PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika
Oleh: Erita Marlina Naibaho
NIM : 073114003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
THE PASCAL MATRIX
Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree (S.Si) in Mathematics
By: Erita Marlina Naibaho
Student Number: 073114003
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT
FAKULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
T en an glah k i n i h a t i k u , T u h an m em i m p i n l a n gk a h k u .D i t i a p saat d a n k er j a , t et a p k u r a sa t a n ga n N y a . T u h an l a h y an g m em bi m bi n gk u , t a n gan k u d i p ega n g t egu h . H a t i k u ber ser ah p en u h , t a n ga n k u d i pegan g t egu h .
T a k k u sesa l k a n h i d u p k u , bet a pa j u ga n a si bk u . Sebab En gk a u t et ap d ek at , t a n gan M u k u p ega n g er a t .
T u h an l a h y an g m em bi m bi n gk u , t a n gan k u d i p ega n g t egu h
H a t i k u ber ser ah p en u h , t a n ga n k u d i p egan g t egu h .(T en a n gl ah K i n i H at i k u , K i d u n g Jem a at N o. 410 )
T ous les choses arrivent pour une bonne reason
( I believe that everything happens for a reason)
Sk ripsi dan Gelar Sarjana Sains ini, k upersembahkan dengan penuh k asih kepada Tuhan Yesus Krist us Juru Selamatk u yang hidup, Bapak dan Mama t ercinta,
Abang Saut , Abang Oba, Abang Musa terk asih, dan Kak ak Tina t ersayang.
Kepada t eman- teman terbaik ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta,………………….
Penulis Erita Marlina Naibaho
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Matriks Pascal P merupakan matriks khusus yang sangat menarik untuk dipelajari lebih detail. Metode yang digunakan untuk mempelajari matriks Pascal adalah dengan mempelajari beberapa sifat pentingnya dan menyelidiki keterkaitannya H
e ,
dengan matriks lain. Terungkap bahwa matriks ini dapat dinyatakan sebagai H
P e
yaitu dimana H adalah suatu matriks penghasil yang didefinisikan. Matriks Pascal juga memiliki hubungan dengan matriks khusus lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde. Matriks Pascal dapat dinyatakan dengan menggunakan 1 P
V t V t
matriks Vandermonde yaitu ( 1 ) ( ) , di mana
V ( t ) y ( t ) y ( t
1 ) y ( t 2 ) y ( t ( n 1 )) adalah matriks Vandermonde,
2 n 1 T y t t t t
dan ( ) : ( 1 , , , , ) adalah suatu fungsi vektor yang didefinisikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Pascal matrix P is a special matrix which is very interesting to investigate in more details. The method used to study the Pascal matrix is by learning some important properties and investigating its relation to other matrices. It is revealed that H H
e , i.e. P e this matrix can be expressed as where H is a defined creation matrix.
Pascal matrix also has a special relation to another well-known matrix, namely the Vandermonde matrix. Pascal matrix can be expressed using Vandermonde matrix i.e. 1 P
V t V t ( ) ( ) (
1 ) ( 2 ) ( ( 1 )) ( 1 ) ( ) , where matrix
V t y t y t y t y t n 2 n 1 T y t t t t
is a Vandermonde matrix, and ( ) : ( 1 , , , , ) is a defined vector function.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Erita Marlina Naibaho Nomor mahasiswa : 073114003 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
MATRIKS PASCAL
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Dengan demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada Tanggal:……………………..
Yang menyatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih setia dan karunia-Nya yang melimpah, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “MATRIKS PASCAL”.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi di Universitas Sanata Dharma.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan, bimbingan, pengarahan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang teramat dalam kepada :
1. Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih-Nya yang tiada habisnya.
2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku Dosen Pembimbing yang penuh kasih dan kesabaran dalam memberikan pengarahan, bimbingan, saran dan semagat selama proses penulisan skripsi.
3. M. V. Any Herawati, S.Si, M.Si dan Hartono, S.Si, M.Sc selaku Dosen Penguji Skripsi yang telah banyak memberikan masukan, saran dan ide dalam melengkapi skripsi ini.
4. Ibu Lusia Krismiyati B, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika, yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dosen Pembimbing Akademik, yang senantiasa memberikan perhatian dan motivasi layaknya seorang bapak kepada anaknya selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini.
6. Seluruh dosen dan karyawan/ti Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak memberikan dukungan baik selama masa perkuliahan maupun dalam masa penyusunan skripsi.
7. Para staff perpustakaan Kampus III Paingan yang telah memberikan pelayanan, kenyamanan tempat dan menyediaan buku-buku pustaka.
8. Kedua orang tua tercinta, Bapakku P. Naibaho, Spd dan Mamaku D. Nadeak serta saudara-saudara terkasih yaitu ketiga abangku Saut Maruli Naibaho Am.T., Andi Juliver Naibaho S.T., Jantri Musa Marolop Naibaho S.T., and my only one sister Pristina Mayrita S.Si., terima kasih banyak atas pengorbanan, doa, cinta, motivasi dan kepercayaan dalam penyelesaian skripsi.
9. Teman-teman angkatan 2006-2011 yang memberikan warna tersendiri. Kalian menjadikan kebersamaan di matematika ini menjadi sempurna. Spesial kepada Amelia Enrika, yang tak henti menanyakan perkembangan skripsi dan revisi.
10. Teman-teman penghuni Kost Icha untuk kebersamaan, motivasi dan suka duka yang dilalui bersama, ayo semangat mengejar cita-cita. Spesial untuk Kethrin Jesika dan Rosa Delima Spica, yang setia menemani ke perpustakaan.
11. Teman-teman IFI-LIP dan teman-teman kampus, khususnya rekan seperjuangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12. Yang terkasih Henfriyandie atas semangat, cinta dan kasih sayang. Terima kasih untuk terus saling mengingatkan, memberikan semangat dan pengorbanan selama ini.
13. Semua pihak yang secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebut satu persatu yang turut membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih sangat jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak akan penulis terima dengan senang hati. Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi para pembaca yang memiliki niat mempelajarinya lebih lanjut, meski skripsi ini masih terdapat kekurangan di sana-sini.
Akhir kata penulis mohon maaf apabila ada perkataan yang kurang berkenan dan penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kemajuan jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Yogyakarta,………………….....
Penulis Erita Marlina Naibaho
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................... vi HALAMAN ABSTRAK ..................................................................................... vii HALAMAN ABSTRACT ................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................... ix KATA PENGANTAR ......................................................................................... x DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii
BAB I. PENDAHULUAN ................................................................................... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH ....................................................... 1 B. RUMUSAN MASALAH ........................................................................ 4 C. PEMBATASAN MASALAH ................................................................. 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIF. METODE PENULISAN ......................................................................... 5
G. SISTEMATIKA PENULISAN ............................................................... 5
BAB II. MATRIKS .............................................................................................. 7 A. PENGERTIAN MATRIKS ..................................................................... 7 B. OPERASI PADA MATRIKS ................................................................. 11 C. MATRIKS ELEMENTER ...................................................................... 30 D. DETERMINAN MATRIKS ................................................................... 42 BAB III. POLINOMIAL ..................................................................................... 62 A. PENGERTIAN POLINOMIAL .............................................................. 62 B. FUNGSI POLINOMIAL ......................................................................... 67 BAB IV. MATRIKS PASCAL ........................................................................... 70 A. PENGERTIAN MATRIKS PASCAL .................................................... 70 B. BEBERAPA SIFAT PENTING MATRIKS PASCAL ......................... 73 BAB V. PENUTUP .............................................................................................. 97 A. KESIMPULAN ........................................................................................ 97 B. SARAN ..................................................................................................... 98 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 99
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Matriks Pascal telah dikenal sejak zaman kuno, dan telah dijumpai dalam
matematika China sejak tahun 1303. Matriks ini dipakai dalam bidang analisis numerik, kombinatorik, dan sebagainya. Di sini akan diperkenalkan beberapa sifat penting dari matriks Pascal beserta bagaimana relasinya dengan matriks lain yang ternama, yaitu matriks Vandermonde.
Kita mengenal adanya teori polinomial dalam matematika. Sebuah n n 1 1
a r a r a r a
ekspresi disebut polinomial dalam r jika dan n n 1 1
a a a
hanya jika eksponen r adalah bilangan bulat positif dimana adalah , 1 n bilangan real. Di sini akan diulas bagaimana relasi antara matriks Pascal dengan polinomial.
Sebelum mendefinisikan matriks Pascal, akan dibahas mengenai kombinasi dimana elemen-elemen dari matriks Pascal dapat ditentukan dengan
n
menggunakan kombinasi. Kombinasi elemen yang diambil sebanyak r dalam
n n setiap pengambilan dilambangkan dengan C atau . Kombinasi ini akan r
r
digunakan dalam menentukan elemen-elemen dalam matriks Pascal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
1
P p sebagai berikut :
1 Matriks Pascal n x n adalah matriks segitiga bawah yang elemen-elemen segitiga bawahnya adalah n baris pertama dari segitiga Pascal. Secara umum, kita dapat menyatakan matriks Pascal ) ( ij
1
1
2
2
2
3
2
3
3
1
3
2
1
1
n elemen
C n r
r n r n r n
!
adalah )! ( !
elemen yang diambil dari
dimana 1 ...
r
1 Kombinasi
3
3
1
1 1 2 1
3
3
b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a
1
2
3
3 2 2 3 3 2 2 2 1
2 1 ! n n n n n . Bilangan
Koefisien-koefisien tersebut dapat disusun dalam suatu segitiga yang disebut segitiga Pascal, yang merupakan suatu pola bilangan yang disusun membentuk segitiga dengan aturan koefisien binomial yang ditemukan oleh Blaisc Pascal (1623-1662).
n y x .
juga disebut koefisien binomial karena merupakan koefisien dari ekspansi binomial
r n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i 1
i j untuk
p ij j ,
1
i j
untuk
Berikut adalah beberapa contoh matriks Pascal, 1
1
1
1
1
1 , , 1 1 ,
1
1
1
2
1
1
2
1
1
3
3
1
Secara umum, matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai berikut: i
1 i j untuk
p P ( p ) dimana , dan i , j ij ij j 1 , 2 , n
1
i j
untuk
p p p 11 1 . . . 12 1 n
1 n
1
1
1
1
p p p 21
1 22 1 . . . 2 n
n
1
1 2 2 2
p p p 31
1 32 2 . . . 3 n
n
1
1 . . .
. . . . . .
n n n
2 2 2
p p n p ( n 1 ) 1 ( n
1 1 ) 2 ( n 2 . . . 1 ) n
n
1
1
n n n
1 1
1
p p n p n 1 n
1 2 nn 1 . . .
1
n
1
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
2. Matriks yang akan dibahas hanyalah matriks bilangan bulat.
1. Materi mengenai matriks Pascal hanya akan dibahas dalam bidang teori polinomial saja.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis akan membatasi beberapa hal yaitu :
C. PEMBATASAN MASALAH
3. Bagaimana hubungan matriks Pascal dengan matriks lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde ?
2. Bagaimana sifat-sifat penting dari matriks Pascal ?
1. Apa itu matriks Pascal ?
Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:
B. RUMUSAN MASALAH
.
n n n n P p ij
1
1
Jadi matriks Pascal berordo
dapat dituliskan sebagai berikut: n n
2 ) 1 )(
1
1 !
2 (
2
1
1
3
3
1
1
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengenal salah satu matriks khusus yaitu matriks Pascal. Selain itu juga untuk mempelajari bagaimana hubungan matriks Pascal ini dengan matriks terkenal lainnya.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami dan mengenal salah satu matriks khusus yang ada, yaitu matriks Pascal.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik matriks Pascal.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II. MATRIKS A. Pengertian Matriks B. Operasi pada Matriks C. Matriks Elementer D. Determinan Matriks BAB III. TEORI POLINOMIAL A. Pengertian Polinomial B. Fungsi Polinomial BAB IV. MATRIKS PASCAL A. Pengertian Matriks Pascal B. Beberapa Sifat Penting Matriks Pascal BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II MATRIKS Dalam bab ini akan diulang kembali beberapa hal mengenai pengertian-
pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pembahasan ini meliputi definisi, teorema, dan beberapa hal penting dalam matriks.
A. Pengertian Matriks Definisi 2.1
Matriks
adalah jajaran bilangan berbentuk empat persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan - bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut elemen atau
anggota
matriks. Matriks dapat digunakan untuk menjelaskan sistem persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks dapat dioperasikan, seperti dikalikan, dijumlahkan, atau dikurangkan. Bentuk umum sebuah matriks dapat ditulis sebagai berikut :
a a a
11 12 1 n
a a a
21 22 2 n
A a ij
a a a m 1 m 2 mn
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Matriks dilambangkan dengan huruf kapital, seperti A , B , C dan sebagainya, sedangkan elemen dari suatu matriks dilambangkan dengan huruf kecil
a yang
yang berkaitan dengan matriks tersebut dan diberi 2 indeks, yaitu ij menyatakan elemen yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A. Baris
a a a
ke-i dari matriks A adalah dan kolom ke-j dari matriks A i 1 i 2 in
a
1 j
a
2 j
adalah . Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan bentuk dan
a mj
ukuran dari matriks tersebut, yang disebut ukuran matriks atau ordo matriks. Matriks
m n yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berordo .
Contoh matriks :
1
2
3 4
A
5
6
7
8
9
10
11
12
, karena matriks tersebut mempuyai 3 baris dan 4 Matriks A berordo
3
4 kolom. Bilangan 7 pada matriks A dapat dinyatakan sebagai a . 23
7 Definisi 2.2 Matriks yang mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah kolomnya disebut
matriks bujur sangkar .
Contoh matriks bujur sangkar:
. j i
1
1
1
Contoh matriks identitas: .
Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas, dengan lambang I.
Definisi 2.4
A
1
2
3
Contoh matriks diagonal: .
untuk
4
9
8
7
6
5
3
a
2
1 A
Definisi 2.3
Suatu matriks bujursangkar
ij A a disebut matriks diagonal bila dan hanya bila
ij
I PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.5
Matriks yang terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris atau disebut juga vektor
baris
. Matriks yang terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom atau disebut juga vektor kolom.
Contoh: 5
1
2
3 4 ,
B A
6
7
Matriks A adalah matriks baris berordo 1 , dan matriks B adalah
4 matriks kolom berordo .
3
1 Definisi 2.6 T
Transpos dari matriks A adalah matriks A dimana elemen a dalam A sama
T ij Adengan elemen a dalam untuk semua i dan j . ji Contoh:
1
4
1
2
3 T
A A
Jika diketahui
2 5 , maka
4
5
6
3
6 T
Secara umum, A diperoleh dengan menukar baris dengan kolom yang T
A A
bersesuaian dari matriks . Akibatnya, jika A berordo m n , maka berordo n m .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.7 Matriks A disebut matriks nol jika setiap elemen dari A adalah bilangan nol.
Contoh matriks nol: A B .
,
B. Operasi pada Matriks Definisi 2.8
A B
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis jika ordo kedua matriks tersebut adalah sama, dan elemen yang seletak juga sama, yaitu a b untuk setiap ij ij i dan j .
Contoh diketahui matriks-matriks:
1 2
1 2
1 2
A B C
3
4
3
4
3
4
Matriks-matriks tersebut merupakan tiga matriks yang berbeda. Matriks
A karena terdapat elemen seletak dari kedua matriks tersebut yang berbeda, yaitu B A dan C B karena ordo matriks yang berbeda. C a b . Sedangkan matriks 12 12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan adalah elemen yang letaknya sama.
Definisi 2.9 A a B b
Misalkan dan adalah dua buah matriks berordo m n. Jumlah ij ij matriks A dan B ,ditulis A , adalah matriks berordo m n dengan elemennya B merupakan jumlah elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. Dalam hal ini kita tulis A B a b .
ij ij
Contoh penjumlahan dua matriks:
1 2
5 6
1
2 3
A B C
Diketahui , dan ,
3
4
7
8
4
5
6
1 2
5 6
6 8
A maka B .
3
4
7
8
10
12
A atau C B tidak terdefinisi karena kedua C
Sedangkan penjumlahan matriks matriks tersebut mempunyai ordo yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.1
Jumlahan matriks memenuhi sifat-sifat berikut:
A B B A
1. (sifat komutatif)
Bukti: Misalkan:
A ( a ) ij B ( b ) ij
Maka:
a a a b b b
11 12 1 n 11 12 1 n
a a a b b b 21 22 2 n 21 22 2 n
A B
a a a b b b m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn
a b a b a b
11 11 12 12 1 n 1 n
a b a b a b
21 21 22 22 2 n 2 n
a b a b a b m 1 m 1 m 2 m 2 mn mn
b a b a b a
11 11 12 12 1 n 1 n
b a b a b a
21 21 22 22 2 n 2 n
b a b a b a m 1 m 1 m 2 m 2 mn mn
b b b a a a
11 12 1 n 11 12 1 n
b b b a a a
21 22 2 n 21 22 2 n
b b b a a a m 1 m 2 mn m
1 m
2 mn
B A
. ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( A B ) C A ( B C ) 2. (sifat asosiatif) Bukti: A ( a ), B ( b ) C ( c ).
Misalkan: dan Maka: ij ij ij
a a a b b b c c c 11 12 1 n 11 12 1 n 11 12 1 n
a a a b b b c c c
21 22 2 n 21 22 2 n 21 22 2 n ( A B ) C
a a a b b b c c c m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn
a b a b a b c c c
11 11 12 12 1 n 1 n 11 12 1 n
a b a b a b c c c
21 21 22 22 2 n 2 n 21 22 2 n
a b a b a b c c c m 1 m 1 m 2 m 2 mn mn m 1 m 2 mn
( a b ) c ( a b ) c ( a b ) c
11 11 11 12 12 12 1 n 1 n 1 n
( a b ) c ( a b ) c ( a b ) c
21 21 21 22 22 22 2 n 2 n 2 n
( a b ) c ( a b ) c ( a b ) c m 1 m 1 m 1 m 2 m 2 m 2 mn mn mn
a ( b c ) a ( b c ) a ( b c )
11 11 11 12 12 12 1 n 1 n 1 n
( ) ( ) ( )
a b c a b c a b c
21 21 21 22 22 22 2 n 2 n 2 n
a ( b c ) a ( b c ) a ( b c ) m 1 m 1 m 1 m 2 m 2 m 2 mn mn mn
a a a b c b c b c
11 12 1 n 11 11 12 12 1 n 1 n
a a a b c b c b c
21 22 2 n 21 21 22 22 2 n 2 n
a a a b c b c b c m 1 m 2 mn m 1 m 1 m 2 m 2 mn mn
a a a b b b c c c
11 12 1 n 11 12 1 n 11 12 1 n
a a a b b b c c c 21 22 2 n
21
22 2 n 21 22 2 n
a a a b b b c c c m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn
A ( B C ) . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
A O A 3. untuk setiap matriks A , di mana O adalah matriks nol.
Bukti: Misalkan:
A ( a ) ij
j
O ( o ), o untuk setiap i dan . ij ijMaka: a a a 11 12 1 n
a a a
21 22 2 n
A O
a a a m 1 m 2 mn
a a a
11 12 1 n
a a a
21 22 2 n
a a a m 1 m 2 mn
a a a
11 12 1 n
a a a
21 22 2 n
a a a m 1 m 2 mn
. A
■
A B O
4. Untuk setiap matriks A ada matriks B sedemikian sehingga , di mana
O adalah matriks nol. Untuk selanjutnya ditulis B A
dan disebut invers dari matriks A terhadap operasi jumlahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti:
Misal:
a a a
11 12 1 n
a a a
21 22 2 n A a .
( ) ij
a a a m 1 m 2 mn
Maka:
a a a 11 12 1 n
a a a
21 22 2 n B A .
a a a m 1 m 2 mn
Dan
a a a a a a
11 12 1 n 11 12 1 n
a a a a a a