METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN PENCARI INTERNET

  METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN PENCARI INTERNET Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun oleh: Lina Meiliana NIM: 043114014 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA

  

POWER METHOD AND ITS APPLICATION

TO INTERNET SEARCH ENGINES

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

  

To Obtain SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

By:

Lina Meiliana

  

Student Number: 043114014

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

Sang Till Friheten

(Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal)

  

Engkaulah yang terbaik yang aku kenal

Engkaulah yang terkasih di dunia ini

Engkau seperti bintang, seperti angin,

seperti gelombang, seperti burung,

seperti bunga di ladang.

Engkaulah pembimbing dan sahabatku.

Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku.

  

Engkaulah darahku, nafasku, mataku,

bahuku, tanganku, dan hatiku.

  

Kebebasan adalah namamu yang indah.

Persahabatan adalah ibumu yang bangga.

  

Perhatian adalah saudaramu lelaki.

Perdamaian adalah saudaramu perempuan.

  

Keberanian adalah ayahmu.

Masa depan adalah tanggung jawabmu.

  

Engkaulah yang terbaik di dunia ini.

  Karya sederhana ini kupersembahkan untuk:

  Papa dan Mama Tercinta Cici, Koko, Adik, dan “Sang Jagoan Kecil”

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

  Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks . Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan hub.

  

ABSTRACT

  The Power Method is an approximation method using power sequence to obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a matrix which describes the structure of the referring pages that match the search. Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in importance order as an authority and hub.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang karena berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan, bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

  1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas.

  2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan, pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  3. Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang pernah memberikan masukan untuk penulis.

  4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan.

  5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku secara tak langsung lewat canda tawa.

  6. Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini.

  Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini.

  7. Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan

  8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan.

  9. Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan, bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini.

  10. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku.

  11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi.

  12. Untuk “Sang Pemberi Kisah” dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan.

  13. Teman-teman Universitas Kristen Maranatha, khususnya Reymon Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini.

  14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku.

  15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan, dinamika, pertemuan, dan dukungan.

  16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih untuk semua dukungan dan perhatiannya.

  Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca.

  Penulis,

  DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................... vi LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ....................................................................... vii ABSTRAK ....................................................................................................... viii ABSTRACT ..................................................................................................... ix KATA PENGANTAR ..................................................................................... x DAFTAR ISI .................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN ................................................................................

  1 A. Latar Belakang Masalah .......................................................................

  1 B. Rumusan Masalah ................................................................................

  6 C. Batasan Masalah ..................................................................................

  7 D. Tujuan Penulisan ..................................................................................

  7 E. Metode Penulisan .................................................................................

  7 F. Manfaat Penulisan ................................................................................

  7 G. Sistematika Penulisan ..........................................................................

  8 BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN .............................................

  9 A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..............................................................

  9 B. Nilai Eigen Matriks Segitiga ................................................................

  14 C. Nilai Eigen Matriks Pangkat ................................................................

  16

  F. Nilai Eigen Matriks 2×2 .......................................................................

  20 G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2×2 ........................................................

  23 H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen .........................

  28 I. Diagonalisasi ........................................................................................

  30 BAB III METODE KUASA ............................................................................

  39 A. Metode Kuasa ......................................................................................

  39 B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides .........................................

  42 C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum ...........................

  44 D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh................................................

  48 E. Prosedur Penghentian Iterasi ................................................................

  49 F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet ..........................

  51 BAB IV PENUTUP .........................................................................................

  60 DAfTAR PUSTAKA .......................................................................................

  63

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang

  mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif.

  Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.

  Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.

  Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program e-

  mail yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini

  begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama, lambang @ juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan

  "at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai

  dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.

  Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar

  Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer

  yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.

  Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris, Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan newsgroup USENET.

  Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat menjadi 10.000 lebih.

  Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan.

  Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu. Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web.

  Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah

  surfing the internet . Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000

  alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo! didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.

  Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang tersedia di internet :

  1. Informasi untuk kehidupan pribadi: kesehatan, rekreasi, hobi, pengembangan pribadi, rohani, dan sosial.

  2. Informasi untuk kehidupan profesional/pekerja: sains, teknologi, perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi bisnis, berbagai forum komunikasi. Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu.

  Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search engine , seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya).

  Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan dikenali di mesin pencari terkenal seperti Yahoo atau Google. Cara efektif publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya, akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna.

  Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen.

  Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks taknol sedemikian sehingga λ , dengan A adalah matriks n × n yang diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah pemecahan sistem persamaan linear.

  Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi. Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai.

  Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam

  bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan. Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks yang memenui sifat

  | | | | untuk 2, 3, , , dengan merupakan nilai eigen dominan. Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi

  

Rayleigh . Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara

  menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya.

  Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan

  

PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan

dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh.

B. Rumusan Masalah

  1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa?

  2. Bagaimana aplikasi metode kuasa pada mesin pencari internet?

  C. Batasan Masalah

  Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks.

  D. Tujuan Penelitian

  Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu informasi.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika.

  F. Manfaat Penulisan

  Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang sangat tinggi dalam penyajian suatu informasi.

G. Sistematika Penulisan

  BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi

  latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai

  eigen dan vektor eigen, nilai eigen pada matriks segitiga, matriks pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks 2 2, nilai eigen matriks simetris 2 2, dan nilai eigen dalam determinan dan teras suatu matriks.

  BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN PENCARI INTERNET Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan

  perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan aplikasinya yang digunakan pada mesin pencari internet.

  BAB IV PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipaparkan.

BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n

  persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk , (2.1.1) dengan

  λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di ,

  dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali sebagai

  0, atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan memfaktorkannya menjadi

• – . (2.1.2)

  Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang ter- bentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai

  λ se-

  hingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai

  λ yang demi-

  kian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyele- saian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang ter- kait dengan λ. Sistem (

  λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

  0 (2.1.3) –

• – 0 adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po- linomial karakteristik matriks A.

  Definisi 2.1.1

  Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar

  λ disebut nilai eigen

  dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga . Jika

  λ

  adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.

  Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis kembali persamaan menjadi

• – .

  Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

• – 0.

  Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.

  Teorema 2.1.1

  Jika matriks A adalah sebuah matriks n × n dan

  λ adalah skalar, maka

  pernyataan berikut adalah ekivalen : (a) λ adalah nilai eigen dari A.

  λ adalah penyelesaian persamaan

• – (b) 0.

Bukti : Berdasarkan definisi,

  λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga , yang ekivalen dengan

• – .

  yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivi- al, yang terjadi jika dan hanya jika 0. – yaitu

  λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut. „ Contoh 2.1.1

  1 3 Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks 4 2 Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik 1 0 1 3

  1

  3 . 0 1 4 2

  4

  2 Persamaan karakteristik dari A adalah

• – 1

  3 0,

  4

  2 1 2 – 3 4 0, 3 2– 12 0,

  5. Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut, harus diselesaikan sistem penyelesaian

  Jadi nilai eigen dari A adalah 2 dan

  1

  3 . (2.1.5)

  4

  2 Untuk 2, persamaan (2.1.5) akan menjadi 2 1

  3 , 4 2 2

  3

  3 .

  4

  4 Penyelesaian ini memberikan hasil , , (2.1.6) maka vektor eigen yang berkaitan dengan

  2 adalah vektor taknol berbentuk

  1 . (2.1.7)

  1 Periksa 1 3 2 2 2 . 4 2

  2 Dengan cara yang sama untuk 5, penyelesaiannya memberikan hasil

  , , (2.1.8) dan vektor eigen yang berkaitan dengan 5 adalah vektor taknol berbentuk

  . (2.1.9)

  1 Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka

  , sehingga perkalian dengan A memetakan ke dalam suatu perka- lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada dan , ini berarti bahwa perka- lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan . Operator linear memperkecil dengan suatu faktor 1 atau memperbesar dengan suatu fak-

  λ jika 0 tor membalik arah , dan memper- λ jika

  1. Jika 0, maka kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika 0

  | | 1 atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika | | 1.

  Contoh 2.1.2 1 0 Akan dicari nilai eigen dari matriks .

  1 4 17 8 Dari determinan

  1 det 8 17 4 (2.1.10)

  1 4 17 8 didapatkan persamaan karakteristik

  8 17 4 0. (2.1.11) Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan bulat haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta . Sehingga, penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah faktor-aktor pembagi dari bilangan

  4, yaitu 1, 2, dan 4. Dengan mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11) akan menghasilkan 4 sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya. Sebagai konsekuensinya, 4 haruslah merupakan salah satu faktor dari ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kem- bali menjadi

• – 4

  4

  1 0. Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah

  4, 2 √3, 2 √3.

  Definisi 2.1.2

• – Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen

  λ. Vek- tor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor taknol dalam ruang eigen.

B. Nilai Eigen Matriks Segitiga

  Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal , maka

  , , , – adalah matriks segitiga dengan entri diagonal yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah , , ,

  Teorema 2.2.1

  Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari matriks A.

  Bukti : Misalkan A adalah matriks segitiga atas .

  0 0 Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka

  , det 0 0

  , sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya 0, dan nilai-nilai eigennya adalah

  , , , , Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah entri-entri diagonal utamanya.

  „ C.

   Nilai Eigen Matriks Pangkat

  Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika

  λ

  merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka , yang menunjukkan bahwa nilai eigen dari dan x adalah vektor eigen kaitannya.

  Teorema 2.3.1

  Jika

  λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen

  kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka adalah nilai eigen dari matriks dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.

  Bukti : Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen , yaitu Teorema benar untuk k = 1.

  λ. Maka

                                                             

                                                                         

  Sehingga   . Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat . positf k

  „   D.

   Nilai Eigen Kompleks

  Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks

  2

  1 (2.4.1)

  5

  2 adalah

  2

  1 (2.4.2)

  1,

  5

  2 sehingga persamaan karakteristiknya adalah 1 0. Akar-akar persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks dan .

  Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kom- pleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari

E. Kegandaan Aljabar

  Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari determinan

• – adalah polinomial berderajat n di mana koefisien adalah 1, yaitu
• – , (2.5.1) bentuk polinomialnya adalah

  , (2.5.2) yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks A dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial

  2 × 2

  berderajat dua, 3 – 10 (lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial karakteristik matriks A dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat

  3 × 3

  tiga,

  8 17 4 (lihat persamaan (2.1.11)). Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktor- faktor polinomial karakteristik

  ,

  1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda, sebagai contoh 2 – 2 – 1 2 .

  2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda, namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh

  3

  2

  3 2 – 1 2 .

  3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai contoh

  1 – 1 1 – 1

  1 Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan, maka polinomial karakteristik dari matriks A dapat difaktorkan menjadi

• – .

  n × n

  1

  (2.5.3)

  … – – –

  1

  1

  2

  di mana , , … adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut

  

pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktor-

  faktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktor- faktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi

  1

  2

  1

  (2.5.4)

• – – … –

  1

  1

  2

  di mana , , … adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen yang menggambarkan berapa kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karaktersitik.

  Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4) harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai contoh, jika A matriks 6 × 6 dengan polinomial karakteristiknya adalah

  3

  2

  3 2 – 1

  2 maka nilai eigen berbeda dari A adalah 0, 1, dan 2, dan ke-

  Teorema 2.5.1

  Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A dapat dinyatakan sebagai

• – – … – – di mana

  , , … adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan .

  Bukti : Polinomial karakteristik dari A adalah :

• – … – – –

  ,

• – – … – di mana adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian

  , , … , sehingga jumlahan yang sama dengan pangkat ter- tinggi dari

  „ λ.

F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2 Definisi 2.6.1

  Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang dinyatakan sebagai , adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama

  A. Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema be- rikut.

  Teorema 2.6.1

  Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka persamaan karakteristik dari A adalah 0, – dan

  (a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila ;

• – 4

  (b) A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang bila

• – 4 0; (c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila
• – 4 0.

  Bukti : Misalkan dengan .

  , , , Polinomial karakteristik dari A adalah det

  . Karena teras dari matriks A adalah dan determinan dari ma-

  (2.6.1)

• – – sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah
• – (2.6.2)

  Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah 4det

  ,

  2 (a) Jika

• – 4 0, maka A mempunyai dua nilai eigen real
• – – beda, yaitu dan .

  √

  (b) Jika , yaitu A mem-

• – 4 0, maka

  , punyai satu nilai eigen real yang berulang.

  (c) Jika

• – 4 0, maka – 4 merupakan bi- langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, y
• – –

  dan . „ Contoh 2.6.1 Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan dicari nilai eigen dari

  2

  2

  1

  2

  3 (a) , (b) , (c) . 1 5

  1 2 3 2 Diketahui 7 dan 12, maka persamaaan karakteristik dari hasil pemfaktorannya adalah

• – 4 – 3 0, maka nilai eigennya

  4 dan

3. Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah

  1, dan ni- lai eigen pada soal (c) adalah .

  2 3 G.

   Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2 Teorema 2.7.1 Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real.

  Jika A berbentuk , (2.7.1) maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni .

  Bukti : Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah

  , maka

• – 4 – 4 – 4 0, sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real. Jika , maka
• – 4

  4 4 0,

  Teorema 2.7.2

  (a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah .

  (b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus yang melalui titik 0 pada .

  Bukti : (a)

  . Jika A mempunyai Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah nilai eigen berulang, maka

• – 4

  4

  0. Ka- rena dan 4 0 jika hanya jika 0, maka ma- triks , sehingga nilai eigen berulangnya adalah . Menu-

  λ rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen ada- λ lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen

  0 0 yaitu setiap titik dalam . Maka ruang eigen terkaitnya adalah .

  (b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka

• – 4

• –

  dan

• –

  .

  Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear ho- mogen Untuk , maka .

  Misalkan dan , maka .

  Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh

  1 . yang menghasilkan .

  2 dan

  4 Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan Dengan cara yang sama, untuk akan diperoleh penyelesaian . 2 dan

  4 yang merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan dengan .

  Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena · ·

  4

  4 4 — 4 4 —

  4 —

  Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus yang melalui titik 0 pada .

  „ Contoh 2.7.1 Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik 3 2

  . 2 3

  Karena 6 dan 5, maka persamaan karakteristik dari A ada- lah 6 5 0

• – 1 – 5

  5. Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen

  sehingga nilai eigen dari A adalah 1 dan

  3

  2 . (2.7.2)

  2

  3 Untuk 1, persamaan 2.7.2 menjadi

  2

  2 .

  2

  2 Penyelesaian ini menghasilkan

  , , (2.7.3)

  yang merupakan persamaan parameter dari garis . Garis ini adalah ruang eigen yang terkait dengan

  1. Dengan cara yang sama, untuk 5 akan dihasilkan penyelesaian

  , , (2.7.4) yang merupakan persamaan parameter dari garis . _y ( λ = ) 1 ( λ

  5 = ) y = − x y x _{(-1, 1)} = _(1,1)

_x

  Gambar 2.1 Garis dan adalah dua garis tegak lurus yang melalui 0 di , seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan

  1

  1 dan ,

  1

  1 dengan vektor perentangnya adalah

  1

  1 dan (2.7.5)

  1

  1 yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.

H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen Teorema 2.8.1

  Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen , , , (mungkin ada yang berulang), maka

  (a) b Bukti : (a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:

  (2.8.1) … – – – – dan dengan memasukkan

  0, dihasilkan .

  1 Karena , maka

  1 . (2.8.2)

  (b) , maka Misalkan

  Bila dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor, akan memuat paling banyak

  2 faktor yang melibatkan λ. Jadi koefi- sien dari dalam sama dengan koefisien dari dalam perka- lian Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh

  (2.8.4) Dan dengan mengembangkan persamaan pada 2.8.1, akan diperoleh sehingga didapatkan

  „ Contoh 2.8.1 Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai karakteristik polinomial

  3 2. (2.8.5) Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi

• – 1 2 , maka nilai eigennya adalah

  1, 1, dan

  2. Jadi,

I. Diagonalisasi Definisi 2.9.1

  Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan ma- triks A.

  Definisi 2.9.2

  Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks

  P yang taksingular sedemikian sehingga

  . (2.9.1)

  Teorema 2.9.1

  Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.

  Bukti: Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen yang bebas linear, yaitu

  , , , . Vektor-vektor eigen tersebut dapat di- susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n | | | . Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di yang bebas linear. Maka | | | | | |

  | | | A A

  | | | | | |

  (2.9.2) λ λ

  | | | karena , dengan adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor eigen 1, 2, , .

  Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai ei- gen . Maka λ

  | | | 0 λ (2.9.3)

  | | | λ 0 0

  | | | . λ λ

  | | | Maka .

  Karena P taksingular, maka: (2.9.4)

  Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika elemen-elemen diagonalnya adalah , , , , dan matriks taksingular sedemikian sehingga . Maka . Ka- rena

  (2.9.5) dan (2.9.6) maka untuk

  1, 2, … , . Hal ini berarti bahwa merupakan vektor eigen dari ma- triks A dengan adalah nilai eigen yang berkaitan untuk 1, 2, … , . Ka- rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor

  , , , be- bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebas linear. „ Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonali- kan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :

  Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A. Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari ma- triks P.

  Langkah 3 : Tentukan Langkah 4 : Tentukan di mana D adalah matriks diagonal dengan

  Contoh 2.9.1

  5

  7 Diketahui matriks yang mempunyai nilai eigen 2 dan

  2

  4 3 dan vektor eigen yang berkaitan adalah 1, 1 dan

  1

  7

  2

  7 , maka , se-

  7, 2 . Dengan mengambil

  1

  2