ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.
KATA PENGANTAR
Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi yang berjudul Analisis Model Matematika Predator-Prey dengan Prey yang
“
Terinfeksi
” ini dapat terselesaikan dengan baik. Sholawat serta salam bahagia
semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia.
Ucapan terima kasih disampaikan kepada :
1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu.
2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan
Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).
3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs, selaku Kepala Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga sekaligus dosen pembimbing II yang selalu memberikan saran dan motivasi.
4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., selaku Koordinator Program Studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan saran dan motivasi.
5. Dr.Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan saran, motivasi, dan inspirasi dalam perkuliahan dengan penuh kesabaran, ketelitian, serta keramahan.
6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa sabar dan teliti dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, saran, dan waktu serta motivasi.
7. Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa dengan
sabar memberikan bimbingan berupa arahan dan masukan kepada penulis .
8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika yang telah menyampaikan ilmu kepada Penulis tanpa pamrih dan tak kenal lelah.
9. Kedua orang tua saya yang tercinta, Sudarmanto dan Musriah serta keluarga besar yang selalu memberikan dukungan, semangat, nasihat dan doa terbaiknya dalam menyelesaikan skripsi.
10. Suci, Puti, Suti, Agustina, Arthak, Adeisty, Addina, Nabilah, Aryati, Raditya Rezki yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini.
11. Gemilau, Almira, Midah, Dita, dan Adelia yang selalu memberikan dukungan berupa motivasi, waktu, dan tenaga dalam menyelesikan skripsi.
12. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Program Studi Matematika 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.
13. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka bagi pembaca khususnya mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan proposal ini, sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penulisan selanjutnya.
Surabaya, 29 Februari 2016 Tyas Widya Ningrum Tyas Widya Ningrum, 2016, Analisis Model Matematika Predator-Prey
Dengan Prey Yang Terinfeksi, Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si
dan Dr. Miswanto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Dalam hubungan rantai makanan, kegiatan predasi ini sangat penting untuk mendukung keberlangsungan hidup tiap-tiap populasi. Kegiatan predasi yang dilakukan oleh predator tidak hanya memangsa prey yang sehat saja tetapi juga prey yang terinfeksi. Hal ini dikarenakan bahwa prey terinfeksi akan lebih mudah dimangsa oleh predator karena tidak membutuhkan waktu dan tenaga yang lebih banyak.
Tujuan skripsi adalah menganalisis dua model predator-prey dengan prey yang terinfeksi yakni model pertama adalah model predator-prey dengan prey yang terinfeksi tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat dan model kedua adalah predator-prey dengan prey yang terinfeksi dengan memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat. Dari analisis model pertama diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan
, kepunahan predator , kepunahan prey yang terinfeksi dan koeksistensi prey dan predator .
Titik setimbang tidak stabil, sedangkan titik setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah predator akan meningkat kemudian menurun secara perlahan karena terinfeksi dari prey terinfeksi dan keterbatasan kawin. Sedangkan dari analisis model kedua diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan
, kepunahan predator , kepunahan prey yang terinfeksi , dan koeksistensi
prey dan predator dan tidak stabil, sedangkan titik
. Titik setimbang setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah prey sehat dan predator akan menurun secara perlahan sedangkan jumlah prey terinfeksi akan meningkat karena tertularnya infeksi pada prey sehat.
Kata Kunci : Model predator-prey, prey terinfeksi, titik setimbang, kestabilan.
Tyas Widya Ningrum, 2016, Analysis of Mathematical Model of Predator-Prey using Infected Prey, this thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Miswanto, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Airlangga, Surabaya.
ABSTRACT
In a food chain, predation is incredibly important for the survival of each population. Predation is not only targeting a healthy prey, but also an infected prey; as an infected prey requires less time and energy to be preyed . This is because that would be more easily infected prey eaten by predators because it does take time and more energy .
The aims of this thesis is to analyze two predator-prey models using infected prey are predator-prey model using infected prey without taking healthy prey into account and on predator-prey model while taking healty prey into account. Based on the analysis of first model, four equilibriums are obtained. Those are extinction (E ), predator extinction (E
1 ), infected prey extinction (E 2 ),
and the coexistence between prey and predator (E
3 ). The E equilibrium is
unstable; while E 1, E 2, E
3 are stable asymptotically under certain conditions. Based
on numerical simulation , when the three species exist , the number of predators will increase and then decrease slowly because infected from infected prey and mating constraints. Furthermore based on the second model, four equilibriums are obtained. Those are extinction (F ), predator extinction (F
1 ), infected prey
extinction (F
2 ), and the coexistence between prey and predator (F
3 ). The F and F3
equilibriums are unstable; while F and F equilibriums are asymptotically stable
1
2
under certain conditions. Based on numerical simulation, when the three species exist , the number of healthy prey and predators will decline slowly , while the number of infected prey will increase because of transmission of infection in healthy prey .
Keyword: Predator-prey model, equilibrium, infected model, stability
DAFTAR ISI
Halaman LEMBAR JUDUL ......................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ............................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ....................................... iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS ................................ v KATA PENGANTAR..................... ................................................................ vi ABSTRAK ....................................................................................................... ix ABSTRACT ..................................................................................................... x DAFTAR ISI.. .................................................................................................. xi DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiv DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xv DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xvi BAB I PENDAHULUAN ...........................................................................
1 1.1. Latar Belakang .................................................................................
1 1.2. Rumusan Masalah ............................................................................
3 1.3. Tujuan ..............................................................................................
4 1.4. Manfaat ............................................................................................
4 1.5. Batasan Masalah ..............................................................................
5 BAB II TINJUAN PUSTAKA ...............................................................
6 2.1. Eco-Epidemiologi ............................................................................
6
2.2. Sistem Persamaan Diferensial .........................................................
6 2.3. Analisis Kestabilan Linier ...............................................................
9 2.4. Kriteria Routh-Hurwitz ....................................................................
11 2.5. Model Lotka Voltera Predator-Prey (Pemangsa-Mangsa) .............
13 2.6. Efek Allee ........................................................................................
13 2.7. Model Holling ..................................................................................
14 BAB III METODE PENELITIAN ...............................................................
16 BAB IV PEMBAHASAN ..............................................................................
18
4.1.Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada
prey rentan
18
4.1.1 Titik Setimbang Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 21 4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal .....................................
25 4.1.3 Simulasi Numerik ..................................................................
32
4.2 Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada
prey rentan
35
4.2.1 Titik Setimbang Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 37 4.2.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal .....................................
42 4.2.3 Simulasi Numerik ..................................................................
46 BAB V PENUTUP ........................................................................................
50 5.1. Kesimpulan .......................................................................................
50 5.2. Saran ................................................................................................
51
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................
52 LAMPIRAN
DAFTAR TABEL Tabel Judul Halaman
4.1 Deskripsi variabel dan parameter dalam model
matematika predator-prey dengan prey yang terinfeksi
19
4.2 Nilai parameter model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan.
24
4.3 Nilai awal variabel model pertama
30
4.4 Nilai parameter model predator-prey dengan memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan
41
DAFTAR GAMBAR Gambar Judul Halaman
4.1 Grafik bidang fase
dan pada titik setimbang
30
4.2 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan predator
32
4.3 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan prey terinfeksi
33
4.4 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang koeksistensi
34
4.5 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan predator
47
4.6 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang kepunahan prey terinfeksi
48
4.7 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang koeksistensi
49