TEOREMA BURNSIDE DAN POLYA UNTUK MENENTUKAN POLA PEWARNAAN GRUP PERMUTASI - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

TEOREMA BURNSIDE DAN POLYA UNTUK MENENTUKAN
POLA PEWARNAAN GRUP PERMUTASI

Disusun Oleh :
Nur Cholilah
J2A 003 040

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Program Strata Satu (S1)
Pada Jurusan Matematika Program Studi Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2010

i

HALAMAN PENGESAHAN

Judul

: Teorema Burnside dan Polya Untuk Menentukan Pola Pewarnaan
Grup Permutasi

Nama

: Nur Cholilah

Nim

: J2A 003 040

Telah diujikan pada sidang Tugas Akhir tanggal 27 September 2010 dan dinyatakan
lulus pada tanggal

November 2010

Semarang, November 2010
Panitia Penguji Tugas Akhir
Ketua

Suryoto, S.Si, M.Si
1968 07 14 1994 03 1 004

Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
FMIPA UNDIP

Mengetahui
Ketua Program Studi Matematika
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

Dr. Widowati, S.Si, M.Si
NIP. 1969 02 14 1994 03 2 002

Bambang Irawanto, S.Si, M.Si
NIP. 1967 07 29 1994 03 1 001

ii

HALAMAN PENGESAHAN

Judul

: Teorema Burnside dan Polya Untuk Menentukan Pola Pewarnaan
Grup Permutasi

Nama

: Nur Cholilah

Nim

: J2A 003 040

Telah diujikan pada sidang Tugas Akhir tanggal 27 September 2010

Pembimbing Utama

Semarang,
November 2010
Pembimbing Anggota

Bambang Irawanto, S.Si, M.Si
NIP. 1967 07 29 1994 03 1 001

Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si
NIP1971 06 27 1998 02 2 001

iii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan berkah
dan rahmatNya yang telah diberikan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan
Tugas Akhir yang berjudul “Teorema Burnside dan Polya Untuk Menentukan
Pola Pewarnaan Grup Permutasi” dengan segala kelebihan dan kekurangan.

Tugas Akhir ini disusun sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan Studi
Akhir Program Strata I di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Diponegoro, Semarang. Penulis menyadari bahwa
selama proses penyusunan sampai pada tahap penyelesaian Tugas Akhir ini banyak
pihak telah membantu. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada :
1. Ibu Dr. Widowati.S.Si selaku Ketua Jurusan Matematika, Fakultas
matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Diponegoro Semarang.
2. Bapak Bambang Irawanto, S.Si,M.Si selaku Pembimbing I yang telah
membimbing dan memberikan pengarahan selama penyusunan tugas akhir ini.
3. Ibu Lucia Ratnasari S.Si, M.Si selaku pembimbing II yang juga telah
membimbing dan memberikan pengarahan selama penyusunan tugas akhir ini.
4. Bapak Drs. Kartono, M.Si selaku dosen wali yang dengan sabar memberikan
masukan dan ilmunya selama penulis belajar di bangku kuliah.
5. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang membantu hingga
terselesaikannya tugas akhir ini.

iv

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan.
Semoga tugas akhir ini dapat memberikan mamfaat bagi semua pihak.

Semarang,

v

September 2010

ABSTRAK

Grup adalah struktur aljabar yang terdiri dari satu operasi biner yang
memenuhi beberapa aksioma. Permutasi pada himpunan A merupakan fungsi bijektif
 : A  A . Jika G adalah grup permutasi hingga dan A adalah G-Set yang hingga dan
A g merupakan titik tetap. Maka banyaknya orbit A pada G dapat dihitung dengan
mencari titik yang tidak berubah pada saat dipermutasikan dan membagi dengan
banyaknya perrnutasi.
Misal A = (a1 , a2 ,....., an ) , Y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) dan G adalah grup permutasi dengan
elemen – elemen permutasinya merupakan elemen dalam A. Jika  merupakan
pemetaan dari A ke Y maka pemetaan tersebut menghasilkan kelas – kelas

ekuivalensi yang diperoleh menurut permutasi - permutasi dalam G. Kelas permutasi
ini selanjutnya disebut pola dari G. Banyaknya pola hasil pemetaan  tersebut dapat
dihitung dengan menurunkan menurunkan indeks sikel dari grup permutasi. Pola
pewarnaan grup permutasi dapat dilakukan dengan mengganti indeks sikel dengan
warna – warna yang diberikan.
Kata kunci : Grup Permutasi, Aksi Grup, Indeks Sikel, Teorema Burnside, Teorema
Polya

vi

ABSTRACT

The group is the structur algebraic consisting of a single binary operation
that satisfy axioms. Permutations on a set A is a bijektif function  : A  A . If G is a
finite permutation group and the set A are finite G-sets and Ag is a fixed point. Then
the number of orbits of A on G can be calculated by finding a point that does not
change during in the permutations and divide by the number of permutations.
Example A = (a1 , a2 ,....., an ) , Y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) and G is the group of permutations
with elements permutations an element in A. If  is a mapping from A to Y , the
mapping generates equivalence classes obtained by permutations in G. that is a

permutations class and than the permutations class to form a patteren of G. The
number of patternf from  results can be computed by decreasing cycle index and
the group of permutations. The patternof permutations group can be done by
replacing the index cycle with the colors given
Keywords: Permutation Group, Action Group, Index Cycle, Burnside’s Theorem,
Polya’s Theorem

vii

DAFTAR ISI

Halaman Judul............................................................................................................i
Halaman Pengesahan .................................................................................................ii
KATA PENGAN TAR ..............................................................................................iv
ABSTRAK .................................................................................................................vi
ABSTRACT ...............................................................................................................vii
DAFTAR ISI ..............................................................................................................viii
DAFTAR TABEL ......................................................................................................x
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................xi
DAFTAR SIMBOL....................................................................................................xii

Bab I. PENDAHULUAN .........................................................................................1
1.1 Latar Belakang .........................................................................................1
1.2 Permasalahan............................................................................................2
1.3 Pembatasan Masalah ................................................................................2
1.4 Tujuan Penulisan ......................................................................................3
1.5 Sistematika Penulisan ..............................................................................3
Bab II. MATERI PENUNJANG ...............................................................................4
2.1 Rekasi Ekuivalen Fungsi ..........................................................................4
2.2 Grup .........................................................................................................9
2.2.1 Grup ................................................................................................9
2.2.2 Subgrup ...........................................................................................11

viii

2.2.3 Homomorfisma grup .......................................................................11
2.2.4 Koset dan Lagrange.........................................................................12
2.2.5 Grup Permutasi ...............................................................................13
2.3 Aksi Grup .................................................................................................16
Bab III. PEMBAHASAN ...........................................................................................21
3.1 Teorema Burnside ....................................................................................21

3.2 Indeks Sikel ..............................................................................................30
3.3 Teorema Polya .........................................................................................38
Bab IV PENUTUP ....................................................................................................50
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................51

ix

DAFTAR TABEL

Tabel 2.2.5.3 : Komposisi Fungsi ..............................................................................15
Table 3.1 (a): Rotasi 2 warna ....................................................................................24
Tabel 3.1 (b) Rotasi 3 warna .....................................................................................28
Tabel 3.2.4.(a) : Permutasi Persegi ............................................................................34
Tabel 3.2.4.(b) : Permutasi Segi Enam ......................................................................37

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.2.1 : fungsi dari A ke B ..........................................................................6

Gambar 2.1.2.2 : Fungsi Surjektif ..............................................................................7
Gambar 2.1.2.3 : Fungsi Injektif ................................................................................7
Gambar 2.1.2.4 : Fungsi Bijektif................................................................................8
Gambar 2.1.3.5 : Fungsi Komposisi Fungsi ..............................................................9
Gambar 2.3.1 : Fungsi Z 4  A  A ...........................................................................17
Gambar 3.1(a) : Persegi Hasil Pemetaan 2 warna ......................................................23
Gambar 3.1(b): Permutasi pada persegi……………………………………………..23
Gambar 3.1(c) : Persegi hasil dari pemetaan 3 warna.................................................27
Gambar 3.2.4(b1) : Rotasi Segi enam............ ............................................................35
Gambar 3.2.4 (b2): Refleksi Segi enam…...………………………………………...36
Gambar3.3.5(a): Pola persegi dengan 2 warna..........................................................46.
Gambar3.3.5(b): Pola persegi dengan 3 warna………………………………...…...48
Gambar 3.3.5(c) : Segi enam dengan Pewarnaan Dua Warna ...................................49

xi

DAFTAR SIMBOL

Z

: Himpunan bilangan bulat

Q

: Himpunan bilangan rasional



: Elemen

Sn

: Himpunan semua permutasi tingkat n

Ga

:Stabilizer a pada G

Z (G)

: Indek sikel



: Untuk setiap



: Terdapat



: Sedemikian sehingga



: Tidak sama dengan

(a,b)

: Himpunan pasangan berurut

Ǿ

: Himpunan kosong

f : A B

: Fungsi/pemetaan dari A ke B

G

: Banyaknya permutasi



: Permutasi pada himpunan



: Penjumlahan i elemen



: Pergandaan i elemen

(G,)

: Grup G dengan operasi biner 

i

i

xii

W ( )

: Bobot fungsi  : X  Y

( )

: Bobot fingsi 
: Pembuktian selesai

xiii

DAFTAR PUSTAKA

[1]

Anonim. Burnside’s Lemma. http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside’s lemma.
Diakses pada tanggal 10 Mei 2010.

[2]

Anonim.

Pólya

Enumeration

Theorem.

http://en.wikipedia.org/

wiki/Pólya_enumeration theorem. Diakses pada tanggal 2 April 2010.
[3]

Isnarto, S. Pd, M. Si. 2008. Pengantar Struktur Aljabar 1. Universitas Negri
Semarang: Semarang.

[4]

Shruya, A. 2002. How to count – an exposition of Polya’s Theory of
Enumeration. http://www.ukdw.ac.id. Diakses pada tanggal 10 mei 2010.

[5]

Stephen, F & Thomas, W. 2009. Abstract Algebra Theory and Applications.
Austin : Stat University.

xiv