Truszcynski,M. and Tuza, Zs., dalam jurnal yang berjudul
“Decompotisions of regular bipartite graphs”(1991) yang membahas tentang
dekomposisi isomorfik graf bipartit bisa menjadi pohon dan hutan dan
membuktikan bahwa sebuah graf beraturan-r didekomposisikan akan menjadikan
pohon dengan banyak sisi r. Setelah itu penelitian tentang dekomposisi pun terus
dilanjutkan untuk membuktikan berbagai hal yang menyangkut tentang graf.
Pada tahun 2014 jurnal tentang dekomposisi pada berbagai jenis graf
dikembangkan oleh Nur Rahmawati dengan judul “Dekomposisi Graf Sikel, Graf
Roda, Graf Gir, dan Graf Persahabatan” yang membahas tentang dekomposisi
pada berbagai jenis graf khusus, yang bisa menjadi berbagai jenis graf yakni
dekomposisi graf roda
merupakan
,
merupakan
-dekomposisi, graf gir
-dekomposisi dan graf persahabatan
merupakan
dekomposisi.
Sehingga setiap graf didekomposisikan akan menghasilkan graf baru dan
tidak semua graf dapat didekomposisi bintang linierkan oleh karena itu penulis
tertarik ingin mendekomposisikan graf lobster secara umum yang bertujuan untuk
mendapatkan dan mengetahui jenis graf lobster seperti apa yang dapat di
dekomposisi bintang linierkan.
Oleh karena perbedaan jenis graf yang dihasilkan maka penulis akan
menunjukkan jenis graf yang akan dihasilkan jika graf lobster didekomposisikan.
Sehingga penulis akan membahas Dekomposisi Bintang Linier (BDL) pada graf
lobster yang dalam tulisan ini berjudul Studi Dekomposisi Bintang Linier Graf
Lobster.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini
adalah:
1. Bagaimana menentukan Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster
secara umum?
2. Graf Lobster seperti apakah yang dapat di dekomposisi bintang linierkan?
1.3 Batasan Masalah
Dalam tulisan ini ada beberapa batasan-batasan yang akan diteliti yakni:
1. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL).
2. Tulisan ini hanya membahas tentang graf lobster yang dibagi
berdasarkan diameternya.
3. Tulisan ini hanya membahas tentang Dekomposisi Bintang Linier
(DBL) pada graf lobster.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian dalam penulisan ini
adalah:
1. Untuk mendapatkan diameter graf Lobster yang dapat di Dekomposisi
Bintang Linierkan.
2. Untuk mendapatkan graf lobster seperti apa yang memenuhi Dekomposisi
Bintang Linier.
1.5 Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
a. Bagi penulis sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan
penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini. Khususnya
tentang Dekomposisi Bintang Linier (DBL) pada graf lobster.
b. Bagi pembaca sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah
yang berhubungan dengan materi ini.
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab IV tersebut dapat ditarik kesimpulan
seperti dibawah ini:
1. Jika graf lobster L dapat didekomposisi bintang linier (DBL)
2.
(
) maka diameter L
Misalkan L graf lobster dengan diameter
adalah
dan banyak sisi
. Dapat di DBL jika hanya jika : L adalah graf carterpillar dan
terdapat sebanyak (
yang titik-titik support persimpangan langsung
yang tidak berhubungan langsung yang berderajat 3, 5, 7, …,
graf L, serta ada paling banya satu sisi persekitaran
di
titik-simpang
(junction-neighbor) di graf L.
3. Graf Lobster dengan diameter
Dapat di DBL (
carterpillar dan terdapat sebanyak
dan banyak sisi adalah
) jika hanya jika:
.
adalah graf
titik-titik simpang yang tidak
berhubungan langsung yang berderajat
dalam graf L.
serta tidak ada sisi persekitaran titik-simpang di graf lobster L.
4. Graf lobster L dengan diameter
memiliki sebanyak
banyak sisi adalah
,
support yang berbeda dengan tidak ada sisi
persekitaran titik simpang (junction-neighbor) dilintasan terpanjang P dari
graf L dan P
Graf L dapat di DBL jika hanya jika: tidak ada
titik dari tepat satu graf bintang
adalah titik yang berhubungan
terpanjang P dan semua titik
langsung dengan tepat satu titik
di lintasan
.
5.2 Saran
Dalam skripsi ini hanya difokuskan terhadap dekomposisi bintang linier suatu
graf lobster dengan berdasarkan diameter dari graf lobster tersebut. Jika pembaca
tertarik, skripsi ini dapat diperluas bahasannya dengan membahas tentang
pendekomposisian bintang linier graf lobster dengan syarat yang berbeda
sehingga dapat mengembangkan ilmu tentang graf.
38
DAFTAR PUSTAKA
Baca,Martin & Mirka Miller. 2008. Super Edge-Antimagic Graph. USA. Brown
Walker Press.
Diestel, Reinhard. 2005. Graph Theory,ed electronic. New York. Springer.
E.Ebin Raja Merly and N.Gnanadhas, (2011). Linier star Decomposition of
lobster, International Journal of Mathematics Research. Volume 7.
Number 6. (251-261).
Harary,Frank. 1969. Graph Theory. California. Addison-wesley publishing
company.
Harris,Jhon M., Jeffry L.,dkk. 2000. Combinatorics and Graph Theory. USA.
Springer.
Lipschutz,Seymour & Marc Lars Lipson, 1992. 2000 solved problems in Discrete
Mathematics.USA. McGraw-Hill.
Mulaikah dan Prof.I.Ketut Budayasa,Ph.D, Dekomposisi bintang linier graf
lobster, MATHunesa, Vol.3, No.3, (2014).
Munir,Rinaldi, 2001.Matematika Diskrit.ed.2.Bandung. Informatika Bandung.
Munir,Rinaldi. 2003. Matematika Diskrit ed.3. Bandung. Informatika Bandung.
N.Gnanadhas and J.Paulraj Joseph, Continous Monotonic Decomposition of
Graph, International Journal of Management system, Volume 16, No.3,
(2000).
Rachmawati,Syarifani. 2012. Pelabelan Total Busur Ajaib b-Busur Berurutan
pada Graf Lobster
dan
. Depok. Universitas
Indonesia.
Rahmawati, Nur dan Budi Rahajeng,S.Si,M.Si. ”Dekomposisi Graf Sikel, Graf
Roda, Graf GIR dan Graf Persahabatan”, MathUnesa,Vol.3, No.3,
(2014)
Siang, Jong jek, (2006), Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu
Komputer. Andi Yogyakarta. Yogyakarta.
West,B Douglas. 2002. Introduction to Graph Theory. New Delphi.Prentice-Hal
of India.
Wirnadian, Pahrin. 2010. ”Pelabelan Harmonis pada Kombinasi Gabungan Graf
Caterpillar dan Graf
Firecracker Teratur”. Depok.Universitas
Indonesia.