Pertemuan 12 Conic Sections dan Koordinat Kutub 12.1 Pendahuluan - 12 Conic Sections dan Koordinat Kutub

  

Pertemuan 12

Conic Sections dan Koordinat Kutub

  12.1 Pendahuluan

  Pada pertemuan kali ini, kita akan melihat definisi geometri dari parabola, elips, dan hiperbola, hingga persamaan standarnya masing-masing. Kurva-kurva ini disebut conic sections (conics), dan dapat memodelkan jalur yang dilalui oleh planet, satelit, dan benda lainnya. gerakan planet juga paling baik dideskripsikan dengan bantuan koordinat kutub, sehingga kita juga akan melihat kurva, turunan, dan integral dari sistem koordinat kutub ini.

  12.2 Conic Sections dan Persamaan Kuadratik

  Definisi 12.1 Parabola, Focus, dan Directrix

  

Suatu himpunan yang terdiri atas seluruh titik dalam sebuah bidang yang memiliki jarak

yang sama dari suatu titik tetap tertentu dan suatu garis tertentu dalam bidang tersebut

merupakan suatu parabola. Titik tetap tertentu tersebut adalah focus dari parabola, dan

garis tetap tersebut adalah directrix.

Gambar 12.1 Beberapa bentuk standar parabola

  th

  ed, p.686-687) (Thomas’s Calculus, 11

Tabel 12.1 Persamaan bentuk standar parabola dengan titik pada titik pusat

  ( )

  

Persamaan Focus Directrix Sumbu Terbuka

Sumbu- Atas

  ( )

  Sumbu- Bawah

  ( )

  Sumbu- Kanan

  ( )

  Sumbu- Kiri

  ( ) Contoh 12.1 Temukan focus dan directrix dari parabola . Jawaban Kita temukan nilai dari dalam persamaan standar : s h a

  Kemudian kita temukan focus dan directrix untuk nilai Focus:

  ( ) ( ) Directrix: a au □

  Definisi 12.2 Elips, Foci

  

Suatu elips adalah himpunan titik-titik dalam sebuah bidang yang jaraknya dari dua titik

tetap tertentu dalam bidang tersebut memiliki suatu jumlahan konstan. Kedua titik tetap

tersebut adalah foci dari elips.

  Definisi 12.3 Focal Axis, Center, Vertices

  

Garis yang melalui foci dari suatu elips adalah focal axis elips tersebut. Titik dalam

pertengahan sumbu antara kedua foci adalah center. Titik dimana focal axis dan elips

beririsan adalah titik-titik elips (Gambar 12.2).

Gambar 12.2 Titik-titik pada focal axis dari suatu elips

  th

  ed, p.688) (Thomas’s Calculus, 11

  Persamaan bentuk standar untuk elips yang berpusat pada titik pusat

  Foci pada sumbu-

  : ( )

  Jarak center ke focus:

  √

  Foci:

  ( )

  Vertices:

  ( )

  Foci pada sumbu-

  : ( )

  Jarak center ke focus:

  Jarak center ke focus: √ √

  th

  (Thomas’s Calculus, 11

Gambar 12.3 Suatu elips dengan sumbu major horizontal

  Center: ( ).□

  Vertices: ( ) ( )

  Foci: ( ) ( √ )

  Semiminor axis: √

  √

  Semimajor axis: √

  Contoh 12.2 Major axis horizontal Elips (Gambar 12.3) memiliki

  Dalam tiap kasus, adalah semimajor axis dan adalah semiminor axis.

  ( )

  Vertices:

  ( )

  Foci:

  ed, p.689) Contoh 12.3 Major axis vertical Elips diperoleh dengan menukar nilai dan pada Contoh 12.2 sebelumnya memiliki suatu sumbu major vertical (Gambar 12.4),

  Semimajor axis: √

  Semiminor axis: √

  Jarak center ke focus: √ √

  Foci: ( ) ( √ )

  Vertices: ( ) ( )

  Center: ( ).□

Gambar 12.4 Suatu elips dengan sumbu major vertical

  th

  ed, p.689) (Thomas’s Calculus, 11

  Definisi 12.4 Hiperbola, Foci

  

Suatu hiperbola adalah himpunan titik-titik dalam suatu bidang yang jaraknya dari dua titik

tetap dalam bidang tersebut memiliki suatu selisih konstan. Kedua titik tetap tersebut

adalah foci dari hiperbola.

  Definisi 12.5 Focal Axis, Center, Vertices

  

Garis yang melalui foci dari suatu hiperbola adalah focal axis hiperbola tersebut. Titik dalam

pertengahan sumbu antara kedua foci adalah center. Titik dimana focal axis dan hiperbola

beririsan adalah titik-titik hiperbola (Gambar 12.5).

Gambar 12.5 Titik-titik pada focal axis dari suatu hiperbola

  th

  ed, p.691) (Thomas’s Calculus, 11

  Persamaan bentuk standar untuk hiperbola yang berpusat pada titik pusat

  Foci pada sumbu-

  :

  Jarak center ke focus:

  √

  Foci:

  ( )

  Vertices:

  ( )

  Asymptotes: Foci pada sumbu-

  :

  Jarak center ke focus:

  √

  Foci:

  ( )

  Vertices:

  ( )

  Asymptotes:

  Contoh 12.4 Foci pada sumbu- Persamaan (Gambar 12.6) memiliki

  Jarak center ke focus: √ √

  Foci: ( ) ( )

  Vertices: ( ) ( )

  Center: ( )

  √

  Asymptotes: a au □

Gambar 12.6 Hiperbola dan asymptotesnya untuk Contoh 12.4

  th

  ( ed, p.692) Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 12.5 Foci pada sumbu- Persamaan (Gambar 12.7) memiliki

  Jarak center ke focus: √ √

  Foci: ( ) ( )

  Vertices: ( ) ( )

  Center: ( )

  Asymptotes: a au □

  √ th

  ed, p.692) (Thomas’s Calculus, 11

12.3 Pengelompokkan Conic Sections

  Sekarang diperkenalkan suatu bilangan baru yang disebut eccentricity dari suatu conic section. Eccentricity dapat menunjukkan tipe conic section (lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola), dan menjelaskan beberapa sifat umum conic section (untuk elips dan hiperbola). Definisi 12.6 Eccentricity dari suatu elips

  Eccentricity dari elips

  ( ) adalah √

  Directrix

  ⁄ berkaitan dengan ⁄ berkaitan dengan ( ), dan directrix ( ).

  Contoh 12.6 Komet Halley Orbit dari komet Halley adalah suatu elips dengan panjang unit astronomi dan lebar unit astronomi (satu unit astronomi adalah , semimajor axis dari orbit bumi). Eccentricity-nya adalah

  ⁄ ) ( ⁄ ) ( ) √ √( √( )

  ⁄ ) (

  Definisi 12.7 Eccentricity dari suatu hiperbola

  Eccentricity dari hiperbola

   adalah √

  Directrix

  ⁄ berkaitan dengan ⁄ berkaitan dengan ( ), dan directrix ( ).

  Contoh 12.7 Menemukan vertices dari suatu elips Tentukan vertices dari suatu elips yang memiliki eccentricity yang foci-nya terletak pada titik ( ). Jawaban Karena

  ⁄ , vertices adalah titik ( ) dimana atau ( ).□

  Contoh 12.8 Eccentricity dari suatu hiperbola Tentukan eccentricity dari hiperbola Jawaban Kita bagi kedua ruas persamaan hiperbola dengan sehingga memperoleh bentuk standarnya Dengan dan , dapat diperoleh

  √ √ sehingga Definisi 12.8 Eccentricity dari suatu parabola

  Eccentricity dari suatu parabola adalah Persamaan focus-directrix

   menyatukan parabola, elips, dan hiperbola dengan

  cara berikut. Misalkan bahwa jarak

   suatu titik dari suatu titik tetap (focus) adalah

  suatu kelipatan konstan dari jaraknya terhadap suatu garis tetap (directrix). Maka, dimana

   merupakan kelipatan konstan. Jalur yang ditelusuri oleh adalah

  a. Suatu parabola jika

  b. Suatu elips dengan eccentricity jika , dan c. Suatu hiperbola dengan eccentricity jika .

  Contoh 12.9 Persamaan Kartesius untuk suatu hiperbola

  Temukan suatu persamaan Kartesius untuk hiperbola yang berpusat pada titik pusat yang memiliki focus pada ( ) dan garis sebagai directrix-nya.

  Jawaban Pertama kita cari eccentricity dari hiperbola tersebut.

  Focusnya adalah ( ) ( ) sehingga

  Directrix-nya adalah garis sehingga Dengan demikian diperoleh sehingga dan √

  Setelah memperoleh , sekarang kita dapat mencari persamaan yang diinginkan dari persamaan

  . Perhatikan Gambar 12.8, diperoleh √( ) ( ) √ | |

  ( )

12.4 Persamaan Kuadratik dan Rotasi

  Pada bab ini kita akan mempelajari grafik Kartesius dengan bentuk persamaan dimana dan tidak semuanya nol. Bentuk persamaan di atas kerap disebut sebagai quadratic curves. Persamaan untuk sumbu koordinat yang berotasi Contoh 12.10 Menemukan persamaan suatu parabola

  Sumbu- ⁄ radians dari titik pusat. Temukan suatu dan diputar dengan sudut sebesar persamaan untuk hiperbola dalam koordinatnya yang baru.

  Jawaban Karena

  ⁄ , kita substitusikan ⁄ ⁄ √

  √ √ ke dalam persamaan , sehingga diperoleh

  ( ) ( ) √ √

  P rha ka Gambar 12.8.□

Gambar 12.8 Hiperbola untuk Contoh 12.10 ( dan adalah koordinat barunya)

  th

  ed, p.703) (Thomas’s Calculus, 11

  Jika kita terapkan persamaan sumbu koordinat yang berotasi ke persamaan kuadratik, kita peroleh persamaan kuadratik yang baru, Koefisien yang lama dan baru saling berhubungan oleh persamaan berikut

  ( ) (12.1) Sudut Rotasi a au Contoh 12.11 Menemukan sudut perputaran/ rotasi Sumbu koordinat akan diputar sebesar sudut untuk menghasilkan suatu persamaan bagi kurva

  √ yang tidak memiliki suku cross product ( ). Tentukan dan persamaan baru tersebut!

  Tentukan pula jenis kurva yang terbentuk! Jawaban Persamaan

  √ memiliki √ dan . Kita substitusikan nilai-nilai ini ke persamaan sudut rotasi untuk memperoleh nilai :

  √ √ Dengan aturan segitiga siku-siku, kita dapat menentukan salah satu sudut yang berlaku adalah

  ⁄ , sehingga ⁄ . Dengan substitusi ⁄ √ , dan ke persamaan (12.1) diperoleh Sehingga persamaan barunya adalah Kurva yang terbentuk adalah elips dengan foci pada sumbu- ya baru (Gambar 12.9).□

Gambar 12.9 Conic sections Contoh 12.11

  th

  ed, p.704) (Thomas’s Calculus, 11

  Kita tidak perlu menghapus suku- dari persamaan untuk mengetahui jenis conic section yang dinyatakan oleh persamaan tersebut. Jika kita hanya ingin mengetahui jenis kurva yang terbentuk, maka kita dapat menggunakan uji diskriminan. Uji diskriminan

  

Dengan pemahaman bahwa beberapa kasus dapat menjadi pengecualian, persamaan

kuadratik

   adalah

  a. Suatu parabola jika

  b. Suatu elips jika

  c. Suatu hiperbola jika

  Contoh 12.12 Menerapkan uji diskriminan a. merupakan suatu parabola karena

  ( ) ( )( ) b. merupakan suatu elips karena

  ( ) ( )( )

  c. merupakan suatu hiperbola karena ( ) ( )( )

12.5 Koordinat Kutub

  Koordinat Kutub (Polar Coordinate) ( ) dimana merupakan jarak berarah dari ke , dan merupakan sudut berarah dari initial ray ke

  .

Gambar 12.10 Koordinat Kutub tidaklah unik dan dapat memiliki nilai negatif

  th

  ed, p.714) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 12.13 Menemukan Koordinat Kutub Temukan seluruh koordinat kutub dari titik ( ⁄ ). Jawaban Kita gambarkan initial ray dari sistem koordinat, lalu menggambarkan garis dari titik pusat dengan sudut

  ⁄ ) (Gambar ⁄ radians terhadap initial ray, dan tandai sebagai titik (

  12.11). Kemudian kita cari sudut-sudut pasangan lainnya dari dimana dan .

Gambar 12.11 Titik

  ( ⁄ ) memiliki banyak pasangan koordinat kutub lainnya

  th

  ed, p.715) (Thomas’s Calculus, 11

  Untuk , daftar sudut yang sama adalah

  Untuk , daftar sudutnya adalah

  Pasangan koordinat yang berkaitan dengan adalah dan ( )

  Saat , diperoleh ( ) dan ( ). Saat , diperoleh ( ) dan ( ), da s rus ya.□

  Persamaan Kutub dan Grafiknya

  Persamaan Grafik

Lingkaran dengan jari-jari berpusat di

  | |

  Garis melalui terhadapt initial ray membuat sudut

  Persamaan dengan bentuk dapat dikombinasikan untuk mendefinisikan dan daerah, ruas garis, dan sudut.

  Contoh 12.14 Menentukan grafik Gambarkan grafik kumpulan titik-titik dimana koordinat kutubnya memenuhi kondisi berikut.

  a. dan

  b. dan

  c. dan (tidak ada batasan untuk

  d. ) Jawaban a.

  b. c.

  d. Persamaan yang menghubungkan Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius

Gambar 12.12 Ilustrasi yang menggambarkan hubungan Koordinat Kutub dan Kartesius

  th

  ed, p.716) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 12.15 Mengubah Kartesius ke dalam Kutub Tentukan persamaan kutub untuk lingkaran ( ) (Gambar 12.13).

Gambar 12.13 Lingkaran pada Contoh 12.15 th

  ed, p.717) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban ( ) atau .□

  Contoh 12.16 Mengubah Kutub ke dalam Kartesius Ubah persamaan kutub berikut menjadi persamaan Kartesius-nya, dan tentukan jenis grafiknya.

  a.

  b.

  c. Jawaban a.

  Persamaan Kartesius: Jenis grafik: Garis vertical melalui pada sumbu- .□ b.

  Persamaan Kartesius: ( )

  Jenis grafik: Lingkaran, jari-jari 2, pusat ( ) ( ).□ c.

  Persamaan Kartesius: ( )

  Jenis grafik: Garis, slope , -intercept .□

  Contoh 12.17 Jantung Gambarlah kurva . Jawaban Kurva simetri pada sumbu- karena

  ( ) pada grafik ( ) ( ) ( ) pada grafik.

  Saat naik dari ke , turun dari ke , dan naik dari nilai minimum ke nilai maksimum . Saat terus naik dari ke , naik dari kembali ke dan turun dari ke . Kurva mulai berulang saat karena cosinus memiliki periode . kurva meninggalkan titik pusat dengan slope

  ( ) dan kembali ke titik pusat dengan slope ( ) .

  Kita buat sebuah tabel nilai dari hingga , gambar titik-titik tersebut, dan gambar kurva yang melalui titik-titik dengan suatu horizontal tangent pada titik pusat, kemudian mencerminkannya terhadap sumbu- sehingga diperoleh grafik utuh (Gambar 12.14). Kurva ya rb uk d s bu card o d kar a m y rupa b uk ja u .□

Gambar 12.14 Langkah-langkah dalam menggambar cardioid

  th

  ed, p.720) (Thomas’s Calculus, 11

12.7 Area dan Panjang dalam Koordinat Kutub

  Luas area dari daerah berbentuk kipas diantara titik pusat dan kurva ( )

  ∫ Ini merupakan integral dari luas area diferensial (Gambar 12.15)

  ( ( ))

Gambar 12.15 Luas diferensial untuk kurva ( )

  th

  ed, p.726) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 12.18 Menemukan luas area Temukan luas area daerah dalam bidang yang ditutupi oleh cardioid ( ). Jawaban Kita gambarkan cardioid (Gambar 12.16) dan tentukan bahwa jari-jari menyapu daerah tepat satu kali saat berjalan dari ke . Dengan demikian luas areanya adalah ∫

  ∫ ( ) )

  ∫ ( )

  ∫ ( ∫ ( ) [ ] □

Gambar 12.16 Cardioid dalam Contoh 12.18

  th

  ed, p.726) (Thomas’s Calculus, 11

  Luas area dari daerah ( ) ( )

  ∫ ∫ ∫ ( ) Contoh 12.19 Menemukan luas area diantara kurva kutub Temukan luas daerah yang terletak di dalam lingkaran dan di luar cardioid . Jawaban Kita gambarkan daerah untuk menentukan batasannya dan cari batasan dari integrasi (Gambar 12.17). Kurva yang di luar adalah

  , kurva di dalam adalah , dan ⁄ . Luas areanya adalah berjalan dari ⁄ hingga

  ⁄

  ( ) ∫

  ⁄ ⁄

  simetri ( )

  ∫

  ⁄

  )) ∫ ( (

  ⁄

  ) ∫ (

  ⁄

  ( ) ∫

  ⁄

  [ ] □

Gambar 12.17 Daerah dan batasan integrasi untuk Contoh 12.19

  th

  ed, p.727) (Thomas’s Calculus, 11

  Panjang dari suatu kurva kutub Jika

  ( ) memiliki suatu turunan tingkat pertama yang kontinu untuk dan jika titik ( ) menelusuri kurva ( ) tepat satu kali saat berjalan dari ke , maka

  ) ∫ √ (

  Contoh 12.20 Menemukan panjang dari suatu cardioid Temukan panjang dari cardioid . Jawaban Kita gambarkan cardioid tersebut untuk menentukan batasan integrasi (Gambar 12.18).

Gambar 12.18 Menghitung panjang suatu cardioid (Contoh 12.20)

  th

  ed, p.728) (Thomas’s Calculus, 11

  Titik ( ) menelusuri kurva satu kali, berlawanan arah jarum jam saat berjalan dari ke , sehingga ini merupakan nilai-nilai yang kita ambil sebagai dan .

  Dengan diperoleh ( ) ( ) ( ) dan

  ∫ √ ( ) ∫ √ ∫ √

  | ∫ | u uk ∫

  ] [

12.8 Conic Sections dalam Koordinat Kutub

  Persamaan kutub standar untuk garis Jika titik

  ( ) adalah kaki tegak lurus dari titik pusat ke garis , dan , maka persamaan untuk adalah

  ( )

  Contoh 12.21 Mengubah suatu persamaan kutub garis menjadi bentuk Kartesius Gunakan identitas

  ( ) untuk menemukan suatu persamaan Kartesius untuk garis dalam Gambar 12.19.

Gambar 12.19 Persamaan kutub standar dari garis diubah menjadi persamaan Kartesius

  th

  ed, p.728) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban ( )

  ) (

  √ √

  √ Persamaan kutub untuk lingkaran Persamaan kutub untuk lingkaran dengan jari-jari ) adalah dan berpusat di (

  ( ) Contoh 12.22 Lingkaran melalui titik pusat

  

Radius Center (polar coordinates) Polar equations

  ( ) ( ⁄ )

  ⁄ ( ⁄ ) ( ⁄ )

  Persamaan kutub untuk suatu conic dengan eccentricity dimana merupakan directrix vertical. Persamaan di atas menunjukkan suatu elips jika

  , suatu parabola jika , dan suatu hiperbola jika .

  Contoh 12.23 Persamaan kutub untuk beberapa conics Variasi dari persamaan di atas dapat ditemukan tergantung pada lokasi dari directrix-nya.

  Perhatikan Gambar 12.20 di bawah.

Gambar 12.20 Persamaan untuk conic sections dengan eccentricity

  , namun lokasi directrix yang berbeda-beda

  th

  ed, p.735) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 12.24 Persamaan kutub untuk suatu hiperbola Temukan suatu persamaan untuk hiperbola dengan eccentricity ⁄ dan directrix . Jawaban

  ( ⁄ ) (

  ⁄ ) Persamaan kutub untuk elips dengan eccentricity dan semimajor axis

  ) (

  Contoh 12.25 Orbit planet Pluto Temukan suatu persamaan kutub untuk suatu elips dengan semimajor axis

  AU (astronomical units) dan eccentricity

  . Ini merupakan perkiraan ukuran orbit Pluto mengelilingi matahari. Jawaban

  ( ( ) ) Pada titik terdekatnya (perihelion) dimana , Pluto memiliki jarak dari matahari. Pada titik terjauhnya (aphelion) dimana

  , Pluto memiliki jarak dar ma ahar (Gambar 12.21).□

Gambar 12.21 Orbit dari Pluto

  th

  ed, p.736) (Thomas’s Calculus, 11