Metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear.
vi ABSTRAK
Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, adalah metode Karmarkar yang merupakan salah satu kelas dari metode titik-interior. Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar, suatu masalah program linear dalam bentuk standar harus diubah dahulu ke dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan menggunakan transformasi proyektif.
Ide dasar metode Karmarkar, dimulai dengan memilih titik-interior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titik-interior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titik-interior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga nilai fungsi sasaran sama dengan nol.
(2)
vii
ABSTRACT
The problem in linear programming is finding points that optimizing a linear function with linear constrained, in form of equalities or inequalities. One method to solve linear programming problems is the Karmakar method, which is one of a class of interior-point method. Using Karmakar method, a linear programming problem in standard form must be converted first into a canonical form using Karmarkar projective transformation.
The basic idea of Karmarkar method, starts with choosing an interior-point early in the feasible space. Gradient of the objective function at the initial interior point is the direction that makes the objective function is increasing rapidly. If one is placed at an arbitrary point along the gradient, and then project it perpendicularly to a feasible space, then the result of the transformation of selected interior points positioned closer to the optimum point. The results of transformation chosen run to another interior with an appropriate direction and length of step. This iterative process is repeated until the objective function value equal to zero.
(3)
METODE KARMARKAR UNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM
LINEAR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Yohana Buragoran
NIM:093114001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
(4)
i
KARMARKAR METODE TO SOLVE THE
PROBLEM LINEAR PROGRAM
THESIS
Presented As a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree
In Mathematics
by:
Yohana Buragoran Student Number:093114001
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
(5)
(6)
(7)
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Matius 21:22
“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh
kepercayaan, kamu akan menerimanya.”
Dengan penuh cinta karya ini ku persembahkan untuk: Bapak-Ibuku, Yakobus Bedatuan-Ariadne Trisnani
Ketiga adikku, Imelda, Elis dan Valensia Kekasihku Benediktus Eki Prabowo
Terimakasih………..
Telah mendorongku untuk mempertahankan mimpi-mimpiku Menunjukkan padaku untuk tidak terpengaruh oleh rintangan
Menghapuskan air mataku kala aku sedih Mengubah kebingunganku menjadi senyuman
Mengubah keputus asaanku menjadi harapan
(8)
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
(9)
vi ABSTRAK
Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, adalah metode Karmarkar yang merupakan salah satu kelas dari metode titik-interior. Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar, suatu masalah program linear dalam bentuk standar harus diubah dahulu ke dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan menggunakan transformasi proyektif.
Ide dasar metode Karmarkar, dimulai dengan memilih titik-interior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titik-interior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titik-interior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga nilai fungsi sasaran sama dengan nol.
(10)
vii
ABSTRACT
The problem in linear programming is finding points that optimizing a linear function with linear constrained, in form of equalities or inequalities. One method to solve linear programming problems is the Karmakar method, which is one of a class of interior-point method. Using Karmakar method, a linear programming problem in standard form must be converted first into a canonical form using Karmarkar projective transformation.
The basic idea of Karmarkar method, starts with choosing an interior-point early in the feasible space. Gradient of the objective function at the initial interior point is the direction that makes the objective function is increasing rapidly. If one is placed at an arbitrary point along the gradient, and then project it perpendicularly to a feasible space, then the result of the transformation of selected interior points positioned closer to the optimum point. The results of transformation chosen run to another interior with an appropriate direction and length of step. This iterative process is repeated until the objective function value equal to zero.
(11)
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPERLUAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Yohana Buragoran
Nomor Mahasiswa : 09 3114 001
Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
“METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR”
Beserta perangkat yang diperlukan. Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta, 17 Oktober 2013
(12)
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala kasih dan perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Tuhan Yesus Kristus yang telah menyertai, membimbing dan menuntun penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini sehingga tugas akhir ini dapat selesai dengan baik.
2. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing akademik dan dosen pembimbing skripsi yang penuh perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
3. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik dalam skripsi ini.
4. Bapak Y.G.Hartono, S.Si, M.Sc, Ph.D selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik dalam skripsi ini.
5. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Matematika yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma
(13)
x
sehingga penulis mendapatkan ilmu yang berguna untuk menyelesaikan tugas akhir ini.
6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan dan fasilitas yang telah diberikan.
7. Keluargaku, Bapak Yakobus Bedatuan, Ibu Ariadne Trisnani, adik-adikku Imelda Memen Tokan, Elisabeth Hala Tokan, Valensia Ina Tokan, dan Kekasihku Benediktus Eki Prabowo yang selalu memberi dukungan, semangat dan mendoakan penulis.
8. Sahabat-sahabatku Mbak Ratih, Herta, Metri, Rina, Sefi, Lia, Berta, Ita, Nita, Ana, dan teman-teman kos yang telah memberikan dukungan, semangat, dan mendoakan penulis.
9. Temen-temen seperjuangan Yohanes Dimas, Faida, Rossi, Etik, Erlika, Dwi, Dimas, Sekar yang telah membantu dan mendukung penulis.
10.Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi bagi pembaca.
Yogyakarta,....Oktober 2013
(14)
xi DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 2
(15)
xii
D. Batasan Masalah ... 3
E. Manfaat Penulisan ... 3
F. Metode Penulisan ... 4
G. Sistematika Penulisan ... 4
BAB II OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR ... 6
A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear ... 6
B. Ruang Vektor ... 13
C. Masalah Program Linear ... 53
BAB III METODE KARMARKAR ... 60
A. Bentuk Kanonik Karmarkar ... 63
B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar ... 64
C. Transformasi Proyeksi ... 64
D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Umum ke Bentuk Kanonik Karmarkar ... 82
E. Algoritma Karmarkar ... 98
F. Aplikasi Metode Karmarkar dalam menyelesaikan masalah Program Linear ... 124
BAB IV KESIMPULAN ... 128
A. Kesimpulan ... 128
(16)
xiii
DAFTAR PUSTAKA ... 130 LAMPIRAN ... 131
(17)
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 – ... 44 Gambar 3.1 Ilustrasi algoritma Karmarkar ... 61
(18)
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear terdapat beberapa metode yang umum digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik, hanya dapat digunakan untuk masalah dengan dua variabel saja, sehingga apabila masalah program linear memuat lebih dari dua variabel akan sulit penyelesaiannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program linear jarang yang hanya memuat dua variabel, tetapi metode grafik mempermudah untuk memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam masalah program linear. Sedangkan metode simpleks adalah metode aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yang melibatkan lebih dari dua variabel dan pada prakteknya, lebih sesuai dilakukan dengan program komputer dengan ratusan atau ribuan variabel dan kendala.
Ada metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yaitu metode interior. Perbedaan antara metode titik-interior dengan metode simpleks adalah pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau setiap titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sedangkan pada metode
(19)
titik-interior penyelesaian dilakukan dengan meninjau titik-titik yang berada dalam daerah layak hingga dicapai titik optimum.
Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu affine scaling methods, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar, path-following methods, dan potential-reduction methods. Dalam tugas akhir ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang digunakan adalah tranformasi proyektif. Ide dasar metode Karmarkar, yaitu dimulai dengan memilih interior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titik-interior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titik-interior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
(20)
2. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar?
3. Bagaimana aplikasi metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear?
C. Tujuan Penulisan
Bedasarkan rumusan masalah, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Memahami apa yang dimaksud dengan metode Karmarkar.
2. Dapat menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar.
3. Dapat menyelesaikan aplikasi metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear.
D. Batasan Masalah
Agar penulisan mencapai tujuan yang dimaksud, maka perlu ada batasan mengenai permasalahan yang diangkat. Adapun batasan masalahnya, yaitu penulis akan membahas masalah program linear dalam bentuk standar meminimumkan.
E. Manfaat Penulisan
Adapun manfaat yang diharapkan penulis dalam tugas akhir ini adalah dapat menambah referensi tentang penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar.
(21)
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut : BAB I Pendahuluan
A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Tujuan Penulisan D. Batasan Masalah E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
BAB II Optimisasi untuk Persoalan Linear A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear B. Ruang Vektor
C. Masalah Program Linear BAB III Metode Karmarkar
A. Bentuk Kanonik Karmarkar
(22)
C. Transformasi Proyeksi
D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Umum ke Bentuk Kanonik Karmarkar
E. Algoritma Karmarkar
F. Aplikasi Metode Karmarkar dalam menyelesaikan masalah Program Linear
BAB IV Penutup A. Kesimpulan B. Saran
(23)
BAB II
RUANG VEKTOR DAN MASALAH PROGRAM LINEAR
A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi 2.1 Matriks Diagonal
Suatu matriks A berorde disebut matriks diagonal jika untuk
, yaitu
(2.1)
Teorema 2.1: Sifat Transpos
Jika ukuran matriks adalah matriks dengan sedemikian sehingga operasi berikut dapat dilakukan, maka
1.
(24)
Bukti:
Misalkan , dengan
dan misalkan
, dengan
. Akan dibuktikan
1. 2. i) ii)
(25)
Teorema 2.2
Jika matriks A adalah sebuah matriks dan , maka persamaan matriks
(2.2)
(2.3)
(26)
Bukti:
Misalkan , akan dibuktikan matriks X mempunyai penyelesaian tunggal yang memenuhi , dan karena itu merupakan penyelesaian dari kedua persamaan (2.2) dan (2.3). Untuk melihat bahwa penyelesaian ini tunggal misalkan bahwa Y juga memenuhi persamaan (2.2), yaitu . Kemudian
Karena itu penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah tunggal, dan argumen yang sama diterapkan pada persamaan (2.3).
Definisi 2.2 Invers Matriks
Suatu matriks A berorde dikatakan taksingular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga . Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A. Notasi yang umum untuk invers adalah .
Definisi 2.3 Persamaan Linear
Suatu persamaan linear dalam n variabel adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
(27)
dengan dan adalah konstanta real, adalah variabel
dan tidak semua sama dengan nol.
Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear adalah himpunan persamaan linear dalam variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk
(2.5)
dengan dan adalah konstanta real dan tidak semua sama dengan nol, untuk . Dalam sistem persamaan linear
, dapat terjadi , , atau .
Definisi 2.5 Matriks Lengkap
Matriks Lengkap dari sistem persamaan linear (2.5) adalah
(28)
Definisi 2.6 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Apabila , dimana adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua sistem persamaan linear dalam (2.5), maka konstanta disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear.
Definisi 2.7
Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut setidak-tidaknya mempunyai paling tepat sedikit satu penyelesaian atau takberhingga banyak penyelesaian. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Definisi 2.8 Sistem Persamaan Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk
(29)
Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian konsisten. Jadi, jika dalam sistem persamaan linear homogen , memiliki penyelesain tunggal maka penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut penyelesaian taktrivial.
Definisi 2.9 Operasi baris elementer
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke-i dan ke-j, dengan notasi .
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, dimana , dengan notasi .
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain, yakni mengganti baris ke-i ditambah dengan c kali baris ke-j, dengan notasi .
Definisi 2.10 Bentuk eselon baris
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika 1. Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1.
2. Jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian depan pada baris lebih besar dari banyaknya entri nol dibagian depan pada baris k.
(30)
3. Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuannya nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.
Definisi 2.11 Matriks Elementer
Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer. 1. Matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan
mempertukarkan dua baris dari I.
2. Matriks elementer jenis 2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol.
3. Matriks elementer jenis 3 adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain.
Definisi 2.12 Ekivalen Baris
Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan A jika terdapat matriks elementer
sehingga
B. Ruang Vektor
Definisi 2.13 Ruang Vektor
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari objek-objek di mana didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
(31)
Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi:
1.
2.
3. Terdapat elemen sehingga
4. sehingga
5. untuk setiap skalar
6. untuk setiap skalar
7. untuk setiap skalar
8.
9. Jika dan suatu skalar, 10.Jika maka
Contoh 2.1
Misalkan dan adalah vektor-vektor di . Penjumlahan
pada didefinisikan sebagai berikut:
(32)
dan operasi perkalian dengan skalar di R didefinisikan sebagai berikut: (2.8)
Tunjukkan bahwa merupakan ruang vektor. Bukti:
Misalkan , , dan ,
1. Akan ditunjukkan
2. Akan ditunjukkan
3. Akan ditunjukkan terdapat elemen sehingga
(33)
4. Akan ditunjukkan sehingga
Invers dari adalah
sehingga
5. Akan ditunjukkan
6. Akan ditunjukkan
7. Akan ditunjukkan
(34)
8. Akan ditunjukkan
9. Akan ditunjukkan
Seperti pada persamaan (2.8) 10.Akan ditunjukkan
Seperti pada persamaan (2.7)
Definisi 2.14 Ruang bagian (subspace)
Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut:
a. jika untuk sembarang skalar .
b. jika dan .
(35)
Contoh 2.2
Tunjukan apakah merupakan ruang bagian dari atau tidak.
Bukti:
1. Akan dibuktikan jika untuk sembarang skalar .
dan
karena maka
karena maka jadi .
2. Akan dibuktikan jika dan .
dan
karena dan maka dan . Sehingga
(36)
ruang bagian dari
Definisi 2.15 Kombinasi linear
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V. Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk
(2.9)
dimana adalah skalar-skalar disebut sebagai kombinasi linear dari
Definisi 2.16 Merentang (span)
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor merentang V.
(37)
Definisi 2.17 Bebas linear (linearly independent)
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
(2.10)
mengakibatkan semua skalar-skalar sama dengan 0.
Definisi 2.18 Bergantung linear (linearly dependent)
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga
(2.11)
Definisi 2.19 Basis
Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika:
a. bebas linear.
(38)
Definisi 2.20
Dimensi dari ruang vektor V adalah banyaknya vektor-vektor yang membentuk basis untuk ruang vektor V. Selain itu, mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.
Definisi 2.21
Misalkan matriks
. Vektor-vektor dalam
, yaitu
, , ,
yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan
vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam , yaitu
,
, ,
yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A
dinamakan vektor-vektor kolom dari A.
Definisi 2.22
Jika A adalah matriks , maka ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari
(39)
yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang kolom dari A dapat di notasikan
Contoh 2.3: Misalkan
Ruang baris dari A adalah himpunan ketiga tupel yang berbentuk
Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang kolom dari A adalah .
Teorema 2.3
(40)
Bukti:
Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B.
Definisi 2.23 Ruang Nol (Null Spaces)
Misal adalah matriks . Misalkan menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen . Jadi
(2.12)
disebut sebagai ruang nol
Definisi 2.24
Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang nol dari A.
(41)
Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris.
Teorema 2.4
Jika suatu matriks berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1 utama (yaitu vektor-vektor baris taknol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari .
Bukti:
Misalkan matriks berada dalam bentuk eselon baris, yakni
Akan dibuktikan vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari . Ruang baris dari A dapat dibentuk sebagai berikut
(42)
.
Akan ditunjukkan bahwa baris 1 sampai baris m dari matriks membentuk basis untuk ruang baris dari . Misalkan vektor-vektor baris dapat dinyakan sebagai .
Akan ditunjukkan membentuk basis. 1. Akan ditunjukkan bebas linear
Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar sama dengan nol. Perhatikan persamaan , yakni
(43)
Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis
Dengan operasi baris elementer terhadap baris 2, yakni maka akan diperoleh
Operasi baris elementer dilakukan sampai pada baris ke-m, yakni dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
(44)
maka ,
. Karena , maka
bebas linear.
2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari A.
dikatakan merentang jika masing-masing vektor pada ruang
baris di ruang bagian dari dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
. Ambil sembarang vektor pada ruang baris di ruang
bagian dari . Akan ditunjukkan untuk setiap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear . Perhatikan persamaan
, yakni
(45)
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
Karena maka merentang ruang baris dari A.
(46)
Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari A.
Contoh 2.4 Misalkan
Dengan mereduksikan A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks
Akan dibuktikan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari U. Ruang baris dari U yakni dapat dibentuk
Jadi ruang baris dari U adalah
(47)
Akan ditunjukkan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U. Misalkan , akan ditunjukkan membentuk basis.
1. Akan dibuktikan bebas linear
Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar sama dengan nol.
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
(48)
maka , , . Karena maka bebas linear.
2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari U
dikatakan merentang jika masing-masing vektor di dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan dibawa ini
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka , , dan . Karena dan maka merentang ruang baris dari U.
Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari U.
Jelas bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U adalah
(49)
ekivalen baris, maka matriks U dan A memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari A adalah 2.
Definisi 2.25
Variabel utama adalah variabel-variabel yang bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperluas. Sedangkan variabel yang bukan 1 utama disebut sebagai variabel bebas.
Teorema 2.5
Jika A adalah matriks , maka dimensi ruang baris dari A sama dengan dimensi ruang kolom dari A.
Bukti
Jika A adalah matriks dengan rank r, maka bentuk eselon baris U dari A akan memiliki 1 utama sebanyak r. Kolom-kolom dari U yang berkorespondensi dengan 1 utama akan bebas linear. Akan tetapi, tidak membentuk basis untuk ruang kolom dari A, karena pada umumnya A dan U akan memiliki ruang-ruang kolom yang berbeda. Misalkan melambangkan matriks yang diperoleh dari dengan menghapus semua kolom-kolom yang berkorespondesi dengan peubah-peubah bebas. Hapuskan kolom-kolom yang
(50)
sama dari A dan nyatakan matriks yang baru dengan . Matriks-matriks dan adalah ekivalen baris. Jadi, jika x adalah penyelesaian dari , maka x juga harus merupakan penyelesaian dari . Karena kolom-kolom dari bebas linear, x harus sama dengan . Berdasarkan uraian sebelumnya karena x sama dengan 0 maka kolom-kolom dari bebas linear. Karena memiliki r kolom, maka dimensi ruang kolom dari A satidaknya adalah r.
Berdasarkan Definisi matriks transpos, baris-baris dari matriks A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Seperti yang telah dibuktikan bahwa untuk sembarang matriks dimensi ruang kolomnya lebih besar atau sama dengan dimensi ruang barisnya, sehingga
Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Jadi untuk sembarang matriks A, dimensi ruang barisnya harus sama dengan dimensi ruang kolomnya.
(51)
Teorema 2.6
Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka
Bukti
Karena A memiliki n kolom, maka sistem linear homogen memiliki n faktor yang tidak diketahui (variabel). Variabel ini terbagi dalam dua kategori, variabel utama dan variabel bebas. Jadi
Tetapi banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari A, dan banyaknya variabel satu utama merupakan rank dari A. Jadi
Banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nulitas dari A. Hal ini terjadi karena nulitas dari A adalah dimensi ruang solusi dari , yang sama dengan banyaknya parameter pada solusi umum yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi
(52)
Definisi 2.26 Ruang hasil kali dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real yang memenuhi syarat berikut:
a. , dan jika dan hanya jika .
b. , .
c. , dan .
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam.
Contoh 2.5
Ruang vektor . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:
(2.13)
adalah hasil kali dalam untuk . Persamaan (2.13) dapat juga ditulis
(2.14)
(53)
Penyelesaian:
Ambil sembarang vektor , , dan , dalam ruang
vektor dan sembarang skalar
a. Akan dibuktikan , dan jika dan hanya jika
.
Akan dibuktikan Diketahui
(2.15)
maka dari persamaan (2.15) dapat diperoleh
Jadi
Akan dibuktikan
Diketahui dan maka diperoleh
(54)
Jadi
b. Akan dibuktikan , .
Jadi terbukti
c. Akan dibuktikan , dan
.
(55)
=
Jadi terbukti
Dari a, b, dan c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor adalah hasil kali dalam skalar
Definisi 2.27 Panjang vektor atau norma
Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau norma dari x didefinisikan
(2.16)
Teorema 2.7
Jika adalah vektor pada , maka:
a.
(56)
Bukti:
a. Misalkan adalah vektor pada , akan dibuktikan atau dapat ditulis . ini jelas karena hasil dari akar tidak akan bernilai negatif dan nilai dari kuadrat tidak akan bernilai negatif.
b. Akan dibuktikan jika dan hanya jika
Diketahui dan akan dibuktikan .
(2.17)
karena hasil dari untuk setiap tidak akan bernilai negatif maka untuk setiap . Sehingga persamaan (2.17) bernilai benar jika dan hanya jika , jadi untuk setiap atau .
.
Diketahui , dan akan dibuktikan .
Karena diketahui , maka . Akibatnya
(57)
Teorema 2.8
.
Bukti:
Misalkan x vektor sedemikian sehingga . Maka , dan
yaitu . Oleh karena itu . Sebaliknya, jika
x memenuhi relasi , maka jelas . Dengan demikian
. Karena maka akibat dari Teorema 2.6,
dimana n adalah banyaknya kolom A. Oleh karena itu teorema tersebut terbukti.
Teorema 2.9
Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka .
Bukti:
Misalkan A sembarang matrik. Menurut Definisi rank maka
(58)
Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Berdasarkan Teorema 2.5, maka
Definisi 2.28 Ortogonal
Dua vektor x dan y dalam dikatakan ortogonal, jika
(2.18)
dan dilambangkan dengan
Definisi 2.29 Subruang yang ortogonal
Dua ruang bagian X dan Y dalam dikatakan ortogonal, jika
(2.19)
(59)
Definisi 2.30 Komplemen Ortogonal
Misalkan Y adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan . Jadi
Himpunan disebut komplemen ortogonal dari Y.
Teorema 2.10
1. Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari , maka . 2. Jika Y adalah ruang bagian dari , maka juga merupakan ruang
bagian dari .
Bukti:
1. Misalkan dan , akan ditunjukkan . Karena
berdasarkan definisi ortogonal maka , akibat dari teorema
2.7 b .
2. Misalkan dan adalah bilangan skalar, maka untuk setiap ,
(60)
Oleh karena itu, . Misalkan adalah elemen-elemen dari , maka
Untuk setiap . Maka diperoleh adalah ruang bagian dari .
Definisi 2.31 Rank Penuh
Jika A adalah matriks dengan rank , maka dapat dikatakan bahwa matriks tersebut memiliki rank penuh.
Teorema 2.11
Misalkan matriks berukuran . Misalkan matriks mempunyai rank penuh m. Misalkan menyatakan ruang nol dan menyatakan ruang kolom dari maka dan merupakan subruang yang saling orthogonal.
Bukti:
Misalkan dan Akan dibuktikan
(61)
Perhatikan bahwa
dan
Maka
(2.20)
Karena maka persamaan (2.20) dapat di ubah menjadi
atau
Dengan demikian Jadi
(62)
Dari Teorema 2.11 telah diperlihatkan bahwa dan adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan dan
dan – .
Maka dapat juga ditulis
– (2.21)
Karena , maka persamaan (2.21) dapat di ubah menjadi
– (2.22)
Kalikan kedua ruas dengan , maka didapatkan
–
Diketahui bahwa , maka didapatkan
–
atau –
Dengan demikian – (2.23)
Subsitusikan persamaan (2.23) ke persamaan (2.22), maka didapatkan
– –
–
(63)
– (2.24)
dengan (2.25)
Definisi 2.32 Matriks proyeksi ortogonal
Matriks P berukuran , dengan disebut matriks proyeksi ortogonal atau matriks proyeksi ruang nol dari .
Teorema 2.12
Jika A adalah sebuah matriks , maka dan
Bukti:
Sebelumnya telah diketahui bahwa dan ini mengimplikasikan bahwa . Di lain pihak, misalkan adalah sembarang vektor dari , maka ortogonal pada setiap vektor-vektor kolom dari dan akibatnya . Jadi x merupakan elemen dari . Karena
dan maka . Secara khusus, dapat dimisalkan matriks . Jadi
(64)
Teorema 2.13
Jika S adalah ruang bagian dari , maka .
Bukti:
Jika , maka ortogonal pada setiap di dalam . Oleh karena itu,
, sehingga . Di lain pihak, misalkan bahwa z adalah
sembarang elemen dari . Misalkan z sebagai penjumlaha , dimana
dan . Karena , maka ortogonal pada dan . Sehingga
dan mengakibatkan, . Oleh karena itu, dan .
Teorema 2.14
Sistem persamaan linear homogen memiliki penyelesaian taktrivial jika
.
Bukti:
Sistem homogen selalu konsisten. Bentuk eselon baris dari matriks yang bersangkutan memiliki paling banyak m baris bukan nol. Jadi terdapat paling banyak m peubah utama. Karena semuanya secara keseluruhan terdapat n
(65)
peubah dan , maka harus terdapat beberapa peubah bebas. Peubah-peubah bebas ini dapat diberi sembarang nilai. Untuk setiap pemberian nilai ke peubah-peubah bebas ini terdapat satu penyelesaian bagi sistem yang
bersangkutan.
Teorema 2.15
Misalkan A matriks . Hal-hal berikut adalah ekivalen: a. A taksingular
b. hanya mempunyai penyelesaian trivial
Bukti:
Misalkan A taksingular. Akan dibuktikan hanya mempunyai penyelesaian trivial .
Misalkan A taksingular dan merupakan penyelesaian dari , maka
Karena merupakan penyelesaian dari , maka
(66)
Jadi hanya mempunyai penyelesaian trivial.
Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Akan dibuktikan A taksingular.
Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Dengan menggunakan operasi-operasi baris elementer, sistem tersebut dapat ditransformasikan menjadi bentuk , dimana U berbentuk eselon baris. Jika salah satu elemen diagonal dari U adalah 0, maka baris terakhir dari U seluruhnya terdiri dari 0. Tetapi kemudian akan ekivalen dengan suatu sistem dengan lebih banyak peubah daripada banyaknya persamaan dan dengan demikian berdasarkan Teorema 2.14 sistem
akan memiliki penyelesaian taktrivial. Jadi U haruslah
merupakan matriks segitiga dengan elemen-elemen diagonal semuanya sama dengan 1. Sebagai akibatnya maka I adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A sehingga A ekivalen baris dengan I.
Karena A ekivalen baris dengan I, maka terdapat matriks-matriks elementer sehingga
tetapi karena dapat dibalik, maka hasil kali juga dapat dibalik. Jadi A taksingular dan
(67)
Teorema 2.16
Matriks adalah matriks bujur sangkar yang berorde nonsingular jika dan hanya jika .
Bukti:
Akan dibuktikan
Misalkan adalah nonsingular. Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk
yakni (2.26)
Berdasarkan Teorema 2.15, hanya mempunyai penyelesaian trivial maka . Sebagai akibatnya hanya mempunyai penyelesaian trivial dan vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear, maka mempunyai rank .
Akan dibuktikan adalah nonsingular
Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk persamaan (2.26). Kemudian Jelas bahwa,
. Karena , maka akibatnya . Jika mempunyai , maka vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear dan sebagai akibatnya hanya mempunyai penyelesaian trivial. Jadi dan persamaan (2.26) hanya mempunyai
(68)
penyelesaian trivial. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 2.15 adalah nonsingular.
Definisi 2.33 Persekitaran
Persekitaran dari titik adalah himpunan dari titik-titik
, dengan (2.27)
Definisi 2.34 Titik Interior
Suatu titik dikatakan titik interior dari himpunan S jika ada persekitaran dari sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari juga berada dalam S, yakni
(2.28)
Definisi 2.35 Transformasi
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi ini ditulis
(69)
Ruang vekror V disebut daerah asal T. Nilai transformasi T untuk elemen
ditulis yang merupakan elemen di W. Elemen disebut peta
dari x.
Maka transformasi T dari V ke W jika dan hanya jika
Definisi 2.36
Misalkan transformasi pada S, maka adalah invers dari jika
dan , untuk setiap yaitu komposisi dari dan
adalah transformasi identitas pada S. Notasi yang umum untuk
invers adalah .
Teorema 2.17
Misalkan , maka .
Bukti:
Misalkan adalah transformasi dari . Akan dibuktikan
.
i. Misalkan ini berarti bahwa , maka dan . Karena adalah transformasi, sehingga dan .
(70)
ii. Misalkan , karena berarti ada sehingga
. Maka berarti maka
.
Misalkan . Akan dibuktikan adalah transformasi dari atau
dan jika dan maka .
Misalkan karena , berarti ada sedemikian sehingga atau maka maka
. Misalkan dan , maka
dan , tetapi berarti dan
adalah sebuah transformasi.
C. Masalah Program Linear
Program linear (linear programming), adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang diterapkan dalam berbagai bidang yang memakai model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Dengan demikian setiap persoalan yang dihadapi dalam suatu sistem permasalahan, haruslah dapat dirumuskan dalam simbol-simbol matematika tertentu. Misalnya di bidang ekonomi, masalah memaksimumkan laba dan meminimumkan ongkos produksi. Manusia cenderung untuk hidup berprinsipkan ekonomi dengan usaha sedikit dapat memperoleh hasil sebanyak mungkin. Suatu perusahaan mempunyai kendala terbatasnya sumber input produksi dan berupaya mengoptimalkan output produksi untuk
(71)
memenuhi permintaan pasar dan mengoptimalkan penggunaan sumber produksi yang dimiliki. Permasalahan tersebut ada di dalam dunia nyata, sedangkan simbol matematika adalah dunia abstraksi yang dibuat sedemikian rupa sehingga mendekati kenyataan. Tujuan program linear adalah membantu dalam mengambil keputusan yang terbaik dari sekian banyak alternatif yang tersedia.
Kelahiran teknik program linear ini berasal dari seorang ahli matematika bangsa Amerika Serikat yang bernama Dr. George Dantzig, yaitu dengan dikembangkannya metode simpleks pada tahun 1947. Pada tahun itu, Dantzig merupakan salah seorang teknokrat yang tergabung dalam kelompok Riset Operasi dari Angkatan Udara Amerika Serikat. Sebelum lahirnya karya Dantzig yang sistematis, telah terdapat pula berbagai ahli matematika lainnya yang melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah dengan memakai pendekatan aljabar linear (aljabar matriks) pada tahun 1930-an.
Penerapan program linear untuk pertama kalinya di bidang perencanaan militer, khususnya dalam Perang Dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Sejak itulah bersamaan dengan berkembangnya waktu, pembagunan dan teknologi, teknik-teknik program linear dengan cepat menjalar dan diterapkan dalam berbagai bidang dan disiplin ilmu dalam rangka memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi.
(72)
Dalam merumuskan masalah program linear, diperlukan adanya fungsi sasaran dan kendala-kendala.
Definisi 2.37 Fungsi Sasaran
Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai
(2.29)
dengan n merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel,
merupakan variabel ke-j, dan merupakan koefisien ongkos dari variabel ke-j, dengan .
Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak negatif. Definisi 2.38 Kendala utama
Kendala utama masalah program linear berbentuk
(2.30)
dengan m merupakan banyaknya persamaan, merupakan koefisien variabel ke-j pada persamaan ke-i dan menyatakan konstanta di ruas kanan untuk persamaan ke-i.
(73)
Definisi 2.39 Kendala Tak Negatif Kendala tak negatif berbentuk
(2.31)
Bentuk standart masalah program linear dapat dituliskan sebagai berikut:
Minimumkan (2.32)
dengan kendala
(2.33)
dengan dan adalah konstanta real, , dan
tidak semua sama dengan nol, untuk .
Fungsi sasaran (2.32) dan sistem pertidaksamaan linear (2.33) di atas dapat dituliskan dengan notasi matriks sebagai berikut:
Minimumkan
(2.34)
(74)
(2.35)
Atau dapat ditulis
Minimumkan (2.36)
dengan kendala (2.37)
Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan berkaitan.
Bentuk umum masalah primal-dual adalah sebagai berikut:
Masalah primal (P): Meminimumkan (2.38)
Dengan kendala , (2.39)
. (2.40)
Masalah Dual (D): Maksimumkan (2.41)
Dengan kendala (2.42)
(75)
dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan y adalah penyelesaian dari soal dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam (2.39) menjadi vektor ongkos dalam (2.41) dan sebaliknya vektor ongkos dalam (2.38) menjadi vektor suku tetap dalam (2.42). Sedangkan koefisien matriks kendala (2.39) adalah transpose matriks koefisien dalam (2.42).
Definisi 2.40 Titik Layak dan Daerah Layak
Suatu titik yang memenuhi semua kendala pada persamaan (2.30) dan (2.31) disebut titik layak (feasible point) atau penyelesaian layak (feasible solution). Himpunan dari titik layak-titik layak disebut daerah layak (feasible region) atau himpunan layak (feasible set) dan dinotasikan oleh S.
Pada umumnya sistem pertidaksamaan linear (2.30) mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Di antara penyelesaian-penyelesaian tersebut dicari juga yang memenuhi (2.31), dan pada umumnya masih mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Kemudian di antara penyelesaian layak yang takhingga banyak ini dicari yang meminimumkan fungsi sasaran, maka akan diperoleh penyelesaian optimum.
(76)
Definisi 2.41 Penyelesaian optimum
Penyelesaian layak yang juga mengoptimumkan f disebut penyelesaian optimum.
(77)
BAB III
METODE KARMARKAR
Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, selain menggunakan metode grafik atau metode simpleks yang sudah umum digunakan dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metode titik-interior. Titik-interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah layak. Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-interior, yaitu mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi, dan menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah layak sesuai arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.
Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu affine scaling methods, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar, path-following methods, dan potential-reduction methods. Dalam bagian ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang digunakan adalah tranformasi proyektif. Pada tahun 1984, seorang matematikawan dari laboratorium AT & T Bell Laboratories bernama Narendra Karmarkar berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah program linear yang besar dalam waktu yang cukup singkat yang tidak bisa dilakukan oleh metode simpleks. Metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear pada dasarnya berbeda dari metode simpleks yaitu bahwa
(78)
metode simpleks dimulai dengan masalah program linear dalam bentuk standar, sedangkan metode Karmarkar dimulai dengan masalah program linear dalam bentuk kanonik khusus, yang disebut bentuk kanonik Karmarkar.
Untuk lebih memahami konsep dalam metode Karmarkar perhatikan permasalahan program linear berikut.
Contoh 3.1
Maksimumkan dengan kendala
Agar masalah program linear di atas menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel pengetat pada masalah program linear di atas, sehingga menjadi
Maksimumkan
dengan kendala
dengan adalah variabel pengetat.
Gambar 3.1 menggambarkan masalah program linear di atas. Ruang penyelesaian ditunjukan dengan garis AB. Arah kenaikan f berada di arah positif .
(79)
Gambar 3.1. Ilustrasi algoritma Karmarkar
Iterasi dimulai dari titik-interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB). Gradien fungsi tujuan ( ) di C adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian (garis AB), maka diperoleh titik baru D. Dari sudut pandang nilai f, titik D yang baru ini lebih baik dari titik awal C. Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah CD, yang merupakan gradien garis hasil proyeksi, atau disebut sebagai gradien terproyeksi. Jika prosedur yang sama ini diulang di D, maka akan ditemukan satu titik baru di E yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai titik optimum B.
Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di B, dan dalam kasus n dimensi pada umumnya, arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan menyebabkan
(80)
terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum. Pada dasarnya inilah yang dicapai oleh algoritma Karmarkar.
A. Bentuk Kanonik Karmarkar
Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar digunakan bentuk umum masalah program linear berikut:
Meminimumkan (3.1)
Dengan kendala (3.2)
(3.3)
, i = 1, 2, … , n (3.4) di mana A adalah matriks m × n, dan 0 adalah vektor kolom nol yang berukuran m.
Untuk memperkenalkan bentuk kanonik Karmarkar dimulai dengan memisalkan adalah vektor dalam dengan masing-masing komponen adalah 1. Misalkan merupakan ruang nol (null spaces) dari A, maka
(81)
Definisi 3.1
Simpleks dalam adalah , dan adalah vektor dalam dengan masing-masing komponen adalah 1. Pusat dari simpleks adalah maka .
Berdasarkan Definisi 2.24 dan Definisi 3.1 bentuk kanonik Karmarkar dapat ditulis kembali menjadi
Meminimumkan (3.5)
dengan kendala (3.6)
Himpunan kendala (himpunan layak) dapat didefinikan sebagai
(3.7)
B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar
Algoritma Karmarkar dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan asumsi berikut:
(82)
a. Pusat dari simpleks adalah suatu titik layak sehingga .
Asumsi ini tidak bersifat membatasi, artinya sembarang masalah program linear yang memiliki suatu penyelesaian optimum dapat diubah kedalam bentuk Karmarkar sehingga memenuhi asumsi ini.
b. Nilai minimum dari fungsi sasaran terhadap himpunan layak adalah nol. Asumsi ini untuk menentukan nilai yang memenuhi nilai minimum dari fungsi sasaran, untuk menyelesaikan masalah-masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar.
c. Matriks yang berukuran , mempunyai rank . Asumsi ini merupakan asumsi teknis yang diperlukan dalam implementasi algoritma
C. Transformasi Proyeksi
Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa sembarang masalah program linear perlu diubah ke dalam suatu masalah yang ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Ekuivalen diartikan bahwa penyelesaian dari masalah dalam bentuk yang baru dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian dari masalah dalam bentuk standar atau sebaliknya. Telah diketahui bahwa sembarang masalah program linear dapat ditransformasikan ke masalah yang ekuivalen dalam bentuk standar. Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa sembarang masalah program linear dalam bentuk standar dapat ditransformasikan ke suatu masalah ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Dalam kenyataanya, transformasi yang
(83)
diberikan berikut akan selalu menjamin bahwa asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar dipenuhi.
Definisi 3.2
Misalkan dimana ,dengan . Misalkan merupakan transformasi proyeksi yang memetakan positive orthant dari , yakni
ke simpleks , yang didefinisikan sebagai
dengan
(3.8)
Teorema 3.1
Untuk , maka T merupakan transformasi proyeksi yang memiliki sifat-sifat berikut:
1. T merupakan pemetaan satu-satu yaitu , untuk .
2. T memetakan pada , yaitu untuk setiap , ada sedemikian sehingga . 3. Transformasi invers dari T ada pada dan diberikan
sebagai dengan .
(84)
4. T memetakan a ke pusat simpleks , yakni
.
5. Misalkan x memenuhi , dan . Misalkan
. Maka .
Bukti:
1. T merupakan pemetaan satu-satu,yakni
Jika mengigat persamaan (3.8) dapat didefinisikan
(3.9)
Misalkan dengan
yakni
dengan Untuk maka dapat disimpulkan
(3.10) Untuk maka
(3.11) Dari persamaan (3.10) dan persamaan (3.11) dapat disimpulkan bahwa
(85)
sehingga dapat ditulis
atau
Jadi terbukti bahwa T adalah pemetaan satu-satu
2. Akan dibuktikan Ambil sembarang , maka
dan dan akan ditunjukkan
Misalkan kolom ke i dari adalah
dikalikan kolom ke i dari , maka diperoleh
Akan dibuktikan dimana ,yakni
(86)
(3.12)
(87)
Karena mengambil sembarang ,berarti dengan dengan demikian
Jadi, dari persamaan (3.12) diperoleh
Karena dipilih sembarang, maka
.
Jadi terbukti
3. Berdasarkan sifat 1 dan sifat 2, karena memenuhi sifat satu-satu dan pada maka memiliki fungsi invers yang dapat ditulis
dan diberikan sebagai dengan
.
Akan dibuktikan bahwa
cukup ditunjukkan bahwa
(88)
Karena diketahui maka Bila diambil maka diperoleh
Jadi terbukti memiliki fungsi invers dengan
(89)
4. Jika mengigat persamaan (3.8) dan diketahui , dan diberikan , maka diperoleh
Karena maka diperoleh
, yakni T memetakan a ke pusat dari
(90)
5. Ambil sembarang , maka
, dan
sehingga
Karena maka diperoleh
(91)
(3.13)
Karena x memenuhi maka persamaan (3.13) dapat di ubah menjadi
Karena maka diperoleh
Teorema 3.2
Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada Teorema 3.1 dan diberikan matriks . Maka ada suatu matriks sedemikian sehingga jika dan hanya jika .
(92)
Bukti:
T merupakan transformasi proyektif, dan Akan dibuktikan
Ambil sembarang , maka
, dan akan
dibuktikan
Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari , dan kolom ke dari adalah – , maka diperoleh
–
Akan dibuktikan dan karena , maka diperoleh
(93)
(3.14)
Karena maka persamaan (3.14) dapat di ubah menjadi
(94)
Ambil sembarang , maka
, dan akan
dibuktikan
Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari , dan kolom ke dari adalah – , maka diperoleh
–
karena , dan maka diperoleh
(95)
(96)
Teorema 3.3
Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada definisi 3.2 dan diberikan vektor . Maka ada suatu vektor sedemikian sehingga
jika dan hanya jika .
Bukti:
T merupakan transformasi proyektif, dan Akan dibuktikan
Ambil sembarang , maka , dan akan dibuktikan
(97)
Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari untuk
, dan kolom ke dari adalah , maka diperoleh
karena , maka
(3.15)
Karena , yakni
maka persamaan (3.15) dapat di ubah menjadi
(98)
Ambil sembarang , maka , dan akan dibuktikan
Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari , dan kolom ke dari adalah , maka diperoleh
Karena , dan maka
(99)
D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Standar ke Bentuk Kanonik Karmarkar
Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan
Dengan kendala , (3.16)
Perhatikan bahwa sembarang masalah program linear dapat diubah ke bentuk seperti di atas. Masalah dual dari bentuk standar (3.16) di atas adalah
Maksimumkan
Dengan kendala , (3.17)
Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.
(100)
Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual
Bila masalah primal dalam persamaan (3.16) dan malasah dual dalam persamaan (3.17) dikombinasikan akan diperoleh sistem berikut ini:
(3.18)
Lemma 3.1
Misalkkan x dan masing-masing adalah penyelesaian layak untuk masalah program linear primal dan dual, maka .
Bukti :
Karena x dan adalah penyelesaian layak, maka , , dan
. Bila kedua sisi dari pertidaksamaan dikalikan dengan
maka dihasilkan . Karena , maka
(1)
LAMPIRAN 1
Listing Program
%Program menyelesaikan masalah program linear dengan metode Karmarkar
%Fungsi YB0 menampilkan Program menyelesaikan masalah PL dalam bentuk baku masalah minimum
%Fungsi YB1 menampilkan Program menyelesaikan masalah PL dalam bentukkanonik Karmarkar
clc;clear all;close all;
YB0='masukkan 0 untuk PL dalam bentuk baku masalah minimum'; YB1='masukkan 1 untuk PL dalam bentuk kanonik Karmarkar'; disp(YB0)
disp(YB1)
YB=input('masukkan pilihan '); tic
if YB==1
Kanonik_Karmarkar elseif YB==0
Minimum_standar else
YB='input yang anda masukkan salah'; disp(YB)
end toc
(2)
LAMPIRAN 2
Listing Program
Masalah Program linear dalam bentuk Kanonik Karmarkar
%Program menyelesaikan masalah program linear dengan metode Karmarkar
%Masalah program linear dalam bentuk Kanonik Karmarkar clear all;close all;
'Menyelesaikan masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan algoritma Karmarkar'
n=input('masukkan banyak variabel '); c=input('masukkan koefisien ongkos c= ')'; A=input('masukkan koefisien teknis A= '); x=((ones(1,n))*(1/n))';
e=(ones(1,n)); I=diag(e);
r=1/(sqrt(n*(n-1))); alpa=(1/4);
a=x;
Q=0.00000001; salah=1; A_baru=[A;e]; p=A_baru(:,1); w=length(p); R=rank(A_baru); iterasi=0; if w==R
while salah>=Q iterasi=iterasi+1; D=diag(x);
AD=A*D; B=[AD;e];
P=I-B'*(inv(B*B'))*B; pdc=(P*(D*c));
ck=pdc/(norm(pdc)); dk=-r*ck;
x_bar=(a)+(alpa*dk);
x_baru=(D*(x_bar))/(e*D*(x_bar)); x=x_baru;
salah=(c'*x_baru)/(c'*a); end
iterasi=iterasi;
'Jadi diperoleh titik optimumnya, yakni' x
else
'Asumsi c tidak dipenuhi dan matriks A tidak mempunyai invers' 'Tidak dapat diselesaikan dengan algoritma Karmarkar'
end
(3)
LAMPIRAN 3
Listing Program
Masalah Program linear dalam bentuk standar meminimumkan
%Program menyelesaikan masalah program linear dengan metode Karmarkar
%Masalah program linear dalam bentuk baku meminimumkan clc;clear all;close all;
warning('off');
'Menyelesaikan masalah program linear dalam bentuk standar dengan mengunakan algoritma Karmarkar'
N=input('masukkan banyak variabel '); M=input('masukkan banyak kendala ');
c_awal=input('masukkan koefisien ongkos c= ')'; A_awal=input('masukkan koefisien teknis A= ');
b_awal=input('masukkan suku tetap di ruas kanan b= ')';
n=(((N+M)*2)+1); baris=(N+M+1);
c_tilda=[(zeros(((N+M)*2),1));1];
a1=[(c_awal)' (-(b_awal))' (zeros(1,N)) (zeros(1,M)) ((-(c_awal)'*(ones(N,1)))+((b_awal)'*(ones(M,1))))];
a2=[A_awal (zeros(M,M)) (zeros(M,N)) (-(diag(ones(1,M)))) ((b_awal)-((A_awal)*(ones(N,1)))+(ones(M,1)))];
a3=[(zeros(N,N)) (A_awal)' (diag(ones(1,N))) (zeros(N,M)) ((c_awal)-((A_awal)'*(ones(M,1))))];
A_tilda=[a1;a2;a3];
b_tilda=[0 (b_awal)' (c_awal)']';
A_baru=[A_tilda b_tilda]; r_ref=rref(A_baru);
R=rank(r_ref); a_rand=rand(n-R,1);
matrix=r_ref(:,n+1); matrix2=r_ref(:,n+1); col=1;
col2=1; vektor=[];
for index1=1:n jml0=0; jml1=0;
for index2=1:baris
(4)
jml0=jml0+1; end
if r_ref(index2,index1)==1 jml1=jml1+1;
end end
if (jml0+jml1)==baris && jml1==1 isexist=0;
for i=1:col
if matrix(:,i)==r_ref(:,index1) isexist=1;
end end
if isexist == 0
matrix=[matrix r_ref(:,index1)]; vektor=[vektor index1];
col=col+1; else
matrix2=[matrix2 r_ref(:,index1)]; col2=col2+1;
end else
matrix2=[matrix2 r_ref(:,index1)]; col2=col2+1;
end end
matrix2=matrix2(:,2:col2);
matrix=[matrix(:,2:col) matrix(:,1)];
Abaru=[matrix(:,1:col-1) matrix(:,col)-(matrix2*a_rand)]; A=Abaru(:,R+1);
z=A'; iterasi=0; tol=zeros(R,1); f=false;
for index=1:length(z) if z(:,index)<=0; f=true;
end end
while f
iterasi=iterasi+1; a_rand=rand(n-R,1);
Abaru2=[matrix(:,1:col-1) matrix(:,col)-(matrix2*a_rand)]; A=Abaru2(:,R+1);
g=0; z=A';
for index=1:length(z) if z(:,index)>0 g=g+1; end
(5)
if g==length(z) f=false; end
end
a_rand; A1=A';
aa_rand=(a_rand)'; a_baru=[];
vektor;
index_rand=1;
for i=1:n exist=0; in=0; for a=1:R
if i==vektor(:,a) vektor(:,a); in=a;
exist=1; end
end
if exist==1 exist;
a_baru=[a_baru A1(:,in)]; else
a_baru=[a_baru aa_rand(:,index_rand)]; index_rand=index_rand+1;
end end
a_baru;
c2=(c_tilda)';
for index=1:length(a_baru)
A2(:,index)=A_tilda(:,index)*a_baru(:,index); c3(:,index)=c2(:,index)*a_baru(:,index); end
A2; c3; 'dimana'
c_aksen=[c3 0]
A_aksen=[A2 -(b_tilda)] N_baru=n+1;
x=((ones(1,N_baru))*(1/N_baru))'; e=(ones(1,N_baru));
I=diag(e);
r=1/(sqrt(N_baru*(N_baru-1))); alpa=(1/4);
a=x;
Q=(10^(-4)); salah=1; i=0;
(6)
AA=[A_aksen;e]; p=AA(:,1); w=length(p); R=rank(AA);
if w==R
while salah>=Q i=i+1; D=diag(x); AD=A_aksen*D; B=[AD;e];
P=I-(B'*(inv(B*B'))*B); pdc=(P*(D*c));
ck=pdc/(norm(pdc)); dk=-r*ck;
x_bar=(a)+(alpa*dk);
x_baru=(D*(x_bar))/(e*D*(x_bar)); salah=(c'*x_baru);
x=x_baru; end
i=i
'Jadi penyelesaian untuk masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar, yakni'
x
x_barr=x'; z_solusi=c'*x for indeks=1:N
y(:,indeks)=((a_baru(:,indeks))*(x_barr(:,indeks)))/x_barr(:,N_bar u);
end
'Jadi penyelesaian untuk masalah program linear dalam bentuk standar adalah'
y_solusi=y
'Dengan nilai fungsi sasaran adalah' solusi=(y_solusi)*c_awal
else
'Asumsi c tidak dipenuhi dan matriks A tidak mempunyai invers' 'Tidak dapat diselesaikan dengan algoritma Karmarkar'