Course 1_Rancangan Acak Lengkap

PERCOBAAN SATU FAKTOR:
RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL)

Arum Handini Primandari, M.Sc.

PENGUJIAN HIPOTESIS
Langkah-langkah pengujian hipotesis:
1)
2)
3)
4)
5)

Merumuskan hipotesis
Memilih taraf nyata α
Daerah kritis
Menentukan statistik uji
Keputusan dan kesimpulan

HIPOTESIS

Keadaan sesungguhnya dalam populasi
H0 benar

H0 salah

Terima H0

Tepat

Kesalahan Jenis II (β)

Tolak H0

Kesalahan jenis I (α)

Tepat

ANALISIS VARIANSI
Misalkan: terdapat percobaan pengaruh pemberian jenis pupuk pada pertumbuhan batang
suatu tanaman. Pupuk yang diujikan terdapat 3 macam. Akan diuji adakah perbedaan

pengaruh ketiga jenis pupuk pada pertumbuhan tanaman.
Perlakuan
Ulangan
1

2

3

1

19.4

17.7

17

2

32.6

24.8

19.4

3

27

27.9

9.1

4

32.1

25.2

11.9

5

33

24.3

15.8

1. Faktor?
2. Level?
3. Perlakuan?
1. Faktor: pupuk
2. Level: 3 macam pupuk
3. Perlakuan: pemberian pupuk yang
berbeda

MODEL DATA
Data pada tabel tersebut dimodelkan sebagai berikut:
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑡 dan 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑟

(eq. 1)

𝑦𝑖𝑗 merupakan nilai observasi ke-𝑖𝑗, 𝜇𝑖 adalah rata-rata pada perlakuan ke-𝑖, dan 𝑒𝑖𝑗 adalah galat
ke-𝑖𝑗. Model tersebut disebut model rata-rata.
Model alternatifnya:

Substitusi nilai 𝜇𝑖 = 𝜇 + 𝜏𝑖 pada persamaan (1), sehingga:
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗

(eq. 2)

Dimana 𝜇 merupakan rata-rata umum (semua), 𝜏𝑖 merupakan pengaruh perlakuaan ke-𝑖. Model
tersebut disebut model pengaruh.

Secara intuisi, pada persamaan 2 diperoleh:
𝜇 merupakan konstanta, dan

Pengaruh perlakuan yaitu 𝜏𝑖 dianggap sebagai deviasi dari konstanta akibat dari
suatu perlakuan ke-𝑖. Sehingga disebutlah analisis variansi.

Persamaan 1 (maupun 2) disebut model pada analisis variansi satu arah karena
hanya terdapat 1 faktor yang dianalisis.

Bagaimana menuliskan hipotesisnya?

RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL)
RAL merupakan rancangan paling sederhana di antara rancangan-rancangan
percobaan baku.

Jika kita ingin mempelajari t perlakuan dengan r satuan percobaan untuk setiap
perlakuan (menggunakan rt satuan percobaan), maka RAL mengalokasikan t
perlakuan secara acak pada rt satuan percobaan. Pola ini disebut dengan
pengacakan lengkap.
Penggunaan RAL akan tepat dalam kasus:
 Bahan percobaan homogen atau relatif homogen.
 Jumlah perlakuan terbatas

KEUNTUNGAN RAL
Keuntungan RAL:
 Denah perancangan percobaan lebih mudah

 Analisis statistika terhadap subyek, sangat sederhana
 Fleksibel dalam ulangan
 Kehilangan informasi relatif sedikit, dalam hal data hilang dibanding rancangan lain

KEKURANGAN RAL
Rancangan hanya dapat digunakan dengan beberapa perlakuan (yang tidak
banyak) serta untuk unit percobaan yang relatif homogen.
Apabila harus melibatkan cukup banyak unit percobaan, maka variabilitas
seluruh unit percobaan akan cukup besar. Sehingga tidak disarankan
menggunakan RAL karena tidak efisien

PENGACAKAN DAN DENAH RANCANGAN
Misalkan:
 Kita memiliki 3 perlakuan yaitu: A, B, C
 Setiap perlakuan diulang 5 kali, sehingga kita memiliki 15 unit percobaan.

Pengacakan dilakukan secara langsung pada 15 unit percobaan.
Nomor

Contoh denah pengacakan:

1; A

2; C

3; C

4; B

5; B

6; C

7; A

8; A

9; A

10; B

11; B

12; C

13; B

14; C

15; A

Perlakuan

TABULASI DATA
Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:
Perlakuan
1
2
⋮

𝑎

Ulangan
1

2

𝑦11

𝑦12

𝑦21
⋮

𝑦𝑎1

𝑦22
⋮

𝑦𝑎2

…

…

…
…

…

n

𝑦1𝑛

𝑦2𝑛
⋮

𝑦𝑎𝑛

Total

Ratarata

𝑦1∙

𝑦ത1∙

𝑦2∙

𝑦ത2∙

𝑦∙∙

𝑦ത∙∙

⋮

𝑦𝑎∙

⋮

𝑦ത𝑎∙

Baris 𝒊 merupakan
perlakuan
Kolom 𝒋 merupakan
ulangan

MODEL LINIER DAN ANALISIS VARIANSI UNTUK RAL
Bentuk umum dari model linier aditif untuk RAL:

Yij  i  ij
   i  ij

i  1,2,...,t
j  1,2,...,ri

 i    i

Dimana:
Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
μ: rataan umum
μi: rataan perlakuan ke-i

τj: pengaruh perlakuan ke-i
εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, ulangan ke-j
Persamaan tersebut disebut juga analisis satu-arah (one-way) atau faktor analisis variansi tunggal (single-factor analisys
of variance) karena hanya satu faktor yang diinvestigasi.

Berdasarkan model untuk RAL, pendugaan terhadap pengaruh perlakuan dengan
metode kuadrat terkecil (least square method) ditentukan dengan asumsi bahwa
t

 ˆ

i

 0 atau E  i   0

i

diperoleh:
ˆ  Y
ˆ i  Yi
ij  eij  Yij  Yi

MODEL DALAM ANALISIS VARIANSI
1. Model Tetap (Fixed Model)
Dalam model ini, τi bersifat tetap dan galat percobaan
iid



ij N 0, 2



Keadaan ini menggambarkan bahwa peneliti hanya dapat mengambil kesimpulan
yang berhubungan dengan perlakuan yang dicobakannya.
Asumsi model tetap dapat dituliskan:



2


0;Var



,

;

N
0,

 ij 
i
ij ij
2

iid



Hipotesis untuk model tetap:
H0 : 1   2  ...   t  0
H1 : i  0(i  1,2,...,t)

atau dapat dituliskan:
H0 : 1   2  ...   t (rataan semua perlakuan sama)
H1 : i   j untuk paling tidak sepasang (i,j)

Hipotesis dirumuskan untuk menguji bahwa tidak ada pengaruh perlakuan
terhadap respon.

2. Model Acak (Random Model)
Dalam model acak, peneliti akan berhadapan dengan populasi perlakuan.
Kesimpulan yang ditarik mengenai populasi perlakuan didasarkan atas
sejumlah (t buah) perlakuan yang dipilih secara acak
Asumsi model acak:



E  i   0;Var  i    ;Var  ij    , ij ; ij N 0, 2
2


2

iid



Hipotesis untuk model acak
H0 : 1  2  ...  t  0
(rata-rata yang sesungguhnya dari ke-t buah grup perlakuan sama)

H1 : i  0
(paling sedikit ada rata-rata satu grup perlakuan yang berbeda dengan yang lain)

Atau
H0 : 2  0
(tidak ada keragaman dalam dalam populasi perlakuan)

H1 : 2  0
(ada keragaman dalam populasi perlakuan)

KESIMPULAN PERBEDAAN MODEL FIX DAN
RANDOM
Model Fix
Perlakuan

Model Random

Ditetapkan peneliti

Diacak dari populasi perlakuan

Terbatas hanya melingkupi
perlakuan yang dicobakan

Bersifat umum

Hipotesis
Kesimpulan bersifat

DEKOMPOSISI JUMLAH KUADRAT TOTAL
Keragaman total diuraikan sebagai berikut:
Yij  Y  Yij  Yi  Yi  Y



 

 Yij  Yi  Yi  Y



Jika dikuadratkan kedua ruas:

Y  Y 
ij



2



 
 Y  Y   Y




  Yij  Yi  Yi  Y 
2

ij

i

i

 Y

2

2



 2 Yij  Yi

 Y

i

 Y



Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan:

  Y
t

r

ij

i1 j1

 Y

    Y  Y     Y
t

2

r

r

i

ij

i 1 j 1
t



  2 Yij  Yi
i1 j1

  Y
t

karena

r

i1 j 1

  Y
t

Sehingga:

ij

r

i1 j1

ij

 Yi

 Y

 Y

    Y

i

2

t

2

r

i

i 1 j 1

 Y

i

 Y

 Y



2





 Y  0
t

r

i 1 j 1

i

 Y

    Y  Y 
2

t

r

i 1 j 1

ij

i

2

Atau:
Jumlah kuadrat total = Jumlah kuadrat perlakuan + Jumlah kuadrat galat

  Y
t

r

i1 j1

ij

JKT

 Y

    Y
2

t

r

i 1 j 1

i

JKP

 Y

    Y  Y 
2

t

r

i 1 j 1

ij

JKG

i

2

PERHITUNGAN JUMLAH
KUADRAT UNTUK
ULANGAN SAMA

FK = Faktor koreksi
Y2
FK 
tr

JKT = Jumlah kuadrat total
t

r



JKT   Yij  Y
i1 j1



2

t

r

  Yij2  FK
i1 j1

JKP = Jumlah kuadrat perlakuan
t

r



JKP   Yi  Y
i1 j1



2

1 t 2
  Yi  FK
r i1

JKG = Jumlah kuadrat galat
t

r



JKG   Yij  Yi
i1 j 1



2

 JKT  JKP

PERHITUNGAN JUMLAH KUADRAT UNTUK ULANGAN YANG TIDAK SAMA
FK = Faktor koreksi

FK 

Y2
t

r
i1

i

JKP = Jumlah kuadrat perlakuan
t

r



JKP   Yi  Y
i1 j1



2

Yi2

 FK
i 1 ri
t

untuk JKT dan JKG rumusnya sama dengan yang menggunakan ulangan sama.

TABEL ANALISIS VARIANSI
Sumber
Keragaman

Derajat
bebas

Jumlah
kuadrat
(JK)

Kuadrat tengah (KT)

F-hitung

Ulangan sama
Perlakuan

t–1

JKP

KTP = JKP/ (t – 1)

Galat

t(r – 1)

JKG

KTG = JKG/ [t(r – 1) ]

Total

tr – 1

JKT

F = KTP/KTG

Ulangan tidak sama
Perlakuan

Galat
Total

t–1

 r  1
r  1
i

i

JKP

KTP = JKP/ (t – 1)

JKG

KTG = JKG/

JKT

F = KTP/KTG

 r  1
i

PENGUJIAN HIPOTESIS
Statistik Uji:

Fhitung  KTP KTG
mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilang sebesar (t – 1) dan derajat
bebas penyebut [t(r – 1)].
Hipotesis ditolak jika:
Fhitung  F;db1;db2

penolakan hipotesis nol berimplikasi bahwa perlakuan yang diberikan terhadap
unit-unit percobaan memberikan pengaruh yang nyata terhadap respon yang
diamati

KOEFISIEN KERAGAMAN (KK)
Koefisien keragaman (KK) atau disebut juga keragaman relatif terhadap besaran data
adalah:

KK 

ˆ
KTG
 100% 
 100%
Y
Y

Nilai KK yang terlalu besar bila dibandingkan dengan nilai biasa diperoleh peneliti,
mencerminkan bahwa unit-unit percobaan yang digunakan tidak homogen.

KK merupakan indeks keterandalan yang baik bagi suatu percobaan. Semakin tinggi nilai
KK makin rendah keandalan percobaan tsb.
Besarnya KK ideal tergantung pada bidang yang studi yang digeluti. Misal: untuk bidang
pertanian dianggap wajar adalah 20% - 25%.

PENERAPAN RAL MODEL TETAP DENGAN ULANGAN SAMA
Terdapat suatu penelitian mengenai kandungan nitrogen dalam miligram dari
tanaman ‘Red Clover’ yang disuntik dengan jamur Rhizobium trifolii ditambah
gabungan dari lima strain Rhizobium melitoti. Terdapat enam perlakuan, dimana 5
perlakuan merupakan penularan R. Trifolii dengan salah satu strain R. melitoti serta
satu perlakuan merupakan gabungan dari semua strain. Penularan dilakukan di
rumah kaca, dimana setiap perlakuan dilakukan 5 pot tanaman. Jumlah pot yang
disediakan adalah 30 buah dengan tanaman yang serupa. Penyuntikan keenam
perlakuan dilakukan secara acak. Percobaan menggunakan Rancangan Acak Lengkap.

HASIL PENGUKURAN KANDUNGAN NITROGEN (MG)

Perlakuan

Ulangan
1

2

3

4

1

19.4

32.6

27

32.1

2

17.7

24.8

27.9

25.2

3

17

19.4

9.1

11.9

4

20.7

21

20.5

18.8

5

14.3

14.4

11.8

11.6

gabungan

17.3

19.4

19.1

16.9

1. Perlakuan: penyuntikan R. Trifoli dan R.
melitoti
2. Faktor: R. Melitoti
3. Level: 5 jenis strain dan gabungan
4. Unit pengamatan: kandungan nitrogen
tanaman

PENYELESAIAN :
1. Model
model yang cocok adalah model tetap.
karena hanya terdapat enam perlakuan yang tersedia untuk percobaan ini. Sehingga
model liniernya adalah

Yij    i  ij ;i  1,2,...,6; j  1,2,...,5

Dimana :





Yij: kandungan nitrogen dari tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.
µ: nilai tengah umum (rata – rata populasi) kandungan nitrogen.
τi: pengaruh perlakuan ke-I
εij: pengaruh galat percobaan pada tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i

2. Asumsi
Komponen-komponen i  i  1,2,...,6  bersifat aditif

 

Nilai-nilai , i , ij tetap, E  ij   0;E ij2  2



i

 0;E  i   i

3. Hipotesis
H0 : 1  2  ...  6  0
(yang berarti tidak ada perbedaan pengaruh perlakuan terhadap kandungan
nitrogen tanaman).

H1 : i  0(i  1,2,...,t)
(artinya minimal ada satu perlakuan yang pengaruhnya terhadap hasil kandungan

nitrogen tanaman berbeda)

4. Taraf signifikasi
5. Statistik Uji dan daerah kritis

6. Perhitungan
7. Kesimpulan

LATIHAN DENGAN R
# RAL latihan 1
#
#
#
#

perlakuan: penyuntikan r. trifoli dan r. melitoti
faktor: R. melitoti
level: 5 jenis strain dan strain gabungan
unit pengamatan: kandungan nitrogen tanaman

# Input data
nitrogen = c(19.4,32.6,27,32.1,17.7,24.8, 27.9,25.2,17,19.4, 9.1,11.9,20.7,
21,20.5,18.8,14.3,14.4,11.8,11.6,17.3,19.4,19.1,16.9)
# melitoti = c(rep("1", 4), rep("2", 4), rep("3",4), rep("4",4), rep("5",4), rep("6",4))
melitoti = gl(6, 4, labels = c("1", "2", "3", "4", "5", "gabungan"))
observasi = data.frame(nitrogen, melitoti)
# uji anova
hasil = aov(nitrogen~melitoti, data = observasi)
summary(hasil)

LATIHAN 1:

LATIHAN 2
Suatu pabrik tekstil memproduksi kain tenun dengan menggunakan peralatan tenun
dalam jumlah yang banyak. Pengusaha pabrik menginginkan agar peralatan tsb
homogen sehingga kain tenun yang dihasilkan mempunyai kekuatan (daya tahan)
yang sama. Untuk mengetahui apakah peralatan tenun yang dimilikinya bersifat
homogen dalam menghasilkan kain tenun, maka dilakukan suatu penelitian.
Penelitian dilakukan dengan mengambil secara acak empat buah peralatan tenun
dari semua peralatan tenun yang ada (katakanlah m buah peralatan tenun yang
dimiliki pabrik tsb). Dengan teknik penentuan daya tahan (kekuatan) tertentu serta
menggunakan satuan pengukuran tertentu diperoleh hasil pengamatan sbb :

Perlakuan

HASIL PENGAMATAN
1

Ulangan
2
3

4

1

98

97

99

96

2

91

90

93

3

96

95

97

4

95

96

1.
2.
3.
4.

Perlakuan:
Faktor:
Level:
Unit pengamatan:

MODEL LINIER ADITIF RAL
Model yang cocok untuk analisis model acak adalah :

Dimana :
Yij

: nilai kekuatan kain dari mesin ke-i pada ulangan ke-j.

µ

: nilai tengah umum (rata – rata populasi) kekuatan kain.

Τi

: pengaruh mesin ke-i terhadap kekuatan kain

ε
: pengaruh galat percobaan dari mesin ke-i pada
pengamatan ke-j
ij

HIPOTESIS & PERHITUNGAN
Hipotesis yang akan diuji adalah
(yang artinya tidak terdapat keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan
tenun).
(yang berarti ada keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun)
Tahap Perhitungan !!!
Penarikan Kesimpulan

Koefisien Keragaman (KK)

REFERENSI
Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito,
Bandung.
Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan
dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung.
Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed,
John Wiley & Sons, Inc., USA.