Metode daerah kepercayaan untuk menyelesaikan masalah optimasi tanpa kendala - USD Repository
METODE DAERAH KEPERCAYAAI\I
T]NTT]K MEI\TYELESAIKAII MASALAH
OPTIMASI TAI\PA KEI\IDALA
SKRIPSI
Diajukan untuk MemenuhiSalahSatuSyarat
MemperolehGelarSarjanaSains
ProgramStudi Matematika
DisusunOleh:
ChristiansenPasaribu
NIM:053114019
PROGRAM STT]DI MATEMATIKA JI]RUSAI\I MATEMATIKA
X'AKT]LTAS SAINS DAI\[ TEKNOLOGI
T]NTVERSITASSANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2049
TRUST-REGION METHODS
TO SOLVE
I]NCONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS
THESIS
PresentedasPartial Fulfillment of the Requirements
To ObtaintheSARIANA SAINSDegree
In Mathematics
By:
ChristiansenPasaribu
StudentNumber: 053114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AI\[D TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA I'NIVERSITY
YOGYAKARTA
SKRIPSI
MET(X)N DAERAH KEPERCAYAA}{
UNTT]K MEFTYELESAIKAN MASALAH OPTIMASI
TANPA KEFIDALA
P' **
qM
fux
DosenPembimbing
"tfs.si.,M.si.
Tanggal22 Juli 2009
lll
SKRIPSI
METODE DAERAH KEPERCAYAAI{
TINTUK MEII-YELESAIKAI\ MASALAH OPTIMASI
TAITPA KENIDALA
Dipersiapkandan ditulis oleh :
Ketua
Sekretaris
: St. Eko Hari Paruradi,S.Si.,M.Kom.
Anggota
: LusiaKrismiyatiBudiasih,S.Si.,M.Si.
Yogyakarta 29 Juli 2009
FakultasSainsdan Teknologi
Universius $anataDhmma
'P{*'^
Cahyanta"S.T.,M.T.
PER}TYATAAI\I KEASLIAN KARYA
Saya menyatakandengan sesungguhnyabahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuatkarya atau bagian karya orang lain" kecuali yang telah disebutkandalam
layaknyakarya ilmiah.
kutipandan daftaxpustaka,sebagaimana
Yogyakarta"22 hili2009
Penulis,
qffigChristiAnsenPasaribu
INI KEPADA:
KUPERSEMBAHKAN
SKR/,PS'
TUHAN YESUSKRISTUS
BAPAKDANMAMATERC'NTA ATASSEMANGAT,DOA, SERTADUKUNoAN SECARA
MORIL MAUPUN MATERI'L
P,6AR'BU
ABANGKUTERC'NTAWHARTONFRED'CKSEN
KEDUAADIKKU TERC'NTAWALD'MER PASAR'BUDAN CAROLINAPASARIBU
ALMAMATERKU UN'VERS'TAS
SANATADHARMA
MATA GURUROHASISEAN
IaIcm
BERDOAAGARHIDUPLEBIH
MUDAH.Bnnoos.en AGARKITA LEBrH
KUAT
{fonuF.Krnwnnv)
Hrnuprru sEpERTr
SEBUAH
snpnot Kau
TIDAKAKANTERJATUHKECUA"IIBILA
BERHENTIMENGAYUH
( CrnuoePnnnnn)
TnRruRrRsrH
DANKesm^nxnr
rETAp
MENIADIIGKUATAN TERBESARDUNIA
( Frunorucn
oRRrBoormcnwrncn
)
vl
LEMBAR PERIYYATAAI\ PERSETUJUAI\
PUBLIKASI KARYA ILMIAH I]NTI]K KEPENTINGAI\I AKADEMIS
Yang bertandatangandi bawahini, sayamahasiswaUniversitasSanataDharma:
: ChristiansenPasaribu
Nama
NomorMahasiswa : 053114019
Demi pengembanganilmu pengetahuan,saya memberikan kepada Perpustakaan
UniversitasSanataDharmakwyailmiah sayayang berjudul:
METODE DAERAH KEPERCAYAAN
T]NTI'K MEIYYELESAIKAI\ MASALAH
OPTIMASI TAI\PA KENDALA
Besertaperangkatyang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepadaPerpustakaan
UniversitasSanataDharmahak untuk menyimpan,mengalihkan
dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan da@
mendistribusikansecaraterbatas,dan mempublikasikandi Internet atau media lain
untuk kepentinganakademistanpaperlu memintaijin dari sayamaupunmemberikan
royalti kepadasayaselamatetapmencantumkannamasayasebagaipenulis.
Demikian pemyataanini sayabuat dengansebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta.
PadaTanggal:29Juli 2009
Yang menyatakan
W^
r*.,{i-rn
(\)4 1
w
l1.z
Ww- ll
|
I
I^Y^W
-lq
t/
/
!
(ChristiansenPasaribu)
vl1
ABSTRAK
Optimasi fungsi multivariabeltidak mudahdiselesaikansecaxaanalitik. Tetapi bukan
berarti masalahtersebuttidak dapatdiselesaikan.Padaskripsi ini akandiperkenalkan
suatu metode numerik yang dapat menyelesaikanmasalahtersebut yakni Metode
Daerah Kepercayaan.Dalam Metode Daerah Kepercayanmasalahoptimasi fungsi
multivariabel diubah menjadi masalatr dalam bentuk kuadratih yakni dengan
membangunsebuahmodel fungsi kuadratik. Metode Daerah Kepercayaanadalalt
suatu metode iterasi yang mendefinisikan suatu daeratrpada iterasi yang sedang
berlangsungyang dipercayai memuat calon solusi dari suatu model yang menjadi
representasiyang baik dari fungsi objektif. Perhitunganpada model ini bertujuan
untuk mencari sebuah langkah yang menjadi peminimal hampiran dari model
kuadratik tersebut. Jika langkah tidak cocok maka ukuran daerah kepercayaan
diperkecil dan mencari peminimal baru. Solusi dari masalah optimasi yang
sebenarnyadiperolehdenganmenjumlahkanvektor langkahyang baru dengansolusi
padaiterasi yang sebelumnya.Metodeini juga mempunyaisifat konvergenglobal.
vlll
ABSTRACT
The optimization function multivariablesis not easyto solved with analysis.But it
doesn't mean that the problem can not solved. In this thesis will introduced a
numerical method can solve the problem which is Trust-RegionMethod. In TrustRegion Method, optimization problem function multivariableschangeinto quadratic
problem,wtrich is with constructa quadraticmodel function. Trust-RegionMethod is
an iterative methodwhich define a region aroundfrom current iterate which trusted
load the solution candidatefrom a model to be a good representationof the objective
function. Calculatingin this model to find a stepto be the approximateminimize of
the quadraticmodel.If the stepdoesnot acceptablethen sizeof the trust regionwould
be reducedand find a new minimizer. Solution of the actually optimization problem
obtainedby summinga new stepwith the solution of previousiteration. This method
alsohaveglobal convergentcharacteristic.
1X
KATA PENGAI\ITAR
Segalapuji dan syukur,penulispanjatkankepadaTuhanYesusKristus, Sang
Juru Selamat,sehinggakarenakasih dan karunia-Nyaskripsi ini dapatdiselesaikan
denganbaik.
Dalam penyusurumskripsi ini penulis membutuhkanbantuandari berbagai
pihak. Oleh karenaitu, dengansegalakerendahanhati penulis ingin menyampaikan
ucapanterima kasih kepada:
l. Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si.,M.Si., selakudosenpembimbingdan Kaprodi
MatematikaFST-USD yang denganrendahhati mau
banyakwaktu
danpenuhkesabarantelah membimbingpenulisselamapenyusumnskripsi.
2. YosefAgungCahyantaS.T.,M.T., selakuDekanFST-USD.
3. Ch. EnnyMwwaningtyas,S.Si.,M.Si., selakudosenpenguji.
4. St. Eko Hari Parmadi,S.Si.,M.Kom., selakudosenpenguji.
5. Romo Prof. Dr. FransSusilo, S.J.,selakudosenpembimbingakademik.
6. Sudi Mungkasi,S.Si.,M.Sc.,yangpemahmenjadidosenpembimbingakademik
bagi penulis.
7. Y.G. Hartono,S.Si.,M.Sc., dan Herry PribawantoSuryawan"S.Si.,M.Si.oymg
telah banyakmembantudanmemberimasukankepadapenulis.
8. Bapak dan Ibu dosenPrograrnStudi Matematikayang telah memberikanbekal
ilmu yang sangatbergunabagi penulis.
9. Karyawan sekretariatFST kfiususnyaBapak Tukija dan Ibu Linda yang telah
memberikanpelayananselamapenuliskuliah sertaKaryawanPerpustakaan
USD
yangtelah memberikanfasilitasdankemudahankepadapenulis.
10. Kedua orang tuaku serta abangku Wharton dan adik-adikku Waldimer dan
Carolina yang selalu memberikan dukungan kepadaku dan untuk semua
pelajaran hidup, cintq kasih sayang, pengorbanan, doa motivasi dan
kepercayaanyang sangatberarti.
11. Ratna Bunga atas waktu dan dukungan yang selama ini diberikan kepada
penulis.
12. Teman-temanMatematika angkatan 2005 : Ratra George, Louis, Vincent,
Priskila" Dedy, Zetho, Yudi, Sisiria, Inne, Echi, Susi, Devi, Wuri, Septi, Tyas,
Nanin,Puput,Shela"Vira.
13. Teman-temanMatematikabaik kakak angkatanmaupunadik angkatan.
14. Teman-temanku: Boy, Buyo, Dedeo, Suadq Dani, Anes, Paranso,Ari, Romi,
dan Wawan.
15. Semuapihak yang telah membantuyangtidak dapatdisebutkansatupersatu.
Penulis menyadarimasih ada kekurangandalam skripsi ini, untuk itu saran serta
kritik yang membangunsangatdiharapkandalam peningkatankualitas skripsi ini,
dan akhimya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaatbagi semua
pihak.
Yogyakarta29 Juli 2009
Penulis,
/E/
4)
IMAWW
IVA
Y t^\
ChristiansenPasaribu
X1
DAFTAR ISI
Halaman
}II{LAIvI{N JUDUL
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS
11
HALAMAN PERSETUruANPEMBIMBING .........
iii
HALAMAN PENGESAHAN
1V
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
HALAMAN PERSEMBAHAN
vl
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUruAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGANAKADEMIS .........
ABSTRAK
v1l
v11l
ABSTRACT
tx
KATA PENGANTAR...........
DAFTARISI ............
xll
DAFTAR GAMBAR
xlv
DAFTAR TABEL
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar BelakangMasalah
B. PerumusanMasalah
C. BatasanMasalah
D. TujuanPenulisan
J
E. MetodePenulisan
a
J
xll
F. ManfaatPenelitian
4
SistematikaPenulisan
BAB II RUANG VEKTOR MATRIKS. DAN TEORI OPTIMASI
A. RuangVektordanMatriks................
6
6
B. DiferensialFungsiKontinu....
l0
C. MasalahOptimasi...
23
D. OptimasiTanpaKendala....
25
E. MetodeNewton.....
28
BAB III METODE DAERAH KEPERCAYAAN IJNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH OPTIMASI
3l
TANPA KENDALA
A. MetodeDaerahKepercayaan
31
B. Algoritma MetodeDaeratrKepercayaan
35
padaMetodeDaerahKepercayaan
C. Kekonvergenan
.............
56
BAB IV PENUTUP
72
A. Kesimpulan
..........
72
B. Saran
73
DAFTAR PUSTAKA
74
LAMPIRAN
75
xllt
DAT"TARGAMBAR
Halaman
Garnbarz.z.1ctrafikTeoremaNilaiRata-rata
15
Gambar2.4.1Macarn-macam
titik peminimal...........
25
Garnbar2.5.1DiagrarnAlir Algoritna MetodeNewton.....
30
Gambar3.2.1DiagramAlir Algoritna MetodeDaerahKepercayaan
46
xiv
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel3.2.1Outputpenyelesaian
contoh3.2.1denganMatlab.
55
nilai awal.
Tabel3.3.1Tabelperbandingan
69
xv
BAB I
PENDAHULUAI\I
A. LatarBelakang Masalah
Dalam kehidupansehari-hari,sering dijumpai kasus tentang pengoptimalan
masalalumisalnya dalam hal penjualanbarangdan pengoptimalandistibusi
barang.Dalam pengoptimalanpenjualanbarangterdapatbeberapahal yang
mempengaruhi,misalnyajumlah barang,ketahananbarangodan hargabarang.
Di dalam matematik4 masalah tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah
model, misalkan ukuran keoptimalanpenjualan dinyatakandenganfungsi /
dan hal-hal yang berpengaruhdinyatakandengan suatu variabel, misalkan
xyx2,...,xn. Dengan demikian fungsi / dievaluasi di variabel-variabel
tersebut,yutu f (x1,x2,...,xn) yang disebutfungsi objektif. Dalam masalah
optimasi fungsi, tujuannya adalah mengoptimumkan (memaksimumkan/
meminimumkan)nilai suatufungsi. Unfuk menentukanpenyelesaianmasalah
optimasi dalam bentuk maksimum fungsi, ekuivalen dengan menentukan
minimum dari negatif fungsi/( -f ) atau dapatdinyatakansebagaimin ( -/).
Oleh karenattu, padapembahasanselaqiutryaakandibalrasmasalatroptimasi
sebagaimasalahminimisasi.Untuk mengoptimalkanfungsi objektil variabelvariabel yang ada perlu diberikan batasanyang disebut dengan kendala
Kendala-kendalayang ada dalam model tersebut menjadi batasanuntuk
menentukan nilai-nilai dari variabel-variabel yang ada sehingga dzpat
ditemukan nilai-nilai variabel yang dapat mengoptimalkanfungsi tersebut.
Namun pengoptimalanfungsi objektif dapat dilakukan meskipun tidak ada
kendala yang terlibat. Pengoptimalan pada kondisi ini disebut juga
pengoptimalantanpa kendala.Untuk menyelesaikanmasalahoptimasi tanpa
kendala ada beberapa metode yang dapat digunakan, misalnya metode
Newton, metodeTurun Tercuram,metodeBroyden, metodePencarianGaris,
dan metodeDaerahKepercayaan.Dalam penulisanskripsi ini, metodeyang
akan dibahasadalahmetodeDaerahKepercayaan.Pengoptimalandari model
ini dapat dilakukan denganmemeriksasetiap x € IRn yang meminimalkan
rulai f (x). Namun hal tersebut membutuhkan waktu yang lama untuk
a. Untuk mengatasihal ini, dipilih suatu titik x* e IR?yang
membuatnilai fungsi/paling minimum. Kemudianakandiperiksanilai fungsi
f (x) di titik-titik sekitarnya. Pemeriksaannilai tungsi f (*) di titik-titik
sekitarnyadapatdilakukan denganmenggunakansuatualgoritma. Untuk itu
persamaantersebutdapatdinyatakandalam suatumodel fungsi mp.Model mp
ini mempunyaisifat yang samadenganfungsi/di titik-titik sekitar x. Akan
dipilih satu daerahdi sekitar x denganmencarinilai p yang meminimumkan
m(x+ p) sebagai
pendekatan.
B. PerumusanMasalah
Pokokperumusanmasalahyang akandibahasdi sini adalah:
t. Bagaimanamenyelesaikanmasalahoptimasi tanpakendalamenggunakan
metodedaerahkepercayaan?
2. Bagaimanaalgoritna metode daerahkepercayaandan implementasinya
menggunakanbatrasapemrogramanMafl ab?
C. BatasanMasalah
Pernbahasanmasalahmetode daerahkepercayaandalam skripsi ini
hanya dibatasi pada model kuadratik dan pada masalah optimasi tanpa
kendala.
Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikanmasalah
optimasitanpakendaladenganmenggunakanmetodedaerahkepercayaandan
untuk menyusunalgoritrnametodedaerahkepercayaanmenggunakanbahasa
pemrogftrmanMatlab.
E. Metode Penulisan
Metodepenulisanskripsi ini menggunakanmetodestudi pustak4 yaitu
denganmenggunakanbuku-buku pendukungyang berkaitandenganmetode
daerahkepercayaandan menuliskanprogramnyadenganbahasapernrogmman
Matlab.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisanskripsi ini adalahuntuk memperolehpengetahuan
tentangmetode daerahkepercayaandan menambahdaftar referensi metode
yang digunakanuntuk menyelesaikanmasalahoptimasi tanpakendala dalam
hal ini metodedaerahkepercayaan,sertamempermudahpenggunaanmetode
ini denganalgoriunabahasapemrogranumMatlab.
G. SistematikaPenulisan
BAB I PEI\DAHULUAI\
A. Latar BelakangMasalatr
B. PerumusanMasalah
C. BatasanMasalah
D. TujuanPenulisan
E. MetodePenulisan
F. ManfaatPenulisan
G. SistematikaPenulisan
BAB II RUANG VEKTO& MATRIKS, DAf[ TEORI OPTIMASI
A. Ruangvektor danMatriks
B. DiferensialFungsiKontinu
C. MasalahOptimasi
D. OptimasiTanpaKendala
E. MetodeNewton
BAB III METODE DAERAH KEPERCAYAAIT T]NTT]K
MEI\TYELESAIKAI\I MASALAII OPTIMASI
TAI\IPA KENDALA
A. MetodeDaerahKepercayaan
B. Algorinna MetodeDaerahKepercayaan
C. KekonvergenanpadaMetodeDaerahKepercayaan
BAB IV PEI\UTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II
RUANG VEKTO& MATRTKS, DAf[ TEORr OprrMASr
Dalam bab ini akan dibahasmengenairuang vektor, matriks, nonna, kalkulus,
masalahoptimasi, optimasi tanpa kendala,metodeNewton. Definisi, teoremaserta
konsep- konsepmengacupadadaftarpustaka.
A. Ruang Vektor dan Matriks
Padasubbabini akandibahasmengenaisifat-sifatvektor, nonnq danmatiks.
Definisi2.1.1
Misalkan V adalahsuatuhimpunantak kosongdengandua operasi:
(i)
penjumlahanvektor: untuk sebarangx, y € I/, hasil penjumlahanx * y e V.
(ii) perkalian skalar: untuk sebarangx € 7 dan suatu skalar a e R, hasilkali
a x€ V .
maka Z disebut ruang vektor jika aksioma-aksiomaberikut dipenuhi untuk
sebarang
x,y,z C V dn sebarangskalar a, b e IR.
1. x+y:y
+ xuntuksetiap
x dany dtV
2. (x + y) + z: x + (y + z) untuksetiapx,y,z di Y.
3. Terdapatelemen0
di Zsehinggax+0=xuntuksetiapxe V.
4. Untuk setiapx € Zterdapatelemen(-x) e Zsehinggax + (-x): g.
5. a(x +y) : ax + aryuntuk setiapskalara € lRdansetiapx dany di V.
6
6. (a + b)x= crx+6x untuk setiapskalara dan6 e R.dansetiapx e V.
7. (ab) x= a (bx) untuk setiapskalara danb € R dan setiapx € V.
Delinisi 2.1.2
Hasil kali dalambaku untuk lRnadalahhasil kali skalar
(*,y): x"y
De{inisi 2.1.3
Jika vektoru : (u1,1t2,...,un)dan vektorv : (v1,t22,...,vn)adalah
sebarang
vektor dalamIRt, makahasit kali dalam Euctidean
u . v: (uft * u2v2+ ...+ It"v")
Delinisi 2.1.4
Irka V adalahsebuahruang hasil kali dalam,maka nonna (norm) atau panjang
(length) sebuahvektor u di dalam V dinotasikandenganllull dan didefinisikan
sebagai
llull - (u, uf/z = (u ' u)tlz
Misalkanvektoru: (zl u2)makanormadari suatuvektoru = (arl,u) adalertt
ffufl=JW,
Jarak Euclideanantaravektor a : (u1,"u2,...,un) dan vektor v : (v1,112,.,,,1)n)
pada IRn didefinisikan sebagai:
d(a,v):llu-o11:
Definisi 2.1.5
Sebuahruangvektor Zdikatakanruanglinear bernorma(normedlinear space)
jika untuk setiapvektorv EV dikaitkandengansebuahbilanganreal tlvll yang
disebutnoflna dari v yang memenuhi:
(t) llvll ) 0 dengankesamaan
berlakujika danhanyajika v = 0.
(Z) llcvll = lal llvll untuksemrnskalara.
(3) llv + wll < llvll + llwll ini disebutKetaksamaan
segitiga.
Beberapacontoh norma vektor
1. Nomrajumlah (11nomr) di Rl.
\-t
llxl[: /lxil
i=t
2. Normatak terbatas(l* norm)di IRn.
llxll- = mgllxrl
3. Norma lo (1, norm)di Rn.
ttxtlp:
(i,*,,,)""
4. Norma 12(12 norm) di IRtr.
9
=(t,,.,,')"'
ttxttz
Definisi2.1.6
Suatumatriks bujur sangkar,4adalahsimetrikjika A = Ar .
Definisi2.1.7
Misal A e IR.nmadalahmatriks simetrik.
A dikatakandefinit positifjika vrAv > 0,V v € IRn,v # 0.
A dikatakansemidefinitpositifjika vrAv > 0, V v € IRn,v # 0.
A dikatakandefinit negatifjika vrAv < 0,V v € IRn,y # 0.
A dikatakansemidefinitnegatifjika vrAv < 0, V v € lRn,v # 0.
A dikatakanindefinit jika tidak semidefinitpositif atausemidefinitnegatif.
Defrnisi2.1.8
Misalkan A,Be lR.mtn.Suatu pemetaan ll.ll:Rm+R
matriksjika memenuhisifat
(i) ll,4ll> 0,vA e lR*;
A = }jika danhanyajika A = 0;
(ii) llaAll- lalllAll,vae &A € lR*;
(iii) ll/ + Bll < lFll + llBll,vA,Be rRmrn.
Beberapacontoh norma matriks
1. Norma 11untuk.Ayangdidefinisikandengan
dikatakan noflna
10
m
= pmzl",t
ilAilr
2. Norma 12untuk Ayttgdidefinisikan dengan
= (7*n7a,e1)'/'
tf,altz
dengan.l merupakannilai eigendari matriks ^4.
3. Norma l* untukA yang didefinisikandengan
ll/ll-=
-e* ilo,il
j =L
Definisi 2.1.9(Ketaksamaan Holder )
= (I,',, ,)"* (t
xrytN berlaku ls - sr,l < e. Bilangan s dinamakanlimit {s"} untuk
n+ @ dan difulis lim4--sn
atau disingkat limsr, = s. Suafubarisanyang
tidak mempunyailimit disebutdivergen.
Definisi 2.2.8
Barisan {s"} dikatakan naik jika sr, S s,...1dan turun jit a sr, ) sn+r untuk
semuan € N. Barisannaik dan barisanturun dinamakanbarisanmonotsn.
t3
Definisi 2.2.9
Sebuahbarisanvellor {xr} dikatakankonvergenke x. jika
Iim p- ' - llxlr - x.ll = 0
Delinisi 2.2.10
Sebuahfungsi kontinu ,f: IR" + lR,dikatakanterdiferensialsecarakontinu pada
x € IRn,jika @f /Axi)(x) adadankontinu"i = t, ...,n,makagradientdari / di x
($adl)didefinisikan sebagai
vf (x):
#r*>
fft*>
fft*>
Q.2.1)
Gradienuntuk fungsi multivariabel analog denganderivative untuk fungsi satu
variabel.Frrngsimultivariabel yang terdiferensialsecarakontinu dapatmemiliki
minimum di x hanyaketika gradiennyabernilai nol.
Delinisi 2.2.11
Sebuahfungsi terdiferensialsecarakontinu .f: IR" --+IR dikatakanterdiferensial
dua kali secarakontinu pada x € R', jil 0, dapatdipilih e ) 0 sedemikianhingga drvz1(x. + ed)d < 0, wrhrk
se mu a € € [0 ,d ].
DenganmenggunakanV,f(x.) = 0, dari persam&mQ.2.12) dapatdihasilkan
,f(x. + ed) =,f(x.) +)ezarvrf (*. * ded)d,
dimana0< 0 ( 1,makaf(x. + ed) I dan J(x) adalahmatriks Jacobi
dari sistempersamaannon-linear,yakni
1xt
I(x) =
ilxz
0fz8) afzF)
}xn
lfzg)
dh.
ilxz
|xn
lxt
dxz
|xn
Teorema2.5.1
Misalkan [xr] adalah barisan metode Newton untuk meminimumkan suatu
fungsi/(x) . JtkaHf (xy.)matriks Hessiandari"f(x) di xl,adalatrdefinit positif dan
jika V/(x;,) + 0, makaarah
pr = -lHf(xk)l-lv/(xk)
29
dari x6 ke x;, * 1 merupakanarah turun/(x)
dalam arti terdapatsuatu e) 0
sedemikianhingga
f (x*+ tpr) < f(xr)
uqtuk semuat sehingga0 < t < e.
Bukti:
Definisikanq(t) =.f(xr + tpr).
cp(t) adalahbatasdari/(x) untuk melewatixr padaarahdari pp maka
q' ( t) =vf( xr *tpJ' pH
dan
q'(o):
i::rlro-r-1v/(xk))
Misalkan p peminimaluntuk m.
Akan ditunjukkanB semidefinitpositif.
m(p) = grp +)erBV
Perhatikankarenap peminimaluntuk mmaka Vm(p) = 0, yakni
V m(P )=B P *g= 0
SehinggaBp = -g. Disimpulkanbahwa g beradadalamrangeB.
Perhatikanjuga Vzm(P) = B. Karena B adalahmatriks simetrik pada
fungsi m(p) dan nilai V'm(p) adamaka menurutteoremasyaratperlu
tingkat keduaY2m(p) = B semidefinitpositif.
(i i )
( 0,
V w € l R n ,w l 0 .
Untuk setiapw € IRn,diperoleh
m ( p + w ) - g r ( p + w) + itp *w) r B( p + w)
= grp + gtw +
|vr Bv +|vr nw +f,wrnp +| wr aw
: (tto +
inran) + srw + (Bp)rw+ f, wr nw
: m(p)+ grw + (-g)rw +) w'nw
: m(p) +
f,wrBw
> m(p)
Jadip adalahpeminimalglobaluntukm.
Jadim memiliki peminimaltunggal.
(:>)
Misalkan m memiliki peminimal tunggal akan ditunjukkan B matriks
simetrik yang definit positif.
Bukti dengankontradiksi
B bukan matiks simetrik yang definit positif maka ada vektor w + 0
sehinggaBw = 0.
Sehingga
m(p+w) - sr(p + w) + i tp * w)rB(p+ w)
= grp + g"w +
]nrBn +lrvrnw +|wr np +Lrwrnw
39
: (tto +
intan) + s'w + (BP)rw+ ] w'rw
m(p) + g?w+ (-g)rw +)wr nw
: m(P) +!;wrBw
m(p)+ iwr(o;
Jadim(p * w) : m(p)
Jadipeminimalm tidak tunggal.
JadipengandaianbahwaB bukanmatriks simetrik yang definit positif
I
salah.
Teorema3.2.2
Vektor p. adalah penyelesaian global dari masalah daerah kepercayaan
Sft*-(n)=f+srp+|{ao
denganlfpil0
yang memenuhikondisi:
(B+ LI)p* = -g
(3.2.sa)
I(A- llp.ll)- o,
(3.2.sb)
(B + 1I) adalahsemidefinitpositif
Bukti :
( 0 sedemikianhingga
(3.2.5c)
40
(B + uI)P' = -g
I( A- lfP.[l) = o
)
]
( 3 .2.s)
(B + 1I) adalahsemidefinit posidf)
terpenuhi.
Akan ditu{ukkan p*peminimal global dari masalahdaerahkepercayaan
= f +s"p + )f nv
miqm(p)
peR'-z--l
denganllpll< A
I
)
Perhatikanpersam&n (3.2.2), denganmenggantimatriks B denganB + 1l
makapeminimal fi(p) = grp + ivr (B + il)p.
Dari lemma 3.2.1(i) dan bahwa (B + 1I) adalahsemidefinitpositif maka
fi mencapaiminimal denganpeminimalfi. adalahp. ( peminimalglobal ).
Perhatikan
n(p)
:1, .rJ::::,
m(p)+ lvro
Q.2.6)
karena p. adalah peminimal global untuk fi maka n(p) 2 fi(p.)
atau
n(p) = m(p)+lvrv2 m(p.)+X(p.)rp.= fi(p.)
m(p))m(p.)+J{{n.)tp.-prp)
(3.2.7)
karena1(A - llp.ll) = 0 makal(Lz - (p.)tp.) = 0,sehingga
diperoleh
( a2- ( P.) r P.) = o
atau
42= (p*)"p*
(3.2.7)akanmenjadi
sehinggapersam&m
m(p) 2 m(p.) +t@2 - p?p)
4l
jadi, daril, > 0 diperolehm(p) > m(p.)untuk setiapp denganllpllS a.
Jadi,p* adalahpeminimalglobal darr(3.2.4)
(:>)
Diasumsikanbahwap. adalahpenyelesaianglobal dari
minm(p)-- f + srp + in'rn
denganllpll< A
)
)
Akan dibuktikanbahwaadal> 0 yangmemenuhi(3.2.5)
a.) Untuk llp-ll S A, p* adalahpeminimaltanpakendaladarim.
Perhatikanbahwam(p.): f + grp. **(p.)rBp.
maka Vm(p.) -- Bp* * g = 0
sehinggaVzm(p.) = B semidefinitpositif
makaakanditunjukkansifat-sifat(3.2.5)berlakuuntuk).= 0.
Akan ditunjukkan1)"> 0 yangmemenuhi(3.2.5a)
Perhatikan(B+ LI)p* = -g
B P .*JLP*= - E
B p .*g *ip.- 0
karenaBp* + g = 0 makapersamaandi atasmenjadi
0+ ' LP*=g
iP*= o
karenap.adalah suatulangkahmakap. + 0 sehingga). = 0.
Akan ditunjukkan1 )L>0 yangmemenuhi(3.2.5b)
42
karena
llp.ll < A makaA - llp.ll > 0
: 0.
supaya
i.(A - llp.ll) = 0 makaharuslah,t
(3.2.5c)
3 2 > 0 yangmemenuhi
Akanditunjukkan
positifsupaya(B + 1I) semidefinit
positifmaka)": 0.
Karena.B
semidefinit
berlaku.
b.) Untukllp.ll = A maka(3.2.5b)
l(L- llP.ll): 0
karenaA=
llp.llmaka(A - llp.ll) = 0.
p. jugamenyelesaikan
masalah
berkendala
minm(p) dengan
llpll: A.
Dengan menggunakankondisi pengoptimalanuntuk masalahoptimasi
berkendalapada masalahini, dapatditemukanbahwa adaI dari fungsi
Lagrangeyangdidefinisikanoleh
L(P,l) = m(P)-| fi(p.)
m(p)+ lvrvt m(p.)+ f {n.)"n.
m(p)2 m(p.)+ x((p.)rp.- prp)
(3.2.s)
pernyataanuntuk g dari (3.2.8)ke dalam(3.2.9),akan
Jika mensubstitusikan
diperolehmenjadi
ptp
m(p) 2 m(p.) +
*(p.)rp. - *
g"p* f,v'av2gtp.+;o.)?Bp-+f,(p.)tp.-*r'o
(-(B +.tr)p.)p+|ornv > (-(B +.r/)p.)p.+ j{n.)tBp*+}{n.)tn. lp'p
p(-Bp.- ip.) +!v'nv ) p.(-Bp*- rp*)+|{v)r ap-+:(p.)"p. * ptp
-prBp* -iptp* +|v'Bv 2 -(p.)rBp. - r(p.)tp*+|{R.)tan- +
f{n.)tR.-Lro'o
-p"Bp. * tp, p* + !f, Bp +:@)r Bp.+ l(n.)tp* + * ptp > o
44
1
1{v'nv
- ptBp. + ip'p-
hp'g* - (p.)tBp+ (p.)tBp. -i(p.)tp
+ r(p.)tp* > 0
1
2{v'nv
+ lprp - (p.)tBp- i(p.)tp * p'Bp. * hp'p'+ (p.)rBp.
+ r(p.)"p*> 0
1
-7{$'n + up'- (p.)tr - t(p.)t)p - (p"g + tp' - (p.)tB
- i.(p.)r)p.]> o
1
(p")"8- i(p.)TG - p.) z o
1{v'n + lp'ito-p.)'(B +Lr)(p-p.))0
(3.2.10)
Karenahimpunanarah
(
p- p*
: w : tffip,
{w
,
)
p dengan
untukseiumlah
llpil= nJ
memadatilingkaransatuan,(3.2.10)cukupuntukmembuktikan(3.2.5c).
Karena(3.2.5a)dan(3.2.5c)dipenuhiolehp*, dandaxiLemma3.2.1(i)
diketahuibahwap* adalahpeminimaluntuk fr maka
m(p)2 m(p')*|{$.>rp. - prp)
berlaku.
Andaikanhanyaterdapatnilai-nilai ,l y*g negatif,makam(p) > m(p.) saat
llpll>llp.ll=4.
Karenam mencapuminimal padap*, makaberdasarkanLemma3.2.1 (i),
45
Bp : -g (berlakujuga untuk p*) dan B semidefinitpositif.
Kondisi(3.2.5a),(B + LI)p* = -g
B p* + ip* = - g
Persamaan
ini akanmenjadiBp* = -g bila 7p* = 0, dan p* * 0, makanilai
,1.harusnol.
Terdapatkontradiksi,pengandaiansalah.
r
1> 0.
Jadi,disimpulkanbahwa
Berdasarkanketerangandi atas dan dari Definisi 2.4.1e dapat dibuat suatu
algoritmaberikut ini untuk menyelesaikanmasalahdaeratrkepercayaan.
Algoritma 3.2.1
Langkah1.Diberikantitikawal
xs,
-L,
A0 € (0,I), e 2 0,0 < It'
mr(o)
*+A' =e
m{p)=
#- #g+ !to)'
Sehinggaberdasarkanpersamaan( 3. l. 4 ) maka
o" =f
f i =#=
#" -LZo4
-e1.-ffi
Tg
Karena h 2It
maka x2 : x1 * p1
: (0,-i) * (o,i)
: (0,-i)
Langkah 5
ez makaAz= min (2At,[ l,yatcni Az= 4.
karenah)
Langkah 6
+ n(-:)'
Hitune
,"- =(t"o)'
\
/o+
:(*
s(o)(-;)
O\
szl
\0 il
8(o)(-;)
\
4e),+ n(-|)' I
s4
maka
*tz= 04+ z(0)z(-;)' + (- i)- * (u,or'+ 4(0)(- i)')0,
+(+10;'
(-i) * n(-il') v,+ (es1'+z(-i)')v?
+ (ecol
(-;)) ptpz*(r,or' + a(-)')vi
=o*o*#+o-#or+ftv?+fiv?
:
255
256
. 32
t
32
Aa - Ts?z + uPi + VPi
I
Iterasi 3
Langkah 2
Hitung llsnll S e
=vf(x)=(ifr;f;:l)
s(x)
n t> ' + 4 (o)(-t J'\
_
(
t' =
\n ,o ) ' ()-+ +1-g')
=(-k)
sehinggallgzll :
_ rta >,
729
karenallg2ll > e lanjutkanke langkah3.
Prosesiterasi akanterus dila{utkan sampai llekll< s
55
Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program
MATLAB.
contoh3.2.1 denganMatlab
Tabel3.2.1 Outputpenyelesaian
k I x(l)
x
T]NTT]K MEI\TYELESAIKAII MASALAH
OPTIMASI TAI\PA KEI\IDALA
SKRIPSI
Diajukan untuk MemenuhiSalahSatuSyarat
MemperolehGelarSarjanaSains
ProgramStudi Matematika
DisusunOleh:
ChristiansenPasaribu
NIM:053114019
PROGRAM STT]DI MATEMATIKA JI]RUSAI\I MATEMATIKA
X'AKT]LTAS SAINS DAI\[ TEKNOLOGI
T]NTVERSITASSANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2049
TRUST-REGION METHODS
TO SOLVE
I]NCONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS
THESIS
PresentedasPartial Fulfillment of the Requirements
To ObtaintheSARIANA SAINSDegree
In Mathematics
By:
ChristiansenPasaribu
StudentNumber: 053114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AI\[D TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA I'NIVERSITY
YOGYAKARTA
SKRIPSI
MET(X)N DAERAH KEPERCAYAA}{
UNTT]K MEFTYELESAIKAN MASALAH OPTIMASI
TANPA KEFIDALA
P' **
qM
fux
DosenPembimbing
"tfs.si.,M.si.
Tanggal22 Juli 2009
lll
SKRIPSI
METODE DAERAH KEPERCAYAAI{
TINTUK MEII-YELESAIKAI\ MASALAH OPTIMASI
TAITPA KENIDALA
Dipersiapkandan ditulis oleh :
Ketua
Sekretaris
: St. Eko Hari Paruradi,S.Si.,M.Kom.
Anggota
: LusiaKrismiyatiBudiasih,S.Si.,M.Si.
Yogyakarta 29 Juli 2009
FakultasSainsdan Teknologi
Universius $anataDhmma
'P{*'^
Cahyanta"S.T.,M.T.
PER}TYATAAI\I KEASLIAN KARYA
Saya menyatakandengan sesungguhnyabahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuatkarya atau bagian karya orang lain" kecuali yang telah disebutkandalam
layaknyakarya ilmiah.
kutipandan daftaxpustaka,sebagaimana
Yogyakarta"22 hili2009
Penulis,
qffigChristiAnsenPasaribu
INI KEPADA:
KUPERSEMBAHKAN
SKR/,PS'
TUHAN YESUSKRISTUS
BAPAKDANMAMATERC'NTA ATASSEMANGAT,DOA, SERTADUKUNoAN SECARA
MORIL MAUPUN MATERI'L
P,6AR'BU
ABANGKUTERC'NTAWHARTONFRED'CKSEN
KEDUAADIKKU TERC'NTAWALD'MER PASAR'BUDAN CAROLINAPASARIBU
ALMAMATERKU UN'VERS'TAS
SANATADHARMA
MATA GURUROHASISEAN
IaIcm
BERDOAAGARHIDUPLEBIH
MUDAH.Bnnoos.en AGARKITA LEBrH
KUAT
{fonuF.Krnwnnv)
Hrnuprru sEpERTr
SEBUAH
snpnot Kau
TIDAKAKANTERJATUHKECUA"IIBILA
BERHENTIMENGAYUH
( CrnuoePnnnnn)
TnRruRrRsrH
DANKesm^nxnr
rETAp
MENIADIIGKUATAN TERBESARDUNIA
( Frunorucn
oRRrBoormcnwrncn
)
vl
LEMBAR PERIYYATAAI\ PERSETUJUAI\
PUBLIKASI KARYA ILMIAH I]NTI]K KEPENTINGAI\I AKADEMIS
Yang bertandatangandi bawahini, sayamahasiswaUniversitasSanataDharma:
: ChristiansenPasaribu
Nama
NomorMahasiswa : 053114019
Demi pengembanganilmu pengetahuan,saya memberikan kepada Perpustakaan
UniversitasSanataDharmakwyailmiah sayayang berjudul:
METODE DAERAH KEPERCAYAAN
T]NTI'K MEIYYELESAIKAI\ MASALAH
OPTIMASI TAI\PA KENDALA
Besertaperangkatyang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepadaPerpustakaan
UniversitasSanataDharmahak untuk menyimpan,mengalihkan
dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan da@
mendistribusikansecaraterbatas,dan mempublikasikandi Internet atau media lain
untuk kepentinganakademistanpaperlu memintaijin dari sayamaupunmemberikan
royalti kepadasayaselamatetapmencantumkannamasayasebagaipenulis.
Demikian pemyataanini sayabuat dengansebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta.
PadaTanggal:29Juli 2009
Yang menyatakan
W^
r*.,{i-rn
(\)4 1
w
l1.z
Ww- ll
|
I
I^Y^W
-lq
t/
/
!
(ChristiansenPasaribu)
vl1
ABSTRAK
Optimasi fungsi multivariabeltidak mudahdiselesaikansecaxaanalitik. Tetapi bukan
berarti masalahtersebuttidak dapatdiselesaikan.Padaskripsi ini akandiperkenalkan
suatu metode numerik yang dapat menyelesaikanmasalahtersebut yakni Metode
Daerah Kepercayaan.Dalam Metode Daerah Kepercayanmasalahoptimasi fungsi
multivariabel diubah menjadi masalatr dalam bentuk kuadratih yakni dengan
membangunsebuahmodel fungsi kuadratik. Metode Daerah Kepercayaanadalalt
suatu metode iterasi yang mendefinisikan suatu daeratrpada iterasi yang sedang
berlangsungyang dipercayai memuat calon solusi dari suatu model yang menjadi
representasiyang baik dari fungsi objektif. Perhitunganpada model ini bertujuan
untuk mencari sebuah langkah yang menjadi peminimal hampiran dari model
kuadratik tersebut. Jika langkah tidak cocok maka ukuran daerah kepercayaan
diperkecil dan mencari peminimal baru. Solusi dari masalah optimasi yang
sebenarnyadiperolehdenganmenjumlahkanvektor langkahyang baru dengansolusi
padaiterasi yang sebelumnya.Metodeini juga mempunyaisifat konvergenglobal.
vlll
ABSTRACT
The optimization function multivariablesis not easyto solved with analysis.But it
doesn't mean that the problem can not solved. In this thesis will introduced a
numerical method can solve the problem which is Trust-RegionMethod. In TrustRegion Method, optimization problem function multivariableschangeinto quadratic
problem,wtrich is with constructa quadraticmodel function. Trust-RegionMethod is
an iterative methodwhich define a region aroundfrom current iterate which trusted
load the solution candidatefrom a model to be a good representationof the objective
function. Calculatingin this model to find a stepto be the approximateminimize of
the quadraticmodel.If the stepdoesnot acceptablethen sizeof the trust regionwould
be reducedand find a new minimizer. Solution of the actually optimization problem
obtainedby summinga new stepwith the solution of previousiteration. This method
alsohaveglobal convergentcharacteristic.
1X
KATA PENGAI\ITAR
Segalapuji dan syukur,penulispanjatkankepadaTuhanYesusKristus, Sang
Juru Selamat,sehinggakarenakasih dan karunia-Nyaskripsi ini dapatdiselesaikan
denganbaik.
Dalam penyusurumskripsi ini penulis membutuhkanbantuandari berbagai
pihak. Oleh karenaitu, dengansegalakerendahanhati penulis ingin menyampaikan
ucapanterima kasih kepada:
l. Lusia Krismiyati Budiasih,S.Si.,M.Si., selakudosenpembimbingdan Kaprodi
MatematikaFST-USD yang denganrendahhati mau
banyakwaktu
danpenuhkesabarantelah membimbingpenulisselamapenyusumnskripsi.
2. YosefAgungCahyantaS.T.,M.T., selakuDekanFST-USD.
3. Ch. EnnyMwwaningtyas,S.Si.,M.Si., selakudosenpenguji.
4. St. Eko Hari Parmadi,S.Si.,M.Kom., selakudosenpenguji.
5. Romo Prof. Dr. FransSusilo, S.J.,selakudosenpembimbingakademik.
6. Sudi Mungkasi,S.Si.,M.Sc.,yangpemahmenjadidosenpembimbingakademik
bagi penulis.
7. Y.G. Hartono,S.Si.,M.Sc., dan Herry PribawantoSuryawan"S.Si.,M.Si.oymg
telah banyakmembantudanmemberimasukankepadapenulis.
8. Bapak dan Ibu dosenPrograrnStudi Matematikayang telah memberikanbekal
ilmu yang sangatbergunabagi penulis.
9. Karyawan sekretariatFST kfiususnyaBapak Tukija dan Ibu Linda yang telah
memberikanpelayananselamapenuliskuliah sertaKaryawanPerpustakaan
USD
yangtelah memberikanfasilitasdankemudahankepadapenulis.
10. Kedua orang tuaku serta abangku Wharton dan adik-adikku Waldimer dan
Carolina yang selalu memberikan dukungan kepadaku dan untuk semua
pelajaran hidup, cintq kasih sayang, pengorbanan, doa motivasi dan
kepercayaanyang sangatberarti.
11. Ratna Bunga atas waktu dan dukungan yang selama ini diberikan kepada
penulis.
12. Teman-temanMatematika angkatan 2005 : Ratra George, Louis, Vincent,
Priskila" Dedy, Zetho, Yudi, Sisiria, Inne, Echi, Susi, Devi, Wuri, Septi, Tyas,
Nanin,Puput,Shela"Vira.
13. Teman-temanMatematikabaik kakak angkatanmaupunadik angkatan.
14. Teman-temanku: Boy, Buyo, Dedeo, Suadq Dani, Anes, Paranso,Ari, Romi,
dan Wawan.
15. Semuapihak yang telah membantuyangtidak dapatdisebutkansatupersatu.
Penulis menyadarimasih ada kekurangandalam skripsi ini, untuk itu saran serta
kritik yang membangunsangatdiharapkandalam peningkatankualitas skripsi ini,
dan akhimya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaatbagi semua
pihak.
Yogyakarta29 Juli 2009
Penulis,
/E/
4)
IMAWW
IVA
Y t^\
ChristiansenPasaribu
X1
DAFTAR ISI
Halaman
}II{LAIvI{N JUDUL
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS
11
HALAMAN PERSETUruANPEMBIMBING .........
iii
HALAMAN PENGESAHAN
1V
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
HALAMAN PERSEMBAHAN
vl
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUruAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGANAKADEMIS .........
ABSTRAK
v1l
v11l
ABSTRACT
tx
KATA PENGANTAR...........
DAFTARISI ............
xll
DAFTAR GAMBAR
xlv
DAFTAR TABEL
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar BelakangMasalah
B. PerumusanMasalah
C. BatasanMasalah
D. TujuanPenulisan
J
E. MetodePenulisan
a
J
xll
F. ManfaatPenelitian
4
SistematikaPenulisan
BAB II RUANG VEKTOR MATRIKS. DAN TEORI OPTIMASI
A. RuangVektordanMatriks................
6
6
B. DiferensialFungsiKontinu....
l0
C. MasalahOptimasi...
23
D. OptimasiTanpaKendala....
25
E. MetodeNewton.....
28
BAB III METODE DAERAH KEPERCAYAAN IJNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH OPTIMASI
3l
TANPA KENDALA
A. MetodeDaerahKepercayaan
31
B. Algoritma MetodeDaeratrKepercayaan
35
padaMetodeDaerahKepercayaan
C. Kekonvergenan
.............
56
BAB IV PENUTUP
72
A. Kesimpulan
..........
72
B. Saran
73
DAFTAR PUSTAKA
74
LAMPIRAN
75
xllt
DAT"TARGAMBAR
Halaman
Garnbarz.z.1ctrafikTeoremaNilaiRata-rata
15
Gambar2.4.1Macarn-macam
titik peminimal...........
25
Garnbar2.5.1DiagrarnAlir Algoritna MetodeNewton.....
30
Gambar3.2.1DiagramAlir Algoritna MetodeDaerahKepercayaan
46
xiv
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel3.2.1Outputpenyelesaian
contoh3.2.1denganMatlab.
55
nilai awal.
Tabel3.3.1Tabelperbandingan
69
xv
BAB I
PENDAHULUAI\I
A. LatarBelakang Masalah
Dalam kehidupansehari-hari,sering dijumpai kasus tentang pengoptimalan
masalalumisalnya dalam hal penjualanbarangdan pengoptimalandistibusi
barang.Dalam pengoptimalanpenjualanbarangterdapatbeberapahal yang
mempengaruhi,misalnyajumlah barang,ketahananbarangodan hargabarang.
Di dalam matematik4 masalah tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah
model, misalkan ukuran keoptimalanpenjualan dinyatakandenganfungsi /
dan hal-hal yang berpengaruhdinyatakandengan suatu variabel, misalkan
xyx2,...,xn. Dengan demikian fungsi / dievaluasi di variabel-variabel
tersebut,yutu f (x1,x2,...,xn) yang disebutfungsi objektif. Dalam masalah
optimasi fungsi, tujuannya adalah mengoptimumkan (memaksimumkan/
meminimumkan)nilai suatufungsi. Unfuk menentukanpenyelesaianmasalah
optimasi dalam bentuk maksimum fungsi, ekuivalen dengan menentukan
minimum dari negatif fungsi/( -f ) atau dapatdinyatakansebagaimin ( -/).
Oleh karenattu, padapembahasanselaqiutryaakandibalrasmasalatroptimasi
sebagaimasalahminimisasi.Untuk mengoptimalkanfungsi objektil variabelvariabel yang ada perlu diberikan batasanyang disebut dengan kendala
Kendala-kendalayang ada dalam model tersebut menjadi batasanuntuk
menentukan nilai-nilai dari variabel-variabel yang ada sehingga dzpat
ditemukan nilai-nilai variabel yang dapat mengoptimalkanfungsi tersebut.
Namun pengoptimalanfungsi objektif dapat dilakukan meskipun tidak ada
kendala yang terlibat. Pengoptimalan pada kondisi ini disebut juga
pengoptimalantanpa kendala.Untuk menyelesaikanmasalahoptimasi tanpa
kendala ada beberapa metode yang dapat digunakan, misalnya metode
Newton, metodeTurun Tercuram,metodeBroyden, metodePencarianGaris,
dan metodeDaerahKepercayaan.Dalam penulisanskripsi ini, metodeyang
akan dibahasadalahmetodeDaerahKepercayaan.Pengoptimalandari model
ini dapat dilakukan denganmemeriksasetiap x € IRn yang meminimalkan
rulai f (x). Namun hal tersebut membutuhkan waktu yang lama untuk
a. Untuk mengatasihal ini, dipilih suatu titik x* e IR?yang
membuatnilai fungsi/paling minimum. Kemudianakandiperiksanilai fungsi
f (x) di titik-titik sekitarnya. Pemeriksaannilai tungsi f (*) di titik-titik
sekitarnyadapatdilakukan denganmenggunakansuatualgoritma. Untuk itu
persamaantersebutdapatdinyatakandalam suatumodel fungsi mp.Model mp
ini mempunyaisifat yang samadenganfungsi/di titik-titik sekitar x. Akan
dipilih satu daerahdi sekitar x denganmencarinilai p yang meminimumkan
m(x+ p) sebagai
pendekatan.
B. PerumusanMasalah
Pokokperumusanmasalahyang akandibahasdi sini adalah:
t. Bagaimanamenyelesaikanmasalahoptimasi tanpakendalamenggunakan
metodedaerahkepercayaan?
2. Bagaimanaalgoritna metode daerahkepercayaandan implementasinya
menggunakanbatrasapemrogramanMafl ab?
C. BatasanMasalah
Pernbahasanmasalahmetode daerahkepercayaandalam skripsi ini
hanya dibatasi pada model kuadratik dan pada masalah optimasi tanpa
kendala.
Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikanmasalah
optimasitanpakendaladenganmenggunakanmetodedaerahkepercayaandan
untuk menyusunalgoritrnametodedaerahkepercayaanmenggunakanbahasa
pemrogftrmanMatlab.
E. Metode Penulisan
Metodepenulisanskripsi ini menggunakanmetodestudi pustak4 yaitu
denganmenggunakanbuku-buku pendukungyang berkaitandenganmetode
daerahkepercayaandan menuliskanprogramnyadenganbahasapernrogmman
Matlab.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisanskripsi ini adalahuntuk memperolehpengetahuan
tentangmetode daerahkepercayaandan menambahdaftar referensi metode
yang digunakanuntuk menyelesaikanmasalahoptimasi tanpakendala dalam
hal ini metodedaerahkepercayaan,sertamempermudahpenggunaanmetode
ini denganalgoriunabahasapemrogranumMatlab.
G. SistematikaPenulisan
BAB I PEI\DAHULUAI\
A. Latar BelakangMasalatr
B. PerumusanMasalah
C. BatasanMasalah
D. TujuanPenulisan
E. MetodePenulisan
F. ManfaatPenulisan
G. SistematikaPenulisan
BAB II RUANG VEKTO& MATRIKS, DAf[ TEORI OPTIMASI
A. Ruangvektor danMatriks
B. DiferensialFungsiKontinu
C. MasalahOptimasi
D. OptimasiTanpaKendala
E. MetodeNewton
BAB III METODE DAERAH KEPERCAYAAIT T]NTT]K
MEI\TYELESAIKAI\I MASALAII OPTIMASI
TAI\IPA KENDALA
A. MetodeDaerahKepercayaan
B. Algorinna MetodeDaerahKepercayaan
C. KekonvergenanpadaMetodeDaerahKepercayaan
BAB IV PEI\UTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II
RUANG VEKTO& MATRTKS, DAf[ TEORr OprrMASr
Dalam bab ini akan dibahasmengenairuang vektor, matriks, nonna, kalkulus,
masalahoptimasi, optimasi tanpa kendala,metodeNewton. Definisi, teoremaserta
konsep- konsepmengacupadadaftarpustaka.
A. Ruang Vektor dan Matriks
Padasubbabini akandibahasmengenaisifat-sifatvektor, nonnq danmatiks.
Definisi2.1.1
Misalkan V adalahsuatuhimpunantak kosongdengandua operasi:
(i)
penjumlahanvektor: untuk sebarangx, y € I/, hasil penjumlahanx * y e V.
(ii) perkalian skalar: untuk sebarangx € 7 dan suatu skalar a e R, hasilkali
a x€ V .
maka Z disebut ruang vektor jika aksioma-aksiomaberikut dipenuhi untuk
sebarang
x,y,z C V dn sebarangskalar a, b e IR.
1. x+y:y
+ xuntuksetiap
x dany dtV
2. (x + y) + z: x + (y + z) untuksetiapx,y,z di Y.
3. Terdapatelemen0
di Zsehinggax+0=xuntuksetiapxe V.
4. Untuk setiapx € Zterdapatelemen(-x) e Zsehinggax + (-x): g.
5. a(x +y) : ax + aryuntuk setiapskalara € lRdansetiapx dany di V.
6
6. (a + b)x= crx+6x untuk setiapskalara dan6 e R.dansetiapx e V.
7. (ab) x= a (bx) untuk setiapskalara danb € R dan setiapx € V.
Delinisi 2.1.2
Hasil kali dalambaku untuk lRnadalahhasil kali skalar
(*,y): x"y
De{inisi 2.1.3
Jika vektoru : (u1,1t2,...,un)dan vektorv : (v1,t22,...,vn)adalah
sebarang
vektor dalamIRt, makahasit kali dalam Euctidean
u . v: (uft * u2v2+ ...+ It"v")
Delinisi 2.1.4
Irka V adalahsebuahruang hasil kali dalam,maka nonna (norm) atau panjang
(length) sebuahvektor u di dalam V dinotasikandenganllull dan didefinisikan
sebagai
llull - (u, uf/z = (u ' u)tlz
Misalkanvektoru: (zl u2)makanormadari suatuvektoru = (arl,u) adalertt
ffufl=JW,
Jarak Euclideanantaravektor a : (u1,"u2,...,un) dan vektor v : (v1,112,.,,,1)n)
pada IRn didefinisikan sebagai:
d(a,v):llu-o11:
Definisi 2.1.5
Sebuahruangvektor Zdikatakanruanglinear bernorma(normedlinear space)
jika untuk setiapvektorv EV dikaitkandengansebuahbilanganreal tlvll yang
disebutnoflna dari v yang memenuhi:
(t) llvll ) 0 dengankesamaan
berlakujika danhanyajika v = 0.
(Z) llcvll = lal llvll untuksemrnskalara.
(3) llv + wll < llvll + llwll ini disebutKetaksamaan
segitiga.
Beberapacontoh norma vektor
1. Nomrajumlah (11nomr) di Rl.
\-t
llxl[: /lxil
i=t
2. Normatak terbatas(l* norm)di IRn.
llxll- = mgllxrl
3. Norma lo (1, norm)di Rn.
ttxtlp:
(i,*,,,)""
4. Norma 12(12 norm) di IRtr.
9
=(t,,.,,')"'
ttxttz
Definisi2.1.6
Suatumatriks bujur sangkar,4adalahsimetrikjika A = Ar .
Definisi2.1.7
Misal A e IR.nmadalahmatriks simetrik.
A dikatakandefinit positifjika vrAv > 0,V v € IRn,v # 0.
A dikatakansemidefinitpositifjika vrAv > 0, V v € IRn,v # 0.
A dikatakandefinit negatifjika vrAv < 0,V v € IRn,y # 0.
A dikatakansemidefinitnegatifjika vrAv < 0, V v € lRn,v # 0.
A dikatakanindefinit jika tidak semidefinitpositif atausemidefinitnegatif.
Defrnisi2.1.8
Misalkan A,Be lR.mtn.Suatu pemetaan ll.ll:Rm+R
matriksjika memenuhisifat
(i) ll,4ll> 0,vA e lR*;
A = }jika danhanyajika A = 0;
(ii) llaAll- lalllAll,vae &A € lR*;
(iii) ll/ + Bll < lFll + llBll,vA,Be rRmrn.
Beberapacontoh norma matriks
1. Norma 11untuk.Ayangdidefinisikandengan
dikatakan noflna
10
m
= pmzl",t
ilAilr
2. Norma 12untuk Ayttgdidefinisikan dengan
= (7*n7a,e1)'/'
tf,altz
dengan.l merupakannilai eigendari matriks ^4.
3. Norma l* untukA yang didefinisikandengan
ll/ll-=
-e* ilo,il
j =L
Definisi 2.1.9(Ketaksamaan Holder )
= (I,',, ,)"* (t
xrytN berlaku ls - sr,l < e. Bilangan s dinamakanlimit {s"} untuk
n+ @ dan difulis lim4--sn
atau disingkat limsr, = s. Suafubarisanyang
tidak mempunyailimit disebutdivergen.
Definisi 2.2.8
Barisan {s"} dikatakan naik jika sr, S s,...1dan turun jit a sr, ) sn+r untuk
semuan € N. Barisannaik dan barisanturun dinamakanbarisanmonotsn.
t3
Definisi 2.2.9
Sebuahbarisanvellor {xr} dikatakankonvergenke x. jika
Iim p- ' - llxlr - x.ll = 0
Delinisi 2.2.10
Sebuahfungsi kontinu ,f: IR" + lR,dikatakanterdiferensialsecarakontinu pada
x € IRn,jika @f /Axi)(x) adadankontinu"i = t, ...,n,makagradientdari / di x
($adl)didefinisikan sebagai
vf (x):
#r*>
fft*>
fft*>
Q.2.1)
Gradienuntuk fungsi multivariabel analog denganderivative untuk fungsi satu
variabel.Frrngsimultivariabel yang terdiferensialsecarakontinu dapatmemiliki
minimum di x hanyaketika gradiennyabernilai nol.
Delinisi 2.2.11
Sebuahfungsi terdiferensialsecarakontinu .f: IR" --+IR dikatakanterdiferensial
dua kali secarakontinu pada x € R', jil 0, dapatdipilih e ) 0 sedemikianhingga drvz1(x. + ed)d < 0, wrhrk
se mu a € € [0 ,d ].
DenganmenggunakanV,f(x.) = 0, dari persam&mQ.2.12) dapatdihasilkan
,f(x. + ed) =,f(x.) +)ezarvrf (*. * ded)d,
dimana0< 0 ( 1,makaf(x. + ed) I dan J(x) adalahmatriks Jacobi
dari sistempersamaannon-linear,yakni
1xt
I(x) =
ilxz
0fz8) afzF)
}xn
lfzg)
dh.
ilxz
|xn
lxt
dxz
|xn
Teorema2.5.1
Misalkan [xr] adalah barisan metode Newton untuk meminimumkan suatu
fungsi/(x) . JtkaHf (xy.)matriks Hessiandari"f(x) di xl,adalatrdefinit positif dan
jika V/(x;,) + 0, makaarah
pr = -lHf(xk)l-lv/(xk)
29
dari x6 ke x;, * 1 merupakanarah turun/(x)
dalam arti terdapatsuatu e) 0
sedemikianhingga
f (x*+ tpr) < f(xr)
uqtuk semuat sehingga0 < t < e.
Bukti:
Definisikanq(t) =.f(xr + tpr).
cp(t) adalahbatasdari/(x) untuk melewatixr padaarahdari pp maka
q' ( t) =vf( xr *tpJ' pH
dan
q'(o):
i::rlro-r-1v/(xk))
Misalkan p peminimaluntuk m.
Akan ditunjukkanB semidefinitpositif.
m(p) = grp +)erBV
Perhatikankarenap peminimaluntuk mmaka Vm(p) = 0, yakni
V m(P )=B P *g= 0
SehinggaBp = -g. Disimpulkanbahwa g beradadalamrangeB.
Perhatikanjuga Vzm(P) = B. Karena B adalahmatriks simetrik pada
fungsi m(p) dan nilai V'm(p) adamaka menurutteoremasyaratperlu
tingkat keduaY2m(p) = B semidefinitpositif.
(i i )
( 0,
V w € l R n ,w l 0 .
Untuk setiapw € IRn,diperoleh
m ( p + w ) - g r ( p + w) + itp *w) r B( p + w)
= grp + gtw +
|vr Bv +|vr nw +f,wrnp +| wr aw
: (tto +
inran) + srw + (Bp)rw+ f, wr nw
: m(p)+ grw + (-g)rw +) w'nw
: m(p) +
f,wrBw
> m(p)
Jadip adalahpeminimalglobaluntukm.
Jadim memiliki peminimaltunggal.
(:>)
Misalkan m memiliki peminimal tunggal akan ditunjukkan B matriks
simetrik yang definit positif.
Bukti dengankontradiksi
B bukan matiks simetrik yang definit positif maka ada vektor w + 0
sehinggaBw = 0.
Sehingga
m(p+w) - sr(p + w) + i tp * w)rB(p+ w)
= grp + g"w +
]nrBn +lrvrnw +|wr np +Lrwrnw
39
: (tto +
intan) + s'w + (BP)rw+ ] w'rw
m(p) + g?w+ (-g)rw +)wr nw
: m(P) +!;wrBw
m(p)+ iwr(o;
Jadim(p * w) : m(p)
Jadipeminimalm tidak tunggal.
JadipengandaianbahwaB bukanmatriks simetrik yang definit positif
I
salah.
Teorema3.2.2
Vektor p. adalah penyelesaian global dari masalah daerah kepercayaan
Sft*-(n)=f+srp+|{ao
denganlfpil0
yang memenuhikondisi:
(B+ LI)p* = -g
(3.2.sa)
I(A- llp.ll)- o,
(3.2.sb)
(B + 1I) adalahsemidefinitpositif
Bukti :
( 0 sedemikianhingga
(3.2.5c)
40
(B + uI)P' = -g
I( A- lfP.[l) = o
)
]
( 3 .2.s)
(B + 1I) adalahsemidefinit posidf)
terpenuhi.
Akan ditu{ukkan p*peminimal global dari masalahdaerahkepercayaan
= f +s"p + )f nv
miqm(p)
peR'-z--l
denganllpll< A
I
)
Perhatikanpersam&n (3.2.2), denganmenggantimatriks B denganB + 1l
makapeminimal fi(p) = grp + ivr (B + il)p.
Dari lemma 3.2.1(i) dan bahwa (B + 1I) adalahsemidefinitpositif maka
fi mencapaiminimal denganpeminimalfi. adalahp. ( peminimalglobal ).
Perhatikan
n(p)
:1, .rJ::::,
m(p)+ lvro
Q.2.6)
karena p. adalah peminimal global untuk fi maka n(p) 2 fi(p.)
atau
n(p) = m(p)+lvrv2 m(p.)+X(p.)rp.= fi(p.)
m(p))m(p.)+J{{n.)tp.-prp)
(3.2.7)
karena1(A - llp.ll) = 0 makal(Lz - (p.)tp.) = 0,sehingga
diperoleh
( a2- ( P.) r P.) = o
atau
42= (p*)"p*
(3.2.7)akanmenjadi
sehinggapersam&m
m(p) 2 m(p.) +t@2 - p?p)
4l
jadi, daril, > 0 diperolehm(p) > m(p.)untuk setiapp denganllpllS a.
Jadi,p* adalahpeminimalglobal darr(3.2.4)
(:>)
Diasumsikanbahwap. adalahpenyelesaianglobal dari
minm(p)-- f + srp + in'rn
denganllpll< A
)
)
Akan dibuktikanbahwaadal> 0 yangmemenuhi(3.2.5)
a.) Untuk llp-ll S A, p* adalahpeminimaltanpakendaladarim.
Perhatikanbahwam(p.): f + grp. **(p.)rBp.
maka Vm(p.) -- Bp* * g = 0
sehinggaVzm(p.) = B semidefinitpositif
makaakanditunjukkansifat-sifat(3.2.5)berlakuuntuk).= 0.
Akan ditunjukkan1)"> 0 yangmemenuhi(3.2.5a)
Perhatikan(B+ LI)p* = -g
B P .*JLP*= - E
B p .*g *ip.- 0
karenaBp* + g = 0 makapersamaandi atasmenjadi
0+ ' LP*=g
iP*= o
karenap.adalah suatulangkahmakap. + 0 sehingga). = 0.
Akan ditunjukkan1 )L>0 yangmemenuhi(3.2.5b)
42
karena
llp.ll < A makaA - llp.ll > 0
: 0.
supaya
i.(A - llp.ll) = 0 makaharuslah,t
(3.2.5c)
3 2 > 0 yangmemenuhi
Akanditunjukkan
positifsupaya(B + 1I) semidefinit
positifmaka)": 0.
Karena.B
semidefinit
berlaku.
b.) Untukllp.ll = A maka(3.2.5b)
l(L- llP.ll): 0
karenaA=
llp.llmaka(A - llp.ll) = 0.
p. jugamenyelesaikan
masalah
berkendala
minm(p) dengan
llpll: A.
Dengan menggunakankondisi pengoptimalanuntuk masalahoptimasi
berkendalapada masalahini, dapatditemukanbahwa adaI dari fungsi
Lagrangeyangdidefinisikanoleh
L(P,l) = m(P)-| fi(p.)
m(p)+ lvrvt m(p.)+ f {n.)"n.
m(p)2 m(p.)+ x((p.)rp.- prp)
(3.2.s)
pernyataanuntuk g dari (3.2.8)ke dalam(3.2.9),akan
Jika mensubstitusikan
diperolehmenjadi
ptp
m(p) 2 m(p.) +
*(p.)rp. - *
g"p* f,v'av2gtp.+;o.)?Bp-+f,(p.)tp.-*r'o
(-(B +.tr)p.)p+|ornv > (-(B +.r/)p.)p.+ j{n.)tBp*+}{n.)tn. lp'p
p(-Bp.- ip.) +!v'nv ) p.(-Bp*- rp*)+|{v)r ap-+:(p.)"p. * ptp
-prBp* -iptp* +|v'Bv 2 -(p.)rBp. - r(p.)tp*+|{R.)tan- +
f{n.)tR.-Lro'o
-p"Bp. * tp, p* + !f, Bp +:@)r Bp.+ l(n.)tp* + * ptp > o
44
1
1{v'nv
- ptBp. + ip'p-
hp'g* - (p.)tBp+ (p.)tBp. -i(p.)tp
+ r(p.)tp* > 0
1
2{v'nv
+ lprp - (p.)tBp- i(p.)tp * p'Bp. * hp'p'+ (p.)rBp.
+ r(p.)"p*> 0
1
-7{$'n + up'- (p.)tr - t(p.)t)p - (p"g + tp' - (p.)tB
- i.(p.)r)p.]> o
1
(p")"8- i(p.)TG - p.) z o
1{v'n + lp'ito-p.)'(B +Lr)(p-p.))0
(3.2.10)
Karenahimpunanarah
(
p- p*
: w : tffip,
{w
,
)
p dengan
untukseiumlah
llpil= nJ
memadatilingkaransatuan,(3.2.10)cukupuntukmembuktikan(3.2.5c).
Karena(3.2.5a)dan(3.2.5c)dipenuhiolehp*, dandaxiLemma3.2.1(i)
diketahuibahwap* adalahpeminimaluntuk fr maka
m(p)2 m(p')*|{$.>rp. - prp)
berlaku.
Andaikanhanyaterdapatnilai-nilai ,l y*g negatif,makam(p) > m(p.) saat
llpll>llp.ll=4.
Karenam mencapuminimal padap*, makaberdasarkanLemma3.2.1 (i),
45
Bp : -g (berlakujuga untuk p*) dan B semidefinitpositif.
Kondisi(3.2.5a),(B + LI)p* = -g
B p* + ip* = - g
Persamaan
ini akanmenjadiBp* = -g bila 7p* = 0, dan p* * 0, makanilai
,1.harusnol.
Terdapatkontradiksi,pengandaiansalah.
r
1> 0.
Jadi,disimpulkanbahwa
Berdasarkanketerangandi atas dan dari Definisi 2.4.1e dapat dibuat suatu
algoritmaberikut ini untuk menyelesaikanmasalahdaeratrkepercayaan.
Algoritma 3.2.1
Langkah1.Diberikantitikawal
xs,
-L,
A0 € (0,I), e 2 0,0 < It'
mr(o)
*+A' =e
m{p)=
#- #g+ !to)'
Sehinggaberdasarkanpersamaan( 3. l. 4 ) maka
o" =f
f i =#=
#" -LZo4
-e1.-ffi
Tg
Karena h 2It
maka x2 : x1 * p1
: (0,-i) * (o,i)
: (0,-i)
Langkah 5
ez makaAz= min (2At,[ l,yatcni Az= 4.
karenah)
Langkah 6
+ n(-:)'
Hitune
,"- =(t"o)'
\
/o+
:(*
s(o)(-;)
O\
szl
\0 il
8(o)(-;)
\
4e),+ n(-|)' I
s4
maka
*tz= 04+ z(0)z(-;)' + (- i)- * (u,or'+ 4(0)(- i)')0,
+(+10;'
(-i) * n(-il') v,+ (es1'+z(-i)')v?
+ (ecol
(-;)) ptpz*(r,or' + a(-)')vi
=o*o*#+o-#or+ftv?+fiv?
:
255
256
. 32
t
32
Aa - Ts?z + uPi + VPi
I
Iterasi 3
Langkah 2
Hitung llsnll S e
=vf(x)=(ifr;f;:l)
s(x)
n t> ' + 4 (o)(-t J'\
_
(
t' =
\n ,o ) ' ()-+ +1-g')
=(-k)
sehinggallgzll :
_ rta >,
729
karenallg2ll > e lanjutkanke langkah3.
Prosesiterasi akanterus dila{utkan sampai llekll< s
55
Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program
MATLAB.
contoh3.2.1 denganMatlab
Tabel3.2.1 Outputpenyelesaian
k I x(l)
x