BAB V MOMENT, SKEWNESS DAN KURTOSIS - STATISTIKA DASAR ; MOMENT , KURTOSIS

BAB V MOMENT, SKEWNESS DAN KURTOSIS A. MOMENT

1. Data Tunggal

  4

  7 49 343 2.401

  7

  81

  27

  9

  3

  3

  16

  8

  2

  2

  8 64 512 4.096

  4

  3 X j

  2 X j

  1 X j

  X j

  X ^j

  Atau dapat dikerjakan dengan :

   X

     

  8

  6

  10 10 100 1.000 10.000 Jumlah 30 226 1890 16.594

   Moment ke r disekitar

   m

  Jika r = 1 maka ¹

    _0

   

   

  X X m  

  

X

X N

  X X N

      ^{r j r j N j r j r}

  X didefinisikan :  

  X

  3

  16 ₄  

  5 594 .

  X 3318 8 ,

  5 226 ₂  

  45

  X 2 ,

  5 1890 ₃  

  X 378

  30 ₁  

  5

  2 ^{4 4 4 4 4 4}  

  Misalkan diberikan variabel X dengan harga-harga X ¹ , X ² , X ³ , …,X ^N dengan r = 0,1,2, … maka :

   Moment ke r dari X didefinisikan :

  

6

  2 ,

  b. moment kedua:

   X

  



   

  2 ₁

  3

  7

  8

  10

  5

  a. moment pertama:

  5 226

  PENYELESAIAN:

  Jika r = 1 maka menjadi Mean Aritmatika Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat dari 2, 3, 7, 8, 10 !

   ^{0 2 1} ...

    

     

  X X ^{r j N j}

^r

^j

^{r N r r r}

  X X

  X N

  X N

  N

  45

  5

  8

  7

  

10

  5

  16

  5 594 .

  3318 8 ,

  d. moment kempat:

   X

     

  2 ^{3 3 3 3 3 3}  

  3

  8

  

10

  

10

  5

  5 1890

  378

  c. moment ketiga:

   X

     

  2 ^{2 2 2 2 2 2}  

  3

  7

  8

  7

  2 s

  Jika r = 2 maka

   Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat disekitar rata-rata dari 2, 3, 7, 8, 10 !

  2 m

  2

  3

  7

  8

  10  30   

  X

  6    _j

  5

5 X

  X X

  X X

  X X

  X X     j j j j ₂       _{3 4}  

  2 -4 16 -64 256 3 -3 9 -27

  81

  7

  1

  1

  1

  1

  8

  2

  4

  8

  16

  10

  4

  16 64 256 Jumlah 46 -18 610

  18

        3 ,

  60 m m ^{1 3}

  5 5 46 610 ₂     9 ,

2 122

₄ m m

  5

  5

   Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan : _{N r}

  X A  

   _{j r}

   

  X A _' ^{j  0 j}  

   m r

  X A     _j

    N N

  Contoh : Diberikan data 2,3,7,8,10 empat moment pertama disekitar 4 adalah :

  X _{j j j j}

  4 X     j

4 X

  4 X

  4 X ₂         _{3 4}

  2 -2 4 -8

  16 3 -1 1 -1

  1

  7

  3

  9

  27

  81

  8

  4

  16 64 256

  10

  6 36 216 1296 Jumlah

  10 76 298 1650

  10 298 '   59 ,

  6

  2   ³ ₁ m ' m

  5

  5

  76 1650

  ' 330

  13 ,

  2 ₄   m '

   2 m

   5

  5

2. Data Berdaftar Distribusi Frekuensi

  X X f _{j j}

  63 –65

  61

  5

   60 - 62

  X X f _{j j}

   ³ ) (

  X X f _j

   ² ₂ ) (

   ) (

  64

  X X _j

   ³ ) (

  X X _j

   ² ) (

  X X _j

  X ) (

  f ^j

  Tinggi badan

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

  18

  66 –68

  Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar

   Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :

  Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar A = 65 berikut adalah

    _{ 0 '}

   

   

   

  X f N A X f m

  A X f

N

A

      ^{r j j r j j N j r j j r}

   ³ m

  42

   ² m

   ₁ m

  73 JUMLAH 100 - - - - X = … .

  8

  72 –74

  70

  27

  69 –71

  67

  X berikut adalah

    _0

   Moment ke r dari X didefinisikan : Dengan N =

   ^{0 2 2 1 1} ...

  X f ³ _{j j} X f

  X ¹ _{j j} X f ² _{j j}

  X ³ _j

  X ² _j

  f ^{1 j}

  Tinggi badan (in)

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

  Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga dari X berikut adalah

    

  5 61 3721 226981 305

     

  X ^{N r j r j j r N N r r r}

  N X f X f X f

  N X f N X f

  tanda kelas interval

  X

   j

  ,

   ^j f

  60 - 62

  63 –65

   

   ³

   

  X X f m  

  X X f N

  X X f

N

      ^{r j j r}

^{j j}

^{N j r j j r}

  X didefinisikan :  

   Moment ke r disekitar

  X

    ² X

  18 64 4096 262144 1152

  67 100 6745

  X 45 ,

   ¹

  8 73 5329 389017 584 100 - - - 6745

  72 –74

  27 70 4900 343000 1890

  69 –71

  42 67 4489 300763 2814

  66 –68

• Metode Koding  

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

   

  m

   Dari ^' _r

   

   

   

  3 ³

  33

  8 100

  91 ,

  3 ' m

   

   

   

  3 ²

  m

  97

  8 100

  73 ,

   2 ' m

   

   

   

  3 ¹ 

  15

  45 , 100

   1 ' m

  33

  97

  harga-harga r

  untuk beberapa harga r dapat ditentukan berdasarkan hubungan : Sehingga contoh di atas dengan menghubungkan hubungan di atas :

  64 JUMLAH 100 - - -

    3 '

  X          

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  2

  2

  3

  3

  2

  2 ' 1 '

  X        

   ₂ m

  2 A 2 m m A A d d A d A

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ' 1 '

   

  X    

    ^{1 '} A m d A

  Dan untuk yang lain :

   ³ m 8,91 – 3x 0,45x8,73 + 2x0,45 = … .

  8,73 – 0,45 ² = … .

  15

  32

  Tinggi badan (in)

  67

  8

  73

  8

  72–74

  25 125 135

  5

  70

  27

  69–71

  84

  8

  4

  2

  42

  64 JUMLAH

  66–68

  64 -1 1 -1 -18

  18

  63–65

  61 -4 16 -64 -20

  5

  X f _{j j } 60 - 62

  X f _{j } ³ ) ( A

  

X

_{j } ) ( A X f _{j j}  ² ₂ ) ( A

  ) ( A

  X _j  ² ) ( A X _{j } ³

  X ) ( A

  f ^j

  64 512

  100 - - - - 245

  16

  42

  8

  4

  2

  8

  72–74

  27

  27

  27

  1

  1

  1

  27

  69–71

  66–68

   1 ' m

  18 -1 1 -1 -18 18 -18

  63–65

  5 -2 4 -8 -10 20 -40

  fc ² fc ³ fc 60 - 62

  f c c ² c ^{3 1}

  Tinggi badan (in)

  c = sandi

    dengan d = panjang kelas interval

  ) ( ^' N fc d m ^{r r r}

   3 ' m

  2 ' m

   

  2 100 245

  45 ,

3 A m m m A A d d A d A A d A

B. SKEWNESS

  Skewness adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Yang dapat menentukan

  atau dapat dijadikan ukuran tentang simetris atau tidak simetris dari sebuah distribusi ialah letak dari nilai Mean, Median, dan Modus. Makin tinggi tingkat (derajat) ketidak simetrisan suatu distribusi frekuensi akan semakin besar pula perbedaan antara nilai ketiga ukuran tendensi pusat tersebut.

  Pada diagram yang simetris besarnya mean = median = modus. Pada distribusi yang tidak simetris besarnya mean ≠ median ≠ modus. Pada distribusi semacam ini apabila datanya cukup banyak berlaku ketentuan sbb:

  Modus – Median = 2 (median - mean) Modus = 3 (median) - 2(mean)

  Untuk mengukur tingkat kecondongan atau simetris atau tidaknya suatu distribusi dapat kita gunakan Koefisien Kecondongan atau Coefficient of Skewness.

UKURAN SIMETRIS DAN CONDONGNYA SUATU KURVA

  Untuk mengukur simetris atau condongnya suatu kurva kita gunakan koefisien skewness,yang dapat dihitung dengan rumus ;

1. METODE PEARSON

  Koefisien Skewness dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut

  X

• - Mo (Rumus I) Sk = s

  Keterangan :

  Sk = Koefisien skewness

  X = Rata-rata Mo = Nilai modus

  Contoh

Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

  Rentang nilai frekuensi 50-54

  1 55-59

  2 60-64

  11 65-69

  10 70-74

  12 75-79

  21 80-84

  6 85-89

  9 90-94

  4 95-99

  4

  80

   ^{j j} 346

  f . c

   

     X A d .

  = 97 + 5 = 97 + - 21,625 = 75,375  

   80 _j

   f   

  9    

  Mo = 74.5 + 5 = 76,375

  9 15 _N

    ₂ f A

  X  

  71 108 .

    j j 8538 .

  08 10 .

  39 _{j  1} =  

  80

  1 s

    N

  1

   X Mo 75 . 375

 76 , 375

   ,

  09 Sk  

  =

   10 ,

39 S

  

Dengan menggunakan hub antara mean, median, modus rumus diatas dapat diubah

menjadi

3 X Me

   Sk

   

   s Rumus ke-2

  Contoh :

Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ

  Rentang nilai frekuensi 50-54

  1 55-59

  2 60-64

  11 65-69

  10 70-74

  12 75-79

  21 80-84

  6 85-89

  9 90-94

  4 95-99

  4 _N

  80 A . f _{j 1} ^{j j}

   ^ 6030

  X _N

   80 f _j

  = = 75,375

   _{1 } ^j N

    F 

    

  40

  36   

2 Me L d

  ₁    

    = 74,5 + 5 = 74,5 + 0,952 = 75,452 f _Median

   21   

    _{N 2}   f A

  X  

  71 ^{j j} 108 .

    8538 .

  08 10 .

  39 _{j  1} =  

  80

  1 s

    N

  1

   3 ( 75 , 375 75 , 452 )

3 X Md

    , 022  

   

  Sk =

  

10 ,

  39 S

  Jadi distribusi di atas mempunyai skewness negatif

  2.METODE BOWLEY Dalam menentukan koefisien skewness , bowley mendasarkan pada nilai-nilai Quartil

  Diperoleh:

  Jika :

• Q
_{3 Q Q  Q} 1. ^{2 = 2} 1 maka hasilnya akan 0.<
• Q
_{3 Q  Q  Q 2 2 1} 2. maka hasilnya akan skewness pos
• ^ Q
_{3 Q Q  Q 2 2 1} 3. maka hasilnya akan skewness negatif.

3. METODE PERCENTIL

  10 – 90 persentil Sk-nya dinyatakan dengan:

  P P P P _{90 10}     

₅₀

₁₀   Sk 

   P P

  



_{90 10}

   Setelah kita ketahui besarnya koefisien skewness maka untuk menentukan gambar dari distribusi itu condong ke kiri,ke kanan atau simetris didasarkan atas ketentuan berikut :

  a. Bila koefisien skewness itu positif berarti mean &gt; median dan mode ,maka kurva condong ke kiri atau ekornya disebelah kanan.

  b. Bila koefisien skewness itu negatif berarti mean &lt; median dan mode ,maka kurva itu condong ke kanan atau ekornya di sebelah kiri.

  c. Bila koefisien skewnes itu besarnya sama dengan nol berarti mean=median=modus, maka kurva itu simetris.

  Distribusi Simetrik Distribusi Positif Skewness Distribusi Negatif Skewness

  Untuk data tunggal komputasi skewness melalui Ms. Excel adalah insert – function- select category : statistical – skew

C. KURTOSIS Kurtosis adalah ukuran mengenai keruncingan dari kurva suatu distribusi frekuensi.

  Kurtosis ada 3 macam :

  1. Leptokurtik Ialah distribusi frekuensi yang kalau digambarkan kurvanya merupakan kurva yang agak sempit pada bagian puncaknya atau mendekati runcing.

  2. Platikurtik Ialah distribusi frekuensi yang digambarkan kurvanya agak mendatar (tumpul) pada puncaknya.

  9

  X ^j

   

  X X _j

    

  X X _j

   ₂  

  X X _j

   ₄

  2 -4 16 256 3 -3

  81

     

  7

  1

  1

  1

  8

  2

  4

  16

  10

   X

  2  

  3. Mesokurtik Ialah distribusi frekuensi yang kurvanya normal yakni bukan leptokurtik dan plaktikurtik.

  &lt; 3 Distribusi yang lebih runcing (Leptokurtik) nilai ⁴

  Dalam perhitungan untuk mengetahui runcingan kurva dapat mendasarkan pada moment keempat. Momen keempat ialah rata-rata dari kuatnya penyimpangan keempat dari nilai mean dalam suatu distribusi frekuensi. Kurtosis dalam suatu distribusi frekuensi diukur atas dasar momen keempat tersebut dan ukuran ini diberik symbol ⁴

  a  

      ^{2 2 4}

²

^{2 4 4 4 4} m N

  X X m m s m a

      

  Distribusi frekuensi yang normal (Mesokurtik) nilai ⁴

  a

  = 3 Distribusi yang lebih mendatar (Platikurtik) Nilai ⁴

  a

  a

  3

  &gt; 3 Contoh :

  1. Tentukan kurtosis dari 2, 3, 7, 8, 10 !

  6

  5

  30

  5

  10

  8

  7

  4 16 256

   

  = 199 333 .

  2,74 Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

  8 199 333 .

   ₂ 525 .

   

    ₄ a

  100 19933 3 .

   ₄ m

  K = _{10 90} ^{1 3} P P

  8 100 852 5 .

   ₂ m 525 .

  67,45

   X

  8 73 5,55 30,80 948,64 246,4 7589.12 JUMLAH 100 - - - - 852.5 19933.3

  72 –74

  27 70 2,55 6,50 42,25 175,5 1140.75

  Momen coefficient of kurtosis dan alpha empat, ukuran keruncingan tersebut dapat juga dicari dengan menggunakan nilai kuartil dan persentil. Ukuran yang demikian dinamakan quartile coefficient of kurtosis dan dinyatakan dengn rumus ;

  

) Q (Q

  1.68

  60 - 62

  27 72 – 74

  69 – 71

  42

  66 – 68

  18

  63 – 65

  5

  Tinggi badan (in) frekuensi

  2

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

  3. Jika koefisien kurtosisnya &gt; 0,263, maka distribusinya adalah leptokurtik.

  2. Jika koefisien kurtosisnya = 0,263, maka distribusinya adalah mesokurtik.

  1. Jika koefisien kurtosisnya &lt; 0,263, maka distribusinya adalah platikurtik.

  Dari hasil koefisiensi kurtosis di atas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu:

  



  1

  69 –71

  42 67 -0,45 0,20 0,04 8,4

   

  2 ,

  1 2 ,

9

122 _{2 2 2 4 4}

    44 ,

  5 610 ₄   m

  122

  46 ₂   m

  5

  9

  46 610

  Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

  

4

Jumlah

  f F

jxn

L d Q

   _{j Q j}

    

   

   

   

     m m a

  2. Hitunglah Kurtosis dari data berikut !

  66 –68

   ² ₂ ) (

  18 64 -3,45 11,90 141,61 214,2 2548.98

  63 –65

  5 61 -6,45 41,60 1730,56 208 8652.80

   60 - 62

  X X f _{j j}

   ⁴ ) (

  X X f _j

  X X _j

Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZ

   ⁴ ) (

  X X _j

  

²

) (

  X X _j

  X ) (

  f ^j

  Tinggi badan

  8 100 dan kuartil ) kemudian simpulkan !

  m

  3 5 .

     x P

   

   

   

  





  





  





    

   

   

  68 ₉₀  

  90

  ) Q (Q

  65 100 100

  27

  68

  3 5 .

  25

  27

  71

  28 .

     x P

   

   

   

  K = _{10 90} ^{1 3} P P

  2

   

  

TUGAS

  e. Kurtosis ( melalui ⁴

  d. Koefisien Skewness dengan Metode Pearson I dan II Kemudian simpulkan !

  , , , m m m m dengan A = 150

  X X b. ^{4 3 2 1} , , , m m m m c. ^{4 ' 3 ' 2 ' 1 '}

  X X

  , , ,

  40 Hitunglah : a. ^{4 3 2}

  4 Jumlah

  14 161 – 170 5 171 – 180

  Tinggi (cm) Frekuensi 121 – 130 3 131 – 140 5 141 – 150 9 151 – 160

  DATA TINGGI 40 MAHASISWA LAKI-LAKI UNMUH PONOROGO

  Untuk data tunggal komputasi kurtosis melalui Ms. Excel adalah insert

  1

  Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)

    x

  69 ₂ ¹ ₂ ¹  

  65 61 .

  71 64 .

  63 28 .

  3 3 .

  7 97 .

  98 .

      25 .

  =

   

   

   

  64 .

    

  10

  27

  69

  61 .

     x Q

   

   

   

  





  





  





   

  68

   

  65 ₁  

  3 5 .

  1

  4 100

  23

  42

  65

  3 5 .

  2

  42

  65

  3 5 .

  27

  62 _{10   }

   

  3 5 .

  10

  5 100 100

  18

  62

  3 5 .

  5 .

  18

  63

  3 .

     x Q

   

  65

   

   

   

   

    

   

   

   

  68 ₃

  3 5 .

  3

  4 100

• – function- select category : statistical – kurt